小波变换理论与方法..

熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。 1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： E s si2 log si2 2）P范数熵：若P≥1，在lp范数意义上定义E(s)=
si ,则：
P
E(s)= 3)对数能量熵 E(si)=
s
i
P
i
s
ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条 件：
小波函数时间频率窗
部分小波波形
小波分类的标准
支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。
对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸 变），越能提高信号的重构精度。 正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果 作用上是非常有用的。
。
2.2.3小波包分解 小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又可 以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个 N层分解来说， 有N+1个分解信号的途径。而小波包分析的 细节与近似部分一样，也可以分解，对于N层分解，它产生 2N个不同的途径。
三 小波变换的一些应用
3.1小波包去噪
傅里叶级数表达式：
f (t ) a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]

2 T1为 f (t )的周期。 基波角频率 1 ， T1
直流分量：
n 1
2 t0 T1 余弦分量的幅度： an f (t ) cos(n1t )dt t T1 0 2 t0 T1 正弦分量的幅度： bn f (t )sin(n1t )dt T1 t0
加噪信号数学模型为f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信号，n(t)是随机白噪声， 满足E[n(t)]=0和D[n(t)]=σ2。设Ψ(t)为小波函数，n(t)的小波包变换为
Wn(j,t)=n(t)·Ψj(t)= n t Ψ j t u du
R
n(t)的小波包系数的期望和方差分别为： E(|Wn(j,t)|2)=0 D(|Wn(j,t)|2)=
的常数，a和b的选取与小波ψ (t)的具体形式有关。离散小波函数表示
为：
m t nb0 a0 1 m m,n t a 0 t nb0 m m m a a0 a0 0
1
相应的离散小波变换可以表示为：
W f m, n f , m,n
为序列N 1
X (k )e
k n i 2N
(k 0,1,..., N 1)
为序列{fn}逆离散傅里叶变换
X (t ) cos(2 10 t ) cos(2 25 t ) cos(2 50 t ) cos(2 100 t )
sin(2 10 t ) sin(2 25 t ) X2 sin(2 50 t ) sin(2 100 t )
0 t 300 300 t 600 600 t 800 800 t 1000
1.3 短时傅里叶变换
给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions)
（1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）在一周期内，信号是绝对可积的
若周期信号 f (t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
小波运算的基本步骤： 选择一个小波函数，并将这个小波与要 分析的信号起始点对齐； 计算在这一时刻要分析的信号与小波函 数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C 越大，就意味着此刻信号与所选择的小波 函数波形越相近，如图所示。
将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后 重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆 盖完整个信号长度，如图所示；
将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后 重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
连续小波变换实例
2.2 离散小波变换
在实际应用中，需要对尺度因子a和位移因子b进行离散化处理，可以
m m 取： a a0 , b nbo a0
， m,n为整数，a0为大于1的常数，b0为大于0
1 f (t ) 2



eit F ( )d
1.2 离散傅里叶变换 对于实数或者复数离散时间序列f0, f1,…, FN-1,若
| 满足 n 0
N 1
f (t ) |
，则称
X (k ) F ( f n )
f
k 0
N 1
n
e
i
2 k n N
(k 0,1,...N 1)
为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形 变突发位置等，1946年Gabor提出了短时傅里叶变换，即Gabor 变换，也称加窗傅里叶变换。 Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t ) 1/4et /2 作为窗口函 数，然后用 g (t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
w ]/n
k k 1
i
(i=1,2,….,n)
以R元素中的最小值rb为风险值，由rb的下标变量b求出对应的wb，则 阈值T1为： T1=
σ wb
（2）通用阈值T1(sqtwolog准则)
T2=
σ 2 log n
（3）启发式的stein无偏风险阈值T3（Heursure）准则 3 Σn 设∑为n个小波系数的平方和，令η= ，μ= log 2 n 2 n 则
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
一 傅里叶变换
◆ 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)发表的研究热传导理 论的“热的力学分析”,提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数 之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。
◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式



* f t ? m , n t dt
当a0=2，b0=1时，离散小波变换称为二进离散小波变换，这样便于分析 ，并且适合于在计算机上进行高效的运算。
2.2.1 一阶滤波：近似与细节
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低 频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分 量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只 起一个修饰的作用，如 声音。
21.9542 1.0398
阈值量化函数 SNR RMSE
硬阈值法 13.9391 1.5524
软阈值法 28.7143 0.7416
系统性干扰信号探测
阈值准则 SNR RMSE
噪声消除和系统干扰处理 43.4135 0.3556
小波包阈值消噪 28.7143 0.7416
1 a0 T1

t0 T1
t0
f (t )dt
1.1 连续傅里叶变换 对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为
F ( )


e it f (t )dt
其中
1 L ( R) { f ( X ) |

|
f (t ) | dx
i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为
P P
2 log s i ，0log(0)=0,则有 i
2 log s i i
E(s)= 4)阈值熵：
1 E(s)= 0
si si
式中，ɛ是阈值，且ɛ >0.
阈值选择准则
(1)基于无偏似然估计原理的Rigrsure规则；
W为一向量，其元素为小波系数的平方，并按由小到大的顺序排列， W=[w1,w2,…,wn]，且w1≤w2≤…≤wn，再设一向量R，其元素为： ri=[ n-2i-(n-i)w+
平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信 号，也就是统计特性(期望与方差）不随时间变化而变化。
sin(2 100 t ) sin(2 50 t ) X2 sin(2 25 t ) sin(2 10 t )
0 t 300 300 t 600 600 t 800 800 t 1000
sgn yi yi δ yi 0

yi T yi T
式中，sgn（）为符号函数。
阈值准则
heursure
sqtwolog
rigrsure
mininmax
SNR rmse
11.0062 1.7976
28.7143 0.7416
11.0062 1.7976
阈值量化函数的选取
阈值量化是应用所估计的阈值T，对小波系数进行的处理。目前， 阈值量化函数主要采用两种方法。 一种是硬阈值法，当小波系数大于该阈值时，保留原值，否则置 零，其公式为：
yi yi 0

yi T yi T
另一种是软阈值法，当小波包系数大于该阈值时，向着减小系数 幅值的方向作一个收缩δ，否则置零，其公式为：

2.1 连续小波变换
小波变换是一个平方可积分函数f(t)与一个在时频域上均具有良 好局部性质的小波函数ψ (t)的内积：
W f (a, b) f , a ,b
1 * t b f (t) ( )dt a a

式中，<* ,*>表示内积，a>0 ,为尺度因子，b为位移因子，*表示复 数共轭，ψ a,b(t)称为小波基函数。