小波分析与实例
论述小波分析及其在信号处理中的应用
论述小波分析及其在信号处理中的应用小波分析是一种数学工具，用于在时域和频域中对信号进行分析。
它可以将信号分解成具有不同频率和时间尺度的小波函数，从而更好地捕捉信号的局部特征和变化。
小波分析在信号处理中有广泛的应用，以下是一些主要的应用领域：1. 信号压缩：小波分析可以提供一种有效的信号压缩方法。
通过对信号进行小波变换并根据重要性剪切或量化小波系数，可以实现高效的信号压缩，同时保留主要的信号特征。
2. 图像处理：小波分析在图像处理中有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将其分解成具有不同频率和时间尺度的小波系数，从而实现图像的去噪、边缘检测、纹理分析等。
3. 语音和音频处理：小波分析可以用于语音和音频信号的分析和处理。
通过小波变换，可以提取音频信号的频谱特征，实现音频的降噪、特征提取、语音识别等。
4. 生物医学信号处理：小波分析在生物医学信号处理中有广泛的应用。
例如，通过小波分析可以对脑电图（EEG）和心电图（ECG）等生物医学信号进行时频分析，以实现对心脑信号特征的提取和异常检测。
5. 数据压缩：小波分析在数据压缩中也有应用。
通过对数据进行小波变换，并且根据小波系数的重要性进行压缩，可以实现对大量数据的高效存储和传输。
6. 模式识别：小波分析可以用于模式识别和分类问题。
通过对数据进行小波变换，可以提取重要的特征并进行模式匹配和分类，用于图像识别、人脸识别等应用。
综上所述，小波分析在信号处理中有广泛的应用，可以用于信号压缩、图像处理、语音和音频处理、生物医学信号处理、数据压缩和模式识别等领域。
它提供了一种强大的工具，用于捕捉信号的局部特征和变化，从而推动了许多相关学科的发展。
小波的分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)
第八章 小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。
1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。
傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。
傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。
傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)()()π2,02L x f ∈∀，()∑∞-∞==k ikxkec x f (8.1-1)其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=ππ2021 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。
因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)()()dx e x f F x j ωω⎰∞∞-= (8.1-3)()()ωωπωd e F x f xj -∞∞-⎰=21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。
对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。
由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。
在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。
小波分析-经典案例
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
小波分析-经典解读
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
14.2 小波分析的应用实例
（一）年平均气温的非线性变化趋势
基 于 图 14.2.1 中 23 个 台 站 48 年 （ 1959—
2006年）的年平均气温时间序列数据，对各
台站的数据求平均，
然后运用小波分析方法，以Symmlet 作为基
小波、以sym8为小波函数进行小波分解，就 可以从 16 年（ S4 ）、 8 年（ S3 ）、 4 年（ S2 ）
S1 S2 S3 S4 S5
AR = 24.372 8AAT-0.061 8AP-44.675 4 AR = 20.037AAT+0.138 3AP-19.12 AR = 26.705 9AAT+0.121 7AP-83.328 5 AR = 14.430 2AAT+0.469 2AP+7.009 7 AR = 17.100 3AAT+0.393 3AP-11.614 0
到8年或4年，则呈现出现了比较明显的起伏振荡。
对于年平均相对湿度，从在16年和8年的时间尺度看 ，以 1980 年为时间节点， 1980 年以前无明显上升或 下降趋势，而 1980 年以后则呈微弱上升趋势；如果 把时间尺度缩小到4年，那么其在总体上仍然保持了 16年和8年尺度的基本趋势，但出现了比较明显的起 伏振荡。
进一步说明，塔里木河三源流年径流量的非线性变化
趋势是区域气候变化影响的结果。
用同样的方法，对年平均相对湿度时间序
列做小波分解和重构，结果如图14.2.4所示。
图14.2.4 不同时间尺度下年平均相对湿度的非线性变化趋势
结论：
从气候变化过程（时间序列）看， 50 多年来，塔里木 河流域年平均气温、年降水量和年平均相对湿度呈现 非线性变化趋势，而且非线性趋势具有尺度依赖性的 特征。 对于年平均气温，从在 16 年和 8 年的时间尺度看，以
小波变换在图像处理中的应用及其实例
小波变换在图像处理中的应用及其实例引言：随着数字图像处理技术的不断发展，小波变换作为一种重要的数学工具，被广泛应用于图像处理领域。
小波变换具有多尺度分析的特点，能够提取图像的局部特征，对图像进行有效的压缩和去噪处理。
本文将探讨小波变换在图像处理中的应用，并通过实例加以说明。
一、小波变换的基本原理小波变换是将信号或图像分解成一组基函数，这些基函数是由母小波函数进行平移和伸缩得到的。
小波变换的基本原理是将信号或图像在不同尺度上进行分解，得到不同频率的小波系数，从而实现信号或图像的分析和处理。
二、小波变换在图像压缩中的应用图像压缩是图像处理中的重要应用之一。
小波变换通过分解图像，将图像的高频和低频信息分离出来，从而实现图像的有损或无损压缩。
小波变换在图像压缩中的应用主要有以下两个方面：1. 小波变换在JPEG2000中的应用JPEG2000是一种新一代的图像压缩标准，它采用小波变换作为核心算法。
JPEG2000通过小波变换将图像分解成多个子带，然后对每个子带进行独立的压缩，从而实现对图像的高效压缩。
相比于传统的JPEG压缩算法，JPEG2000在保持图像质量的同时，能够更好地处理图像的细节和边缘信息。
2. 小波变换在图像去噪中的应用图像去噪是图像处理中的常见问题，而小波变换能够有效地去除图像中的噪声。
小波变换通过将图像分解成多个尺度的小波系数，对每个尺度的小波系数进行阈值处理，将较小的小波系数置零，从而抑制图像中的噪声。
经过小波变换去噪后的图像能够更清晰地显示图像的细节和边缘。
三、小波变换在图像增强中的应用图像增强是改善图像质量的一种方法，而小波变换能够提取图像的局部特征，从而实现图像的增强。
小波变换在图像增强中的应用主要有以下两个方面：1. 小波变换在图像锐化中的应用图像锐化是增强图像边缘和细节的一种方法，而小波变换能够提取图像的边缘信息。
通过对图像进行小波变换，可以得到图像的高频小波系数，然后对高频小波系数进行增强处理，从而增强图像的边缘和细节。
db4小波的lo_d和hi_d系数
db4小波的lo_d和hi_d系数概述本文档将介绍db4小波的l o_d和hi_d系数，着重解释它们的含义和应用，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. db4小波的介绍d b4小波是一种常用的小波函数，它是Da u be ch ie s小波系列中的一员。
它的名字源自于其设计者In gr id Dau b ec hi es的姓氏。
d b4小波是一种具有紧支撑、对称且整数长度的小波函数。
它被广泛应用于信号处理、图像压缩、特征提取等领域。
2. lo_d和h i_d系数的含义在小波分析中，d b4小波的低通滤波器(l o_d)和高通滤波器(h i_d)是关键的组成部分。
它们被用于将输入信号进行低频和高频分解。
l o_d系数：lo_d系数是指通过低通滤波器得到的信号分量，它对应信号的低频成分。
在小波分解中，lo_d系数表示信号的近似部分。
h i_d系数：hi_d系数是指通过高通滤波器得到的信号分量，它对应信号的高频成分。
在小波分解中，hi_d系数表示信号的细节部分。
3. lo_d和h i_d系数的应用3.1信号分解和重构使用db4小波的l o_d和h i_d系数，我们可以对信号进行分解和重构。
通过对信号进行小波分解，我们可以将信号分解成不同频率范围的子信号，从而实现信号的特征提取和分析。
3.2图像压缩小波变换在图像压缩领域有广泛的应用，而d b4小波的l o_d和h i_d系数则是其中常用的选择之一。
通过对图像进行小波变换，并通过对系数进行压缩，可以实现图像的高效压缩。
3.3信号滤波由于db4小波具有良好的频率响应特性，它可以用于对信号进行滤波。
通过选择适当的l o_d和hi_d系数，我们可以实现对信号的去噪和滤波操作。
4.示例下面是一个使用d b4小波进行信号分解的示例：i m po rt py wti m po rt nu mp ya sn p创建示例信号s i gn al=n p.ar ra y([1,2,3,4,5,6,7,8])进行小波分解c o ef fs=p yw t.wa vede c(si gn al,'db4',l ev el=2)获取lo_d和hi_d系数c A2,cD2,cD1=co eff s打印结果p r in t("近似系数(cA2):",cA2)p r in t("细节系数1(c D1):",cD1)p r in t("细节系数2(c D2):",cD2)在以上示例中，我们使用了P yt ho n的py w t库来进行小波分解。
小波分析-经典
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
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17
b
a,bta12tab b R ,a R 0
称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定为窗口小波函数。
2、小波分析的基本知识
18
b
a为尺度参数
2、小波分析的基本知识
19
b
b为位移参数
2、小波分析的基本知识
20
b
小波正变换：
W f(a,b)f(t) (a,b)(t)dt
图1.4
b
小波函数表
26
b小波函数表Fra bibliotek27b
b
2、小波分析的基本知识—连续小波变换 28
这就是信号f(t)的连续小波变换公式，其中参 数a和b都是连续变化的参数，a为尺度参数（在某 种意义上就是频率的概念），b是时间参数或平移 参数。不严谨地讲，Wf(a,b)指的是对信号f(t)进 行小波变换后当频率为a时间为b时的变换值。可以 看出，一维信号f(t)经过小波变换后将变成二维信 号。
b
对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上 看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
5
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
成立的自变量为实数的
L²（0,2π）：f（x+2π）=f（x），2 f(t)2dt 0
2、小波分析的基本知识
16
b
小波定义：
设ψ∈L²（R）∩L（R），在R上不几乎处处为0，
且满足
C
|ˆ()|2 ||
d
则称ψ为小波。其中^() 为ψ的傅里叶变换。
1 (t)ei t dt
2
2、小波分析的基本知识
f(t)L2(R)
小波逆变换：
f(t) 1
C
Wf(a,b)(a,b)(t)daa2 db
Wf (a,b) 是f（t）在函数(a,b)(t)上的投影。
21
一维连续小波的例子：
b 2020/12/7
1. Haar小波：
1, 0 t 1/2 (t) -1, 1/2 t 1
0, others
Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进 小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。
对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时， 会有两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数， 称作小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤 波器（尺度滤波器）。
我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例 如N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4 。
Daubechies(dbN)小波系（多贝西2）5
b
1、傅里叶变换与小波分析
6
b
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。 因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是 人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生 物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单 的方法。
（3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重 复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个 信号长度；
小波运算的步骤
14
b
• （4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤（1）、（2）、（3）；
• （5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、 （4）。
2、小波分析的基本知识
(t)ejte-t2/2
式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不 具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和相应的信息，广泛应用于 地球物理信号处理中。
b
Daubechies(dbN)小波系（多贝 24 西）
多贝西小波是以英格丽·多贝西的名字命名的一种 小波函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换， 是最常使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波， 所以它很容易进行正交变换。
15
小波基础术语:
b
①紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取 到值；而在此之外，f(x)取值为0。
那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就 叫做紧支撑集。
比如：在(-1,1)之间的高斯函数。
②L²（R）:满足 f(t)2dt
实值或复值函数f的全体。
O f M lo 2M g, O wM
1、傅里叶变换与小波分析 11
b
1、傅里叶变换与小波分析 12
b
小波运算的步骤
13
b
（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐；
（2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程 度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与所 选择的小波函数波形越相近；
b 2020/12/7
22
一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波(：t ) 21/4(1-t2)e-t2/2 3
草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的 正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
23
一维连续小波的例子：
b 2020/12/7
3. Morlet小波：
b
1
小波分析
小波分析讲解
2
b
傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识
多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
3
b
小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了 在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的 领域也有着广泛的应用。
1、傅里叶变换与小波分析
4
一、傅里叶变换
小波的3 个特点
10
b
小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。 （傅里叶变换只具有频率分析的性质）
小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等）
小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
事件相关电位
股市折线图
1、傅里叶变换与小波分析
7
b
加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换STFT）
1、傅里叶变换与小波分析
8
b
窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。 窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
1、傅里叶变换与小波分析
9
b
小波定义： ①小
②波动性：(x)dx0