(完整word版)小波变换课件第1章Haar小波
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
小波变换课件
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
添加标题
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添加标题
添加标题
图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
小波变换简介PPT课件
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
自适应压缩
在此添加您的文本16字
小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
第1章Haar小波分析
{a
0,0
, d 0,0 ,L , d n ,0 , L , d n ,2n 1
}
是
{a
n +1,0
, an +1,1 ,L , an +1,2n+1 1 的小波变换.
}
fn+1的多分辨逼近表示: f0,f1,……,fn 称 {V j ; j = 0,1, L} 为由Haar尺度函数
A1 D1
a0
d0
Dn 2
快速小波变换(FWT)的计算复杂度为O(N)
1.5 小波变换的快速计算 例1.2 (P14)
f (t ) = 4φ2,0 (t ) 2φ2,1 (t ) + φ2,2 (t ) + 3φ2,3 (t )
f (t ) = 4φ2,0 (t ) 2φ2,1 (t ) + φ2,2 (t ) + 3φ2,3 (t ) = 3φ0,0 (t ) ψ 0,0 (t ) + 3 2ψ 1,0 (t ) 2ψ 1,1 (t )
1 1 φ1,0 (t ) φ1,1 (t ) 2 2
1.5 小波变换的快速计算 作用: 不同分辨率下的小波函数及尺度函数具有相同的能量.
f (t ) = an 1,0φn 1,0 (t ) + L + an 1,2n1 1φn 1,2n1 1 (t ) + d n 1,0ψ n1,0 (t ) + L + d n 1,2n1 1ψ n1,2n1 1 (t )
对无限序列:
( a b) n =
k=-∞
∑ab
∞
k nk
(a b)[n] = ∑ a[k ]b[n k ]
小波变换基础以及haar小波共47页PPT资料
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
连续小波变换：
W f(a ,b )f ,a ,b |1 a | f(t)(t a b )d, ta 0
连续小波反变换：
f(t)1
C
R RWf(a,b)a,b(t)daa 2 db
其中，a称|
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) A 1 ( t ) B f 2 ( t ) f W f ( a , b ) A f 1 ( a , b W ) B f 2 ( a , b W ) ⑵平移 g ( t ) f ( t t 0 ) W g ( a ,b ) W f( a ,b t 0 )
f(t) k 1 e 1 (t) k 2 e 2 (t) .. .k n .e n ( .t) .
如n果 ，那f么 (t) kiei(t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
称φa,b(t)为连续小波. a,b(t)|a|12
(tb)
a
式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
a,b(t)|a|12
(tb)
a
为什么系数有个 |a |-1 / 2 ？？？ 为了保证在不同尺度a时，a.b (t) 的 (t) 能量相同 。
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第1章Haar小波分析1.1简介(近距离---小尺度） （高分辨率）(远距离---大尺度) （低分辨率）1.2 平均与细节设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。
定义它的平均和细节：1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。
这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。
又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。
1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+⎫⎬=-⎭找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。
同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。
我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。
变换还可以往下进行：0,01,01,1()/2a a a =+=1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。
经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：0,00,01,01,1{,,,}a d d d该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。
还可以反过来表示：111,0211,0x a d x a d =+⎫⎬=-⎭这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ；321,1421,1x a d x a d =+⎫⎬=-⎭用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。
也就是反变换。
小波变换过程的塔式算法：例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22-1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位110,0()()t t φφ=0,1(1)()t t φφ-=0,()()k t k t φφ-=1k 1k +tt t 0000tP-91/2j/2j k (1)/2j k +,2()()j j k k t t φφ-=t1/22(1/221())()t t φφ-=-1,1()t φ=t10,1(1)()t t ψψ-=3/22t0,()()k t k t ψψ-=2/2k k=(21)/21/2k k +=+(22)/21k k +=+压缩1/12倍，不位移 压缩1/12倍，位移一个单位 压缩1/2j 倍，移位K 个单位一般,()(2)j j k t t k φφ=-，0,1,2,...,21j k =-◆ 几个术语1） 支撑（支集），（尺度）函数,()j k t φ不为零的区间，上例中为1[,]22jj k k +。
2） 支撑的宽度，Haar 尺度函数的宽度为1/2j。
3） j 为分辨率，j 越大，尺度越小，分辨率越高。
4） 1/2j=2j -为尺度。
（分辨率越高，尺度越小）(2).Haar 小波函数()t φ◆ Haar 小波函数与尺度函数的关系0,01,01,1()()()()t t t t ψψφφ==-❖不平移、不压缩； 平移一个单位 ； ……… 平移 K 个 单位。
11t1/2P-81,02()()t t φφ=0,0()()t t ψψ=t1/21t1/211,02(2(1/2))(1)()t t t ψψψ-=-=3/4t121,2(2(2/2))()()k t k t k t ψψψ-=-=22/2k 2(22)/2k +2(21)/2k +❖ 不平移，压缩1/12倍； …先平移一个单位，再压缩1/12倍， … 平移个K 单位，再压缩1/12倍。
◆ H aar 小波函数的一般形式：,()j k t ψ=(2)j t k ψ-，0,1,...,21j k =-位移k 个单位，压缩2j 倍。
(3). 分段常数函数也可将序列1234{,,,}x x x x 看成分段常数序列。
用尺度函数和小波函数描述分段常数函数1[0.1/4]()()f t x X t =+2[1/4,1/2]()x X t +3[1/2,3/4]()x X t +4[3/4,1]()x X t写成=12,022,132,242,3()()()()()f t x t x t x t x t φφφφ+++14444444244444443可用尺度函数伸缩平移的线性组合表示t1/21/41,02()()t t ψψ=重写12,022,11,012121,0()/2()/2()()a x x dx x x t x t φφ=+=-+144424443+32,242,31,134341,1()/2()/2()()a x x d x x x t x t φφ=+=-+144424443()f t =1,01,01,11,10,00,0()()a d a t a t φφ+144424443再求平均和细节得和+1,01,01,11,1()()d t d t ψψ+故得＝0,00.00,00,00,01,01,10,01,01,1()/2()/2()()a a a d a a a t d t φψ=+=-+14444244443＋1,01,01,11,1()()d t d t ψψ+注释：序列1234{,,,}x x x x 可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既0,00,01,01,1{,,,}a d d d 为1234{,,,}x x x x 的小波变换（系数）。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1.5 小波变换的计算♦ 设1234{,,,}x x x x 是长度为2n （n 是大于1的整数）的离散序列，记为,21,0{,...,}n n n a a -。
函数()n f t 展开为1,0,0,21,2()()()...n n n n n n n f t a t a t φφ--=++ （1-20）将函数()n f t 做一次小波分解，得1111,01,01111,21,2()),()()...()n n n n n n n n n n f t f V f t a t a t φφ----------∈=+++1444444442444444443概貌（平均或低频部分），用表示（继续分解1,01,011111,21,2()...()n n n n n n d t dt ψψ--------→++1444444442444444443系数d ，细节（差别或高频部分）构成小波变换系数的一半（1-21）重复分解多次，可得()n f t 在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。
♦ 归一化尺度函数和小波函数归一化又叫做标准化或规范化，计算方法如下：2*2,1,,fu u f ff f f f dt f dtf======⎰⎰,()(2-)j j k t t k φφ=，0,1,...,21j k =-（限制在横轴01:之间）22(1)/2(1)/2,,/2/2()()j jjk k j k j k k k jt t dt dt φφ++==⎰⎰=12j,/2()2j k j t φ-==标准化尺度函数,(2()j j k t k t φφ-=）/2(22j j t k φ--=）/22(2j j t k φ-） 仍记为/2,()2(2j j j k t t k φφ=-）（1-22） 同理，可得标准化Haar 小波函数/2,()2(2j j j k t t k ψψ=-）（1-23） 标准化二尺度方程1/21/21/21/2()2(2)2(21)()2(2)2(21)t t t t t t φφφψφφ----⎧=+-⎨=--⎩ （1-24，1-25） 注释： 标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量，从而可推出信号进行小波变换前、后能量相等，既221,k n n ka =-∑=2121,n n k ka -=-∑+1221,0n n k k d --=∑♦ 如何从,21,0{,...,}n n n a a -快速计算小波变换系数：♣ 重写（1-21）式11101,211,2111,1,01,01,01,211,21()()()()()......n n n n n n n n n n n n n f t a t a t d t d t φφψψ----------------=+++++♣ 现将式（1-21）二端在01:范围内对1,()n k t φ-做内积，得11,()()n n k f t t dt φ-⎰=121,1,()n k n k a t dt φ--⎰=121,1,()n kn k a t dt φ--⎰=1,n k a - (1-26)注释：这里正交性保证了（1-26）式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为1。
♣ 再将式（1-20）,即,0,0,21,21()()...()n n n n n n n f t a t a t φφ--=++代入（1-26）,左边得11,0,0,0,21,21[()()]()...n nn n nkn n a t a t t dt φφφ---++⎰11/20/2/21,0,1[2(2)2(21)]2(2)...n n n n n n n n a t a t t k dt φφφ--+-+-⎰=1/201/21,022(2)(2)...n n n n n a t k t k dt φφ----+⎰=1,n k a -注释： 若设k=0，则11,()()n n k f t t dt φ-⎰=11,00()()n n f t t dt φ-⎰① 1(2)(20)nn t t φφ--所以， 11(2)(2)n nt t dt φφ-⎰=1/211/21(2)(2)2nn nnnt t dt dt φφ-==⎰⎰②1(21)(20)nn t t φφ---所以，1/211/21(21)(2)nn n n t t dt φφ---⎰=11/211/21122n n n n dt --=-⎰=211222n n n -=因此，1/21/2/21/21/21,0,101/211/222(2)(2)22(21)(2)nn n n n n n n n n n n na t t dt a t t dt φφφφ-----+-⎰⎰=,0,11,022nn n n n a a a a a -++== 即1,001,,()n n n a a a -=+♣ 一般有，1,,2,21()n k n k n k a a a -+=+ 10,1,2,...,21n k -=-= ,21,2/n k n k a a +注释：1）归一化后，/2,()2(2)j j j k t t k φφ=-2）关于积分 1121/2121,()[2(2)]n n n k t dt t k dt φφ---=-⎰⎰=112111012(2)(2)2n n n n t k d t k φ------⎰♣ 同理，有小波系数1,,2,21()n k n k n k a a d -+=- 10,1,2,...,21n k -=-=,21,2n k n k a a +1.7 小波变换的滤波器组实现―――Mallat 算法 1.7.1 离散序列的巻积已知序列012{,,,...,},()1m a a a a a l a m ==+ 012{,,,...,},()1k b b b b b l b k ==+做巻积的两个序列的长度不一定相等。