小波变换课件ch3多分辨分析与正交小波的构造.ppt

Vj
Wj-1
Vj-1
小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数f投影 到尺度空间Vj与Vj-1间的细节差别，因此小波空间有时又称为细节空间。
3.1.3 L2 (R) 基于正交尺度函数和小波 函数的分解
为了生成一个MRA，在小波函数已经确定的情 况下，需要构造与之对应的尺度函数。反之， 如果已知尺度函数， 则需要构造与之对应的 小波函数
Riesz条件的频域表达（定理3.2)
如果函数 g(x) 满足Riesz条件
2
A {ck} 2 ck g(x k) B {ck} 2
k
那么
g ( )
满足下列不等式，
A gˆ( 2 k) 2 B
k
反之亦然。
定理3.3
(x) 的平移族 {(x k),k Z} 构成空间 V0 的 正交规范基的必充条件是
第三章 多分辨分析与 正交小波的构造
3.1 多分辨率分析
3.1.1 L2 (R) 的小波空间分解
如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移 函数族
jk (x) 2 j 2 (2 j x - k)
将构成中的正交规范基。
L2 (R) closL2{ jk (x); j, k Z 2}
进而任何函数 f (x) L2 (R) 可以展开为二重求和的
f (t k1) f (t k2 )dt (k1 k2 )
R
L2 (R) 的小波空间分解理论上是完美的，
实践中是行不通的
※小波级数的双重无限和难以实现f (x) d jk jk (x)
j k
无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作 近似处理？
※ k 表征平移位置，只须在有限范围内取值
※ j 对应信号的某一频率范围，在正整数域中 取值的上界总是有限的，在负整数域中取值至 -∞ 是不可避免的
小波级数:
f (x)
d jk jk (x)
j k
d jk
f , jk
进而有
f (x)
d jk jk g j (x)
jk
j
g j ( x) d j,k j,k ( x)
k
g j (x) 是信号 f (x) 中含有的以第j级小波的平移
函数族为基的展开式, 可简称为 f (x) 的第 j 级
MRA中特殊情况：
正交尺度函数
(x k),(x m) km
jk , jm km
Vj空间
V0空间
正交小波函数
jk , ml jm kl
小波函数与尺度函数正交
(x k), (x l) 0
在上述前提下，小波级数可改写为
f (x) AJ (x)
d jk jk (x) aJkJk
我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多 分 像辨处空理间的角Vj，度显，然多这分些辨量空化间空的间分是解相可互以嵌理套解的为，图从像图的 分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成 量 间 放化中在空的Wj间图-1空像V间j中有的一图部像分，保则留在Vj VjV-1j空1 间W中j1，可还理有解一为部Vj空分
尺度函数
如果函数(x) 的平移族是空间V0的Riesz基
V0 closL2(R) (x k), k Z
则称 (x) 为一个尺度函数。
目标：下式成立
Vj closL2 (R) jk , k Z ;j Z
(3.1.13)
jk 2j/2(2j x k), j, k Z2
定理3.1: 如果 (x) 是 V0 空间的Riesz基,并且 它和小波函数 (x) 存在如下关系
(x) hl1l 2 hl(2x l) (x) 2 gl(2x l)
l
l
则式(3.1.13)成立
l
二尺度关系
具有潜套性，完备性，稠密性，互补性， 尺度性质的空间序列{ Vj , j Z }称为由尺度 函数 (x) 生成的一个多分辨率分析(MRA)
对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化 级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于 任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细 节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一 的部分可用低分辨率来表示。
22
H ()
1 2
k
hk e jk
G()
1 2
k
gk e jk
ˆ
()
H
(
2
)ˆ(
2
)
H
(
2
)H
(
4
)ˆ(
4
)......
ˆ(0)
k 1
H
(
2k
)
尺度函数完全由二尺度关系中的序列{hk}确定
＝1
从信号处理的角度，h是与(t)对应的低通滤波器， g是与(t) 对应的高通滤波器
{h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式 {hk，gk}kZ，也可以表示为频域上的2周期函数 {h()，g()}。两者本质上是一样的。
3.1.2 尺度空间的定义和性质
J 级尺度空间
VJ
W J 1
j j
尺度空间的性质
※潜套性
V1 V0 V1
※完备性 ※稠密性 ※互补性 ※尺度性质
closL2
(V j j
)
L2
(R)
Vj
j
.
Vj1 Vj Wj
逼近性
f (x) Vj f (2x) Vj1, f (x / 2) Vj1
d jk jk (x)
jJ k
k
jJ k
J 1
AJ (x) d jk jk ajk f (x), jk (x) ; d jk f (x), jk (x) j
3.2 正交小波构造的理论基础
二尺度关系的频域表达
()
1 2
k
hk
e
j 2
k
(
2
)
H
(
2
)
(
2
)
ˆ () G( )ˆ( )
ˆ( 2k) 2 1
推论3.1
根据定理3.2和3.3, 可推出如下结论: 如果 g(x) 是尺度空间 V0 的Riesz基，那么由
ˆ()
gˆ ( )
1/ 2
gˆ (
2k
)
2
k
所确定的函数 (x) 的平移族 {(x k),k Z}
是同一尺度空间的正交规范基。
Poisson公式
1.设f (t k)，k Z是一组正交规范的函数集合：
小波分量
第j级小波空间
Wj
clos. L2 {
jk
( x); k
Z}
.
.
.
.
L2(R)
W
j j
... W1
W0
W1 ...
如果 (x) 是正交小波，则
Wj Wk , j k
L2(R)
W
j j
...W1
W0
W1
...
L2(R)
W
j j
...W1
W0
W1
...