课程作业-杭电研究生-小波变换—时频分析
如何使用小波变换进行时频分析
如何使用小波变换进行时频分析时频分析是一种用于研究信号在时间和频率上的变化特征的方法。
在许多领域，如信号处理、图像处理、声音处理等，时频分析都扮演着重要的角色。
小波变换作为一种常用的时频分析方法，具有较好的分辨率和局部化特性，被广泛应用于各种领域。
本文将介绍如何使用小波变换进行时频分析。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种将信号分解为不同频率的子信号的方法。
它通过在时间和频率上同时分析信号，可以得到信号在不同时间段和频率段的变化情况。
小波变换的基本原理是将信号与一组小波基函数进行卷积运算，得到小波系数。
不同的小波基函数具有不同的频率和时间特性，可以用来分析不同频率和时间尺度上的信号特征。
二、小波变换的步骤使用小波变换进行时频分析的一般步骤如下：1. 选择合适的小波基函数。
根据信号的特点和需求，选择适合的小波基函数。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
2. 对信号进行小波分解。
将信号与选择的小波基函数进行卷积运算，得到小波系数。
小波系数表示了信号在不同频率和时间尺度上的变化情况。
3. 对小波系数进行阈值处理。
根据信号的特点和需求，对小波系数进行阈值处理，去除噪声或保留感兴趣的信号成分。
4. 对处理后的小波系数进行逆变换。
将处理后的小波系数进行逆变换，得到时域信号。
5. 分析时域信号的特征。
对逆变换得到的时域信号进行分析，得到信号在不同时间段和频率段的变化情况。
三、小波变换的应用小波变换在时频分析中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 信号处理。
小波变换可以用于信号去噪、信号压缩、信号分析等方面。
通过分析信号的小波系数，可以提取信号的特征，实现信号的处理和分析。
2. 图像处理。
小波变换可以用于图像去噪、图像压缩、图像分割等方面。
通过分析图像的小波系数，可以提取图像的纹理和边缘等特征。
3. 声音处理。
小波变换可以用于音频去噪、音频压缩、音频分析等方面。
小波变换的时间频率分布特性分析与应用
小波变换的时间频率分布特性分析与应用小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够提供信号在时间和频率上的局部信息。
本文将探讨小波变换的时间频率分布特性分析与应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法。
它使用一组基函数，称为小波函数，来分析信号的时间和频率特性。
小波函数具有时频局部化的特点，即在时间和频率上具有较好的局部集中性。
二、小波变换的时间频率分布特性小波变换可以提供信号在时间和频率上的局部信息。
通过小波变换，我们可以得到信号在不同时间和频率上的能量分布情况。
这种时间频率分布特性可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，从而进行进一步的信号分析和处理。
三、小波变换的应用领域1. 信号处理：小波变换在信号处理领域有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号去噪、信号压缩等处理操作。
2. 图像处理：小波变换在图像处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，从而实现图像的局部分析和特征提取。
3. 生物医学信号处理：小波变换在生物医学信号处理中有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以对心电图、脑电图等生物医学信号进行时频分析，从而实现疾病的诊断和监测。
4. 语音信号处理：小波变换在语音信号处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以对语音信号进行时频分析，从而实现语音识别、语音合成等处理操作。
四、小波变换的优缺点小波变换作为一种信号处理方法，具有一些优点和缺点。
其优点包括：时频局部化、多尺度分析、适应非平稳信号等；其缺点包括：计算复杂度高、基函数的选择问题等。
五、小波变换的改进方法为了克服小波变换的一些缺点，研究者们提出了一些改进方法。
例如，小波包变换、多小波变换等方法都是对传统小波变换的改进和扩展。
六、结语小波变换作为一种时间频率分析方法，在信号处理领域有着广泛的应用。
通过分析小波变换的时间频率分布特性，我们可以更好地理解信号的时频特性，并且可以应用于信号处理、图像处理、生物医学信号处理、语音信号处理等领域。
时频分析与连续小波变换
从滤波的观点看
4.5 子波变换与短时傅里叶变换的比较
例：信号
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满足此件的子波称为容许小波。
（4-2）
3
正则性条件 频域表示
（4-3）
01
02
01
重构核
02
（4-4a）
03
（4-4b）
重构（建）核方程
子波变换的时频窗特性 4.3.1 时窗 中心 令 半窗宽
4.3.2 频窗
中心
半窗宽
4子波变换的工程理解
系统响应 将 看成是输入某系统的信号，该系统的单位脉冲响应为
第4章 时频分析与连续小波变换
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4.1.1 非平稳信号的时变特征与傅里叶变换的局限性
时频特征与时频分析
鲸鱼鸣叫的声信号
4.1 非平稳信号与时频分析
滑动轴承的干摩擦信号
傅里叶变换的局限性
例1：
例2：
2短时傅里叶变换STFT
4.2.1 定义 式中： —时移步长； —窗函数； —积分核； —表示 的复共轭。
4.2.2 STFT的时频特性及其局限性
01
窗口参数表示 如果窗函数 ，且
01
窗中（重）心
01
窗半径
Heisenberg 不确定性 不失一般性，设 ， ，则
故
1
2
自适应时频窗特性
4.3 连续小（子）波变换
4.3.1 定义 具有有限能量的函数 的子波变换定义为 以函数族 为积分核的积分变换
小波变换与时频分析方法的比较与选择
小波变换与时频分析方法的比较与选择引言：在信号处理领域，时频分析是一项重要的技术，它可以帮助我们了解信号在时间和频率上的变化规律。
而小波变换作为一种常用的时频分析方法，也备受关注。
本文将对小波变换和其他常见的时频分析方法进行比较，并探讨在不同应用场景下的选择。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种将信号分解成不同尺度和频率的技术。
它通过将信号与一组母小波进行卷积运算，得到不同尺度和频率的分量。
小波变换具有时频局部化的特性，可以较好地捕捉信号的瞬态特征。
二、时频分析方法的分类除了小波变换，时频分析方法还包括傅里叶变换、短时傅里叶变换（STFT）和Wigner-Ville分布等。
这些方法在不同的应用场景下有着各自的优势和局限性。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号分解成频域成分的方法。
它可以精确地得到信号的频谱信息，但无法提供时间信息。
因此，在需要同时获得时间和频率信息的场景下，傅里叶变换并不适用。
2. 短时傅里叶变换（STFT）STFT是一种将信号分解成时频域成分的方法。
它通过将信号分段，并对每个段进行傅里叶变换，得到不同时间段的频谱信息。
STFT可以提供一定的时间和频率分辨率，但对于非平稳信号，其时间和频率分辨率无法同时达到最优。
3. Wigner-Ville分布Wigner-Ville分布是一种时频分析方法，它可以提供较好的时间和频率分辨率。
然而，Wigner-Ville分布的主要缺点是会产生交叉项，使得分析结果难以解释。
三、小波变换与其他时频分析方法的比较小波变换相对于其他时频分析方法具有以下优势：1. 时频局部性：小波变换可以根据信号的局部特征调整分辨率，对信号的瞬态特征有较好的捕捉能力。
2. 多分辨率分析：小波变换可以通过选择不同的小波基函数，实现对不同频率范围的分析，具有多尺度分析的能力。
3. 压缩性：小波变换可以将信号分解成不同尺度和频率的分量，有助于提取信号的重要特征并进行压缩。
然而，小波变换也存在一些限制：1. 选择适当的小波基函数是一个挑战。
利用小波变换进行时频分析的基本原理和实例
利用小波变换进行时频分析的基本原理和实例小波变换的时频分析思想傅里叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分。
对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于从事信号的奇异性检测的人来说，傅里叶变换就失去了意义(包括加窗付立叶变换)。
因为我们要找的是信号的奇异点(时域方面)和奇异点处所包含的频带(频域方面)也就是说需要一种时频分析方法。
当然能有纯时域的分析方法更好！(据说数学形态学能达到这种效果)。
小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的“小”。
因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多。
时频分析的基本原理1. 需要用到的小波工具箱中的三个函数COEFS = cwt(S, SCALES, 'wname')说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES 为尺度，wname为小波名称，COEFS为进行连续小波变换后返回的系数矩阵。
FREQ = centfrq('wname')说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。
F = scal2frq(A,'wname',DELTA)说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname 为小波名称，DELTA为采样周期。
注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅matlab的帮助文档。
2. 尺度与频率之间的关系设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率Fa为：显然，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2Fc,inf)，其中inf表示为无穷大；在实际应用中，只需取尺度足够大即可。
3. 尺度序列的确定由上式可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列，尺度序列必须取为以下形式：其中，totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长度(通常需要预先设定好)，c为一常数。
下面讲讲c的求法：尺度c/totalscal所对应的实际频率应为fs/2，于是可得：将其代入到尺度序列既可。
小波变换的时频分析及其在实际中的应用
小波变换的时频分析及其在实际中的应用徐博尧;杨刚;李欣欣【摘要】由于小波变换自身的特性,它非常适合对非平稳和时变信号进行分析及处理.本文介绍了小波变换的时频分析,具体将小波变换应用于几个非平稳及时变信号的处理,并将小波变换和其他信号时频分析方法做了比较,得出了小波变换的优势和适用特点,最后给出了小波变换应用于信号去噪的例子.【期刊名称】《中国传媒大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(018)002【总页数】6页(P79-83,59)【关键词】小波变换;时频分析;小波去噪【作者】徐博尧;杨刚;李欣欣【作者单位】中国传媒大学,北京100024;中国传媒大学,北京100024;中国传媒大学,北京100024【正文语种】中文【中图分类】TN911.71 引言在信号分析与系统设计中，Fourier分析得到广泛应用。
在分析方法上，根据信号的时域抽样定理和频域抽样定理，可以将两种信号的Fourier变换的计算转换为有限长序列的离散Fourier变换的计算。
从而可以从数值上实现对信号的与系统的频域分析。
随着科学技术的发展和应用领域的扩展，需要对非平稳信号和事变信号进行分析研究，以期获取信号在不同瞬间对应的频谱分布，从而了解信号的频率和能量随时间变化的规律。
但是在利用傅里叶变换分析这些突变信号的时候，无法有效的反映信号在某些瞬间的突变。
因为在信号的Fourier变换中，反映的是信号的总体平均信息，信号频谱中的任一频率分量都是对信号整个时域定义区间上的Fourier积分或求和，信号在时域上某些瞬间的突变，在信号的频谱上虽然有所反映，但是一般并不明显。
此外，即使能够计算出信号的频谱，但由于信号的瞬间突变而发生了改变，也无法从信号的频谱中确定信号在时域的突变时刻，即在信号的Fourier变换中，无法反映信号的时间特性。
时频分析实际上是将一维的时间信号映射到二维的时间尺度上，以便看清在细小时间内信号频率的变化，这对于非平稳和时变信号来讲是非常有用的。
利用小波变换进行时频分析的方法与步骤
利用小波变换进行时频分析的方法与步骤时频分析是一种将信号在时间和频率上进行联合分析的方法，可以揭示信号的时变特性和频域特征。
而小波变换是一种非平稳信号分析的有效工具，具有良好的时频局部化特性。
本文将介绍利用小波变换进行时频分析的方法与步骤。
一、小波变换的原理和基本概念小波变换是一种将信号分解成不同频率的子信号，并通过缩放和平移小波函数来实现的。
小波函数具有局部化特性，可以在时间和频率上同时提供较好的分辨率。
小波变换的基本概念包括小波基函数、尺度和平移。
小波基函数是一组用于分析信号的基本函数，常用的小波基函数有Morlet小波、Haar小波等。
尺度表示小波函数的频率特性，尺度越大，频率越低；平移表示小波函数在时间上的位置。
二、小波变换的步骤1. 选择合适的小波基函数：根据信号的特点和需求，选择适合的小波基函数。
不同的小波基函数对信号的分析效果有所差异，因此选择合适的小波基函数对于时频分析的准确性至关重要。
2. 进行小波分解：将待分析的信号进行小波分解，得到不同尺度和平移下的小波系数。
小波分解可以通过快速小波变换（Fast Wavelet Transform）等算法来实现。
3. 选择合适的分解层数：分解层数的选择决定了时频分析的精度和分辨率。
较浅的分解层数可以提供较粗糙的时频分析结果，而较深的分解层数可以提供更详细的时频信息。
根据信号的特点和需求，选择合适的分解层数。
4. 重构信号：根据小波系数，进行小波重构，得到时频分析的结果。
小波重构可以通过逆小波变换来实现，逆小波变换是小波分解的逆过程。
5. 分析时频特性：利用重构的信号进行时频分析，可以得到信号在不同时间和频率上的能量分布。
常用的时频分析方法包括小波包分析、短时傅里叶变换等。
三、小波变换的应用领域小波变换在信号处理领域有广泛的应用。
其中，时频分析是小波变换的重要应用之一。
时频分析可以用于音频信号处理、图像处理、振动信号分析等领域。
1. 音频信号处理：小波变换可以用于音频信号的时频分析，可以提取音频信号的谱线轮廓、共振峰等特征，用于音频信号的压缩、降噪等处理。
【实用】时频分析与小波变换PPT文档
Wx (t, )
1
2
X ( / 2)X *( / 2) e j td
信号 x(t) 和 y(t) 的联合 Wigner-Ville 分布定义为
Wx, y (t, )
1
2
X ( / 2)Y *( / 2) e j td
Wigner-Ville分布的性质
(1) 实值性，即信号 x(t) 的自 Wigner-Ville 分布是 t 和的实函数：
一个著名的例子就是 Dirac 引入的 (t) 函数，时间上的点脉冲在 频域上具有正负无限伸展的均匀频谱。因此，信号 x(t) 和频谱 X ( ) 彼 此是整体刻画，不能反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于信 号的局部分析。
例8-1
两个频率突变信号及其频谱。这两个信号均是由两种频率分量 sin(8 t) 和 sin(16 t) 组成，但两个频率分量在两个信号中出现的顺序 不同。对于信号 1，频率分量 sin(8 t) 和 sin(16 t) 分别占信号持续过 程的前一半和后一半，信号 2 则正好相反，频率分量 sin(16 t) 占信号 持续过程的前一半，后一半为 sin(8 t) 。对比两个信号的频谱可以看 出，不同的时间过程却对应着相同的频谱，这说明仅采用频谱不能区 分这两个信号。
8.2 小波变换
8.2.1 空间与基的概念 8.2.2 连续小波变换 8.2.3 离散小波变换 8.2.4 多分辨率分析 8.2.5 小波变换的应用
8.1 时频分析
8.1.1 概述
对于给定信号 x(t) ， t ，如果 x(t)满足 Dirichlet 条件， 且绝对可积，则 x(t)的 Fourier 变换及其逆变换存在
MATLAB提供了计算谱图的函数spectrogram， 其调用格式为：
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一、高斯调幅的线性调频脉冲信号sig 在取窗函数好h=1时的时频联合分布
clear close all clc %产生非平稳信号
sig=real(amgauss(128).*fmlin(128)); %%时域波形
figure(1) plot(sig,'LineWidth',2); xlabel('时间 t'); ylabel('幅值 A');
%设置窗函数
h=1;
%计算短时傅立叶变换
[tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h); %时频表示
figure(2) contour(t,f(1:128),abs(tfr));
xlabel('时间 t');
ylabel('频率 f')；
二、同一信号在同一窗函数但不同窗长度时的短时傅立叶变换和Gabor 变换的时频分布图 clear close all clc %产生非平稳信号
%%暂态信号1
sig1=real(amgauss(128,45).*fmconst(128,0.25,45)); %%暂态信号2 sig2=real(amgauss(128,85).*fmconst(128,0.25,85)); sig=sig1+sig2; %时域波形
figure(1) plot(sig,'LineWidth',2); xlabel('时间 t');
ylabel('幅值 A'); %设置窗函数1
h1=window(@hamming,65); %计算短时傅立叶变换
sig=hilbert(sig);
[tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h1);
%短时傅立叶变换时频表示
figure(2); contour(t,2*f(1:128),abs(tfr)); xlabel('时间 t');
ylabel('频率 f');
%gabor 变换的时频表示
[tfr,dgr,gam]=tfrgabor(sig,64,32,h1); figure(3);
tfrgabor(sig,64,32,h1);
xlabel('Time [s]'); ylabel('Frequency [Hz]');
%设置窗函数2
h2=window(@hamming,17); %计算短时傅立叶变换
[tfr,t,f]=tfrstft(sig,1:128,128,h2); %短时傅立叶变换时频表示
figure(4)
contour(t,2*f(1:128),abs(tfr)); xlabel('时间t');
ylabel('频率f');
%gabor变换的时频表示
[tfr,dgr,gam]=tfrgabor(sig,64,32,h2); figure(5);
tfrgabor(sig,64,32,h2);
xlabel('Time [s]');
ylabel 'Frequency [Hz]')
两窗口下短时傅立叶变换的时频分布图
两窗口下Gabor变换的时频分布图
由仿真结果可知，当窗口变小时，分辨率变大；同一窗口下的STFT比Gabor 变换效果要好。