2020年高考理科数学模拟考(一)
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
2020年高考模拟内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份) 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．23．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．164．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y ＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i【分析】把z＝1﹣i代入（3+2）i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1﹣i，得（3+2）i＝（3+2+2i）i＝（5+2i）i＝﹣2+5i．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】可以求出M＝{x|﹣1＜x＜3}，从而可以根据M∩N＝{x|0＜x＜1}即可得出N＝{x|0＜x＜m}，从而得出m＝1．解：∵M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，M∩N＝{x|0＜x＜1}，∴N＝{x|0＜x＜m}，∴m＝1．故选：A．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求d，a1，然后结合等差数列的通项公式即可求解．解：因为S4＝24，S9＝99，，解可得，a1＝3，d＝2则a7＝a1+6d＝15．故选：C．4．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．【分析】分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可．解：由题意可知，小正方形的边长为2（cosθ﹣sinθ），面积S1＝4（cosθ﹣sinθ）2＝4（1﹣sin2θ），大正方形的面积S＝2×2＝4，故镖落在小正方形内的概率P＝（1﹣sin2θ）．故选：A．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f（π）的值，推出结果即可．解：函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）＝lnx+sin x，可得：f′（x）＝+cos x，令+cos x＝0，作出y＝与y＝﹣cos x图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）＝lnπ＞1，故选：B．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种【分析】6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数＝•＝45．故选：A．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能【分析】设|BF2|＝k，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a与k的关系，进而可得|AF2|＝3k＝|AF1|，可得A在y轴上．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k由椭圆的定义可得：|AF2|＝2a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k，|AB|＝4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2＝|AF2|2+|BF﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，即16k2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣2（2a﹣3k）（2a﹣k），整理可得a＝3k，所以|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A在y轴上，故选：C．9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e【分析】作出函数f（x）的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解．解：若函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，则有a∈（1，e]，当x＞0时，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）＝，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x＝﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y＝a，可得＝＝＝，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1+x2＝﹣2，x3，x4是方程﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，则x1+x2+x3+x4＝﹣2+3+a＝a+1≤e+1，故最大值为e+1，故选：A．10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，而根据B，O，D三点共线，可设，从而可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出t即可．解：由得，，∴，∵B，O，D三点共线，∴可设，且，∴，∴，解得．故选：D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由•＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．解：设直线方程为y＝（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（﹣，），＝（，），由题意可得•＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e＝＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．【分析】构造函数g（x）＝x2f（x），结合已知条件及导数与单调性关系可判断g（x）的单调性及奇偶性，从而可求解．解：令g（x）＝x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为﹣6．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B（﹣2，﹣2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝﹣2×2﹣2＝﹣6．故答案为：﹣6．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝3．【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．解：设等比数列的公比为q，则，解可得q4＝，所以a10+a12+a14+a16＝+（a6+a8）q8＝8×＝3．故答案为：3．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．【分析】设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P（B）＝，故答案为：．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．【分析】由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG∥PN，且OG＝＝．在Rt△OGE中，OE＝，则EF＝2EG＝2．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．【分析】（1）根据勾股定理判断AD⊥BD，AE⊥EF，AE⊥EC，得到AE⊥平面EFC，最后得出结论；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB的法向量，利用夹角公式列方程，求出a．解：（1）连接AC，在三角形ABD中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝，AD2+BD2＝AB2，故AD⊥BD，EDBF是矩形，DE＝1，平面EDBF⊥平面ABCD，故BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF＝，AE2+EF2＝AF2，故AE⊥EF，由AC＝，EC＝，AE＝，得AE2+EC2＝AC2，故AE⊥EC，EC∩EF＝E，所以AE⊥平面EFC，FC⊂平面EFC，所以AE⊥FC；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，a），F（0，），，设平面AEF的法向量为，由，得，平面DEFB的法向量为，由cos＜＞＝，得a＝．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．【分析】（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理求出C的坐标为（2，4+m），利用弦长公式求出|AB|＝4，所以|AC|＝2，又y0＝6+m，所以|MC|＝，再利用二倍角的正切公式求出tan，所以tan∠AMC＝＝＝，即可解出m的值．解：（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，被x轴截得的弦长为|AB|，依题意得：，化简整理得：x2＝4y，∴曲线E的方程为：x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立方程，整理得：，∴△＝16×2+4×4m＝32+16m＞0，∴m＞﹣2，∴，x1x2＝﹣4m，，∴，y3＝4+m，∴线段AB的中点C的坐标为（2，4+m），又|AB|＝＝＝4，∴|AC|＝2，又AB的垂直平分线方程为：y﹣（4+m）＝﹣，∴y0＝6+m，∴|MC|＝，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB＝2∠AMC，又tan∠AMB＝＝﹣2，解得tan或﹣（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC＝＝＝，∴m＝0，满足m＞﹣2，∴m的值为0．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【分析】（1）根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；（3）求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），得质量指标的均值约为216，作差得答案．解：（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025＝0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P＝；（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025＝200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；（2）由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．解：（1）f′（x）＝1+ae x，当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0可得x＝ln（﹣），故函数的单调递增区间为（﹣），单调递减区间（ln（﹣），+∞），（2）证明：由f（x）＝0可得a＝，设g（x）＝，则，当x＜3时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＝3时，g（x）取得最小值g（3）＝﹣，当x＞时，g（x）＜0，当x＜2时，g（x）＞0，不妨设x1＜x2，则x1∈（2，3），x2∈（3，+∞），所以6﹣x1＞3，且g（x）在（3，+∞）上单调递增，要证x1+x2＞6，只要证x2＞6﹣x1＞3，故只要证g（x2）＞g（6﹣x1），因为g（x1）＝g（x2）＝a，只要证g（x1））＞g（6﹣x1），即，即证（x1﹣4）+x﹣2＜0，令h（x）＝e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2，2＜x＜3，则h′（x）＝e2x﹣6（2x﹣7）+1，令m（x）＝h′（x），则m′（x）＝4e2x﹣6（x﹣3）＜0，所以m（x）在（2，3）上单调及，h′（x）＞h′（3）＝0，故h（x）在（2，3）上单调递增，h（x）＜h（3）＝0，即e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2＜0，从而：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．【分析】（1）求出曲线C的普通方程和当a＝1时，直线l的普通方程，列方程组能求出C与l的交点的直角坐标．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，由此利用C上的点到l的距离的最大值为，能求出a．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为，∴当a＝1时，直线l的普通方程为x+y﹣2＝0．由解得或从而C与l的交点的直角坐标是．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，故C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，当a≥﹣1时，d的最大值为．由题设得，所以当a＜﹣1时，d的最大值为.由题设得，所以．综上，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣2时，利用绝对值不等式得f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，即f（x）≤3的解集为R；再由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解之，即可得到不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，可求得f（x）＝|x﹣1|﹣x+a的最小值为f（1）＝a﹣1，解不等式a2﹣3≥a﹣1即可得到答案．解：（1）当a＝﹣2时，因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）＝3，|所以f（x）≤3的解集为R；由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解得x＜﹣，故不等式0＜f（x）≤3的解集为（﹣∞，﹣）；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，f（x）＝|x﹣1|﹣x+a＝，则f（x）min＝f（1）＝a﹣1，故a2﹣3≥a﹣1，解得：a≥2或a≤﹣1，又a≤0，所以a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020高考模拟考试试卷数学理科数学含答案
a为．y y⎪数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共 150 分，考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若 z = 2 - bi (b ∈R )为纯虚数,则 b 的值为．2 + iA ．- 1B ．1C ．- 2D ．4 2． 在等差数列 { }中， a + a = 16, a = 1 ，则 a 的值是． n5739A ．15B ．30C ． - 31D ．643．给出下列命题：① 若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线，则α ⊥ β ； ② 若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ，则 α // β ； ③ 若平面 α 垂直于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l ⊥ β ； ④ 若平面 α 平行于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l // β ．其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数 f ( x ) = ⎛ 1 ⎫ x -1 - 1 ，则 f ( x ) 的反函数 f -1 ( x ) 的图像大致 ⎝ 2 ⎭y y-1ox -1 ox -1 ox -1oxABCD5．定义集合 M 与 N 的运算： M * N = {x x ∈ M 或x ∈ N , 且x ∉ M I N } ，⎪4C ． π - αD ． 3π - α4 B ． α +π则 (M * N ) * M = A ． M I NB ． M Y NC ． MD ． N6．已知 cos(α + π ) = 1 ，其中 α ∈ (0, π ) ，则 sin α 的值为．432A ． 4 - 2B ． 4 + 2C ． 2 2 - 1D ． 2 2 - 166 6 37．已 知 平 面 上 不 同 的 四 点 A 、 B 、 C 、 D ， 若DB ·DC + CD ·DC + DA ·BC = 0 ，则三角形 ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形8．直线： x + y + 1 = 0 与直线： x sin α + y cos α - 2 = 0⎛ π < α < π ⎫ 的夹⎝ 4 2 ⎭角为．A ． α - π4 49．设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数，若f (2) > 1, f (3) = a 2 + a + 3，则 a 的取值范围是．a - 3A ． (-∞,-2) Y (0,3)B ． (-2,0) Y (3,+∞)C ． (-∞,-2) Y (0,+∞)D ． (-∞,0) Y (3,+∞)10． 若 log x = log x = log 21a2a系为．(a +1)x > 0 (0 < a < 1) ，则 x 、x 、x 的大小关3 1 2 3A ． x < x < x32 1D ． x < x < x231B ． x < x < x2 13C ． x < x < x1 3211． 点 P 是双曲线 y 2 - x 2 = 1 的上支上一点，F 1、F 2 分别为双曲线9 16的上、下焦点，则∆PF F 的内切圆圆心 M 的坐标一定适合的方程是．1 2A ． y = -3B ． y = 3C ． x 2 + y 2 = 5D ． y = 3x 2 - 212． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为 6 的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条⎨ ⎪5 - bx, x > 1.侧棱长是另一条侧棱长的 2 倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ． 4 3C ． 2 105D ． 2 21555第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.⎧2 x , 13 ．设函数 f ( x ) = ⎪a,x < 1,x = 1, 在 x = 1 处连续，则实数 a, b 的值分别⎩为．14．以椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程 5 4为．15．如图，路灯距地面 8m ，一个身高 1.6m过路A的人沿穿灯的直路以 84m/min 的速度行走，人影1.6O NC M B长度变化速率是m/min ．16．在直三棱柱 ABC - A B C 中，有下列三个条件：1 1 1① A B ⊥ AC ；② A B ⊥ B C ；③ B C = A C ．11111 11 1以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是（填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = cos x( 3 sin x - cos x), x ∈ R ． (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到y=sin x,x∈R的图像？18．（本小题满分12分）已知数列{a}的首项a=2，且2a=a+1(n∈N*)．n1n+1n(Ⅰ)设b=na，求数列{b}的前n项和T；n n n n(Ⅱ)求使不等式a-a<10-9成立的最小正整数n．(已知n+1nlg2=0.3010)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为2和1，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．32(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率；P(Ⅱ)求甲获胜的概率．D C 20．（本小题满分12分）A B如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2A B=2，侧面∆APD为等边三角形，且平面APD⊥平面ABCD．(Ⅰ)若M为PC上一动点，当M在何位置时，PC⊥平面MDB，并证明之；(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离；(Ⅲ)若点G为∆PBC的重心，求二面角G-BD-C的大小．21．（本小题满分12分）y M B 1A 1o A2xB2如图，已知 A 1、A 2 为双曲线 C ： x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2b 2的两个顶点，过双曲线上一点 B 1 作 x 轴的垂线，交双 曲线于另一点 B 2，直线 A 1B 1、A 2B 2 相交于点 M ． (Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程；(Ⅱ)若 P 、Q 分别为双曲线 C 与曲线 E 上不同于A 1、A 2 的动点，且 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ( m ∈ R ,且 m > 1)，1212设直线 A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为 k 1、k 2、k 3、k 4， 试问 k 1+k 2+k 3+k 4 是否为定值？说明理由．22．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 1 ( x ∈ R, a ,b 为实数)有极值，且3x = 1 在处的切线与直线 x - y + 1 = 0 平行．(Ⅰ)求实数 a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数 a ，使得函数 f ( x ) 的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设 a = 1 ， f ( x ) 的导数为 f '( x ) ，令 g ( x ) = f '( x + 1) - 3, x ∈ (0,+∞) ，2 x求证：g n ( x ) - x n- 1≥ 2 n - 2 (n ∈ N * ) ．x n=3sin2x-………………………………………（2=sin(2x-)-…………………………………………（46)有最大值1．此时函数f(x)的值最大,最大值为数学(理科)参考答案一、选择题：DABCD ADAAD BC二、填空题：13．a=2,b=3；14．y2=12(x+2)；15．21；16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)f(x)=3sin x cos x-cos2x1+cos2x22分）π162分）当2x-π=2kπ+π,(k∈Z)，即x=kπ+π,(k∈Z)时，623sin(2x-π1．……（6分）2(Ⅱ)将y=sin(2x-π)-1的图像依次进行如下变换：62①把函数y=sin(2x-π)-1的图像向上平移1个单位长度，得到622函数y=sin(2x-π6)的图像；…………………………………………（8分）②把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(x-π)6的图像；…………………………………………（10分）③将函数y=sin(x-π)的图像向左平移π个单位长度，就得到66函数y=sin x的图2 ∴ a = ⎪⎝2⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ∴T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + 3· ⎪ + Λ + n · ⎪⎝2⎭ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∴ T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + Λ + (n - 1) ⎪ 1 n (n + 1) ………+ n · ⎪ + ·T = 4 - (4 + 2n) ⎪ + ⎝ 2 ⎭ - a = ⎪ < 10 -9⎝2⎭C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ C 2 ⨯ ⎪ =⎝3⎭ 3⎝ 2 ⎭像．…………………………………………（12 分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由 2an +1= a + 1得 ann +1 - 1 = 1 2(a - 1) n可知数列{a - 1} 是以 a - 1 = 1 为首项，公比为 1 的等比数列． n 1n⎛ 1 ⎫ n -1+ 1 (n ∈ N * ) . …………………………………………（4分）从而有 b = na = n ·⎛ 1 ⎫n -1+ n ．n nT = b + b +Λ + b n 1 2n n⎛ 1 ⎫ 0 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -1 + (1 + 2 + Λ + n) ………①1 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ n -12 n ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎝ 2 ⎭ 2 2②n ①⎛1⎫ n- ② 并 整 理 得n(n + 1) ． ………………（8 分）2(Ⅱ) a n +1n⎛ 1 ⎫ n两边取常用对数得： n > 9 ≈ 29.9lg 2∴ 使 不 等 式 成 立 的 最 小 正 整 数30． ………………………………（12 分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：n 为⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（1 分） 27甲、 乙各投中两次的概率：23 3 ⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎛ 1 ⎫ 3 1 , …………………………………（ 2 61 ,…………………………（ 3C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ C 1 ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 12⎪ ⨯ 1 - ⎪ =2 ,………（ 9C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ ⎢C 0 ⨯ ⎪ + C 1 ⨯ ⎪ ⎥=⎝ 3 ⎭ 3 ⎢ 3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎥ 9C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭分）甲、 乙各投中一次的概率：⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 333 分）甲、 乙两人均投三次，三次都不中的概率：⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（4 216分）∴甲、乙平局的概率是： 1 + 1 + 1 + 1 = 7 ． ……………27 6 12 216 24（6 分）(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 7 , …………………………………⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭ 27（8 分）甲投中两球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎤ 2 3 3分）甲投中一球获胜的概率：3⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 31 , (36)（10 分）甲获胜的概率为： 7 + 2 + 1 = 55 ．………………………27 9 36 108（12 分）20．(Ⅰ) 当 M 在中点时，PC ⊥ 平面 MDB ………………………………（1 分）连结 BM 、DM ，取 AD 的中点 N ，连结 PN 、NB ． ∵ PN ⊥ AD 且面 P AD ⊥ 面 ABCD ， ∴ PN ⊥ 面 ABCD ． 在 Rt ∆PNB 中， PN = 3, NB = 2, ∴ PB = 5,CM =又 BC = 5 ． ∴ BM ⊥ PC……………………………………（3分）又 PD = DC = 2, 又 DM I BM = M ,∴ DM ⊥ PC ，∴ PC ⊥ 面 MDB ． ……………………（4分）(Ⅱ) AB // CD, C D ⊂ 面 PDC ， AB ⊄ 面 PDC ，∴ AB // 面 PDC ．∴AB 到面 PDC 的距离即 A 到面 PDC 的距离． ………………（6 分）Θ CD ⊥ DA, C D ⊥ PN , DA I PN = N , ∴ CD ⊥ 面 PAD ，又 DC ⊂ 面 PDC ，∴面 P AD ⊥ 面 PDC ．作 AE ⊥ PD ，AE 就是 A 到面 PDC 的距离，∴ AE = 3 , 即 AB 到平面 PDC 的距离为 3 ．………………（8 分）(Ⅲ)过 M 作 MF ⊥ BD 于 F ，连结 CF ．Θ PC ⊥ 面 MBD ，∴ ∠MFC 就是二面角 G - BD - C 的平面角． ………………（10分）在 ∆BDC 中， BD = 5, DC = 2, BC = 5,∴ CF = 4 5, 又 CM = 2,5∴ s in ∠MFC = 10 ． CF 4即二面角 G - BD - C 的大小是 arcsin 10 ．4……………（12分）21．(Ⅰ) 设 B ( x , y ) 、 B ( x ,- y ) 且 y ≠ 0 ，由题意 A (-a,0) 、 A (a,0) ，1212则直线 A 1B 1 的方程为： y = x + a ………①y x + a0 0直线 A 2B 2 的方程为： - y = x - a ………②…………（2y x - a0 0分）x , 由①、②可得 ⎪⎪⎨ 0⎩a 2 b 2b 2 x + a x - a x 2 - a 2 a 2 y a 2 y∴O 、P 、Q 三点共线，………………………………yy⎧ a 2 x = ⎪ y = ay ． ⎪ 0 x………………………………（ 4分）a 4 a 2 y 2又点 B ( x , y ) 在双曲线上，所以有 x 2 - x 2 = 1 ，1 0 0 整理得 x2 + y 2 = 1 ，a 2b 2所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x 2 + y 2 = 1（ x ≠ 0 且 y ≠ 0 ）．……a 2b 2（6 分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4 为定值．设 P ( x , y ) ，则 x 2 - a 2 = a 2 y 12 ，1 1 1分）则 k + k = y 1 + y 1 = 2 x 1 y 1 = 2b 2 · x 1 ……③ 1 2 1 1 1 1设 Q ( x , y ) ，则同理可得 k + k = - 2b 2 · x 2 ……④ ………（82 234 2设 O 为原点，则 A P + A P = 2OP , A Q + A Q = 2OQ ．1212Θ A P + A P = m ( A Q + A Q)∴ O P = mOQ1 212（10 分）∴ x 1 = x 2 , 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 yy12∴k 1+k 2+k 3+k 4 为定值 0．………………………………（12 分）另解：由 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ，1212得 ( x + a , y ) + ( x - a , y ) = m [( x + a , y ) + ( x - a , y )] 111122 2 2即 ( x , y ) = m ( x , y )∴ x1 = x2 ,112212再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵ f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 13xx 10 0 3∴ -a + a 2 + 2a = 4∴ a = - < -2 ,- 3 = x 2 + 1= x +∴ f '( x ) = x 2 + 2ax - b由题意 f '(1) = 1 + 2a - b = 1∴ b = 2a……①………………………………………（2 分）∵ f ( x ) 有极值，∴方程 f '( x ) = x 2 + 2ax - b = 0 有两个不等实根．∴ ∆ = 4a 2 + 4b > 0∴ a 2 + b > 0 ……②由①、②可得， a 2 + 2a > 0∴ a < -2 或a > 0 ．故实数 a 的取值范围是 a ∈ (-∞,-2) Y (0,+∞)…………（4 分）(Ⅱ)存在 a = - 8 ，………………………………………（5 分）3由(Ⅰ)可知 f '( x ) = x 2 + 2ax - b ，令 f '( x ) = 0 ，∴ x = -a + a 2 + 2a , x = -a - a 2 + 2a12(-∞, x )( x , x )1 12x 2( x ,+∞)2f '( x )f ( x )＋ － ＋单调增 极大值 单调减 极小值 单调增（7 分）（8 分）∴ x = x 时， f ( x ) 取极小值， ………………………………………2则 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - 2ax + 1 = 1, ∴ x = 0 或 x 2 + 3ax - 6a = 0 ， 2 2 2 2 2 2若 x = 0 ，即 - a + a 2 + 2a = 0 ，则 a = 0 （舍） ………………2若 x 2 + 3ax - 6a = 0 ，又 f '( x ) = 0 ，∴ x 2 + 2ax - 2a = 0 ,22222∴ ax - 4a = 0 ,Θ a ≠ 0∴ x = 4 , 2283∴存在实数 a = - 8 ， 使 得 函 数 f ( x ) 的 极 小 值 为31．…………（9 分）(Ⅲ) Θ a = 1 , f '( x ) = x 2 + x - 12 ∴ f '( x + 1) = x 2 + 3x + 1 ,∴ f '( x + 1)1 , x x x∴ g ( x ) = x + ,x ∈ (0,+∞) ．…………………………………（ 10= x + ⎪ - x n - = C x ⎪+ C2 x n -2 ⎪ +Λ + C n -2 x 2 ⎪ + C n -1 x ⎪ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ 2 ⎢⎣ n ⎝ x n -2 ⎭ ⎝ ⎝ x n -2 + x n -2 ⎪⎥ 2 ⎣ x n -2 x n -4⎢1 x分）g n ( x ) - x n -1 ⎛ 1 ⎫ nx n ⎝ x ⎭ 1 x n⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -2 ⎛ 1 ⎫ n -1 1 n -1 n n n n= 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 C 1 x n -2 + ⎪ + C 2 x n -4 + ⎪ + Λ + C n -1 n n ⎫⎤ ⎭⎦≥ 1 ⎡C 1 2 x n -2 · 1 + C 2 2 x n -4 · 1 + Λ + C n -1 2 n n n 1 x n -2 ⎤·x n -2 ⎥ ⎦= C 1 + C 2 + Λ + C n -1 = 2 n - 2n n n∴其中等号成立的条件为 x = 1 ．…………………………………（13 分）∴ g n ( x ) - x n - 1 ≥ 2 n - 2 (n ∈ N * )…………………………（ 14x n分）。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。
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模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西模拟]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2) 答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1 答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i－2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3 答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 2 1－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1 ＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3] 答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z取得最大值，联立⎩⎨⎧x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1) C.83(4n －1) D.43(3n －1) 答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n －1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C.9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学诊断]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3] 答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2 答案：A解析：解法一 由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A＝－b2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二 由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2， 当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·郑州测试]在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32：1，则x 2的系数为________．答案：90解析：令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x 35-r2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90.14．在△ABC 中，若(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC→＝0，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423，∴b ＝423.18．(本小题满分12分)[2019·云南昆明一中模拟]某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平，在全校范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N (69,49)，现从该校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)估算该校50名学生成绩的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解析：(1)x －＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.(2)(0.008＋0.012)×10×50＝10(名)． (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4， 则P (X ≥90)＝1－0.997 42＝0.001 3. 0．001 3×20 000＝26，所以该市前26名的学生听写考试成绩在90分以上．上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50＝4人． 随机变量X ＝0,1,2.于是P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝1)＝C 16·C 14C 210＝815，P (X ＝2)＝C 24C 210＝25.所以X 的分布列为X0 1 2 P13815215数学期望E (X )＝0×13＋1×815＋2×225＝45. 19．(本小题满分12分)[2019·合肥市质检]如图所示，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，AB ＝AA 1＝2A 1B 1＝2.(1)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (2)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，连接AC ，如图，则△ACD 为等边三角形，又M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ，由CD ∥AB 得，AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴AM ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B .。