小波变换理论与方法.. 共42页
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一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
小波变换课件
景
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
这样，a 和b 联合越来确定了对x(t) 分析的 中心位置及分析的时间宽度。
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
小波变换简介PPT课件
[H,V,D] = detcoef2 ('all',C,S,N) returns the horizontal H, vertical V, and diagonal D detail coefficients at level N.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
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自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
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f(t)a0 [ancos(n 1 t)b nsin(n 1 t)] n 1
基波角频率 1
2 T1
，T 1 为 f ( t ) 的周期。
直流分量：a01 T1来自t0T1 f (t)dt
t0
余弦分量的幅度：an
2 T1
t0T1 t0
f(t)cos(n1t)dt
正弦分量的幅度：bn
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions) （1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的
若周期信号 f ( t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
傅里叶级数表达式：
其中 g ,t(t)g (t)e i tg (t)ei t ，窗口函数g(t)起着时
限作用，e i t 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
短时傅里叶变换示意图
cos(440t) t 0.5 x(t) cos(660t) 0.5t 1
sin(210t) X2 ssiinn((225205tt))
sin(2100t)
0t 300 300t 600 600t 800 800t 1000
1.3 短时傅里叶变换
为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形 变突发位置等，1946年Gabor提出了短时傅里叶变换，即Gabor 变换，也称加窗傅里叶变换。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t)1/4et2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
G f(,)f( t)g ( t ) e i td t f( t) ,g ,t( t) R
好局部性质的小波函数ψ (t)的内积：
W f(a,b) f,
a,b 1 a f(t)
*(tb)d t a
式中，<* ,*>表示内积，a>0 ,为尺度因子，b为位移因子，*表示复
数共轭，ψ a,b(t)称为小波基函数。
ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条 件：
小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号 各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号 分类是非常有用的。
小波变换一个信号为一个小波系数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
2.1 连续小波变换
小波变换是一个平方可积分函数f(t)与一个在时频域上均具有良
小波函数时间频率窗
部分小波波形
小波分类的标准
支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。
对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸 变），越能提高信号的重构精度。
正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果 作用上是非常有用的。
f (t)21 eitF()d
1.2 离散傅里叶变换
对于实数或者复数离散时间序列f0, f1,…, FN-1,若
N 1
满足 | f (t ) | ，则称 n0
N 1
i2k n
X (k ) F (fn ) fn eN (k 0 ,1 ,...N 1 )
平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信 号，也就是统计特性(期望与方差）不随时间变化而变化。
sin(2100t) X2 ssiinn((225205tt))
sin(210t)
0t 300 300t 600 600t 800 800t 1000
2 T1
t0T1 t0
f(t)sin(n1t)dt
1.1 连续傅里叶变换
对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为
F() eit f (t)dt
其中 L 1(R ){f(X)| | f(t)|dx
i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为
k 0
为序列{fn}离散傅里叶变换，称
fnN 1K N 1 0X (k)e i2 N kn(k 0 ,1 ,...,N 1 )
为序列{fn}逆离散傅里叶变换
X ( t ) c o s ( 2 1 0 t ) c o s ( 2 2 5 t ) c o s ( 2 5 0 t ) c o s ( 2 1 0 0 t )
小波变换理论与方法
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
一 傅里叶变换
◆ 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)发表的研究热传导理 论的“热的力学分析”,提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数 之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。
◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式 给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。
小波运算的基本步骤：
选择一个小波函数，并将这个小波与要 分析的信号起始点对齐； 计算在这一时刻要分析的信号与小波函 数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C 越大，就意味着此刻信号与所选择的小波 函数波形越相近，如图所示。
将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后 重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆 盖完整个信号长度，如图所示；
cos(524t) t 0.5
傅 里 叶 变 换 图
短 时 傅 里 叶 变 换 图
二 小波变换
小波变换由法国科学家MORLET于1980年在进行 地震数据分析时提出，是强有力的时频分析(处 理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发 展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处 理、图像处理、模式识别等。
基波角频率 1
2 T1
，T 1 为 f ( t ) 的周期。
直流分量：a01 T1来自t0T1 f (t)dt
t0
余弦分量的幅度：an
2 T1
t0T1 t0
f(t)cos(n1t)dt
正弦分量的幅度：bn
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions) （1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的
若周期信号 f ( t ) 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
傅里叶级数表达式：
其中 g ,t(t)g (t)e i tg (t)ei t ，窗口函数g(t)起着时
限作用，e i t 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
短时傅里叶变换示意图
cos(440t) t 0.5 x(t) cos(660t) 0.5t 1
sin(210t) X2 ssiinn((225205tt))
sin(2100t)
0t 300 300t 600 600t 800 800t 1000
1.3 短时傅里叶变换
为了提取信号的局部特征,例如变形信号在某一时刻的频率、形 变突发位置等，1946年Gabor提出了短时傅里叶变换，即Gabor 变换，也称加窗傅里叶变换。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t)1/4et2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
G f(,)f( t)g ( t ) e i td t f( t) ,g ,t( t) R
好局部性质的小波函数ψ (t)的内积：
W f(a,b) f,
a,b 1 a f(t)
*(tb)d t a
式中，<* ,*>表示内积，a>0 ,为尺度因子，b为位移因子，*表示复
数共轭，ψ a,b(t)称为小波基函数。
ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条 件：
小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号 各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号 分类是非常有用的。
小波变换一个信号为一个小波系数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
2.1 连续小波变换
小波变换是一个平方可积分函数f(t)与一个在时频域上均具有良
小波函数时间频率窗
部分小波波形
小波分类的标准
支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。
对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸 变），越能提高信号的重构精度。
正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果 作用上是非常有用的。
f (t)21 eitF()d
1.2 离散傅里叶变换
对于实数或者复数离散时间序列f0, f1,…, FN-1,若
N 1
满足 | f (t ) | ，则称 n0
N 1
i2k n
X (k ) F (fn ) fn eN (k 0 ,1 ,...N 1 )
平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信 号，也就是统计特性(期望与方差）不随时间变化而变化。
sin(2100t) X2 ssiinn((225205tt))
sin(210t)
0t 300 300t 600 600t 800 800t 1000
2 T1
t0T1 t0
f(t)sin(n1t)dt
1.1 连续傅里叶变换
对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为
F() eit f (t)dt
其中 L 1(R ){f(X)| | f(t)|dx
i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为
k 0
为序列{fn}离散傅里叶变换，称
fnN 1K N 1 0X (k)e i2 N kn(k 0 ,1 ,...,N 1 )
为序列{fn}逆离散傅里叶变换
X ( t ) c o s ( 2 1 0 t ) c o s ( 2 2 5 t ) c o s ( 2 5 0 t ) c o s ( 2 1 0 0 t )
小波变换理论与方法
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
一 傅里叶变换
◆ 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)发表的研究热传导理 论的“热的力学分析”,提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数 之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。
◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式 给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。
小波运算的基本步骤：
选择一个小波函数，并将这个小波与要 分析的信号起始点对齐； 计算在这一时刻要分析的信号与小波函 数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C 越大，就意味着此刻信号与所选择的小波 函数波形越相近，如图所示。
将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后 重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆 盖完整个信号长度，如图所示；
cos(524t) t 0.5
傅 里 叶 变 换 图
短 时 傅 里 叶 变 换 图
二 小波变换
小波变换由法国科学家MORLET于1980年在进行 地震数据分析时提出，是强有力的时频分析(处 理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发 展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处 理、图像处理、模式识别等。