5 z变换理论

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_2第二章z变换

| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n

第五章-Z 变换

已知解：
f (n) (n) ，求序列的z变换。
F ( z ) Z [ (n)]
n
( n) z n 1

单位抽样序列的z变换是个常数，显然无论z取何值， z变换都收敛，因此它收敛域为整个z平面。
n 已知 f (n) a u(n) ，它的z变换为：
F ( z ) a n z n
n 0 它是一个常数，所以无论z取何值均收敛，即这时序列的z变换收敛于整个z平面。
F ( z ) A (n) z n A
0
2.右边序列（right-sided frequence）若序列的非零值点仅分布在某一点的右边，即有 f(n)=0

n<n1
则此序列称为右边序列，其z变换为
F ( z)
n

n2
f ( n) z n
用类似于右边序列的讨论，假定F(z)在z=z2处收敛，即有
| f (n) z 2 n |
n n1
第一种情况，n2≤0,即对所有∣z∣≤∣z2∣ 有
F ( z)
n
f (n) z
n2
n2
n

n
| f (n) z n |
但当线性组合中出现零极点相消时，z变换的收敛域可能扩大。
例如
X ( z) 1 1 z
1
| z | 1
Y ( z)
z 1 1 z
1
| z | 1
而
X ( z) Y ( z) 1 1 z
1

z 1 1 z
1
1
这时收敛域为整个z平面，显然收敛域扩大到了整个z平面。
Ry1 | z | Ry 2

Z变换理论

i 1
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法（反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例求解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e

第五章Z变换

X ( z ) z e j
n
x ( n) z

n z e j

n
x ( n )e

jn
X (e j )
可知，序列在单位圆上的Z变换就是该序列的离散时间傅里叶变换。
第五章Z变换
不同形式序列的Z变换收敛域的特点
• ⑴．有限长序列有限长序列是指序列只在有限区间内具有非零的有限值，即：
第五章Z变换
第5章
Z变换
第五章Z变换
• 离散时间傅里叶变换也有其缺点： • 1）许多有用信号的离散时间傅里叶变换是不存在的，比如单位阶跃序列等； • 2）离散时间傅里叶变换法不能计算由初始条件或时变输入所引起的暂态响应。
第五章Z变换
§5.1 z变换的定义与收敛域
• 序列x(n)的双边Z变换的定义为：
1 * 1 1 x ( n ) h ( n ) X ( v ) H ( ) v dv * c 2j v n
*
• 则 • 其中积分闭合围线c所在的收敛域应为X(v) 和H*(1/V*)的公共收敛域： max[Rx- ,1/Rh ] | v | min[Rx ,1/Rh ]
X ( z)
n
x ( n) z

n
其中，z为复变量，称为复频率，可表示为，所构成的复平面为z平面。 • 单边z变换定义为：
X ( z ) x(n) z
n 0
n
第五章Z变换
§5.1 z变换的定义与收敛域
• Z变换的收敛域一般用环状域表示，即：
Rx z Rx
1

因此双边序列z变换的收敛域是左、右这两个序列z变换收敛域的公共部分。第一项为左序列，收敛域为|z|<Rx+。第二项为右序列，收敛域为Rx-<|z|。若Rx+>Rx-，其收敛域为Rx- <|z|< Rx+；如果Rx+<Rx-，则X(z)没有收敛域。也就是说，对于双边序列，若其收敛域存在，则一定是位于Rx- <|z|< Rx+的圆环区域。

04第四讲 Z 变换

这是一个环状区域.如果Rx->Rx+ ,则无公共收敛区域,X(z)无收敛域,也即在Z平面的任何地方都没有有界的X(z)值,因此就不存在Z变换的解析式, 这种Z变换就没有什么意义.
第2章 Z变换例1-9 x(n)=a|n|, a为实数,求其Z变换及收敛域. 解这是一个双边序列,其Z变换为
X ( z) =
n
(1-54)
式中,z是一个复变量,它所在的复平面称为Z平面.我们常用Z [x(n)]表示对序列x(n)进行Z变换,也即
Z [ x(n)] = X ( z )
(1-55)
第2章 Z变换这种变换也称为双边Z变换,与此相应的单边Z变换的定义如下:
X ( z ) = ∑ x ( n) z n
n =0
n
= ∑a z
n =0
∞
n n
1 = ∑ (az ) = 1 az 1 n =0
1 n
∞
|z|>|a| 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛如图1-24所示.故得到以上闭合形式的表达式,由于 ,
故在z=a处有一极点(用"×"表示),在z=0处有一个零点(用"○" 表示),收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部.
∞
(1-56)
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷,因此对于因果序列, 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的.单边Z变换只有在少数几种情况下与双边Z变换有所区别.比如,需要考虑序列的起始条件,其他特性则都和双边Z变换相同.本书中如不另外说明, 均用双边Z变换对信号进行分析和变换.
第2章 Z变换 2. Z变换的收敛域变换的收敛域显然,只有当式(1-54)的幂级数收敛时,Z变换才有意义. 对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 X(z)的收敛域. 按照级数理论,式(1-54)的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件,即要求

第五章拉普拉斯变换和Z变换_第一讲

Ai X ( s) = ∑ i =1 s + ai
m
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
−∞
+∞
−σ t
]e
− jωt
dt
所以可以看成是 x(t )e −σ t 的傅里叶变换，即使 x(t )不满足傅里叶变换的条件，也可以调整 σ 的取值，使得 x(t )e −σ t 满足。因此拉氏变换具有更加广泛的分析对象。
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
那么其拉氏变换：
1 X ( s ) = ∫ e u (t )e dt = ∫ e e dt = −∞ 0 a + σ + jω 1 1 L − at = → ；a + σ > 0；记为：e u (t ) ←⎯ ； {s} > − a Re s+a s+a
− at − (σ + jω ) t − ( a +σ ) t − jωt +∞ +∞
Signals and Systems
All Rights Reserved by Stone, 2008
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
5.11 拉普拉斯变换（双边拉氏变换）
概念：收敛域（ROC）

第5章 Z变换

逆Z变换(3)
X z
n

x n z n x[0] x[1]z 1 x[2]z 2 x[n]z n

c
X z dz 0 2 j x 1 0 0
在正Z变换的等式两边同乘以 z 、 z 、 z z
n
j Im[z ] j Im[z ] j Im[z ]

Re[z ]

Re[z ] Re[z ]
Z变换的性质(3) 时移
x[n d ] z
d
X ( z)
特例：d=1 延时器
z-1
Z变换的性质(4) 指数相乘
z 0 x[ n ] X ( z / z0 )
ROC z0 ROC x
n
Z变换的收敛域(5)
右边序列
x(n), n n1 x ( n) n n1 0,
X
.. x(n)
...
n1 0 1
j Im[z ]
n
z
x nz n n n1
收敛域为 z R x
Re[z ]
n1≥0 →因果序列
Rx
Z变换的收敛域(6)
左边序列
0 n
n
x[n]z
在0 z z 收敛
左边序列：圆周上收敛→ 圆内收敛
Z变换的收敛域(3)
阿尔贝定理(2)：

x[n]z
n 0
n
在z z ( 0)收敛
j Im[z ]
x[n]z 在 z < z 收敛
n n 0
z

Re[z ]
右边序列：圆周上收敛→ 圆外收敛

z变换有关证明

H (e jω )
。
。 0
π
2
π
3π 2
2π ω
零点在单位圆上0, π处；极点在
π
2
, 3π 处。
2
设一阶因果系统的差分方程为: [例2-14] 设一阶因果系统的差分方程为: 为实数,求系统的频率响应 y(n) = x(n) + ay(n −1), a <1 a为实数求系统的频率响应。，为实数求系统的频率响应。 [解]: 对差分方程两边取Z变换:
k =1
r r e − cm = ρm = ρme jθm r r jω e − dk = ιk =ιk e jΦk
jω
r r cm零点向量，ρm零点指向向量； r r dk极点向量，ιk极点指向向量。
因此，H(e jω ) = K
∏ρ
m=1 N
M
m
arg[ H(e jω )] = arg[ K] +
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 3. 平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的变换即为序列的傅氏变换平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换平面单位圆上的（DTFT））
1．三种变换的比较
因果性：因果性：输出不超前于输入系统因果性的判断方法：系统因果性的判断方法：
时域： h(n) = h(n)u(n)
z域：域收敛域在圆外
三.系统函数和差分方程的关系
线性移不变系统常用差分方程表示：
∑a
k =0 M
M
k
y(n − k) = ∑bm x(n − m)
m=0 M

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注意：对于t 0时，f t 0，则
Z f (t nT ) z n F ( z )
18
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
4. 位移定理2
n 1 m 若 Z f (t ) F ( z )，则 Z f (t nT ) z F ( z ) f (m T) z m 0 若 f (0) f (n 1)T 0，则 Z f (t nT ) z n F ( z ) n
7. 终值定理
若： Z f (kT ) F ( z )， f (kT )存在终值证：考虑两个极限序列 lim f (kT ) lim(1 z 1 ) F ( z )
k z 1
f (kT ) z
k 0 n k 0
n
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 级数求和法
几类典型函数的Z变换
１．单位脉冲函数
1 f (kT ) (kT ) 0

k 0 k 0
F ( z ) (kT ) z k (0) 1
k 0
8
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14
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
三 Z变换的性质和定理 1. 线性性质
对任何常数和 , 若Z f1 (t ) F1 ( z ), Z f 2 (t ) F2 ( z ),则有 : Z f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( z ) F2 ( z )
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 例4.5 求 F ( s) 2 s ( s 1)
的 Z 变换
1 1 1 1 F (s) 2 2 s ( s 1) s s s 1 F ( z)
1 z
Tz 1
1 2
1 1 1 1 z 1 e T z 1
z F

如
z F 2 z2
k
16
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
3. 位移定理1
1 n k Z f (t nT ) z F ( z ) f (kT ) z k n
k ( z 1 ) k 1
k 0

1 (1 z 1 ) 2
两边同时乘以z-1

，可得
k
1 z 1 k k ( z ) (1 z 1 ) 2 k 0
F ( z) T kz
k 0
Tz 1 Tz 1 2 (1 z ) ( z 1) 2

证:
Z f1 (t ) f 2 (t ) f1 (kT ) f 2 (kT )z k
k 0
f1 (kT )z
k 0

k
f 2 (kT ) z k
k 0
F1 ( z ) F2 ( z )
15
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
2. 乘以 k 后的 Z变换
若： Z f (kT ) F ( z ),

z k 则 Z f (kT ) F
k
z k k k 证： Z f ( t ) f ( kT ) z f ( kT ) k 0 k 0 z z z k 例 F 1(kT ) ， F z z 1 1 z-

1 z z z e jwT e jwT 1 F ( z) jwT jwT jwT 2 j z e ze z e jwT 2j ze 1 z j 2 sin T z sin wT 2 2 2 2 j z cos wT sin wT z 2 z cos wT 1
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
第五节
f (t )

k 0
Z变换理论
f * (t ) f (kT ) (t kT )
F * ( s) f (kT )e kTs
k 0
定义：有：
ze
Ts

F ( z ) f (kT ) z k
证：Z (t nT ) f (k n)T z k z n f (k n)T z ( k n )
k 0 k 0

令
m k n，则
n
Z f (t nT ) z n f m Tz m
mn

n 1 n 1 m m n m z f m Tz f (m T) z z F ( z ) f (m T) z m 0 m 0 m 0
lim f (kT ) lim F ( z )
k 0 z
证： lim F ( z ) lim f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (0)
z z

பைடு நூலகம்21
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
19
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
5. 复位移定理
若Z f (t ) F ( z )，则
Z e
t
f (t ) F (e
T
z)
证：Z e t f (t ) e kT f (kT ) z k
17
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
特别地:
1 Z f n 1 z F z f 1 Z f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2

11
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
2 部分分式法
Ai F ( s) i 1 s s i
n
f (t ) Ai e
i 1 n
n
si t
Ai z F ( z) si T i 1 z e
12
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定义： F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
f (kT ) z
k 0

k
（1 ）
3
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
在 Z 变换的定义式中，若取T = 1，则有：
k 1 2 n 1 k f ( kT ) z k 0 n 1
F ( z ) Z f * (t ) f (k ) z k
k 0

(2)
【注】：F ( z ) 是对 f * (t ) 而非 f (t ) 的 Z变换。
为什么？
4
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
第三节采样过程的数学描述及特性分析
a 例1 已知 F ( s) s( s a) 换式 F ( z )
，求它对应的 Z 变
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a z z F ( z) aT z 1 z e
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F1 ( z) F2 ( z) f1 (t ) f 2 (t )
6
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
二
Z 变换的方法
1 级数求和法（按照 Z 变换定义求） 2 部分分式法（经常使用）
7
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k 0

f (kT ) e
k 0

kT
z

k
F (e T z )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
6.初值定理
若：Z f (kT ) F ( z ) 且极限 lim F ( z )存在，则
z
10
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
4． f (t ) e t
F ( z) e
k 0 kT
z
k
1 e
T
z e
1
2T
z
2
z z e T
1 jwt e e jwt 5． f (t ) sin wt 2j
f (kT ) z k
k 0
* * f ( t ) f 可以看出：若 1 2 (t ) ，则有