小波变换详解

基于小波变换的人脸识别近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。

小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。

具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。

4.1 小波变换的研究背景法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。

傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。

在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。

定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下：()()dt e t f F t j ωω-⎰∞-∞+= (4-1) 傅立叶变换的逆变换为：()()ωωπωd e F t f t j ⎰+∞∞-=21 (4-2)从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。

可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。

尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。

但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。

因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。

1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。

定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即：()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞∞--=⎰, (4-3)式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。

由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。

其逆变换公式为：()()()ττωτωπωd G t g e d t f f t j ,21⎰⎰+∞∞---= (4-4)可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。

虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不足，且兼顾信号的时频分辨率，但其本身仍存在不可克服的局限性，即Gabor 窗口不具有自适应性，其大小是固定不变的，因此Gabor 变换只能进行单一分辨率的分析。

而在实际研究中，我们常常希望窗口的大小会随着频率的高低而改变，比如在研究高频信号时，希望窗口开得小一点；反之，在研究低频信号时，则希望窗口开得大一点，这样才更符合实际研究中低频信号分辨率比高频信号分辨率低的特点，因此需要研究更好的解决办法来改善Gabor 变换的不足。

为了克服前面所描述的傅立叶变换和Gabor 变换存在的不足，学者们提出了小波变换(Wavelet Transform)。

4.2 小波变换与逆变换4.2.1 连续小波变换和离散小波变换小波变换是一种窗El 面积(即窗口大小)固定但窗口形状可变的时频局部化分析方法，其高频部分的时间分辨率较高而频率分辨率较低，而低频部分的频率分辨率较高而时间分辨率较低，因此对信号具有良好的自适应性，被冠以“数学显微镜”的美誉。

小波变换又可分为连续小波变换和离散小波变换两种。

连续小波变换的概念是由Morlet 等人提出[1]。

设()x ψ为小波变换的核函数，若核函数()()R L x 2∈ψ若满足容许性条件 ：()()+∞<=⎰ωωωψψd F C R2(4-5)则称该函数)(x ϕ为基小波。

一维信号f(t))(2R L ∈的连续小波变换可定义为：()()()dx a b t x f ab a f W R⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰ψψ1, (4-6)根据上述对基小波定义，可知：()∞<⎰dx x R ϕ，且()x ϕ在无穷远处趋近于零。

一般的，记：()⎪⎭⎫⎝⎛-=a b x x b a ϕϕ, R b a ∈,,a<0 (4-7) 函数()x b a ,ϕ是由基小波函数()x ϕ经过尺度a 的伸缩和b 的平移之后所得。

常用的连续小波包括：Morlet 小波、Daubechies 小波、三次样条小波、Meyer 小波和Simoncelli 小波等。

与连续小波变换相对应的是离散小波变换，其一般形式为：()()>==<n m f n m f W ,,,ϕϕ()dx a nb x x f a m Rm⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-002ϕ (4-8)其中()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-Z n m a nb x a x m m n m ,0020,ϕϕ为小波基，0a 、0b 为两个常量且0a >0。

离散小波最具代表性的为二进小波，即0a 为2的幂次J 2，0b 取整。

由于小波变换在时域和频域同时兼有局部化能力，且能逐步聚焦到对象的任何细节进行分析，因此在人脸识别方面得到众多研究者的关注。

4.2.2 几种常见的小波同傅立叶分析不同，小波分析的基（小波函数）不是唯一存在的，所有满足小波条件的函数都可以作为小波函数，那么小波函数的选取就成了十分重要的问题[8]。

(1) Haar 小波A.Haar 于1990年提出一种正交函数系，定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(x H ψ 其它12/12/10<≤≤≤x x （4-9）这是一种最简单的正交小波，即)()(=-⎰∞∞-dx n x t ψψ ,2,1±±=n （4-10）(2) Daubechies(dbN)小波系该小波是Daubechies 从两尺度方程系数{}k h 出发设计出来的离散正交小波。

一般简写为dbN ，N 是小波的阶数。

小波ψ和尺度函数阈中的支撑区为2N-1。

ϕ的消失矩为N 。

除N ＝1外(Haar 小波)，dbN 不具对称性〔即非线性相位〕；dbN 没有显式表达式(除N ＝1外)。

但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。

假设∑-=+-=11)(N k kk N k y C y P ，其中，kN k C +-1为二项式的系数，则有)2(sin )2(cos )(2220ωωωP m N = （4-11）其中∑-=-=120021)(N k ik k e h m ωω(3) Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。

通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。

Biorthogonal 函数系通常表示为biorNr.Nd 的形式：Nr=1 Nd=1，3，5 Nr=2 Nd=2，4，6，8 Nr=3 Nd=1，3，5，7，9 Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8其中，r 表示重构，d 表示分解。

(4) Coiflet(coifN)小波系coiflet 也是函数由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coifN(N=1，2，3，4，5)这一系列，coiflet 具有比dbN 更好的对称性。

从支撑长度的角度看，coifN 具有和db3N 及sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN 具有和db2N 及sym2N 相同的消失矩数目。

(5) SymletsA(symN)小波系Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。

Symlets 函数系通常表示为symN(N=2，3，…，8)的形式。

(6) Morlet(morl)小波Morlet 函数定义为x Ce x x5cos )(2/2-=ψ，它的尺度函数不存在，且不具有正交性。

(7) Mexican Hat(mexh)小波 Mexican Hat 函数为2/24/12)1(32)(x e x x ---=ψπ （4-12）它是Gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。

墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足)(=⎰∞∞-dx x ψ （4-13)由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

(8) Meyer 函数Meyer 小波函数ψ和尺度函数ϕ都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=ψ--0))123(2cos()2())123(2sin()2()(ˆ2/2/12/2/1ωπυππωπυππωωωj j e e ]38,32[38343432ππωπωππωπ∉≤≤≤≤ （4-14） 其中，)(a υ为构造Meyer 小波的辅助函数，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--0))123(2cos()2()2()(ˆ2/12/1ωπυπππωφ 34343232πωπωππω>≤≤≤（4-15） 4.2.3 二维小波变换与逆变换把对一维的表示推广到二维，考虑二维尺度函数是可分离的情况，可有3个二维小波]9[，则二维尺度函数和小波函数可表示为：()()()y x y x ϕϕϕ=,()()()y x y x hψϕψ=, （4-16） ()()()y x y x v ϕψψ=,()()()y x y x d ψψψ=, （4-17） 设(){}21,k k c j表示一幅离散图像，用低通滤波器h 和高通滤波器g 分别对jc的每一行作滤波，并作隔点抽样，然后再用它们分别对jc 的每一列滤波并作隔点抽样，得到图像低频概貌1+j c 和图像高频细节h j d 1+,v j d 1+,dj d 1+,则有如下小波正变换(分解算法):()()()()∑∑--=+21212211211,22,k k k j k k c k n h k nh n n c()()()()∑∑--=+21212211211,22,k k k h j k k c k n g k nh n n d ()()()()∑∑--=+21212211211,22,k k k v j k k c k n h k ng n n d()()()()∑∑--=+21212211211,22,k k k d j k k c k n g k ng n n d （4-18）其小波逆变换(重构算法)如下式:()()()()()()()()()()()()()211221121122112112211211221121,2~2~,2~2~,2~2~,2~2~,11111111n n d n k g n kgn n d n k h n k g n n d n k g n k h n n c n k h n k h k k c d j n n v j n n h j n n k j n n j ++++--+--=--+--=∑∑∑∑∑∑∑∑（4-19）对于N×N像素的图像，小波变换能分解J 层，整数n J 2log ≤ 。