第二章时频分析与连续小波变换优秀课件
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小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
连续小波变换
0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2
2 2 R
证明： （课后练习） 提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选 择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗 函数已经是最好的结果了． 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上． 低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率 范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频 率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自 动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出 的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中，时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
证明： （课后练习） 提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选 择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗 函数已经是最好的结果了． 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上． 低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率 范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频 率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自 动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出 的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中，时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
信号的时频分析与小波分析PPT
(2) 离散小波变换函数dwt实现一维信号单级离散小波变换。 小波名称以及DWT延拓模式都可以设定。
其调用格式为： [cA,cD] = dwt(x, 'wname') [cA,cD] = dwt(x, 'wname', 'mode', MODE) 返回变量cA：信号DWT对应的近似(Approximation)展开系数 cJ [k ] 返回变量cD：信号离散小波变换对应的细节(Detail)展开系数 d J [k] 调用参数x：表示信号序列，相当于 cJ1[k] 调用参数wname：表示小波名称，参见函数wfilters 调用参数MODE：表示信号DWT延拓模式。
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
8
实验六 信号的时频分析与小波分析
(6) 函数wden实现一维信号的去噪，小波名称以及阈值都可以设定。 调用格式为
[XD, CXD, LXD] = wden(x, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') [XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') 返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
其调用格式为： [cA,cD] = dwt(x, 'wname') [cA,cD] = dwt(x, 'wname', 'mode', MODE) 返回变量cA：信号DWT对应的近似(Approximation)展开系数 cJ [k ] 返回变量cD：信号离散小波变换对应的细节(Detail)展开系数 d J [k] 调用参数x：表示信号序列，相当于 cJ1[k] 调用参数wname：表示小波名称，参见函数wfilters 调用参数MODE：表示信号DWT延拓模式。
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
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实验六 信号的时频分析与小波分析
(6) 函数wden实现一维信号的去噪，小波名称以及阈值都可以设定。 调用格式为
[XD, CXD, LXD] = wden(x, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') [XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') 返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
小波变换原理与应用PPT课件
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足
，这就导致了小波分析。精选ppt
7
2.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
(0) (x)dx0
精选ppt
10
3.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
与信号的初始段进行比较 ； ➢ 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度
下的小波与所对应的信号段的相似程度）； ➢ 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个
步骤完成一次分析； ➢ 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； ➢ 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
精选ppt
A x ( t)2 x ( t), m ,n ( t) 2 B x ( t)2 A ,B R
m ,n
x(t) Cm,n m,n(t) nZ
精选ppt
29
3.小波变换的基本原理与性质
正交小波变换与多分辨分析
多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论 。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随 着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这 就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍 然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中， Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构 造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基 函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论 。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造 统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。
小波变换理论与方法ppt课件
R
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
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cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
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主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
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3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
小波变换简介PPT课件
[H,V,D] = detcoef2 ('all',C,S,N) returns the horizontal H, vertical V, and diagonal D detail coefficients at level N.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
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傅里叶变换的快速算法：FFT
1965年库利和图基提出FFT算法
FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS 的一种快速算法.
FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程 中的应用.
二、联合时频分析 联合时频分析引入的动机：
具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见： 语音/音频信号 颜色变化的光线 雷达信号 地震信号
CFS: 连续时间傅里叶级数
适用信号:连续时间周期信号 变换公式:
x(t)
akejk0t
a ejk(2/T)t k
k
k
ak
1 TT
x(t)ejk0td
t1 TT
x(t)ejk(2/T)td
t
DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号 变换公式:
x(n)212X(ej)ejnd
第二章时频分析与 连续小波变换
时频联姻(Time Meets Frequency)
傅里叶分析回顾 联合时频分析的基本原理 短时傅里叶分析:STFT 连续小波变换:CWT 时频分析的应用
瞬时频率 基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测 本章小结
一、傅里叶分析回顾
概述 定义 性质 实现
傅里叶分析概述
X(ej) x(n)ejn n
DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号 变换公式:
x[n]
akejk0n
aejk(2/N)n k
k N
k N
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
Nn N
Nn N
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。
傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：
定理：如果信号f (t)的傅里叶变换fˆ()满足：
fˆ() (1 p)d ，
则:f (t)是有界的，并且f (t)具有p阶导数。
推论:如果存在常数K及
0使得：fˆ()
1
K
p1
，
则:f (t)具有p阶导数。
傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 ▪ 它是一个全局的分析。 ▪ 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI
系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变 系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域 相乘运算。 ▪ 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。
傅里叶变换(分析)的定义
离 散 时 间 傅 立 叶 变 换 D T F T
x(t) X( j)
X( jt) 2x()
连续、非周 连期续、非周期
x(n)X(ej)
离散、非周 连期续、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
时频原子基本概念
时频原子
具有时频局部化特性的基本信号分析单元
短时傅里叶时频原子
(t)gu,(t)g(tu)eit
小波时频原子
(t)u,s(t)1stsu
特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；
短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；
小波原子是通过平移和伸缩得到的。
线性时频变换
Tf () f ,
为了分析信号中时变的频率结构，需要引入 一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和 小波变换就是其中的代表。
短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用 了不同的时频原子
不同时频原子具有不同的时频特性。
时频原子
时频原子的基本概念 线性时频变换的定义 时频原子的时频局部化描述
Heisenberg测不准原理 时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
f 1 ( t ) f 2 ( t ) F
1 2
fˆ1 * fˆ 2 ( )
f ( t t 0 ) F f e j t 0
e j t 0 f ( t ) F fˆ 0
x(t) Ak
连续、周离 期散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期离 散 、 周 期
Ak
1 T
X(
j
2
T
k)
x(n) D T FX T(ej) X(ejt) C F Sx(k)
Ak
1 N
j 2 k
X(e N )
连 续 时 间 傅 立 叶 变 换 C T F T
f ( t ) F s fˆ s
s
f ( p ) ( t ) F ( j ) p fˆ
傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律
从频率分析角度看： 傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。
从信号奇异性分析角度看:
傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息：
不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点 上的奇异性（局部的变化）…..然而,小波变换可以做到这一点。
……
1946年,Dennis Gabor(1971年 Nobel奖获得者) :
“迄今为止，通信理论的基础一 直是信号分析的两种方法组成的： 一种将信号号描述成时间的函数， 另一种将信号描述成频率的函数 （Fourier分析）。这两种方法 都是理想化的……。然而，我们 每一天的经历－特别是我们的听 觉－却一直是用时间和频率来描 述的。”
•根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： •CTFT: 连续时间傅里叶变换 •CFS: 连续时间傅里叶级数 •DTFT： 离散时间傅里叶变换 •DFS： 离散时间傅里叶级数
CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号 变换公式:
X(j) x(t)ejtdt
x(t)21
X(j)ejtd
f
(t)*(t)dt..................(1)
1
2
fˆ()ˆ*()d........(2)
：参数集
线性时频变换的时频局部化
如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根 据(1)式,则 Tf仅( )与信号f(t)在该邻域的值有关。
如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围,根 据(2)式,则 仅Tf与( )信号f(t)的频谱在该邻域的值有关。