第06章 信号的时频分析2——小波变换
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小波变换的时间频率分布特性分析与应用
小波变换的时间频率分布特性分析与应用小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够提供信号在时间和频率上的局部信息。
本文将探讨小波变换的时间频率分布特性分析与应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法。
它使用一组基函数，称为小波函数，来分析信号的时间和频率特性。
小波函数具有时频局部化的特点，即在时间和频率上具有较好的局部集中性。
二、小波变换的时间频率分布特性小波变换可以提供信号在时间和频率上的局部信息。
通过小波变换，我们可以得到信号在不同时间和频率上的能量分布情况。
这种时间频率分布特性可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，从而进行进一步的信号分析和处理。
三、小波变换的应用领域1. 信号处理：小波变换在信号处理领域有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号去噪、信号压缩等处理操作。
2. 图像处理：小波变换在图像处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，从而实现图像的局部分析和特征提取。
3. 生物医学信号处理：小波变换在生物医学信号处理中有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以对心电图、脑电图等生物医学信号进行时频分析，从而实现疾病的诊断和监测。
4. 语音信号处理：小波变换在语音信号处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以对语音信号进行时频分析，从而实现语音识别、语音合成等处理操作。
四、小波变换的优缺点小波变换作为一种信号处理方法，具有一些优点和缺点。
其优点包括：时频局部化、多尺度分析、适应非平稳信号等；其缺点包括：计算复杂度高、基函数的选择问题等。
五、小波变换的改进方法为了克服小波变换的一些缺点，研究者们提出了一些改进方法。
例如，小波包变换、多小波变换等方法都是对传统小波变换的改进和扩展。
六、结语小波变换作为一种时间频率分析方法，在信号处理领域有着广泛的应用。
通过分析小波变换的时间频率分布特性，我们可以更好地理解信号的时频特性，并且可以应用于信号处理、图像处理、生物医学信号处理、语音信号处理等领域。
一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件
定理及傅里叶变换的性
质）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明（ Weyl ）：假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性，只证明该
t
定理对 u 0时成立。
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
第六章小波分析基础ppt课件
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
信号的时频分析与小波分析
其受序列x的长度限制，且必须为正整
数。
实验六 信号的时频分析与小波分析
(4) 离散小波反变换函数idwt实现一维信号单级离散小波反变换，小波 名称以及DWT延拓模式都可以设定。其是函数dwt的逆运算，调用格式为：
x = idwt(cA, cD, 'wname') x = idwt(cA, cD, 'wname',L)
返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
与10 小波分析 0
-10 0
10
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 De-noisedsignal-SoftSURE
0
-10 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
实验思考 题
DFT、STFT和小波分析的实质是什 么？有何区别和联系？
lev=5;
% 利用soft SURE阈值规则去噪
xd1= wden(xn, 'heursure', 's', 'one', lev, 'sym8');
信号的时频分析与小波分析PPT
(2) 离散小波变换函数dwt实现一维信号单级离散小波变换。 小波名称以及DWT延拓模式都可以设定。
其调用格式为： [cA,cD] = dwt(x, 'wname') [cA,cD] = dwt(x, 'wname', 'mode', MODE) 返回变量cA：信号DWT对应的近似(Approximation)展开系数 cJ [k ] 返回变量cD：信号离散小波变换对应的细节(Detail)展开系数 d J [k] 调用参数x：表示信号序列，相当于 cJ1[k] 调用参数wname：表示小波名称，参见函数wfilters 调用参数MODE：表示信号DWT延拓模式。
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
8
实验六 信号的时频分析与小波分析
(6) 函数wden实现一维信号的去噪，小波名称以及阈值都可以设定。 调用格式为
[XD, CXD, LXD] = wden(x, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') [XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') 返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
其调用格式为： [cA,cD] = dwt(x, 'wname') [cA,cD] = dwt(x, 'wname', 'mode', MODE) 返回变量cA：信号DWT对应的近似(Approximation)展开系数 cJ [k ] 返回变量cD：信号离散小波变换对应的细节(Detail)展开系数 d J [k] 调用参数x：表示信号序列，相当于 cJ1[k] 调用参数wname：表示小波名称，参见函数wfilters 调用参数MODE：表示信号DWT延拓模式。
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
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实验六 信号的时频分析与小波分析
(6) 函数wden实现一维信号的去噪，小波名称以及阈值都可以设定。 调用格式为
[XD, CXD, LXD] = wden(x, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') [XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') 返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
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b?
23
§6.4.2 小波变换的基本理念
24
§6.4.2 小波变换的基本理念
25
§6.4.2 小波变换的基本理念
(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始 点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度， 即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择 的小波函数波形越相近，如图所示。
18
§6.4.1 函数的表示方法
傅立叶变换的几个基函数
短时傅立叶变换的几个基函数
小波变换的几个基函数
19
§6.4.1 函数的表示方法
FT、STFT、WT之比较
20
§6.4.2 小波变换的基本理念
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特 性。 2 1 定义：设 L L 且 ( 0 ) 0 ，即给定一个基本函数 ( t ) ， 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数族：
30
§6.4.2 小波变换的基本理念
如果小波函数 t 的傅立叶变换 ( ) 满足容许条件
c
ˆ d
2
则小波变换是可逆的，且具有如下重构公式（小波反变换）
1 x t C
t b dadb {WT x ( b , a )}.{ ( )} 2 a a a R2 1
34
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1) 时间-尺度图
35
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1)时间-尺度图
W f ( a, b)
|a|
1
xb f ( x) dx a
36
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Harr小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数 集，其定义是： (t )
1 (t ) 1 0 0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
1/ 2
0
( t 1)
2
( t ) 的傅里叶变换是：
0
(t / 2 )
多 分 辨 率 分 析
3
时频分析回顾
FFT
FFT
FFT
4
时频分析回顾
5
时频分析回顾
短时傅立叶变换(STFT)的概念:
S T F T x ( t , ) x ( ) g * ( t ) e j d x ( ), g ( t ) e j
9
§6.4.1 函数的表示方法
(1) 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家 Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新 的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得 到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分 支——傅立叶分析。 • 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函 数之和，叫做傅立叶展开式。 • 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分 辨率，这意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不 能确定这些频率出现在什么时候。
c
（1）紧支性 1 由 L 可知
ˆ d
( t ) dt
即 ( t )具有衰减性。 （2）波动性 由允许性条件可知
(t ) dt 0
即 ( t )均值为0，具有波动性，同时也具有带通性。
它必然具有正负交替的振荡波形，“小波”（Wavelet）由此得名。
换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好
的时频分析方法。
15
§6.4.1 函数的表示方法
(4) 1980: Morlet提出了CWT
• CWT (continuous wavelet transform)
• 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
2
4 2 ( ) j sin ( ) e j / 2 a
0
37
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Mexican hat小波
2 1/ 4 2 t 2 / 2 (t ) (1 t ) e 3
26
§6.4.2 小波变换的基本理念
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步 骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长 度，如图所示；
27
§6.4.2 小波变换的基本理念
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、 (2)、(3)，如图所示；
8
时频分析回顾
苏轼名句“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同”蕴涵了信号处 理的本质。从不同的角度观测信 号将会得到不同的信息。只有观 测位置得当，才能看到信号的庐 山真面目。
傅立叶变换、短时傅立叶变
换和小波变换的本质区别就是信 号观测角度和观测方法的不同， 这种不同无疑是以基函数的结构 和特点为标志的。
机械工程与应用电子技术学院
现代测试信号分析与处理 (Advanced Signal Analysis and Processing)
胥永刚/张建宇
北京市先进制造技术重点实验室
Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology
1
讲授提纲
1
2 3 4 5 6
16
§6.4.1 函数的表示方法
但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家 Yves Meyer构造出平方可积空间L2的规范正交基——二进制伸 缩平移系，小波才得到数学界的认可。 1987年正在读硕士的Stephane Mallat将自己熟悉的图像 处理的塔式算法引入小波分析，提出多分辨分析的概念和构造 正交小波的快速算法——Mallat算法。
33
§6.4.2 小波变换的基本理念
生理学研究表明，人类感觉（包括视觉、听觉）的生理过 程机制与小波分析颇有类似之处。举例来说，对听觉起关键作 用的耳蜗内基底膜，其作用就相当于一组建立在薄膜振动基础 上的恒带通频率分析器。正因为如此，小波分析现在已广泛地 应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。
12
§6.4.1 函数的表示方法
(3) 1945: Gabor提出STFT
• 虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据 处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图 像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非 常广泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位 的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分 析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。
6
时频分析回顾
STFT的频率分辨率 f STFT的时间分辨率 t
(f )
2
f G( f ) df G( f ) df
2 2 2
(t )
2
t g (t ) dt g (t ) dt
2 2 2
Ω2 Ω1
G t1 , 1 v
G t 2 , 2 v
g t1 , 1
a下与待分析信号x(t)作内积：
WTx a, 1 t x t dt xt , a , t a a
a0
CWT
镜头 推进 方向
以较高频 率作分析
，
以较低频 率作分析 平移方向
22
§6.4.2 小波变换的基本理念
可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分
10
§6.4.1 函数的表示方法
11
§6.4.1 函数的表示方法
(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
• 哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。 • 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets • 他最早发现和使用了小波。
辨的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看到了树木 （信号细节），能精确地在时间-频率（时间-尺度）平面内刻
画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。 尺度因子a与频率相对应，时移因子b与时间对应。 当 a 取大于1的值时，
a,b t 为展宽小波，
当 a 取小于1的值时，
a,b t 为缩窄小波。
0
2
当其经过尺度伸缩后，其品质因数
a ,b
2 ˆ a 2 ˆ 带宽 0 中心频率 a
即带宽与中心频率的比与中心频率的位置无关，这样的 适配带通滤波器称为“常数- Q 滤波”。这样，小波基函数 作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，是一组频率 特性等 Q 的带通滤波器组。
17
§6.4.1 函数的表示方法
1988年法国女科学家Inrid Daubechies构造出具有紧支集 的正交小波基——Daubechies小波。 1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建 忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数——样条小波。1992 年Daubechies在美国费城举行的 CBMS-NFN应用数学大会上 作了著名的《小波十讲, Ten Lectures on Wavelets》报告，掀 起了学习与应用小波的高潮。 1994年Wim Swelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新 的小波构造方法——提升模式(lifting scheme)，也叫第二代小波 或整数小波变换。
23
§6.4.2 小波变换的基本理念
24
§6.4.2 小波变换的基本理念
25
§6.4.2 小波变换的基本理念
(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始 点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度， 即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择 的小波函数波形越相近，如图所示。
18
§6.4.1 函数的表示方法
傅立叶变换的几个基函数
短时傅立叶变换的几个基函数
小波变换的几个基函数
19
§6.4.1 函数的表示方法
FT、STFT、WT之比较
20
§6.4.2 小波变换的基本理念
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特 性。 2 1 定义：设 L L 且 ( 0 ) 0 ，即给定一个基本函数 ( t ) ， 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数族：
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§6.4.2 小波变换的基本理念
如果小波函数 t 的傅立叶变换 ( ) 满足容许条件
c
ˆ d
2
则小波变换是可逆的，且具有如下重构公式（小波反变换）
1 x t C
t b dadb {WT x ( b , a )}.{ ( )} 2 a a a R2 1
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§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1) 时间-尺度图
35
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1)时间-尺度图
W f ( a, b)
|a|
1
xb f ( x) dx a
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§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Harr小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数 集，其定义是： (t )
1 (t ) 1 0 0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
1/ 2
0
( t 1)
2
( t ) 的傅里叶变换是：
0
(t / 2 )
多 分 辨 率 分 析
3
时频分析回顾
FFT
FFT
FFT
4
时频分析回顾
5
时频分析回顾
短时傅立叶变换(STFT)的概念:
S T F T x ( t , ) x ( ) g * ( t ) e j d x ( ), g ( t ) e j
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§6.4.1 函数的表示方法
(1) 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家 Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新 的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得 到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分 支——傅立叶分析。 • 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函 数之和，叫做傅立叶展开式。 • 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分 辨率，这意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不 能确定这些频率出现在什么时候。
c
（1）紧支性 1 由 L 可知
ˆ d
( t ) dt
即 ( t )具有衰减性。 （2）波动性 由允许性条件可知
(t ) dt 0
即 ( t )均值为0，具有波动性，同时也具有带通性。
它必然具有正负交替的振荡波形，“小波”（Wavelet）由此得名。
换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好
的时频分析方法。
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§6.4.1 函数的表示方法
(4) 1980: Morlet提出了CWT
• CWT (continuous wavelet transform)
• 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
2
4 2 ( ) j sin ( ) e j / 2 a
0
37
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Mexican hat小波
2 1/ 4 2 t 2 / 2 (t ) (1 t ) e 3
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§6.4.2 小波变换的基本理念
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步 骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长 度，如图所示；
27
§6.4.2 小波变换的基本理念
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、 (2)、(3)，如图所示；
8
时频分析回顾
苏轼名句“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同”蕴涵了信号处 理的本质。从不同的角度观测信 号将会得到不同的信息。只有观 测位置得当，才能看到信号的庐 山真面目。
傅立叶变换、短时傅立叶变
换和小波变换的本质区别就是信 号观测角度和观测方法的不同， 这种不同无疑是以基函数的结构 和特点为标志的。
机械工程与应用电子技术学院
现代测试信号分析与处理 (Advanced Signal Analysis and Processing)
胥永刚/张建宇
北京市先进制造技术重点实验室
Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology
1
讲授提纲
1
2 3 4 5 6
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§6.4.1 函数的表示方法
但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家 Yves Meyer构造出平方可积空间L2的规范正交基——二进制伸 缩平移系，小波才得到数学界的认可。 1987年正在读硕士的Stephane Mallat将自己熟悉的图像 处理的塔式算法引入小波分析，提出多分辨分析的概念和构造 正交小波的快速算法——Mallat算法。
33
§6.4.2 小波变换的基本理念
生理学研究表明，人类感觉（包括视觉、听觉）的生理过 程机制与小波分析颇有类似之处。举例来说，对听觉起关键作 用的耳蜗内基底膜，其作用就相当于一组建立在薄膜振动基础 上的恒带通频率分析器。正因为如此，小波分析现在已广泛地 应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。
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§6.4.1 函数的表示方法
(3) 1945: Gabor提出STFT
• 虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据 处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图 像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非 常广泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位 的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分 析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。
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时频分析回顾
STFT的频率分辨率 f STFT的时间分辨率 t
(f )
2
f G( f ) df G( f ) df
2 2 2
(t )
2
t g (t ) dt g (t ) dt
2 2 2
Ω2 Ω1
G t1 , 1 v
G t 2 , 2 v
g t1 , 1
a下与待分析信号x(t)作内积：
WTx a, 1 t x t dt xt , a , t a a
a0
CWT
镜头 推进 方向
以较高频 率作分析
，
以较低频 率作分析 平移方向
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§6.4.2 小波变换的基本理念
可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分
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§6.4.1 函数的表示方法
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§6.4.1 函数的表示方法
(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
• 哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。 • 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets • 他最早发现和使用了小波。
辨的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看到了树木 （信号细节），能精确地在时间-频率（时间-尺度）平面内刻
画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。 尺度因子a与频率相对应，时移因子b与时间对应。 当 a 取大于1的值时，
a,b t 为展宽小波，
当 a 取小于1的值时，
a,b t 为缩窄小波。
0
2
当其经过尺度伸缩后，其品质因数
a ,b
2 ˆ a 2 ˆ 带宽 0 中心频率 a
即带宽与中心频率的比与中心频率的位置无关，这样的 适配带通滤波器称为“常数- Q 滤波”。这样，小波基函数 作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，是一组频率 特性等 Q 的带通滤波器组。
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§6.4.1 函数的表示方法
1988年法国女科学家Inrid Daubechies构造出具有紧支集 的正交小波基——Daubechies小波。 1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建 忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数——样条小波。1992 年Daubechies在美国费城举行的 CBMS-NFN应用数学大会上 作了著名的《小波十讲, Ten Lectures on Wavelets》报告，掀 起了学习与应用小波的高潮。 1994年Wim Swelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新 的小波构造方法——提升模式(lifting scheme)，也叫第二代小波 或整数小波变换。