高考数学强化训练1(理科)

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2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十六)解三角形理+Word版含答案

专题强化训练(十六) 解三角形1．[2019·天津卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·石家庄一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.3．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sinC ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，2b ＝sin B .△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34.4．[2019·武汉4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝104，B ＝2A ，b ＝15. (1)求a ；(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12，求△CMA 的面积．解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×64×104＝154，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 可知， a ＝b sin A sin B＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158，又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158. 5．[2019·济南模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝2π3，c ＝ 3. (1)求角C ； (2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．解：(1)解法一：由题设及正弦定理得2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以2sin B sin C ＝sin B .由于sin B ＝32≠0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法二：由题设及余弦定理可得2b sin C ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc，化简得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. 解法三：由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6. (2)解法一：由正弦定理易知b sin B ＝csin C ＝23，解得b ＝3. 又AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，所以在△ABE 中，A ＝π6，AB ＝3，AE ＝2，由余弦定理得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝ 3＋4－2×3×2×32＝1，所以BE ＝1.解法二：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×co s 23π＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13AC ＝1. 在△BCE 中，C ＝π6，BC ＝3，CE ＝1，由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32＝1，所以BE ＝1. 解法三：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，a ＝c ＝ 3. 因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19(3－4×3×3×12＋4×3)＝1，所以BE ＝1.6．[2019·太原一模]如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a 2＋c 2－ac ＝b 2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)如图，连接CE ，∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DEsin A ＝62sin A . 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B＝BC sin ∠BEC ＝BC sin2A ， ∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0°<A <180°，∴A ＝45°，∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°，∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1，∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32. 7．[2019·长沙一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，∵sin C ≠0，所以sin A ＝cos A 2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，又cos A 2≠0，所以sin A 2＝12，故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 8．[2019·福州质检]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.(1)求△ABC 的外接圆直径；(2)求a ＋c 的取值范围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝32sin π3＝1. (2)解法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0<A <2π3. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1，所以a ＋c ＝sin A ＋sin C＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6. 所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，从而32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 解法二：由(1)知，B ＝π3， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即0<a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32<a ＋c ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.。

【步步高】2021届高考数学第一轮温习（典型题+详解）中档题目强化练概率专项基础训练(1)

中档题目强化练——概率A 组专项基础训练一、选择题1．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，掏出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析记取到语文、数学、英语、物理、化学书别离为事件A 、B 、C 、D 、E ，那么A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的和，即P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.应选C.2．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对答案 B解析在40根纤维中，有12根的长度越过30 mm ，即大体事件总数为40，所求事件包括12个大体事件，且它们是等可能发生的，因此所求事件的概率为P ＝1240＝310，应选B.3．设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ⊆Q ，b 、c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，那么b ＝c 的概率为( ) A.18B.14C.12D.34答案 C解析因为P ⊆Q ，因此当b ＝2时，c 能够取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情形，当b ＝c 时，c 能够取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情形．因此所求概率为77＋7＝12.4. 如下图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，那么该阴影部份的面积约为( ) A.35B.125C.65D.185答案 B解析豆子落在阴影区域内的概率是120200＝35，设阴影部份的面积为S ，那么S S 正方形＝35，解得S ＝125，应选B.5．设a 是甲抛掷一枚骰子取得的点数，那么方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512答案 A 二、填空题6．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 13解析 ∵－π2≤x ≤π2，而0≤cos x ≤12，故－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，∴依照几何概型的概率公式得所求概率为13.7．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．假设x ∈Z ，y ∈Z ，那么点M 位于第二象限的概率为________．答案 16解析画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有 (－1,1)，(－1,2)，共2个，因此所求概率P ＝16.8．咱们把日均收看体育节目的时刻超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，假设从中任选2名，那么至少有1名女性的概率为________．答案710 解析用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，那么事件A 包括(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个大体事件，事件B 包括(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个大体事件，事件C 包括(b 1，b 2)，共1个大体事件．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包括事件B 和C ，因此所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.三、解答题9．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机掏出1球，求： (1)掏出1球是红球或黑球的概率； (2)掏出1球是红球或黑球或白球的概率．解方式一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112，依照题意知，事件A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)掏出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)掏出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112. 方式二 (利用对立事件求概率)(1)由方式一知，掏出1球为红球或黑球的对立事件为掏出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，因此掏出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，因此掏出1球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.10．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)假设从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)假设从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)甲校两男教师别离用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师别离用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种．从当选出的两名教师性别相同的结果有(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种．应选出的两名教师性别相同的概率为P 1＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种．从当选出的两名教师来自同一学校的结果有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种．应选出的两名教师来自同一学校的概率为P 2＝615＝25.B 组专项能力提升1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110答案 C解析从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包括的大体事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A )包括8个大体事件，因此所求的概率为P (A )＝810＝45.应选C.2．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B ．1－π4C.π8D ．1－π8答案 B解析对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于或等于1时，其区域是以O 为圆心，半径为1的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么所求的概率为1－12π2＝1－π4，应选B.3．已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，那么点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0内的概率为________．答案 38解析不等式组表示的区域如下图，阴影部份的面积为12×3×2－12×3×1＝32，那么所求概率为38. 4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，那么△PBC 的面积大于S4的概率为________．答案 34解析如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S 4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，那么△PBC 的面积大于S4的概率P ＝34ABAB ＝34.5．某日用品按行业质量标准分成五个品级，品级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其品级系数进行统计分析，取得频率散布表如下：(1)假设所抽取的205的恰有2件，求a 、b 、c 的值； (2)在(1)的条件下，将品级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，品级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被掏出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的品级系数恰好相等的概率．解 (1)由频率散布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.因为抽取的20件日用品中，品级系数为4的恰有3件，因此b ＝320＝0.15.品级系数为5的恰有2件，因此c ＝220＝0.1.从而a ＝0.35－b －c ＝0.1. 因此a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其品级系数相等”，那么A 包括的大体事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．又大体事件的总数为10，故所求的概率P (A )＝410＝0.4.。

高考数学强化复习训练精选题及答案_

高三数学强化训练（2）1．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，13） C ．17⎡⎢⎣，13⎤⎥⎦D ．]1,17⎡⎢⎣ 2．已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 成立，且0)0(≠f ，则)2006()2005(...........)2005()2006(f f f f ⋅⋅-⋅-的值是A ．0B ．1C ．2006！D ．（2006！）23．已知函数)(x f 满足1)1(=f ，对于任意的实数y x ,都满足1)(2)()()(++++=+y x y y f x f y x f ，若*N x ∈，则函数)(x f 的解析式为A ．1)(-=x fB ．14)(2-=x x fC ．0)(=x fD ．33)(2-+=x x x f 4．如图所示，f i （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，f ［λx 1+（1－λ）x 2］≤λf （x 1）+（1－λ）f （x 2）恒成立”的只有f 1（x ） f 2（x ） f 3（x ） f 4（x ）A ．f 1（x ），f 3（x ）B ．f 2（x ）C ．f 2（x ），f 3（x ）D ．f 4（x ）5．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.6．设函数y ＝f （x ）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图14所示的线段AB ，则在区间［1，2］上f （x ）＝ . 图147．设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数m >0，使|||)(|x m x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x x x f ； ⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2均有．其中是F 函数的序号为_____________________.8．已知函数224 , (0),()4 , (0).x x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨-+⎪-<⎪⎩（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 分别在区间]2,0( 、),2[∞+ 上的单调性，并加以证明；（3）若121||4,1||4x x ≤≤≤≤，求证: 12|()()|1f x f x -≤．参考答案CBDA ．51-； x ；①④⑤； 8．解：（1）当0>x 时，0<-x ，则224()()4(),()()x x x x f x f x x x ++---+=-=--24x x x++=∴()()f x f x =- 当0x <时， 0x ->，则224()()4(),()()x x x x f x f x x x -+-+-+=--=--24x x x-+=-，∴()()f x f x =-综上所述，对于0x ≠，都有()()f x f x =-，∴ 函数()f x 是偶函数。

函数的性质-高考数学一轮复习专题强化训练

专项强化练一函数的性质1.(2018浙江宁波期末)若函数f(x)=ax 2+(2a 2-a-1)x+1为偶函数,则实数a 的值为( ) A.1 B.-12 C.1或-12 D.0答案 C 因为f(x)为偶函数,所以2a 2-a-1=0,解得a=-12或a=1. 2.已知实数x,y 满足(12)x <(12)x,则下列关系式中恒成立的是( ) A.tanx>tany B.ln(x 2+2)>ln 2(y 2+1) C.1x <1x D.x 3>y 3答案 D 由指数函数的单调性可得x>y,因为幂函数y=x 3在(-∞,+∞)上是单调递增的,所以当x>y 时,恒有x 3>y 3,故选D.3.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m 的值( )A.与a 有关,且与b 有关B.与a 有关,但与b 无关C.与a 无关,且与b 无关D.与a 无关,但与b 有关答案 B 解法一:令g(x)=x 2+ax,则M-m=g(x)max -g(x)min . 故M-m 与b 无关.又a=1时,g(x)max -g(x)min =2, a=2时,g(x)max -g(x)min =3, 故M-m 与a 有关.故选B.解法二:(1)当-x2≥1,即a ≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M -m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当12≤-x 2<1,即-2<a ≤-1时,M=f(0),m=f (-x 2),从而M-m=f(0)-f (-x2)=b-(x -x 24)=14a 2.(3)当0<-x 2<12,即-1<a<0时,M=f(1),m=f (-x 2),从而M-m=f(1)-f (-x 2)=14a 2+a+1.(4)当-x2≤0,即a ≥0时,f(x)在[0,1]上为增函数,∴M -m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m={ x +1(x ≥0),14x 2+a +1(-1<x <0),14x 2(-2<x ≤-1),-x -1(x ≤-2).∴M -m 与a 有关,但与b 无关.故选B.4.已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( ) A.13 B.1C.43D.2答案 C f(x)的定义域为R,f(-x)=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函数.因为f(2x-1)=f(x),所以2x-1=x 或2x-1=-x, 解得x=1或x=13,故选C.5.(2018浙江嘉兴期末)若f(x)=x 2+bx+c 在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )A.都大于1B.都小于1C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1答案 D 若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2,不妨设x 1<x 2,则m-1<x 1<x 2<m+1,且f(x)=(x-x 1)(x-x 2). 因为f(m-1)=(m-1-x 1)(m-1-x 2)=(x 1-m+1)(x 2-m+1), f(m+1)=(m+1-x 1)(m+1-x 2), 所以f(m-1)f(m+1)=(x 1-m+1)(x 2-m+1)(m+1-x 1)(m+1-x 2)<(x 1-m +1+m +1-x 12)2·(x 2-m +1+m +1-x 22)2=1,故f(m-1)和f(m+1)中至少有一个小于1,故选D. 6.已知a 为正常数,f(x)={x 2-ax +1,x ≥a,x 2-3ax +2x 2+1,x <x ,若存在θ∈(π4,π2),满足f(sinθ)=f(cosθ),则实数a 的取值范围是( ) A.(12,1) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(12,√22) 答案 D 由题意得f(x)={(x -x 2)2-x 24+1,x ≥a,(x -3x 2)2-x 24+1,x <a,易知f(x)关于直线x=a 对称,且在[a,+∞)上为增函数, 所以a=sin x +cos x 2=√22sin (x +π4).因为θ∈(π4,π2),θ+π4∈(π2,3π4),所以a=√22sin (x +π4)∈(12,√22). 7.(2018台州高三上学期期末)已知函数f(x)={x +1x ,x >0,-x 2+3,x ≤0,若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是( ) A.[1,3) B.(1,3] C.[2,3) D.(3,+∞)答案 A 函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,等价于y=f(x)与y=k(x+1)的图象在(-∞,1]上恰有两个不同的交点,画出函数y=f(x)和y=k(x+1)在(-∞,1]上的图象,如图所示,y=k(x+1)的图象是过定点(-1,0)且斜率为k 的直线.当直线y=k(x+1)经过点(1,2)时,直线与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有两个交点,此时k=1;当直线经过点(0,3)时,直线与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有三个交点.直线在旋转过程中与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有两个交点时,斜率在[1,3)内变化,所以实数k 的取值范围是[1,3).8.(2018金华十校高三上学期期末)函数y=x 2ln|x ||x |的图象大致是()答案 D 首先函数f(x)=x 2ln|x ||x |为偶函数,故排除B;当x>0时,f(x)=xlnx,所以x>1时,f(x)>0,排除A; 当x>0时,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得极值点x=1e ,所以f(x)在(0,1e )上单调递减,在(1e ,+∞)上单调递增,排除C.故选D.9.(2018浙江嘉兴高三上学期期末)已知函数f(x)=log 4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 ;f(0)+4f(2)= .答案 (-4,0);3解析由4-|x|>0,解得函数f(x)的定义域为(-4,4).f(x)={log 4(4-x)(0≤x <4),log 4(4+x)(-4<x <0),故f(x)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减.由于f(0)=log 44=1,f(2)=log 42=12×log 44=12,故f(0)+4f(2)=1+412=3.10.(2018浙江金丽衢十二校联考)函数f(x)=√3-2x -x 2的定义域为 ,值域为 . 答案 [-3,1];[0,2]解析解3-2x-x 2≥0得-3≤x ≤1,即定义域为[-3,1],由y=√-(x +1)2+4(x ∈[-3,1])可得值域为[0,2].11.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x -4, x ≥λ,x 2-4x +3,x <x .当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)解析本题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想. 当λ=2时,不等式f(x)<0等价于{x ≥2,x -4<0或{x <2,x 2-4x +3<0,即2≤x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集为(1,4).易知函数y=x-4(x ∈R)有一个零点x 1=4,函数y=x 2-4x+3(x ∈R)有两个零点x 2=1,x 3=3. 在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).12.(2018金丽衢十二校联考)若f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)= ;方程[5f(x)-1][f(x)+5]=0的实根个数为.答案-x(1+x);6解析因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-x(1+x).,y=-5的函数图象的交点个数即可,其大因为[5f(x)-1][f(x)+5]=0,所以研究y=f(x)与y=15致图象如图所示.观察图象知有6个交点,故方程有6个实数根.。

2015届广东高考数学(理)一轮课件【常考题型强化练】数列

则
1n－1 1n－1 an－2＝(－1)2 ，所以 an＝2－2 .
A组
1 2 3 4
专项基础训练
5 6 7 8 9 10
8．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＋1＝2an，则使不等式 a2 1
2 n 1 ＋a2 成立的 n 的最大值为________． 2＋…＋an<5×2
A组
1 2 3 4
专项基础训练
5 6 7 8 9 10
10.已知等差数列{an}的前三项为 a－1,4,2a，记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk＝2 550，求 a 和 k 的值； Sn (2)设 bn＝，求 b3＋b7＋b11＋…＋b4n－ 1 的值. n
解
(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，
；…….记这种含n＋1个音符的所有音符串中，
排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为 an.故a1＝0， a2＝2.则 n n
2 ＋2－1 6 ；(2)an＝____________. (1)a4＝_____ 3
2n－2 所以an＝ . 3
n 2 2 － 2 当 n 为偶数时，利用累加法得 an－a2＝22＋24＋…＋2n－2＝ 3 ，
解析
B.33
C.31
D.29
设数列{an}的公比为 q，则由等比数列的性质知，
a2· a3＝a1· a4＝2a1，即 a4＝2.
5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为知，a4＋2a7＝2× ， 4 4
1 1 5 ∴a7＝22×4－a4＝4.
A组
1 2 3 4
专项基础训练
5 6 7 8 9 10
专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2023高考数学专题强化训练(一)

专题强化训练(一)一、单项选择题1.(2022·山东济南二模)函数f(x)=√16-x 2x的定义域是( A )A.[-4,0)∪(0,4]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.[-4,0)∪[4,+∞)解析:由{16-x 2≥0,x ≠0,得-4≤x ≤4,且x ≠0,所以函数y=√16-x 2x 的定义域是[-4,0)∪(0,4].故选A.2.(2022·四川绵阳三模)已知函数f(x)=x x -1,则( D )A.f(x)为奇函数B.f(f(2))=1C.f(x)在(1,+∞)上单调递增D.f(x)的图象关于点(1,1)对称解析:由解析式知函数f(x)的定义域为{x|x ≠1},显然不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,A 错误;f(2)=2,则f(f(2))=f(2)=2,B 错误; 由f(x)=1+1x -1,可知f(x)在(1,+∞)上单调递减且图象关于点(1,1)对称,故C 错误,D 正确.故选D.3.(2022·陕西西安二模)设f(x)={2x+1-1,x ≤3,log 2(x 2-1),x >3,若f(x)=3,则x的值为( B )A.3B.1C.-3D.1或3解析:当x ≤3时,令2x+1-1=3,解得x=1,当x>3时,令log 2(x 2-1)=3,解得x=±3,这与x>3矛盾,所以x=1.故选B. 4.(2022·河北石家庄一模)函数f(x)=x 32x +2-x的部分图象大致是( A )解析:函数f(x)=x 32x +2-x的定义域为R,f(-x)=-f(x),故为奇函数,图象关于原点对称,据此排除B,D 选项;易知当x →+∞时,f(x)=x 32x +2-x>0,2x →+∞,2-x →0,x 3→+∞,因为指数函数y=2x 比幂函数y=x 3增长的速率要快,故f(x)→0,即f(x)在x →+∞时,图象往x 轴无限靠近且在x 轴上方,故A 选项符合.故选A.5.(2022·北京丰台区二模)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.若f(lg x)>f(1),则x 的取值范围是( C ) A.(110,1) B.(0,110)∪(1,+∞)C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)解析:因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,则f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1,即-1<lg x<1,即lg 110<lg x<lg 10,解得110<x<10,即原不等式的解集为(110,10).故选C.6.(2022·天津河东区一模)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,则( B ) A.f(log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(2-32)>f(2-23)>f(log 314)C.f(log 314)>f(2-23)>f(2-32)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log 314)解析:因为f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又log 34>1,0<2-32<2-23<1,所以f(2-32)>f(2-23)>f(log 34),即f(2-32)>f(2-23)>f(log 314).故选B.7.(2022·江苏苏州二模)已知f(x)是定义域为R 的偶函数, f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=( D ) A.-3 B.-2 C.2 D.3解析:g(x+1)为偶函数,则g(x)的图象关于直线x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f[(x-2)-2]=-f(x-2)=- [-f(x)]=f(x),即f(x-4)=f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=3.故选D.8.(2022·天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f (x )= {-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0,若f(2-a 2)>f(-|a|),则实数a 的取值范围是( A ) A.(-2,-√10-23)∪(√10-23,2) B.(-2,-1)∪(1,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-1,0)∪(0,1)解析:作出函数f(x)={-12x ,x ≥0,2x -x 2,x <0的图象如图,因为-|a|≤0,若2-a 2<0,由f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2-a 2)>f(-|a|),则2-a 2>-|a|,解得√2<|a|<2; 若2-a 2≥0,则-12(2-a 2)>-2|a|-a 2,解得√10-23<|a|≤√2. 综上,√10-23<|a|<2,解得-2<a<-√10-23或√10-23<a<2.所以实数a 的取值范围是(-2,-√10-23)∪(√10-23,2).故选A.二、多项选择题9.(2022·山东济南一中模拟预测)设函数f(x)={log 2(x -1),x >2,2x -3,x ≤2,则以下结论正确的为( BC ) A.f(x)为R 上的增函数B.f(x)有唯一的零点x 0,且1<x 0<2C.若f(m)=5,则m=33D.f(x)的值域为R解析:作出f(x)的图象如图所示.对于A,取特殊值:f(2)=1,f(3)=1,故A 错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一的零点x 0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,故B 正确;对于C,当x ≤2时,2x -3≤1,故log 2(m-1)=5,解得m=33,故C 正确; 对于D,f(x)的值域为(0,+∞)∪(-3,1]=(-3,+∞),故D 错误.故选BC. 10.(2022·重庆模拟预测)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x -y 1-xy),且当x ∈(-1,0)时,f(x)<0,则有( ABC )A.f(x)为奇函数B.存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12)C.f(x)为增函数D.f(12)+f(13)>f(56)解析:令x=0,y=0,得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0;令x=0,y=x,得f(0)-f(x)=f(-x),故-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数,A 正确;任取-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2),因为x 1-x 21-x 1x 2+1=x 1-x 2+1-x 1x 21-x 1x 2=(1+x 1)(1-x 2)1-x 1x 2>0,故-1<x 1-x 21-x 1x 2<0,f(x 1)-f(x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)<0,f(x 1)<f(x 2),故f(x)为增函数,C 正确; f(12)+f(13)=f(12)-f(-13)=f(12+131+12×13)=f(57)<f(56),D 错误;若f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(a+b1+ab )=f(12),则a+b1+ab=12,则2a+2b=1+ab,a=1-2b2-b =2+3b-2,当b∈(-1,1)时,a∈(-1,1),所以存在非零实数a,b,使得f(a)+f(b)=f(12),B正确.故选ABC.11.若函数f(x)满足:对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f(x1+x22),则称函数f(x)具有H性质.则下列函数中具有H性质的是( ACD )A.f(x)=(12)xB.f(x)=ln xC.f(x)=x2(x≥0)D.f(x)=tan x(0≤x<π2)解析:若对定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),有f(x1)+f(x2)>2f (x1+x22),则点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的中点在点(x1+x22,f(x1+x22))的上方,如图(其中a=f(x1+x22),b=f(x1)+f(x2)2).根据函数f(x)=(12)x,f(x)=ln x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)的图象可知,函数f(x)=(12)x,f(x)=x2(x≥0),f(x)=tan x(0≤x<π2)具有H性质,函数f(x)=ln x不具有H性质.故选ACD.12.(2022·福建福州模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x ∈(-1,1)时,f(x)=-x 2+1,则下列结论正确的是( ABD ) A.f(72)=-34B.f(x+7)为奇函数C.f(x)在(6,8)上单调递减D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解解析:因为f(x+1)为偶函数,故f(x+1)=f(-x+1),令x=52得f(72)=f(-52+1)=f(-32),因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)=-f(-x-1),令x=-12得f(-32)=-f(12-1)=-f(-12),其中f(-12)=-14+1=34,所以f(72)=f(-32)=-f(-12)=-34,A 正确;因为f(x-1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的周期为4×2=8,故f(x+7)=f(x-1),所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)= -f(x-1+8)=-f(x+7),从而f(x+7)为奇函数,B 正确;f(x)=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)在(-2,0)上单调递增,且f(x)的周期为8,故f(x)在(6,8)上单调递增,C 错误;根据题目条件画出函数f(x)与y=-lg x 的图象,如图所示,其中y=-lg x 单调递减且-lg 12<-1,所以两函数图象有6个交点,故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D 正确.故选ABD.三、填空题13.(2022·广东深圳二模)已知函数f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则k= .解析:由题意知f(x)=ln(e x +1)-kx 是偶函数,则x ∈R,f(-x)=f(x), 即ln(e -x +1)-k(-x)=ln(e x +1)-kx, 即ln(e x +1)-x+kx=ln(e x +1)-kx, 即(k-1)x=-kx,解得k=12.答案:1214.(2022·山东烟台一模)已知f(x)为R 上的奇函数,且f(x)+ f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x ,则f(2+log 25)的值为 . 解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log 25)=f(2×2+log 254)=f(log 254)=-f(log 245),且-1<log 245<0,所以f(2+log 25)=-2log 245=-45.答案:-4515.(2022·湖南湘潭三模)已知a >0,且a ≠1,函数f (x )= {log a (2x 2+1),x ≥0,a x,x <0,若f(f(-1))=2,则a= ,f(x)≤4的解集为 .解析:①由题可知,f(f(-1))=f(a -1)=log a (2a -2+1)=2,则a 2=2a -2+1,即a 4-a 2-2=0,解得a 2=2,故a=√2.②当x ≥0时,f(x)=log √2(2x 2+1)≤4,解得0≤x ≤√62;当x<0时, f(x)=(√2)x≤4恒成立,故不等式的解集为(-∞,√62]. 答案:√2 (-∞,√62]16.(2022·山东菏泽一模)已知奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式log 3|f(x)+1|<0的解集为 .解析:法一不等式log 3|f(x)+1|<0等价于0<|f(x)+1|<1,即0<f(x)+1<1或-1<f(x)+1<0,即-1<f(x)<0或-2<f(x)<-1,因为f(x)是奇函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,所以f(2)=1,f(-1)=0,故f(1)= f(2×12)=f(2)+f(12)=0 ,则f(12)=-1 ,f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=-2,f(-4)=-f(4)=-f(2)-f(2)=-2.又奇函数f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,故f(x)在区间(0,+∞)上也是增函数,故-1<f(x)<0,即f(-2)<f(x)<f(-1)或f(12)<f(x)<f(1),此时x ∈(-2,-1)∪(12,1) ;而-2<f(x)<-1,即f(-4)<f(x)<f(-2) 或f(14)<f(x)<f(12),此时x ∈(-4,-2)∪(14,12),故不等式l o g 3|f (x )+1|<0的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).法二因为f(x)为奇函数,且f(-2)=-1,所以f(2)=1,又当x>0,y>0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x>0时,可设f(x)=log a x(a>0,且 a ≠1),由f(2)=1可得a=2,所以f(x)={log 2x (x >0),-log 2(-x )(x <0),由log 3|f(x)+1|<0可得-2<f(x)<0且f(x)≠-1. 作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,不等式的解集为(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1).答案:(-4,-2)∪(-2,-1)∪(14,12)∪(12,1)。

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练1(附解析)

强化训练1 集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·全国甲卷]设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}2．[2022·全国乙卷]设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则( )A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M3．[2022·湖南常德一模]已知集合A ＝{x ∈Z |x 2≤1}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{－1，0，1，2}D ．{x |－1≤x ≤2}4．[2022·山东潍坊二模]十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n >2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( )A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 都没有正整数解B ．对任意正整数n ＞2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解C.存在正整数n ≤2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解D ．存在正整数n ＞2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解5．[2022·江苏南京模拟]设a 、b 均为非零实数，且a 1bB ．a 20，则“a a >a 3”是“a >3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2022·广东汕头三模]下列说法错误的是( )A ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cos x 0>1”B ．在△ABC 中，sin A ≥sin B 是A ≥B 的充要条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“a >0，且b 2－4ac ≤0”D ．“若sin α≠12 ，则α≠π6”是真命题 8．[2022·河北保定二模]已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a 2＋3ab ＋4b 2＝7，则a ＋2b 的最大值为( ) A.2 B ．3C ．22D ．32二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·湖北武汉二模]已知集合A ＝{1，4，a }，B ＝{1，2，3}，若A ∪B ＝{1，2，3，4}，则a 的取值可以是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．[2022·广东汕头二模]已知a ，b ，c 满足c <a 0B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ab >ac11．[2022·江苏南京三模]设P ＝a ＋2a，a ∈R ，则下列说法正确的是( ) A ．P ≥22B ．“a ＞1”是“P ≥22 ”的充分不必要条件C.“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件D ．∃a ∈(3，＋∞)，使得P ＜312．[2022·辽宁葫芦岛二模]已知a >b >0，a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则下列不等式成立的是( )A.1<a ＋b <4B ．(1a ＋b )(1b＋a )≥4 C ．(1a ＋b )2>(1b＋a )2 D ．(1a ＋a )2>(1b＋b )2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·南京师大附中模拟]命题“∀x >1，x 2≥1”的否定是____________．14．[2022·福建三明模拟]已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－ax ＋a <0，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．[2022·湖南怀化一模]已知a ∈R ，且“x >a ”是“x 2>2x ”的充分不必要条件，则a 的取强化训练1 集合、常用逻辑用语、不等式1．解析：由题意，B ＝{x|x2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U （A ∪B ）＝{－2，0}．答案：D2．解析：由题知M ＝{2，4，5}，对比选项知，A 正确，BCD 错误．答案：A3．解析：解不等式x2≤1得：－1≤x≤1，于是得A ＝{x ∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，因A∩B ＝{1}，即1∈B ，解得m ＝3，则B ＝{1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}．答案：C4．解析：命题的否定形式为全称量词命题的否定是存在量词命题．故只有D 满足题意．答案：D5．解析：对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a <1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a2＝b2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a2 ＝1b2 ，C 错误；对于D ，因a0，即a3<b3，D 正确．答案：D6．解析：若0<a<1，由aa>a3可得a<3，此时0<a<1；若a ＝1，则aa ＝a3，不合乎题意；若a>1，由aa>a3可得a>3，此时a>3.因此，满足aa>a3的a 的取值范围是{a|0<a<1或a>3}，因为{a|0<a<1或a>3}{a|a>3}，因此，“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件．答案：B7．解析：A.命题“∀x ∈R ，cos x≤1”的否定是“∃x0∈R ，cos x0>1”，正确；B ．在△ABC 中，sin A≥sin B ，由正弦定理可得a 2R ≥b 2R （R 为外接圆半径），a≥b ，由大边对大角可得A≥B ；反之，A≥B 可得a≥b ，由正弦定理可得sin A≥sin B ，即为充要条件，故正确；C.当a ＝b ＝0，c≥0时满足ax2＋bx ＋c≥0，但是得不到“a>0，且b2－4ac≤0”，则不是充要条件，故错误；D ．若sin α≠12 ，则α≠π6 与α＝π6 则sin α＝12 的真假相同，故正确．答案：C8．解析：7＝（a ＋2b ）2－ab ＝（a ＋2b ）2－12 a·2b≥（a ＋2b ）2－12 （a ＋2b 2 ）2＝7（a ＋2b ）28，则（a ＋2b ）2≤8，当且仅当a ＝2b ＝ 2 时，“＝”成立，又a ，b ∈（0，＋∞），所以0<a ＋2b≤2 2 ，当且仅当a ＝2b ＝ 2 时，“＝”成立，所以a ＋2b 的最大值为2 2 . 答案：C9．解析：因为A ∪B ＝{1，2，3，4}，所以{1，4，a}{1，2，3，4}，所以a ＝2或a ＝3.答案：AB10．解析：因为a ，b ，c 满足c<a0，b>0，a －c>0，b －a>0，所以ac （a －c ）<0，c （b －a ）<0，cb2<ab2，ab>ac.答案：BCD11．解析：A 错误，当a<0时，显然有P 小于0；B 正确，a>1时，P ＝a ＋2a ≥2a·2a ＝2 2 ，当且仅当a ＝2a 时，即a ＝ 2 时等号成立．故充分性成立，而P≥2 2 只需a>0即可；C 正确，P ＝a ＋2a >3可得0<a<1或a>2，当a>2时P>3成立，故C 正确；D 错误，因为a>3有a ＋2a >3＋23 >3，故D 错误．答案：BC12．解析：a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，即a ＋b ＋a ＋b ab ＝5，所以ab ＝a ＋b 5－（a ＋b ），因为a>b>0，所以由基本不等式得：ab<（a ＋b ）24 ，所以a ＋b 5－（a ＋b ） <（a ＋b ）24，解得：1<a ＋b<4，A 正确；（1a ＋b ）（1b ＋a ）＝1ab ＋ab ＋2≥21ab ·ab ＋2≥4，当且仅当1ab ＝ab 时等号成立，故B 正确；（1a ＋b ）2－（1b ＋a ）2＝（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1a ＋b －1b －a ）＝（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1ab ＋1）（b －a ），因为a>b>0，所以（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1ab ＋1）（b －a ）<0，所以（1a ＋b ）2<（1b ＋a ）2，C 错误；（1a ＋a ）2－（1b ＋b ）2＝（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1a ＋a －1b －b ）＝（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1ab －1）（b －a ），因为a>b>0，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1ab －1）（b －a ）符号不确定，所以D 错误．答案：AB13．解析：因为命题“∀x>1，x2≥1”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 “∃x>1，x2<1”．答案：“∃x>1，x2<1”14．解析：根据题意，∀x ∈R ，x2－ax ＋a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4a≤0⇒a ∈[0，4].答案：[0，4]15．解析：x2>2x 等价于x<0或x>2，而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2.答案：[2，＋∞）16．解析：因为第一象限的点M （a ，b ）在直线x ＋y －1＝0上，所以a ＋b ＝1，a>0，b>0，所以1a ＋2b ＝（a ＋b ）（1a ＋2b ）＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 2 ，当且仅当a ＝ 2 －1，b ＝2－ 2 时等号成立．答案：3＋2 2。

高考数学中档题强化训练(1)——(3

高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2) 求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q }是等差数列？若存在，试求出p 、q应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE. （Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B 的正弦值. 解：（Ⅰ）作AO ⊥平面BCD 于O,由正三棱锥的性质可知O 为底面中心，连CO,则CO ⊥BD,由三垂线定理知AC ⊥BD ，又AC ⊥ED,∴AC ⊥平面ABD,∴AC ⊥AD, AB ⊥AC,AB ⊥AD.在Rt △ACD 中，由AC 2+AD 2=2AC 2=a 2 可得：AC=AD=AB=22a .∴V=V B-ACD =13·12·AC ·AD ·AB=224a 3.（Ⅱ）过E 作EG ⊥平面BCD 于G ，过G 作GH ⊥FD 于H ，连EH ，由三垂线定理知EH ⊥FD,即∠EHG 为二面角E-FD-B 的平面角. ∵EG ＝12 AO 而AO ＝V B-ACD 13·S △BCD =66a ,∴EG=612a .又∵ED ＝AE 2+AD 2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF ∥AC ，∴EF ⊥DE.∴在Rt △FED 中，EH ＝EF ·ED DF =1512a ∴在Rt △EGH 中，sin ∠EHG ＝EG EH =105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x 、y ∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy );②当x ∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12).A BCDE FOG H解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0. 又令x ∈（－1,1），则-x ∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x 2)=f(0)=0 ∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数. （Ⅱ）令－1<x 1<x 2<1,则x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0,于是f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 21-x 1x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在定义域上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i.解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i.解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ.21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ 2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。

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2015高考数学强化训练1（理科）
第一部分选择题 (共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,5}U M ==，则U C M = （）
A.{1,2,5}
B.{3,4,6}
C.{1,3,4}
D.U 2、已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则( )
A. 1sin ,:>∈∃⌝x R x p
B. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p
C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p
D. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 3、设m R ∈，则“0m <”是“1<m ”的（）
A.充分必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4、已知命题:p 幂函数的图像不过第四象限，命题:q 指数函数都是增函数.则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ⌝∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()()p q ⌝∨⌝
5、已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则（） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数
6、已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）
A ．a b c <）的图象如下面右图所示，则函数
()x g x a b =+的图象是（）
f (x )
A ．
B ．
C ．
D ．
8、函数2
()ln(1)f x x x
=+-
的零点所在的大致区间是（） A ．()1,0 B ．()2,1 C ．()e ，2 D ．()4,3
第二部分非选择题(共110分)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、不等式
0131
2≥+-x x 的解集是
10、)(x f 是定义在R 上的函数，已知⎩⎨⎧≤>-=.0
,2 ,
0 ),1()(x x x f x f x ，则=)2013
(f 11、函数
12、已知幂函数(
)
22
6
57m y m m x -=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为
13、函数(
)
2
12
()log 25f x x x =-+的值域是_____
14、已知函数⎩
⎨⎧≥+-<=)0(5)2(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0
)
()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15、（本小题满分12分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，
，x R ∈的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．（1）求()f x 的解析式；
（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，，且3()5f α=，12()13
f β=，求()f αβ-的值．
16、（本小题满分12分）在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每
两
个比赛一场），共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为
3
1
，甲胜丙的概率为
41，乙胜丙的概率为3
1. （1）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率；
（2）若每场比赛胜者得1分，负者得0分，设在此次比赛中甲得分数为X ，求EX .
17、(本小题满分14
分)已知函数()31
x
f x x =
+，数列
{}
n a 满足
*111,()()n n a a f a n N +==∈.
(1)证明数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)记12231n n n S a a a a a a +=+++ ,求n S .
2015高考数学强化训练1（理科）
参考答案 1—8 BACDDCAB
9、⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛
-∞-,2131, 10、1 11、()()3.22,1⋃ 12、3 13、(]2--，∞ 14、
]5
1,0（
15、解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1
(
,)32M π代入得1
sin()32
πϕ+=，而0ϕπ<<，536π
ϕπ∴
+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2
f x x x π
=+=；
（2）依题意有312
cos ,cos 513
αβ==，
而,(0,
)2π
αβ∈
，45
sin ,sin 513
αβ∴==，故3124556
()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=.
16、解：（1）设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件A ，则;18
1324131)(=⨯⨯=A P （2）X 可能的取值为.2,1,0
231(0)342P X ==⨯=，13125(1)344312P X ==⨯+⨯=，111
(2)3412
P X ==⨯=，
0122121212
EX =⨯+⨯+⨯=
17解：（1）由已知得131n n n a a a +=
+即
111
3n n
a a +-= ----------2分 ∴数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项为1,公差3的等差数列. ----------4分所以
113(1)32n
n n a =+-=-，即132n a n =- *
()n N ∈---------------6分
(2) ∵11111
()(32)(31)33231
n n a a n n n n +=
=--+-+-
12231n n n S a a a a a a +=⋅+⋅++⋅ =
1111447(32)(31)
n n +++⨯⨯-⨯+ - =11111111(1)()()(1)3447323133131n
n n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣
⎦。