第7章 小波时频分析
如何使用小波变换进行时频分析
如何使用小波变换进行时频分析时频分析是一种用于研究信号在时间和频率上的变化特征的方法。
在许多领域，如信号处理、图像处理、声音处理等，时频分析都扮演着重要的角色。
小波变换作为一种常用的时频分析方法，具有较好的分辨率和局部化特性，被广泛应用于各种领域。
本文将介绍如何使用小波变换进行时频分析。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种将信号分解为不同频率的子信号的方法。
它通过在时间和频率上同时分析信号，可以得到信号在不同时间段和频率段的变化情况。
小波变换的基本原理是将信号与一组小波基函数进行卷积运算，得到小波系数。
不同的小波基函数具有不同的频率和时间特性，可以用来分析不同频率和时间尺度上的信号特征。
二、小波变换的步骤使用小波变换进行时频分析的一般步骤如下：1. 选择合适的小波基函数。
根据信号的特点和需求，选择适合的小波基函数。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
2. 对信号进行小波分解。
将信号与选择的小波基函数进行卷积运算，得到小波系数。
小波系数表示了信号在不同频率和时间尺度上的变化情况。
3. 对小波系数进行阈值处理。
根据信号的特点和需求，对小波系数进行阈值处理，去除噪声或保留感兴趣的信号成分。
4. 对处理后的小波系数进行逆变换。
将处理后的小波系数进行逆变换，得到时域信号。
5. 分析时域信号的特征。
对逆变换得到的时域信号进行分析，得到信号在不同时间段和频率段的变化情况。
三、小波变换的应用小波变换在时频分析中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 信号处理。
小波变换可以用于信号去噪、信号压缩、信号分析等方面。
通过分析信号的小波系数，可以提取信号的特征，实现信号的处理和分析。
2. 图像处理。
小波变换可以用于图像去噪、图像压缩、图像分割等方面。
通过分析图像的小波系数，可以提取图像的纹理和边缘等特征。
3. 声音处理。
小波变换可以用于音频去噪、音频压缩、音频分析等方面。
小波变换的时间频率分布特性分析与应用
小波变换的时间频率分布特性分析与应用小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够提供信号在时间和频率上的局部信息。
本文将探讨小波变换的时间频率分布特性分析与应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法。
它使用一组基函数，称为小波函数，来分析信号的时间和频率特性。
小波函数具有时频局部化的特点，即在时间和频率上具有较好的局部集中性。
二、小波变换的时间频率分布特性小波变换可以提供信号在时间和频率上的局部信息。
通过小波变换，我们可以得到信号在不同时间和频率上的能量分布情况。
这种时间频率分布特性可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，从而进行进一步的信号分析和处理。
三、小波变换的应用领域1. 信号处理：小波变换在信号处理领域有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号去噪、信号压缩等处理操作。
2. 图像处理：小波变换在图像处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，从而实现图像的局部分析和特征提取。
3. 生物医学信号处理：小波变换在生物医学信号处理中有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以对心电图、脑电图等生物医学信号进行时频分析，从而实现疾病的诊断和监测。
4. 语音信号处理：小波变换在语音信号处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以对语音信号进行时频分析，从而实现语音识别、语音合成等处理操作。
四、小波变换的优缺点小波变换作为一种信号处理方法，具有一些优点和缺点。
其优点包括：时频局部化、多尺度分析、适应非平稳信号等；其缺点包括：计算复杂度高、基函数的选择问题等。
五、小波变换的改进方法为了克服小波变换的一些缺点，研究者们提出了一些改进方法。
例如，小波包变换、多小波变换等方法都是对传统小波变换的改进和扩展。
六、结语小波变换作为一种时间频率分析方法，在信号处理领域有着广泛的应用。
通过分析小波变换的时间频率分布特性，我们可以更好地理解信号的时频特性，并且可以应用于信号处理、图像处理、生物医学信号处理、语音信号处理等领域。
小波变换与时频分析方法的比较与选择
小波变换与时频分析方法的比较与选择引言：在信号处理领域，时频分析是一项重要的技术，它可以帮助我们了解信号在时间和频率上的变化规律。
而小波变换作为一种常用的时频分析方法，也备受关注。
本文将对小波变换和其他常见的时频分析方法进行比较，并探讨在不同应用场景下的选择。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种将信号分解成不同尺度和频率的技术。
它通过将信号与一组母小波进行卷积运算，得到不同尺度和频率的分量。
小波变换具有时频局部化的特性，可以较好地捕捉信号的瞬态特征。
二、时频分析方法的分类除了小波变换，时频分析方法还包括傅里叶变换、短时傅里叶变换（STFT）和Wigner-Ville分布等。
这些方法在不同的应用场景下有着各自的优势和局限性。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号分解成频域成分的方法。
它可以精确地得到信号的频谱信息，但无法提供时间信息。
因此，在需要同时获得时间和频率信息的场景下，傅里叶变换并不适用。
2. 短时傅里叶变换（STFT）STFT是一种将信号分解成时频域成分的方法。
它通过将信号分段，并对每个段进行傅里叶变换，得到不同时间段的频谱信息。
STFT可以提供一定的时间和频率分辨率，但对于非平稳信号，其时间和频率分辨率无法同时达到最优。
3. Wigner-Ville分布Wigner-Ville分布是一种时频分析方法，它可以提供较好的时间和频率分辨率。
然而，Wigner-Ville分布的主要缺点是会产生交叉项，使得分析结果难以解释。
三、小波变换与其他时频分析方法的比较小波变换相对于其他时频分析方法具有以下优势：1. 时频局部性：小波变换可以根据信号的局部特征调整分辨率，对信号的瞬态特征有较好的捕捉能力。
2. 多分辨率分析：小波变换可以通过选择不同的小波基函数，实现对不同频率范围的分析，具有多尺度分析的能力。
3. 压缩性：小波变换可以将信号分解成不同尺度和频率的分量，有助于提取信号的重要特征并进行压缩。
然而，小波变换也存在一些限制：1. 选择适当的小波基函数是一个挑战。
如何使用小波变换进行信号频谱分析
如何使用小波变换进行信号频谱分析引言信号频谱分析是一种重要的信号处理技术，可以帮助我们了解信号的频率特性。
在信号处理领域，小波变换是一种常用的方法，可以有效地分析非平稳信号的频谱特性。
本文将介绍小波变换的原理、方法和应用，以及如何使用小波变换进行信号频谱分析。
一、小波变换的原理小波变换是一种时频分析方法，通过将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数，来描述信号的时频特性。
小波基函数是一组具有局部性质的函数，可以在时域和频域上进行精确的定位。
小波变换的核心思想是将信号分解成不同频率的小波系数，然后通过对小波系数的分析，得到信号的频谱特性。
二、小波变换的方法小波变换有多种方法，常用的有连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是对信号进行连续的尺度和平移变换，可以得到连续的小波系数。
离散小波变换是对信号进行离散的尺度和平移变换，可以得到离散的小波系数。
在实际应用中，离散小波变换更为常用，因为它具有计算效率高、实现简单等优点。
三、小波变换的应用小波变换在信号处理领域有广泛的应用，其中之一就是信号频谱分析。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号在不同频率上的能量分布情况，进而分析信号的频谱特性。
小波变换还可以用于信号去噪、边缘检测、特征提取等方面的应用。
例如，在音频处理中，可以使用小波变换来分析音频信号的频谱特性，从而实现音频的降噪和音乐特征提取等功能。
四、使用小波变换进行信号频谱分析的步骤1. 选择合适的小波基函数：小波基函数的选择是进行小波变换的关键，不同的小波基函数适用于不同类型的信号。
常用的小波基函数有Daubechies小波、Haar小波等。
根据信号的特点选择合适的小波基函数。
2. 进行小波分解：将待分析的信号进行小波分解，得到信号在不同频率上的小波系数。
小波分解可以使用离散小波变换进行，得到离散的小波系数。
3. 分析小波系数：对小波系数进行分析，可以得到信号在不同频率上的能量分布情况。
利用小波变换进行时频分析的基本原理和实例
利用小波变换进行时频分析的基本原理和实例小波变换的时频分析思想傅里叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分。
对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于从事信号的奇异性检测的人来说，傅里叶变换就失去了意义(包括加窗付立叶变换)。
因为我们要找的是信号的奇异点(时域方面)和奇异点处所包含的频带(频域方面)也就是说需要一种时频分析方法。
当然能有纯时域的分析方法更好！(据说数学形态学能达到这种效果)。
小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的“小”。
因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多。
时频分析的基本原理1. 需要用到的小波工具箱中的三个函数COEFS = cwt(S, SCALES, 'wname')说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES 为尺度，wname为小波名称，COEFS为进行连续小波变换后返回的系数矩阵。
FREQ = centfrq('wname')说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。
F = scal2frq(A,'wname',DELTA)说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname 为小波名称，DELTA为采样周期。
注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅matlab的帮助文档。
2. 尺度与频率之间的关系设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为：显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2Fc,inf)，其中inf表示为无穷大；在实际应用中，只需取尺度足够大即可。
3. 尺度序列的确定由上式可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列，尺度序列必须取为以下形式：其中，totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长度(通常需要预先设定好)，c为一常数。
下面讲讲c的求法：尺度c/totalscal所对应的实际频率应为fs/2，于是可得：将其代入到尺度序列既可。
利用小波变换进行时频分析的方法与步骤
利用小波变换进行时频分析的方法与步骤时频分析是一种将信号在时间和频率上进行联合分析的方法，可以揭示信号的时变特性和频域特征。
而小波变换是一种非平稳信号分析的有效工具，具有良好的时频局部化特性。
本文将介绍利用小波变换进行时频分析的方法与步骤。
一、小波变换的原理和基本概念小波变换是一种将信号分解成不同频率的子信号，并通过缩放和平移小波函数来实现的。
小波函数具有局部化特性，可以在时间和频率上同时提供较好的分辨率。
小波变换的基本概念包括小波基函数、尺度和平移。
小波基函数是一组用于分析信号的基本函数，常用的小波基函数有Morlet小波、Haar小波等。
尺度表示小波函数的频率特性，尺度越大，频率越低；平移表示小波函数在时间上的位置。
二、小波变换的步骤1. 选择合适的小波基函数：根据信号的特点和需求，选择适合的小波基函数。
不同的小波基函数对信号的分析效果有所差异，因此选择合适的小波基函数对于时频分析的准确性至关重要。
2. 进行小波分解：将待分析的信号进行小波分解，得到不同尺度和平移下的小波系数。
小波分解可以通过快速小波变换（Fast Wavelet Transform）等算法来实现。
3. 选择合适的分解层数：分解层数的选择决定了时频分析的精度和分辨率。
较浅的分解层数可以提供较粗糙的时频分析结果，而较深的分解层数可以提供更详细的时频信息。
根据信号的特点和需求，选择合适的分解层数。
4. 重构信号：根据小波系数，进行小波重构，得到时频分析的结果。
小波重构可以通过逆小波变换来实现，逆小波变换是小波分解的逆过程。
5. 分析时频特性：利用重构的信号进行时频分析，可以得到信号在不同时间和频率上的能量分布。
常用的时频分析方法包括小波包分析、短时傅里叶变换等。
三、小波变换的应用领域小波变换在信号处理领域有广泛的应用。
其中，时频分析是小波变换的重要应用之一。
时频分析可以用于音频信号处理、图像处理、振动信号分析等领域。
1. 音频信号处理：小波变换可以用于音频信号的时频分析，可以提取音频信号的谱线轮廓、共振峰等特征，用于音频信号的压缩、降噪等处理。
小波变换与时频分析的关系与比较
小波变换与时频分析的关系与比较时频分析是一种常用的信号处理方法，用于研究信号在时间和频率上的特性变化。
而小波变换则是一种数学工具，可以将信号分解成不同尺度的成分，从而更好地理解信号的局部特性。
本文将探讨小波变换与时频分析之间的关系与比较。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法。
它采用一组称为小波基函数的函数族，通过与信号进行内积运算，将信号分解成不同频率和时间尺度的成分。
小波基函数具有局部性和可调节性的特点，可以更好地适应信号的局部特性。
二、时频分析的基本原理时频分析是一种通过研究信号在时间和频率上的特性变化，来揭示信号的时域和频域特性的方法。
时频分析方法有很多种，常见的有短时傅里叶变换（STFT）、Wigner-Ville分布（WVD）和Cohen类分布等。
这些方法都是通过对信号进行时域和频域的联合分析，来得到信号的时频特性。
三、小波变换与时频分析的关系小波变换与时频分析都是用来研究信号的时域和频域特性的方法，它们之间存在一定的关系。
小波变换可以看作是时频分析的一种特殊形式，它通过将信号分解成不同尺度的成分，实现了对信号的时频分析。
而时频分析方法则是通过对信号在时间和频率上的特性变化进行联合分析，来得到信号的时频特性。
可以说，小波变换是一种更加灵活和可调节的时频分析方法。
四、小波变换与时频分析的比较虽然小波变换和时频分析都可以用来研究信号的时频特性，但它们在某些方面有所不同。
1. 分辨率：小波变换具有可调节的分辨率，可以根据需要选择不同的小波基函数，从而实现对信号的局部特性进行更精细的分析。
而时频分析方法的分辨率通常是固定的，无法根据需要进行调节。
2. 窗宽效应：时频分析方法通常采用窗函数来实现对信号的局部分析，但窗函数的选择会引入窗宽效应，导致时频分辨率的折衷。
而小波变换通过选择不同尺度的小波基函数，可以避免窗宽效应的问题。
3. 计算复杂度：小波变换的计算复杂度较高，特别是在高分辨率时频分析中，计算量更大。
小波变换与信号的时频分析
小波变换与信号的时频分析
小波变换（Wavelet Transform）是一种在统计学、信号处
理等领域中使用的一种时频分析技术，它可以将复杂的信号分解，并用基于时间的小波函数来表示这些分解的信号。
小波变换可以更好地提取信号的时频特征，并且可以帮助我们更好地理解信号的特点。
小波变换是一种基于小波函数的时频分析技术，它可以将原始信号进行分解，并用小波函数来表示分解的信号。
这种分解的信号可以用来表示信号的时频特征，并且可以更好地提取信号的特征。
小波变换的原理是基于小波函数，它可以将一个信号按照时间和频率进行分解，提取其时频特征，最终得到一系列小波系数，用来表示信号的时频特征。
小波变换的优点在于它可以将信号分解成若干个小波系数，这些小波系数可以表示信号的时频特征，从而可以更好地提取信号的特征。
小波变换在信号处理领域中有广泛的应用，它可以用来提取信号的时频特征，更好地理解信号的特点，从而进行信号处理。
同时，它也可以用来检测信号中的噪声，从而达到降噪的目的。
总之，小波变换是一种基于小波函数的时频分析技术，它可以将复杂的信号分解，并用基于时间的小波函数来表示这些分解的信号，以更好地提取信号的时频特征。
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2
3
2
4
3
3
0
4
3
ˆ ()
Dmeyer小波
Dmeyer小波即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似， 用于快速离散小波变换。
Waveinfo(‘dmey’)
DMEYINFO Information on "Discrete" Meyer wavelet.
Battle-Lemarie线性样条小波 （绘制程序）
function Wav = AF1(w,t0) t=-t0:0.01:t0; if(w==0)
Wav = 1; else Wav = -16./w./w.*(sin(w./4))^4.*sqrt((1+2.*(sin(w./4))^2./(12./3.*(sin(w./4))^2)./(3-8.*(sin(w./4))^2+8.*(sin(w./4))^4))).*exp(i.*w.*t)./2./pi; end subplot(1,2,1); Ingegl1 = quadv(@(w)AF1(w,4),-450,450); plot([-4:0.01:4],Ingegl1);
w=linspace(-50,50,2^10); Wav = real(-16./w./w.*(sin(w./4)).^4.*sqrt((1+2.*(sin(w./4)).^2./(12./3.*(sin(w./4)).^2)./(3-8.*(sin(w./4)).^2+8.*(sin(w./4)).^4))).*exp(-1./2.*i.*w)); subplot(122) plot(w,Wav);
Wf b1,b2
f x, y 2 j
2 j x b1 , 2 j y b2 dxdy
当 a 2 j , b1 al, b2 am;l, m Z 时，得出二维 离散小波变换：
Wf j,l, m 2 j
wavemngr('read')
• Haar • Daubechies • Symlets • Coiflets • BiorSplines • ReverseBior • Meyer • DMeyer • Gaussian • Mexican_hat • Morlet • Complex Gaussian • Shannon • Frequency B-Spline • Complex Morlet
10. 二进样条小波
在第9章介绍。
11.Symlet (symN)小波 Symlet小波函数是Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是 对db函数的一种改进。 Symlets小波系通常表示为 symN(N=2,3,…,8)
12. Coiflet (coifN)小波 根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了Coiflet小波，它具有 CoifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。 Coiflet的小波函数的2N阶矩 为零，尺度函数的2N-1阶矩为零。其小波函数与尺度函数的支撑 长度为6N-1, 具有比dbN更好的对称性。
t c 1 t 1 , 0 （衰减性）
允许条件是保证正、逆小波变换存在的条件。
f (t) 1
c
1 a2
WT f
(a, b)
a,b
(t)dadb
f (t) 2 1
c
1
2
a2 WTf (a, b) dadb
"Discrete" Meyer Wavelet
Definition: FIR based approximation of the Meyer Wavelet.
Family Short name
DMeyer dmey
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support yes
5 16
,
3 4
,
3 16
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
Bior2.4
双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。
4. Morlet小波
(t) et2 / e2 i0t
ˆ () 2 e(0)2 /2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
第7章 小波时频分析
孙延奎 清华大学计算机科学与技术系
内容
小波及连续小波变换
常用的基本小波 线性时频分析
窗口傅立叶变换 小波变换 S变换
二次时频分析
频谱图 量图 WVD
希尔伯特-黄变换 同步挤压小波变换 同步挤压S小波变换
小波及连续小波变换
设函数 tL1(R)
p2
4q2 16q2
1 4
p3
4q22 q2 2 8q2
q0 1 2q2
q1
1 2
~
pn 2 hn , qn 2hn
h
1 2
1
8
,
1 2
,
3 4
,
1 2
,
1
8
h
1 2
3 16
,
3 4
,
5 16
,
5 2
,
在Matlab中， morlet 小波的定义为
(t) et2/2 cos5t 问 ˆ () ?
Morlet小波
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
t2
1 2 2 e 2 1/ 4
t g t eit
1, 5
L2(R) ，并且 ˆ (0) 0 ，即
(t)dt 0
，则称 (t) 为一个基本小波或母小波。
a,b (t)
1 (t b)
aa
a,b R a 0
(连续)小波函数
a和b的意义
a,b (t)
2 2
(t)
2 2
WTf (a,b)
1 a
f (t) (t b)dt
DWT
possible
CWT
possible
8. Shannon小波
t
sin
t
1/ 2 t
sin 2
1/ 2
t
1/
2
ˆ
ei
/
2
1,
0,
2
其它
t
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的， 具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有 好的局部化特性。
1
4
8
3
3
0
2 3
8 ,
3
vt t4 35 84t 70t2 20t3 t 0,1
t
2
1 2
ˆ
2
1
2
cos
v
3
1
2 2
a
f , a,b
WTf (a,b)
1 a
f (t) (t b)dt a 1/2
a
f a
b
a t a 1 * t / a
连续小波变换
在实际工程应用中,常假设a>0. 在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算。
连续卷积的定义:h f (t) h u f t u du f u h t u du
线性时频分析
• 时频分析的必要性 • 常用的时频分析方法
Gabor变换 短时傅里叶变换 连续小波变换 S-变换
时频分析的基本思想
• 时频分析旨在构造一种时间和频率的联合密度函数，以揭 示信号中所包含的频率分量及其演化特性。时频分析实际 上是将一维的时间信号映射到时频（或时间尺度）二维空 间，可以很好地表示出信号的频率成分随时间的变化规律 ，而这恰是非平稳信号分析所需要的。
常用的基本小波
1. Haar小波
1
(t)
1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
ˆ () i 4 ei /2 sin2 / 4
1 (t)
01
1
2
1
2. Daubechies小波
D4尺度函数与小波
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器
bior2.2, bior4.4
（7-5）小波滤波器:
p0
4q2 8q2
3 2
p1
4q22 5q2 1 8q2 2
f x, y