拉普拉斯变换的初值和终值定理
laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0
at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0
st
dt
0
a0
t
e
0
( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
拉普拉斯变换性质
lim f (t ) lim sF (s )
t s 0
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2.4 拉氏变换的性质
8 终值定理
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
d f (t ) d f (t ) L e st d t sF ( s) f (0 ) d t 0 d t 令 s 0 时，对上式两边取极限
注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数 没有终值，故终值定理不适用。
sinω t时，由于它
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8
2.4 拉氏变换的性质
例1： F ( s )
1 , 求f () s 5
t
f (t ) e5t , lim f (t )不存在， 不能应用终值定理。
9
2.4 拉氏变换的性质
例2： F ( s)
1 , 求f () s( s a)
F(s)的极点s=0, s=-a，其中一个极点在原点，另一个
位于S平面的左半平面，可以应用终值定理。 1 1 f () lim sF ( s) lim s 0 s 0 s a a
2s 1 例3：F ( s) , 求f () 2 s( s 1)
F(s)的极点s=0, s=j，s=-j，有一对极点在虚轴，不满足终值定理
使用条件，f(t)的终值不存在。
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拉氏变换与拉普拉斯变换的区别
拉氏变换与拉普拉斯变换的区别拉氏变换和拉普拉斯变换是数学中常用的两种变换方法，它们在信号与系统、控制理论等领域有着广泛的应用。
虽然两者都是将一个函数或信号从时域转换到频域，但它们在定义、适用范围和具体的变换公式上存在一些区别。
拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法，它的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，通常表示为σ+jω，其中σ是实部，ω是虚部。
这个变换将时域函数f(t)转换成复频域函数F(s)，其中s的实部表示函数的衰减或增长情况，虚部表示函数的周期性。
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法，它的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt与拉氏变换不同的是，拉普拉斯变换的时间范围是从0到正无穷，而拉氏变换的时间范围是从负无穷到正无穷。
这使得拉普拉斯变换更适用于描述初始条件的情况，例如电路中的初始电荷和电流等。
另外，拉普拉斯变换在定义上还包括了初值定理和终值定理，这两个定理是拉普拉斯变换的重要性质之一。
初值定理指出，如果一个函数在时刻t=0时的初值存在，则该初值可以通过拉普拉斯变换的逆变换得到。
终值定理则指出，如果一个函数在时刻t=∞时的极限存在，则该极限可以通过拉普拉斯变换的逆变换得到。
从应用角度来看，拉氏变换更常用于解决线性时不变系统的稳定性和频率响应等问题，而拉普拉斯变换更常用于解决线性时不变系统的初始值和稳态值问题。
此外，拉普拉斯变换还可以用于求解微分方程的初值问题，而拉氏变换只适用于求解微分方程的全局性质。
这使得拉普拉斯变换在控制系统、电路分析和信号处理等领域中更为常见。
综上所述，拉氏变换和拉普拉斯变换在定义、适用范围和具体的变换公式上存在一些区别。
选择使用哪种变换方法取决于具体的问题和应用领域。
在信号与系统、控制理论等领域，了解和掌握这两种变换方法的区别及其特点对于深入理解和应用相关知识非常重要。
拉普拉斯变换的基本性质
所以
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
例：已知
求
f1 (t ) f2 (t )
的拉普拉斯变换
F( s)
解：F(s) F1 (s) F2 (s)
1 1 s 1 1 s 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) s 2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
证明：
L f (t )e
α t
α t st f ( t )e e d t F (s α) 0
例：求 e α t cos ω0t 的拉氏变换
解：已知 : L cos(ω0t )u (t )
t
sα 所以 e cos(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0 ω0 t 同理 : e sin(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0
所以
1 1 F ( s) F1 ( s ) 2 (1 e2 s )2 s 2s
七．s 域微分定理
若
L f (t ) F (s ) d F ( s) L tf (t ) ds n d F ( s) n L (t ) f (t ) d sn
则
n 取正整数
(2)信号一定是右移 (3)表达式
所表示的信号不能用时移性质
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t ) 0
0<t <t0
其余
求
F( s)
解： 因为
所以
f (t ) u (t ) u (t t 0 )
4-2单边拉普拉斯变换的性质
推广: 推广 f'' ( t ) ↔ s[ sF ( s ) − f ( 0 − )] − f' ( 0 − )
= s 2 F ( s ) − sf ( 0 − ) − f' ( 0 − )
f''' (t ) ↔ s[ s F ( s ) − sf (0− ) − f' (0− )] − f" (0− )
3.复频移特性(s域平移特性) 3.复频移特性(s域平移特性) 傅立叶变换域 复频移特性(s域平移特性
若
f (t )e ± jω 0t ↔ F [ j (ω m ω 0 )]
f (t) ↔ F(s)
则 f (t )e
± s0t
Re[s] > σ1
Re[ s] > σ 1 ± Re[ s0 ]
↔ F (s m s0 )
= F1 ( s)
双边拉氏变换则不同！ 双边拉氏变换则不同！
F3 ( s ) = L[ f 3 (t )] = L[tε (t − t0 )]
= L[(t − t0 )ε (t − t0 )] + L[t0ε (t − t0 )]
= L[tε (t )] ⋅ e− st0 + t0 L[ε (t − t0 )] 1 − st0 t0 − st0 Re[ s ] > 0 = 2e + e s s
s 2Y ( s ) + 3 sY ( s ) + 2Y ( s ) = sF ( s ) + 2 F ( s )
Y ( s )( s 2 + 3 s + 2) = F ( s )( s + 2)
Y (s) s+2 1 = 2 = = H (s) F ( s ) s + 3s + 2 s + 1
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
拉氏变换及反变换
2. f (t) eatu(t) (指数函数)
f
(t)
0
（t 0）
et （t 0）
F(s)= ℒ [eat ] eatestdt 0 ℒ [ejt ] 1 s j
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t) (t) （单位脉冲函数）
(t)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
u(t) t0
lim s 1 s s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
例3
I (s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
=ℒ eat (t)
（5）作Laplace反变换得
1 R Ls
s
1
a
1 L
s
1 R
L
零状态响应电流
i(t)= ℒ-1[I(s)]
1
(e a t
Rt
e L )
(t)
L ( R a)
L
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
的
拉
t
1/s2
普 拉
n!
tn
sn+1
1
斯
e-at
s+a
变 换
1
te-at
(s+a)2
表
tne-at
n!
(s+a)n+1