第十二讲 小波基构造与常用小波

小波滤波器长度不少于 2R。在信号检测中，为了能够有效地检测到
奇异点，小波基必须具有足够高的消失矩的阶数，它与 Lipschitz 指
数密切相关。然而，突变信号的 Lipschitz 指数一般在 (0,1) 内，因此为
了分析突变信号，消失矩也不能太高，过高的消失矩阶数将使分析的
结果模糊，另外，从计算量的角度来看，消失矩的阶数也不宜过高。






4 3
2.5 Daubechies小波系
这是著名小波分析学者 Inrid Daubechies 构造的小波函数，一
般用 dbN 来表示，其中 N 是阶数，当 N=1 时，此时的小波即为
dx
当 0 时，小波变换模极大值随尺度增大而增大，当 0 时小波变 换模极大值随尺度增大而减小。当 0 时小波变换模极大值不随尺度 变化而变化。
1.5 消失矩
对于小波函数 (x) L2(R) ，如果满足
xr (x)dx 0
r 0,1, , R 1
则称 (x) 具有 R 阶消失矩。如果小波的消失矩阶数为 R，则其对应的





2 3
ˆ()

(2 )1/ 2
c
os(

( 3
22

1))


2 4
3
3
0

1.6 线性相位
在线性系统理论中，滤波器的传递函数可以表示为
H () | H () | e j ()
其中，| H () | 称为系统的幅频特性，而() 称为相频特性。如果 () 可以表示为
()
式中 和 为常数，那么称此滤波器具有线性相位特性。当信号 f (x) 通过一个具有线性相位的滤波器时，其输出信号的频谱为
3.3 构造步骤(一)
对于选定的正整数 N，由下式计算 P(sin2 )
2
P(x)

N 1
k0
N k

k
1xk
3.3 构造步骤(二)
利用欧拉公式转化为含 e j 的各次幂的多项式，然后以 z e j 代替，
从而得到关于 z 的多项式 M (z) ，其中 M (z) 具有以下形式
2 (1 x)N P(x) xN P(1 x) 1
其唯一的不大小 N 1阶的多项式解为
P(x)

N 1
k0
N k

k

1 x
k

式中

m n


m! n!(m
n)!
3.3 构造步骤
1. 计算 P(sin2 )
2
2. 计算 M (z) 3. 计算 m() 4. 计算 H () 5. 求出滤波器系数、尺度函数、小波函数
gˆ () H () fˆ () | H () | e j fˆ ()e j | H () | e j ( f (x ))^
其输出信号的相位特性，除一常数外，与延时为 的输入信号 f (x ) 的相位特性完全一致。也就是说，当滤波器具有线性相位时，输出信 号将不产生相位畸变。
zj )
3.3 构造步骤(四)
最后利用公式
H
()

1
e 2
j
N
m
它是一个长度为 2N 的 FIR 滤波器，也是一个关于 e j 各次幂的多项
式，其各阶系数就是滤波器系数，尺度函数与小波函数的求解公式参
见“构造总流图”
3.4 构造实例
例子：DB2小波滤波器系数的构造
J
(
z

j 1 z j
z 1
z j )(
zj
z
z j )(
zj
z 1
z j )(
zj
zj )

式中 c 1 aN 1
2
得到
m()
K e j c(
r k 1
k
J e j
rk ) (
j 1
zj
e j
z j )(
zj
m()

1
2e
j
4

e
j 2
g12
((1
3) (1
3)e j )
1 ((1 3) (3 3)e j (3 3)e j2 (1 8
3)e j3 )
上式即对应 4 个滤波器系数
1
2
h0
2g (1 8
2.7 Biorthogonal小波系
这就是能满足线性相位的双正交小波，一般记为 biorNr.Nd， 被称为对偶的两个小波分别用于信号的分解与重构，r 表示重构， d 表示分解。它解决了要求线性相位与正交性同时满足的矛盾。 线性相位有助于抑制信号的失真。
3 紧支撑正交小波的构造
构造总流图 构造步骤 实例解析
3.1 构造总流图
求解 | H () |2 | H ( ) |2 1
寻找尺度空间的 Reisz 基 g(x)
ˆ()

k 1
H

2k

H ()
正交化
(x)
H () ˆ(2) ˆ ( )
(x)
G() e j H ( )
M
(z)

a0

1 2
N 1
an (zn
n 1

zn)
设 M (z) 的常数项为 a0 ，有 K 对实根和 J 组复根，即有
2K 4J 2(N 1)
于是 M (z) 可以分解为
K
M (z) c (
z

k 1 rk
rk )(
z 1 rk

rk )g

Haar 小波。当 N≥2 时，dbN 没有明确的表达式，但其转换函数 h
的平方模是确定的，设
N 1
P( y) CkN 1k yk k 0
式中， CkN 1k 为二项式的系数，那么有
m0 ()
2

(cos2
2
)N
P(sin2
) 2
式中， m0()
1 2
2 N 1
ˆ () G( )ˆ( ) 22
(x)
3.2 多项式P(x)的计算推导（一）
构成正交小波基的充要条件是
| H () |2 | H ( ) |2 1
式中 H ()
1 2
k
hk e jk
令| H () |2 (cos )2N P(sin2 )
第十二讲 小波基构造与常用小波
讲授内容
❖ 小波基的评价指标 ❖ 常用小波 ❖ 短支撑正交小波的构造
1 小波函数的评价指标
对称性 短支撑（紧支撑） 正交性 正则性 消失矩 线性相位
1.1 对称性
设函数 (x) L2(R) ，若 (a t) (a t) ，称 (t) 具有对称性，若 (a t) (a t) ，称(t) 具有反对称性。如果小波函数 (x) 具有上述 性质，则称具有对称性
hk e
k 0
jk
dbN 的尺度函数 与小波函数 的有效支撑长度为 2N-1，小波函数的
消失矩阶数为 N，dbN 不具有对称性，光滑性随 N 增大而增加。
2.6 Coiflet小波系
也是由 Daubechies 构造的小波函数，它的形式是 coifN，N=1,2,…,5。 与 dbN 相比，尽管它的支撑长度增大了，但是消失矩阶数及对称性 都改善了，其小波函数的消失矩阶数为 2N，尺度函数的消失矩为 2N-1， 两者的支撑长度均为 6N-1。coifN 的小波函数与尺度函数比 dbN 具有 更好的对称性。
,
8 3

式中， (a) 为构造 Meyer 小波的辅助函数，其定义如下：
(a) a4 (35 84a 70a2 20a3 ) a [0,1]
(2
)
1 /
2



对于 Lipschitz 指数，有以下结论： 一个信号 f (x) 的 Lipschitz 指数 越大，其光滑性越好； 越小其 光滑性越差，奇异性越大。
一个信号 f (x) 的 Lipschitz 指数为 ，则 f (x)dx的 Lipschitz 指数为
1， df (x) 的 Lipschitz 指数为 1。
1, 0x1/ 2 (x) 1, 1/ 2x1
0 其它
2.2 墨西哥帽小波
因为其形似墨西哥草帽而得名，定义如下：
(x)

2
1 4
(1

x
2

)e
x2 2
3
2.3 Morlet小波
定义式： (x) 1/ 4 cos(5x)ex2 / 2
2.4 Meyer小波
其小波函数与尺度函数均在频域中定义，非紧支集的正交小波
(2
)
1 /
2
e
j
/
2
sin( 2

(
3 2

1)) 2 4
3
3
ˆ
()

(2
)
1 /
2
e
j
/
2
c
os( 2
原始信号
非畸变信号
畸变信号
2 常用小波
Haar 小波 Mexican hat 小波 Morlet 小波 Meyer 小波 Daubechies 小波系 Coiflet 小波系 Biorthogonal 小波系
2.1 Haar小波