第二章 时频分析与连续小波变换
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
《信号分析与处理》ch08时频分析与小波变换 教学课件
瞬时相关函数表示信号在瞬时相关域(t,τ)的瞬时相关程度。x(t)与y(t)的瞬时互相 关函数的定义式为
3.Wigner-Ville (维格纳-维尔)分布
对于随机信号，瞬时相关函数只要在上述定义式右边取均值即可。 信号x(t)的自Wigner分布的定义为其瞬时相关函数关于滞后τ的傅里叶变换：
其中，x为信号序列;window 为选用的窗函数(如果window 是一个整数，则序列 将x分成长度等于 window 长度的片段，并采用汉明窗;如果window 是一个向量 ，则将序列x分成长度等于window长度的片段，并采用向量window确定的窗函数 );noverlap 为信号片段之间的重叠长度:nm为FFT的数据长度;s 为采样频率，默 认值为1Hz。此外，还可以使用spectrogram(...reqloc)的句法来控制频率轴的 显示freqloc的值可以为“xaxis”或“yaxis”即x轴和y轴中的一个为频率轴，另 一个为时间轴。默认x轴是频率轴。
2.短时傅里叶变换(STFT)
式(8-11)实际上就是一个M点离散傅里叶变换(DFT)若窗函数g(n)的窗口宽度正好 也是M点，则式(8-11)可写成
在应用中，若g(n)的窗口宽度小于M，则可采用补零的方法使其长度变为M;若g(n) 的窗口宽度大于M，则应增大M，使之等于窗函数的宽度。
2.短时傅里叶变换(STFT)
Ville 分布。Wigner-Ville分布形式简单，并具有一系列良好性质，是应用十分广
泛的时频分布。
信号x(t)的Wigner-Ville分布也可以用信号的频谱定义为
信号x(t)和y(t)的联合Wigner-Ville分布的定义式为
MATLAB中的时频分析方法与小波变换
MATLAB中的时频分析方法与小波变换引言时频分析是一种将信号在时间和频率域上进行联合分析的方法。
在很多实际应用中，信号的频谱随时间的变化是非常重要的信息。
为了从信号中获得这种信息，人们已经开发了许多时频分析方法。
在MATLAB中，有许多工具和函数可以用于实现时频分析，其中小波变换是最常用和有效的方法之一。
本文将介绍MATLAB 中的时频分析方法和小波变换的原理以及如何在MATLAB中实现时频分析。
一、时频分析的概述时频分析是一种联合分析信号在时间和频率域上的方法。
传统的傅里叶变换只能提供信号的频谱信息，不能提供信号的时间信息。
而时频分析方法可以通过将信号分解为一系列窄带频率分量，在时间和频率上进行联合分析，从而获得信号的时频信息。
时频分析主要用途包括：信号处理、通信系统、音乐分析和地震学等领域。
在信号处理领域中，时频分析可以用来分析非平稳信号，在图像处理领域中，可以用于提取图像的纹理特征。
在音频处理领域中，时频分析可以用来分析不同乐器的音色特征。
在地震学领域中，时频分析可以用来分析地震信号的频谱和震级。
二、时频分析的方法时频分析方法有很多种。
常用的时频分析方法包括：短时傅里叶变换(STFT)、维纳-辛钦（Wigner-Ville）分布、光谱平均、希尔伯特-黄变换(HHT)等。
这些方法在不同的应用场景中有不同的适用性和性能。
在MATLAB中，有许多工具和函数可以用于实现时频分析。
其中，smallft函数可以用于计算信号的短时傅里叶变换。
spectrogram函数可以用于计算信号的谱图。
wvd函数可以用于计算信号的维纳-辛钦分布。
这些函数都可以通过设置一些参数来调整分析的精度和效果。
三、小波变换的原理小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的方法。
小波基函数是带有局部特征的小波函数，通常在时域上具有紧凑支持和带通特性。
小波变换可以将信号分解为不同频率、不同时间的小波系数，从而实现时频分析。
小波变换具有许多优点，例如可以提供更好的时频局部化能力、提取信号中的瞬态特征和边缘信息等。
连续小波变换
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
信号的时频分析与小波分析
其受序列x的长度限制，且必须为正整
数。
实验六 信号的时频分析与小波分析
(4) 离散小波反变换函数idwt实现一维信号单级离散小波反变换，小波 名称以及DWT延拓模式都可以设定。其是函数dwt的逆运算，调用格式为：
x = idwt(cA, cD, 'wname') x = idwt(cA, cD, 'wname',L)
返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
与10 小波分析 0
-10 0
10
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 De-noisedsignal-SoftSURE
0
-10 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
实验思考 题
DFT、STFT和小波分析的实质是什 么？有何区别和联系？
lev=5;
% 利用soft SURE阈值规则去噪
xd1= wden(xn, 'heursure', 's', 'one', lev, 'sym8');
第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2
证明： （课后练习） 提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选 择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗 函数已经是最好的结果了． 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上． 低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率 范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频 率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自 动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出 的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中，时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
小波变换的数学基础及原理解析
小波变换的数学基础及原理解析小波变换是一种信号分析方法，可以将信号分解成不同频率的小波成分，从而揭示信号的局部特征。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将从数学基础和原理解析两个方面来介绍小波变换。
一、数学基础小波变换的数学基础主要包括信号的时频分析和小波函数的定义。
在时频分析中，我们希望能够同时观察到信号的时域特征和频域特征。
然而，传统的傅里叶变换只能提供信号的频域信息，无法提供时域信息。
小波变换通过引入尺度参数，可以在时频域上同时进行分析。
小波函数是小波变换的基础，它是一种特殊的函数形式。
与傅里叶变换中的正弦函数和余弦函数不同，小波函数具有局部化的特点，即在时域上具有有限长度。
这种局部化的特性使得小波函数能够更好地描述信号的局部特征。
二、原理解析小波变换的原理可以通过连续小波变换和离散小波变换来解析。
连续小波变换是将信号与小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的小波系数。
离散小波变换是连续小波变换的离散形式，通过对信号进行采样和离散化，得到离散的小波系数。
在连续小波变换中，小波函数是一个连续的函数，可以用于对连续信号的分析。
而在离散小波变换中，小波函数是一个离散的序列，可以用于对离散信号的分析。
离散小波变换通过多级滤波和下采样的方式来实现信号的分解和重构。
小波变换的核心思想是多尺度分析，即对信号进行多次分解，每次分解都将信号分解成低频部分和高频部分。
低频部分包含信号的整体特征，高频部分包含信号的细节特征。
通过不断分解和重构，可以得到信号在不同尺度上的小波系数，从而揭示信号的局部特征。
小波变换还具有一些重要的性质，如平移不变性、尺度不变性和能量守恒性。
平移不变性表示信号的平移对小波系数没有影响；尺度不变性表示信号的尺度变化对小波系数的影响是可逆的；能量守恒性表示信号的能量在小波分解和重构过程中是守恒的。
三、应用领域小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
第2讲 连续小波变换
现在用连续小波变换来处理同样的信号。 % 连续小波变换 figure % 用 db3 小波作母小波函数（如下图形） ，尺度 a 分别为 1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3. coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); figure % 连续小波变换的三维图形 coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); 下方左图是右图的俯视图。
Ylabel('幅值'); Xlabel('时间'); title('原始信号'); y=fft(f,1024); % DFT 有 1024 个采样点 p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度'); ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值 subplot(322);plot(ff,p(1:512)); Ylabel('功率谱密度'); Xlabel('频率'); title('信号功率谱图');
* *
是 的 Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。
2.1.5 定理 乘积 2t 2 是一个不依赖于 a 和 b 的常数。 证明：事实上， a , b 与 有相同的 L2 范数：
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1 (t0 ) 2
b
b
ˆ i n exp(it )d 0. f 0
1 b ˆ 因为：f (t ) f exp i t t0 exp(it0 )d , 2 b 将 exp(i (t t0 ))展开成无穷级数有： 1 [i (t t0 )]n f (t ) n! 2 n 0 这与f 0矛盾。
DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号 变换公式:
1 x ( n) 2
2
X (e
j
)e
jn
d
X (e )
j
n
x ( n )e
jn
DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号 变换公式:
x[n] 1 ak N
1 x(t ) 2
X ( j )e
jt
d
CFS: 连续时间傅里叶级数
适用信号:连续时间周期信号 变换公式:
x(t )
k
a e
k
jk0t
k
a e
k
jk ( 2 / T ) t
1 1 jk0t jk ( 2 / T ) t ak x(t )e dt x(t )e dt TT TT
定理:时频不能同时有限长
ˆ 不能在某区间上为0； 如果f (t) 0是紧支撑的，则f ˆ ( ) 0是紧支撑的，则f (t )也不能在某区间上为零。 类似地，如果f 证明（前半部分）： 1 b ˆ ˆ 设f 的支集为[b, b], 则：f (t ) f exp(it )d . b 2 如果t [c, d ]时f (t ) 0, 则在点t0 (c d ) / 2处将上式两边微分n次得到： f
时频原子的分辨率受如下两个结论限制:
Heisenberg测不准原理 不存在同时具有时限和频限的时频原子
(t ) 的时频结构：时频局部化的定量描述 时频原子
设
F ˆ ( )， (t )的4个时频参数为： (t ) 1, (t )
u t (t ) dt : (t )的时域能量分布中心 .......... ......... 均值时间
如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根 据(1)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)在该邻域的值有关。 如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围, 根据(2)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值 有关。
“最高的时频分辨率 ”
如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时 刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变 换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个 频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。 问题:上述时频原子存在否?
概述 定义 性质 实现
傅里叶分析概述
傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 它是一个全局的分析。 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI 系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变 系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域 相乘运算。 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。
小波时频原子
特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；
线性时频变换
Tf ( ) f ,
f (t ) (t )dt..................(1)
*
1 2
：参数集
Hale Waihona Puke * ˆ ˆ f ( ) ( )d........(2)
线性时频变换的时频局部化
2 t2
2
tf (t ) dt
'
2
fˆ d
2
1
4 f
tf (t ) dt
f (t ) dt..... （Parseval定 理 及 傅 里 叶 变 换 的质 性）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t2
1 f
连续时间傅立叶变换 CTFT
离散时间傅立叶变换 DTFT
连续、非周期 连续、非周期
x(t ) X ( j) X ( jt ) 2 x()
x(n) X (e )
离散、非周期 连续、周期
j
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
ˆ ( ) f
b
b
ˆ n exp(it )d 0. f 0
时频能量密度
P f (u , ) f , u , (t )
2
f (t ) (t )dt
* u ,
2
它度量了信号的能量在以 (u , ) 为中心的时频邻域内的分布。
傅里叶变换(分析)的定义
•根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： •CTFT: •CFS: 连续时间傅里叶变换 连续时间傅里叶级数
•DTFT： 离散时间傅里叶变换 •DFS： 离散时间傅里叶级数
CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号 变换公式:
X ( j ) x(t )e jt dt
Heisenberg测不准原理结论
2 t2
1 4
b ( t u ) 2
当且仅当f (t ) ae
eit时等号成立
证明（ Weyl） ： 假 定 lim 1 2 f
4
t 2
t f (t ) 0, 不 失 一 般 性 ， 只 证 明定 该理 对 u 0时 成 立 。
为了分析信号中时变的频率结构，需要引入 一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和 小波变换就是其中的代表。 短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用 了不同的时频原子
不同时频原子具有不同的时频特性。
时频原子
时频原子的基本概念 线性时频变换的定义 时频原子的时频局部化描述 Heisenberg测不准原理 时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度
再 考 虑 到 许 瓦 兹 不 等成 式立 的 条 件 ， 有 ： 存b, 在 使得： f ' (t ) 2btf (t ) 进一步推出存在 C , 使 得f (t ) a exp(bt 2（ ) 得证）
时频不可能同时有限长
尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在 某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是 不成立的。
连续、周期 离散、非周期
1 2 Ak X ( j k ) T T
DTFT j
离散时间傅立叶级数 DFS 1 x(n) Ak An x(k )
N
离散、周期 离散、周期
2 j k 1 Ak X (e N ) N
x(n) X (e )
CFS X (e jt ) x(k )
2
2 t 2
ˆ( ) d : (t )的频域能量分布中心 .......... ....... 均值频率
2 2
2
( ) (t u ) (t ) dt : (t )的时域能量分布范围 ...... 时宽
ˆ ( ) d : (t )的频域能量分布范围 ( ) (t ) ...频宽
k N
jk0 n a e k
k N
jk ( 2 / N ) n a e k
n N
x[n]e
jk0n
1 N
n N
jk ( 2 / N ) n x [ n ] e
四种傅里叶变换的关系:
连续时间傅立叶级数 CFS
x(t ) Ak
2 2
可以用 (u , )为中心，时宽为 t ( ),频宽为 ( )
的时频盒：heisenberg box定量表示 (t )的时频分辨率。
Heisenberg-box示例：
有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题： 根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于1/2； 在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没 有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能 量集中的位置和区域。
F F ˆ e jt0 f (t ) f 0
t F ˆ s f ( ) s f s F ˆ f ( p ) (t ) ( j ) p f
傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律
从频率分析角度看： 傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。 从信号奇异性分析角度看:
4
[
tf ' (t ) f * (t ) dt]2
2 1 t ' [ f (t ) f * (t ) f '* (t ) f (t )]dt 4 2 f
2 1 2 t ( f (t ) )' dt 1 / 4(考 虑 到 lim t f (t ) 0, 再 由 分 部 积 分 ) 4 t 4 f
f (t )e
it
dt
1 f (t ) 2