(更新版)小波分析原理与操作详解
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小波分析的原理和应用
小波分析的原理和应用1. 小波分析的基本概念小波分析是一种用于信号处理和数据分析的数学工具。
它的核心思想是将信号分解成不同频率的小波成分，以便更好地理解和处理信号。
小波是一种局部化的基函数，具有时频局部化的特点，因此可以更好地描述非平稳和非周期性信号。
2. 小波分析的原理小波分析的原理可以归结为两个关键步骤：小波变换和逆小波变换。
2.1 小波变换小波变换是将信号分解成不同尺度和频率的小波成分的过程。
它通过将信号与小波基函数进行内积运算来完成。
小波基函数可以用于描述信号中不同频率和时间域的特征。
小波变换的计算过程可以通过连续小波变换（CWT）或离散小波变换（DWT）来实现。
CWT适用于连续信号，DWT适用于离散信号。
2.2 逆小波变换逆小波变换是将小波表示的信号重构回原始信号的过程。
逆小波变换可以基于小波系数和小波基函数进行计算。
3. 小波分析的应用领域小波分析在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个主要的应用领域。
3.1 信号处理小波分析在信号处理领域中被广泛应用。
它可以用于信号压缩、滤波器设计、特征提取等方面。
由于小波具有时频局部化的特点，因此可以更好地处理非平稳和非周期信号。
3.2 图像处理小波分析在图像处理中也有重要的应用。
它可以用于图像压缩、图像增强、纹理分析等方面。
小波变换可以提取图像中的局部特征，并通过逆小波变换将处理后的图像重构回原始图像。
3.3 生物医学信号处理小波分析在生物医学信号处理领域起着重要的作用。
例如，可以将小波分析应用于心电信号分析、脑电信号分析等方面。
通过对生物医学信号进行小波变换，可以提取信号中的特征，并用于疾病诊断和监测等应用。
3.4 金融数据分析小波分析在金融数据分析中也有广泛的应用。
它可以用于金融时间序列数据的分析和预测。
通过对金融数据进行小波变换，可以识别出数据中的周期性和趋势性成分，从而帮助分析师做出更准确的预测。
4. 小结小波分析是一种重要的信号处理和数据分析工具。
《小波分析》PPT课件
二进离散点
2k,2kj
(20)
上的取值，因此，小波系数 k , j 实际上是 信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是 小波变换迷人的风采之一：
连续变换和离散变换形式统一； 连续变换和离散变换都适合全体信号；
§2. 小波分析和时-频分析
(Time-Frequency Analysis )
2.1 窗口Fourier变换和Gabor变换
§1.小波和小波变换
(Wavelet and Wavelet Transform)
几点约定:
我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）；
小写x是时间信号，大写是其Fourier变换；
尺度函数总是写成 x（时间域）和 （频率
域）；
小波函数总是写成 x （时间域）和 （ 频率
域）。
1.1 小波(Wavelet)
的，那么公式(2)说明 00，
于是
Rxdx 0
这说明函数 x 有波动的特点，公式(1) 又说明函数 x 有衰减的特点，因此， 称函数 x 为“小波”。
1.2 小波变换(Wavelet Transform)
对于任意的函数或者信号 fxL2R，其
小波变换为
Wf a,bR fxa,bxdx
1 fx xbdx （4）
aR
a
性质
这样定义的小波变换具有下列性质：
Plancherel恒等式：
C Rfxgxd xR 2W fa,bW ga,bda2ad
小波变换的逆变换公式：
（5）
fx1 C
R2Wfa,ba,bxdaa2 db
（6）
性质
吸收公式：当吸收条件
0 2d0 2d （7）
成立时，有吸收的Plancherel恒等式
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
小波分析
一、小波分析基础知识
一、小波分析基础知识
以下是对一个含有噪声信号进行小波 分析的结果：
一、小波分析基础知识
小波变换在分析信号时，其分析窗口大 小固定不变但窗口形状可以变化，是时间窗 和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
一、小波分析基础知识
小波分析在低频部分具有较高的频率分 辨率和较低的时间分辨率；在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，这 正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅 速的特点，所以被誉为是信号分析的数字显 速的特点，所以被誉为是信号分析的数字显 微镜。 微镜。
小波分析 在脉诊研究中的应用
王明三
基础医学院中医诊断教研室
主要内容
一、小波分析基础知识 二、脉象信号的特征 三、运用小波分析研究中医脉象
一、小波分析基础知识
小波分析( 小波分析(Wavelet Analysis )又称小波变 换(Wavelet transform )，是1950年代开始应用， ，是1950年代开始应用， 1980年代发展形成理论体系，1990年代在我 1980年代发展形成理论体系，1990年代在我 国得以广泛研究与应用。所以小波分析是目 前国际前沿领域。
三、运用小波分析研究中医脉象
利用小波分析对紧脉的信号特征进行分 析和提取，并与其相类脉——弦脉的时频特 析和提取，并与其相类脉——弦脉的时频特 征进行了比对，经统计学处理，在精确分类 及与弦弦鉴别方面，结果满意。
三、运用小波分析研究中医脉象
设信号Ｓ的最低频率为０，最高频率为１，则提取的8个频率 成份所代表的频率范围如表所示。
一、小波分析基础知识
进行小波分析时，根据信号的特征和要 提取的信息，选择不同的小波函数和相应的 提取的信息，选择不同的小波函数和相应的 分析尺度，把原始信号变换成不同时频下的 分解信号，进行识别和分析，然后作出精确 的结论。
最新小波分析及其应用PPT课件
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4、离散小波变换的应用
❖ 例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用 sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进 行压缩。
❖ 采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值
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4、离散小波变换的应用
❖ 进行小 波变换 后，对 信号进 行重构 恢复信 号。
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❖ 降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔 一个点选取一个点。
❖ 做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一 半。信号中的数据量也减半。
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❖ 重构算法
A jf( t) 2 h ( t 2 k )A j 1 f( t) g ( t 2 k )D j 1 f( t)
k
k
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❖ 以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变 换。
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2、离散小波变换定义
❖ 定义：
W f( m , n ) f ( t ) ,m （ , n t ) = a 0 m / 2 f ( t )( a 0 m t n b 0 ) d t
❖ 小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波 函数的线性组合。 W f (m , n ) 为小波系数。
压缩）
滤波）
❖ 1、将原始信号进行小 ❖ 1、将原始信号进行小波 波变换，得到小波系数。 变换，得到小波系数。
❖ 2、将系数中足够小的 ❖ 2、将系数中代表高频率
系数去除得到滤噪后数 信号的系数去除，得到的
据。
数据。
❖ 3、用数据对原始信号 ❖ 3、用数据对原始信号进
进行重构。
行重构。
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k
D
j
f
(t
4、离散小波变换的应用
❖ 例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用 sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进 行压缩。
❖ 采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值
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4、离散小波变换的应用
❖ 进行小 波变换 后，对 信号进 行重构 恢复信 号。
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❖ 降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔 一个点选取一个点。
❖ 做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一 半。信号中的数据量也减半。
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❖ 重构算法
A jf( t) 2 h ( t 2 k )A j 1 f( t) g ( t 2 k )D j 1 f( t)
k
k
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❖ 以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变 换。
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2、离散小波变换定义
❖ 定义：
W f( m , n ) f ( t ) ,m （ , n t ) = a 0 m / 2 f ( t )( a 0 m t n b 0 ) d t
❖ 小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波 函数的线性组合。 W f (m , n ) 为小波系数。
压缩）
滤波）
❖ 1、将原始信号进行小 ❖ 1、将原始信号进行小波 波变换，得到小波系数。 变换，得到小波系数。
❖ 2、将系数中足够小的 ❖ 2、将系数中代表高频率
系数去除得到滤噪后数 信号的系数去除，得到的
据。
数据。
❖ 3、用数据对原始信号 ❖ 3、用数据对原始信号进
进行重构。
行重构。
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k
D
j
f
(t
(更新版)小波分析原理与操作详解
小波分析原理与应用 Niu 二哥需要说明的是，从 cerunoff.mat 文件中转到Excel 里的复小波系数，在其实部和虚部中间包含许多“空格”，在计算之前需要先将其去掉。
5. 借助 Suffer 8.0，绘制小波系数实部等值线图 5.1 小波系数实部等值线图的绘制首先，将小波系数实部数据按照图 9 格式排列，其中列 A 为时间，列 B 为尺度，列 C 为不同时间和尺度下所对应的小波系数实部值。
图 9 小波系数实部数据格式其次，将图 9 数据转化成 Suffer 8.0 识别的数据格式。
具体操作为：在 Suffer 8.0 界面下，单击“网格” 菜单下的“数据”按钮，在“打开”窗口选择要打开的文件（小波系数实部 .xls），单击“打开”后弹出“网格化数据”对话框（图 10）。
它给出了多种不同的网格化方法、文件输出路径及网格线索几何学等信息。
这里我们选择“克里格“网格方法”，单击“确定”，完成数据格式的转化。
图 10 小波系数实部数据格式转化图 11 Suffer8.0 中的小系数实部等值线图最后，绘制小波系数实部等值线图。
在 Suffer 8.0 界面下，单击“地图”菜单下的“等值线图-新建等 CUIT 3S 集成 6/9小波分析原理与应用 Niu 二哥值线图”按钮，弹出“打开网格”窗口后，选择“小波系数实部.grd”文件，单击“打开”，完成等值线图的绘制并存盘（图 11）。
5.2 小波系数实部等值线图在多时间尺度分析中的作用小波系数实部等值线图能反映径流序列不同时间尺度的周期变化及其在时间域中的分布，进而能判断在不同时间尺度上，径流的未来变化趋势。
为能比较清楚的说明小波系数实部等值线图在径流多时间尺度分析中的作用，我们利用 Suffer 8.0 对其进一步处理和修 30 饰，得到图 12 显示的小波系数实部等值线图。
其中，横坐 L H H L 标为时间（年份），纵坐标为时间尺度，图中的等值曲线为 25 L 小波系数实部值。
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
小波分析入门
多级分解和重构
小波的多级分解和重构可表示为
这一过程包括两个方面: 信号分解得到小波 系数, 由小波系数重构原信号.
前面我们已讨论过信号的小波分解和重构.
在应用中当然无需将一个信号分解后又重 构其本身. 在进行重构前通常我们要改变小波系数, 获 得我们所需要的重构信号, 进行小波分析的 目的在于获得信号的小波系数,然后进行信 号去噪和压缩等应用. 许多应用仍等待我们去发现.
不难看出滤波器形状越来越接近db2小波, 这表明小波的形状完全由重构滤波器决定.
二者的重要联系说明:
我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小 波分析. 至少当需要对信号进行精确重构时,我们 不能选择任意的小波形状. 我们必须选取由积分 镜像分解滤波器所决定的形状作为小波.
尺度函数-- Scaling Function
相比之下,傅里叶分析的基函数为正弦信号，且在 无限区间内存在。
正弦信号为光滑且可预测，而小波通常为不规则 波形，且非对称。
傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦 波。 与此类似,小波分析将信号分解为不同尺度、 平移的小波。
连续小波变换--CWT
从数学的观点看傅里叶变换
与此类似，小波分析变换公式为 为母小波，C为小波系数，为尺度与位置 的函数。
上面我们看到了小波与镜像积分滤波器的 内部联系. 小波函数由高通滤波器决定, 高 通滤波器也产生小波分解的细节信号. 另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓 的尺度函数, 尺度函数相似于小波函数,决 定于低通镜像积分滤波器, 该滤波器与小波 分解的逼近信号相关. 同样, 通过重复上采样并与高通滤波器进行 卷积可得到小波函数; 重复上采样并与低通 滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状.
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小波分析
原理与应用
Niu 二哥
1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为 π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡， 使分析结果更为准确。 2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键 当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软 件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中 存在的多时间尺度。
二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis)
河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。所 谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变 化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大 尺度的变化周期之中。也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。 表 1 给出了某流域某水文观测站 1966-2004 年的实测径流数据。 试运用小波分析理论， 借助 Matlab6.5、 suffer8.0 和相关软件 （Excel 等） ， 完成下述任务： ⑴计算小波系数； ⑵绘制小波系数图 （实部、 模和模方） 、 小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。 表 1 某流域某水文观测站 1966-2004 年实测径流数据（×10 m ） 年份 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 径流量 1.438 1.151 0.536 1.470 3.476 4.068 2.147 3.931 年份 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 径流量 2.235 4.374 4.219 2.590 3.350 2.540 0.807 0.573 年份 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 径流量 0.774 0.367 0.562 3.040 0.304 0.728 0.492 0.007 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 径流量 1.806 0.449 0.120 0.627 1.658 1.025 0.955 1.341 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 径流量 1.709 0.000 0.000 2.104 0.009 3.177 0.921
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小波分析
原理与应用
Niu 二哥
具体方法为：在 Matlab 6.5 界面的“Command Window”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”， 按 Enter 键弹 “Wavelet Toolbox Main Menu” （小波工具箱主菜单） 界面 （图３） ； 然后单击 “Signal Extension” ， 打开 Signal Extension / Truncation 窗口，单击“File”菜单下的“Load Signal”，选择 runoff.mat 文件单击 “打开”，出现图 4 信号延伸界面。Matlab 6.5 的 Extension Mode 菜单下包含了 6 种基本的延伸方式 （Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT）和 Direction to extend 菜单下的 3 种延伸模式（Both、Left and Right），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。数据延伸的具体操作 过程是：在 Extension Mode 下选择“ Symmetric”，Dircetion to extend 下选择“Both”，单击“Extend” 按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“Save Tranformed Signal”，将延伸后的数据结 果存为 erunoff.mat 文件。 从 erunoff 文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸 12 个单位，向后延伸 13 个单位。
一、小波分析基本原理
1. 小波函数
小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析 的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数 ( t ) L (R ) 且满足：
2
( t )dt 0
（1）
式中， ( t ) 为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：
图 1 数据格式的转化
图 2 数据的保存
2. 边界效应的消除或减小 因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。为消 除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。在进行完小波变换后，去掉两 端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。本例中，我们利用 Matlab 6.5 小波工具箱 中的信号延伸（Signal Extension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。
8 3
分析 1. 选择合适的基小波函数是前提 在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。只有选择了适合具体问题的基 小波函数，才能得到较为理想的结果。目前，可选用的小波函数很多，如 Mexican hat 小波、Haar 小波、 Morlet 小波和 Meyer 小波等。 在本例中， 我们选用 Morlet 连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺 度特征。原因如下： 1.1 径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来 进行此项分析。 1.2 实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相 和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。
3. 小波方差
将小波系数的平方值在 b 域上积分，就可得到小波方差，即
Var (a ) Wf (a, b5)
小波方差随尺度 a 的变化过程，称为小波方差图。由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度 a 的 分布。 因此， 小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度， 即主周期。
三、具体步骤
1. 数据格式的转化 2. 边界效应的消除或减小 3. 计算小波系数 4. 计算复小波系数的实部 5. 绘制小波系数实部等值线图 6. 绘制小波系数模和模方等值线图 7. 绘制小波方差图 8. 绘制主周期趋势图 下面，我们以上题为例，结合软件 Matlab 6.5、Suffer 8.0 和 Excel，详细说明小波系数的计算和各图形 的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。 1. 数据格式的转化和保存 将存放在 Excel 表格里的径流数据 （以时间为序排为一列） 转化为 Matlab 6.5 识别的数据格式 （.mat） 并存盘。 具体操作为：在 Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import”后， 找到需要转化的数据文件 （本例的文件名为 runoff.xls） ， 单击 “打开” 。 等数据转化完成后， 单击 “Finish” ， 出现图 1 显示界面；然后双击图 1 中的 Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对话框，选择 File 文件夹下的 “Save Workspace As”单击，出现图 2 所示的“Save to MAT-File:”窗口，选择存放路径并填写文件名 （runoff.mat），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File”窗口。
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小波分析
原理与应用
Niu 二哥
Wf (a, b) a
-1 / 2
t f(kt) (
k 1
N
kt - b ) a
（4）
由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度 a 来得到信号的低频或高频 信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。 实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时 频变化特征。
图 3 小波工具箱主菜单
图 4 径流时间序列的延伸
3. 计算小波系数 选择 Matlab 6.5 小波工具箱中的 Morlet 复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat）进行小 波变换，计算小波系数并存盘。 小波工具箱主菜单界面见图 3 ，单击“Wavelet 1-D” 下的子菜单 “Complex Continuous Wavelet 1-D” ， 打开一维复连续小波界面， 单击 “File” 菜单下的 “Load Signal” 按钮， 载入径流时间序列 erunoff.mat （图 5） 。 图 5 的左侧为信号显示区域，右侧区域给出了信号序 列和复小波变换的有关信息和参数，主要包括数据长 度 （Data Size） 、 小波函数类型 （Wavelet： cgau、 shan、 fbsp 和 cmor）、取样周期（Sampling Period）、周期 设置（Scale Setting）和运行按钮（Analyze），以及 显示区域的相关显示设置按钮。本例中，我们选择 cmor (1-1.5)、取样周期为 1、最大尺度为 32，单击 “Analyze” 运行按钮， 计算小波系数。 然后单击 “File” 菜 单 下 的 “ Save Coefficients ” ， 保 存 小 波 系 数 为 图 5 小波变换菜单界面 cerunoff.mat 文件。 注意：上面涉及到的数据保存，其格式均为.mat。 4. 计算 Morlet 复小波系数的实部 将复小波系数转存到 Excel 表格，去掉两端延伸数据的小波系数，并计算小波系数实部。 在 Matlab 6.5 界面下的 Workspace 中将 cerunoff.mat 文件导入，然后双击打开，全部复制到 Excel
小波分析
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1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为 π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡， 使分析结果更为准确。 2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键 当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软 件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中 存在的多时间尺度。
二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis)
河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。所 谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变 化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大 尺度的变化周期之中。也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。 表 1 给出了某流域某水文观测站 1966-2004 年的实测径流数据。 试运用小波分析理论， 借助 Matlab6.5、 suffer8.0 和相关软件 （Excel 等） ， 完成下述任务： ⑴计算小波系数； ⑵绘制小波系数图 （实部、 模和模方） 、 小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。 表 1 某流域某水文观测站 1966-2004 年实测径流数据（×10 m ） 年份 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 径流量 1.438 1.151 0.536 1.470 3.476 4.068 2.147 3.931 年份 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 径流量 2.235 4.374 4.219 2.590 3.350 2.540 0.807 0.573 年份 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 径流量 0.774 0.367 0.562 3.040 0.304 0.728 0.492 0.007 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 径流量 1.806 0.449 0.120 0.627 1.658 1.025 0.955 1.341 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 径流量 1.709 0.000 0.000 2.104 0.009 3.177 0.921
CUIT
3S 集成
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小波分析
原理与应用
Niu 二哥
具体方法为：在 Matlab 6.5 界面的“Command Window”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”， 按 Enter 键弹 “Wavelet Toolbox Main Menu” （小波工具箱主菜单） 界面 （图３） ； 然后单击 “Signal Extension” ， 打开 Signal Extension / Truncation 窗口，单击“File”菜单下的“Load Signal”，选择 runoff.mat 文件单击 “打开”，出现图 4 信号延伸界面。Matlab 6.5 的 Extension Mode 菜单下包含了 6 种基本的延伸方式 （Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT）和 Direction to extend 菜单下的 3 种延伸模式（Both、Left and Right），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。数据延伸的具体操作 过程是：在 Extension Mode 下选择“ Symmetric”，Dircetion to extend 下选择“Both”，单击“Extend” 按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“Save Tranformed Signal”，将延伸后的数据结 果存为 erunoff.mat 文件。 从 erunoff 文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸 12 个单位，向后延伸 13 个单位。
一、小波分析基本原理
1. 小波函数
小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析 的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数 ( t ) L (R ) 且满足：
2
( t )dt 0
（1）
式中， ( t ) 为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：
图 1 数据格式的转化
图 2 数据的保存
2. 边界效应的消除或减小 因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。为消 除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。在进行完小波变换后，去掉两 端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。本例中，我们利用 Matlab 6.5 小波工具箱 中的信号延伸（Signal Extension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。
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分析 1. 选择合适的基小波函数是前提 在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。只有选择了适合具体问题的基 小波函数，才能得到较为理想的结果。目前，可选用的小波函数很多，如 Mexican hat 小波、Haar 小波、 Morlet 小波和 Meyer 小波等。 在本例中， 我们选用 Morlet 连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺 度特征。原因如下： 1.1 径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来 进行此项分析。 1.2 实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相 和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。
3. 小波方差
将小波系数的平方值在 b 域上积分，就可得到小波方差，即
Var (a ) Wf (a, b5)
小波方差随尺度 a 的变化过程，称为小波方差图。由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度 a 的 分布。 因此， 小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度， 即主周期。
三、具体步骤
1. 数据格式的转化 2. 边界效应的消除或减小 3. 计算小波系数 4. 计算复小波系数的实部 5. 绘制小波系数实部等值线图 6. 绘制小波系数模和模方等值线图 7. 绘制小波方差图 8. 绘制主周期趋势图 下面，我们以上题为例，结合软件 Matlab 6.5、Suffer 8.0 和 Excel，详细说明小波系数的计算和各图形 的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。 1. 数据格式的转化和保存 将存放在 Excel 表格里的径流数据 （以时间为序排为一列） 转化为 Matlab 6.5 识别的数据格式 （.mat） 并存盘。 具体操作为：在 Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import”后， 找到需要转化的数据文件 （本例的文件名为 runoff.xls） ， 单击 “打开” 。 等数据转化完成后， 单击 “Finish” ， 出现图 1 显示界面；然后双击图 1 中的 Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对话框，选择 File 文件夹下的 “Save Workspace As”单击，出现图 2 所示的“Save to MAT-File:”窗口，选择存放路径并填写文件名 （runoff.mat），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File”窗口。
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小波分析
原理与应用
Niu 二哥
Wf (a, b) a
-1 / 2
t f(kt) (
k 1
N
kt - b ) a
（4）
由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度 a 来得到信号的低频或高频 信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。 实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时 频变化特征。
图 3 小波工具箱主菜单
图 4 径流时间序列的延伸
3. 计算小波系数 选择 Matlab 6.5 小波工具箱中的 Morlet 复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat）进行小 波变换，计算小波系数并存盘。 小波工具箱主菜单界面见图 3 ，单击“Wavelet 1-D” 下的子菜单 “Complex Continuous Wavelet 1-D” ， 打开一维复连续小波界面， 单击 “File” 菜单下的 “Load Signal” 按钮， 载入径流时间序列 erunoff.mat （图 5） 。 图 5 的左侧为信号显示区域，右侧区域给出了信号序 列和复小波变换的有关信息和参数，主要包括数据长 度 （Data Size） 、 小波函数类型 （Wavelet： cgau、 shan、 fbsp 和 cmor）、取样周期（Sampling Period）、周期 设置（Scale Setting）和运行按钮（Analyze），以及 显示区域的相关显示设置按钮。本例中，我们选择 cmor (1-1.5)、取样周期为 1、最大尺度为 32，单击 “Analyze” 运行按钮， 计算小波系数。 然后单击 “File” 菜 单 下 的 “ Save Coefficients ” ， 保 存 小 波 系 数 为 图 5 小波变换菜单界面 cerunoff.mat 文件。 注意：上面涉及到的数据保存，其格式均为.mat。 4. 计算 Morlet 复小波系数的实部 将复小波系数转存到 Excel 表格，去掉两端延伸数据的小波系数，并计算小波系数实部。 在 Matlab 6.5 界面下的 Workspace 中将 cerunoff.mat 文件导入，然后双击打开，全部复制到 Excel