终值定理
K2.07-初值定理和终值定理
两边乘zM，得
zM F z f (M ) f (M 1)z1 f (M 2)z2 ห้องสมุดไป่ตู้..
上式取z→∞，得
f (M ) lim zM F (z) z 3
初值定理和终值定理 2、终值定理： 如果序列存在终值，即：
则序列的终值
f () lim f (k) k
f () lim z 1 F (z) lim(z 1)F (z)
z1 z
z 1
注意：收敛域要求含单位圆。
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知识点K2.07
初值定理和终值定理
初值定理和终值定理
主要内容：
初值定理和终值定理
基本要求：
熟练运用初值定理和终值定理
1
初值定理和终值定理
K2.07 初值定理和终值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为整数)
时 f(k)=0 的 序 列 。 由 象 函 数 直 接 求 序 列 的 初 值 f(M), f(M+1), … 而不必求得原序列。
1、初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0， f(k)←→F(z) ，<|z|<∞ 则序列的初值
f (M ) lim zmF (z) z
对因果序列f(k)， f (0) lim F (z) z
初值定理和终值定理
证明：
F (z) f (k)zk f (k)zk
k
kM
f (M )zM f (M 1)z(M 1) f (M 2)z(M 2) ...
K2.07 初值定理和终值定理
z1 z
z 1
注意：收敛域要求含单位圆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1、初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0， f(k)←→F(z) ，<|z|<∞ 则序列的初值
f (M ) lim zmF (z) z
对因果序列f(k)， f (0) lim F (z) z
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初值定理和终值定理
证明：
F (z) f (k)zk f (k)zk
k
kM
f (M )zM f (M 1)z(M 1) f (M 2)z(M 2) ...
两边乘zM，得
zM F z f (M ) f (M 1)z1 f (M 2)z2 ...
上式取z→∞，得
f (M ) lim zM F (z) z
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初值定理和终值定理 2、终值定理： 如果序列存在终值，即：
则序列的终值
f () lim f (k) k
f () lim z 1 F (z) lim(z 1)F (z)
知识点K2.07
初值定理和终值定理
初值定理和终值定理
主要内容：
初值定理和终值定理
基本要求：
熟练运用初值定理和终值定理
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K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
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拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
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离散系统终值定理
离散系统终值定理嘿，你们知道吗？我觉得离散系统终值定理好像一个神秘的魔法咒语呢！今天我要和大家说一说离散系统终值定理哦。
比如说我们玩游戏的时候，每次游戏结束都会有一个最后的得分，这个最后的得分就有点像离散系统终值定理里的那个“终值” 哦。
就像我们玩跳房子游戏，每跳一次就会有一个成绩，到最后游戏结束时，我们会得到一个总的成绩，这个总成绩就是跳房子这个“系统” 的终值啦。
再比如说我们收集卡片，每次得到一张卡片就是一个小的“值”，等我们收集了好多好多卡片后，最后我们数一数一共有多少张卡片，这个总数就是卡片收集“系统” 的终值哦。
离散系统终值定理就是告诉我们怎么去找到这个最后的值呢。
想象一下，如果我们把每天吃的糖果数量记下来，一个星期后，我们想知道这一个星期一共吃了多少颗糖果，这时候就可以用类似离散系统终值定理的方法来算哦。
我们每天吃的糖果数就像是一个个小的“离散的值”，到了周末，把这些天的糖果数加起来得到的总数，就好像是这个“糖果吃的系统” 的终值呢。
还有哦，我们在学校里每次考试都有分数，一个学期下来，所有考试分数加起来的那个总分，也可以看成是学习成绩这个“系统” 的终值哦。
离散系统终值定理就是帮助我们理解这些最后结果是怎么来的。
比如说我们种小花朵，每天观察它长了多高，过了一段时间后，最后花朵长到的高度就是它生长这个“系统” 的终值啦。
离散系统终值定理就像一个小工具，能让我们知道最后的结果是多少。
我们玩搭积木游戏也是一样哦，每搭一块积木就有一个小小的变化，等我们把积木搭完了，整个积木的样子和高度就是这个搭积木“系统” 的终值啦。
离散系统终值定理能让我们明白这个最终的状态是怎么形成的哦。
嘿，现在你们是不是对离散系统终值定理有点了解啦？其实它没有那么难哦，就是在生活中很多地方都能看到它的影子呢。
我们可以通过这些有趣的例子来慢慢认识它，以后再遇到类似的情况，我们就可以想到这个神秘又有趣的离散系统终值定理啦！怎么样，是不是很有意思呀？下次我们再一起发现更多有趣的知识哦！。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
拉普拉斯变换初值定理和终值定理
文章标题：深度探析拉普拉斯变换初值定理和终值定理目录：1. 引言2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析2.2 详细推导与举例说明2.3 个人观点与理解3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析3.2 推导及应用范围3.3 个人见解和扩展思考4. 总结与回顾1. 引言拉普拉斯变换初值定理和终值定理是微积分中的重要概念，它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域有着广泛的应用。
通过深入探究这两个定理，不仅可以帮助我们加深对拉普拉斯变换的理解，还能为日后的应用打下坚实的基础。
2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析拉普拉斯变换初值定理是指如果函数f(t)在t=0处连续，并且t<0时f(t)=0，则拉普拉斯变换的初值f(0-)等于原函数的初始值f(0)。
2.2 详细推导与举例说明以实际函数为例，对拉普拉斯变换初值定理进行推导和举例说明，可以更加直观地理解这一概念的含义和应用。
2.3 个人观点与理解在我看来，拉普拉斯变换初值定理的重要性在于它可以帮助我们在进行变换计算时更加便捷准确地处理初始值的情况，同时也为我们提供了从初始值到变换结果的直观对应关系。
3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析拉普拉斯变换终值定理是指如果函数f(t)在t=∞时有界，并且在t>0时f(t)有有限个第一类间断点，则拉普拉斯变换的终值lim(s→0)F(s)等于原函数f(t)的终值lim(t→∞)f(t)。
3.2 推导及应用范围通过数学推导和具体应用范例，可以更好地理解拉普拉斯变换终值定理在控制理论、信号处理等领域中的作用和价值。
3.3 个人见解和扩展思考我认为拉普拉斯变换终值定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，它能够帮助我们从全局的角度去理解和分析问题，为我们解决实际问题提供了新的视角和思路。
4. 总结与回顾通过对拉普拉斯变换初值定理和终值定理的深度探讨，我们不仅对这两个定理有了更深入的理解，也为我们今后在工程技术和科学研究中的应用提供了更加丰富的思维方式。
z变换的终值定理公式
z变换的终值定理公式Z 变换的终值定理公式是控制工程、信号处理等领域中的一个重要概念。
在深入探讨这个公式之前，我先跟您讲讲我曾经遇到的一件有趣的事儿。
那是在我给学生们上相关课程的时候，有个学生，咱们就叫他小李吧。
小李这孩子特别聪明，但是有时候聪明劲儿没用对地方。
有一次课堂上，我正在讲解 Z 变换的终值定理公式，刚在黑板上写下公式，就发现小李在下面皱着眉头，一脸的困惑。
我就问他：“小李，怎么啦？”他站起来，挠挠头说：“老师，这公式看着太复杂了，感觉没啥用啊。
”我一听，心里想，这可不行，得让他明白这公式的重要性。
于是我就给他举了个例子。
我说：“假设咱们有一个自动控制系统，就像一辆自动驾驶的汽车，这个系统会根据输入的指令和环境的变化来调整自己的速度和方向。
而 Z 变换的终值定理公式呢，就像是能告诉我们这辆车最终会稳定在什么样的速度和位置上。
如果没有这个公式，咱们就没法准确预测系统的最终状态，那这辆自动驾驶的车可能就会到处乱撞啦。
”小李听了，眼睛一下子亮了起来，说：“老师，我好像有点明白了。
”好了，言归正传，咱们来说说 Z 变换的终值定理公式。
Z 变换的终值定理公式表述为：如果离散时间函数 f(k) 的 Z 变换为F(z)，并且当 z 趋近于 1 时，(z - 1)F(z) 的极限存在，那么 f(k) 的终值f(∞) 可以通过下式求得：f(∞) = lim(z→1) [(z - 1)F(z)] 。
这个公式看起来可能有点让人头疼，但其实它的作用非常强大。
它可以让我们在已知系统的 Z 变换表达式的情况下，直接求出系统的稳态值，而不需要通过繁琐的迭代计算。
比如说，在控制系统中，如果我们知道了系统的传递函数的 Z 变换，就可以利用终值定理公式来判断系统是否稳定，以及系统的输出最终会稳定在什么值上。
这对于设计和优化控制系统非常重要。
再比如说，在数字信号处理中，我们可以用这个公式来分析离散信号的长期特性。
如果一个数字滤波器的输入是一个离散信号，通过 Z变换和终值定理公式，我们可以知道经过滤波后，信号最终会变成什么样。
z变换终值定理使用条件
Z 变换终值定理，也称为Z 域积分定理，是信号与系统领域中一个重要的定理。
它用于计算线性时不变系统在正弦激励下的稳态响应。
在使用Z 变换终值定理时，需要满足以下条件：
1. 系统是线性时不变系统：这意味着系统的特性不会随着时间的变化而变化，且系统对输入信号的响应是与输入信号的幅度和频率无关的。
2. 输入信号是正弦信号：Z 变换终值定理主要用于计算线性时不变系统在正弦激励下的稳态响应。
因此，输入信号应当是正弦信号或者是可以分解为正弦信号的复杂信号。
3. 系统是稳定的：这意味着系统的传递函数在单位圆内没有极点。
也就是说，系统的闭环增益矩阵在单位圆内是稳定的。
4. 初始条件已知或可得：在应用Z 变换终值定理时，需要知道系统的初始条件或者可以通过计算得到初始条件。
5. 变换域的选择：Z 变换终值定理可以在不同的变换域中应用，如频域、时域等。
选择合适的变换域可以简化问题的求解。
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9. 初值定理
如果信号x ( t ) 的拉氏变换为X ( s ) ，且x ( t ) 在t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数，则:
(5.40)
初值定理表明，s X ( s ) 的极限值等于信号x ( t ) 在t = 0+ 点的初值，而且，无论拉氏变换采用 0-系统还是 0+ 系统，所求得的初值都是在t = 0+ 时刻的值，证明如下。
根据时域微分性质可知:
(5.41)
而由拉氏变换的定义可得:
(5.42)
于是有:
(5.43)
对此式两边取的极限，由于当，且仅当t > 0 时，，因此:
对初值定理，也可利用信号x ( t ) 在t = 0+ 时刻的台劳级数来证明，其台劳级数为:
(5.44)
式中，x (n)(0+) 是x ( t ) 在t =0+时刻的n 阶导数值。
由于:
因此，对式（5.44）两边取拉氏变换后有:
由此而得:
初值定理要求信号x ( t ) 在t = 0 点不含有任何阶次的冲激函数，这也就是要求式（5.40）中的X ( s ) 必须是一个真分式。
如果X ( s ) 是一个
假分式，即当X ( s ) 分子的阶次高于或等于分母的阶次时，，式（5.40）将不成立。
因此，如果X ( s ) 是一个假分式时，则应先将它分解出一个真分式，然后再利用式（5.40）求这个真分式所对应的信号初值。
例如，如
果，这是一个假分式，它不能直接利用式（5.40）求得初值。
但是，如果将其分解为，则可利用式（5.40）求得所对应的信号初值为1。
(5.40)
10.终值定理
终值定理的形式类似于初值定理，它是通过变换式在时的极限值来求得信号的终值，即
(5.45)
利用初值定理证明过程中所得到的式（5.43）可以证明终值定理。
由式（5.43）知
于是有:
显然只有当信号x ( t ) 的终值存在时，才能利用式（5.45）求得它的终值，否则将得到错误的结果。
而要使x ( t ) 的终值存在，则要求X ( s ) 的极点在左半s 平面，如果X ( s ) 在j 上有极点的话，也只能是在原点上的一阶极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。
关于这个问题，可参阅“拉普拉斯逆变换”一节中的讨论。
至此，我们讨论了单边拉氏变换的主要性质，并求得了一些常见信号的变换式。
表5.1和表5.2分别列出了这些信号的变换式和拉氏变换的主要性质，以供读者查阅。
虽然我们讨论的只是单边拉氏变换，但对双边拉氏变换而言，除了初值定理、终值定理和微分性质和单边拉氏变换略有不同外，其它的性质和单边拉氏变换是一样的。
这两种变换之间并没有什么本质的区别，然而，如果要求解非零状态下的系统响应，则只能使用单边拉氏变换。