拉氏变换的终值定理
自动控制理论基础知识拉氏变换
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉普拉斯变换初值定理和终值定理
文章标题：深度探析拉普拉斯变换初值定理和终值定理目录：1. 引言2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析2.2 详细推导与举例说明2.3 个人观点与理解3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析3.2 推导及应用范围3.3 个人见解和扩展思考4. 总结与回顾1. 引言拉普拉斯变换初值定理和终值定理是微积分中的重要概念，它们在信号处理、控制理论、电路分析等领域有着广泛的应用。
通过深入探究这两个定理，不仅可以帮助我们加深对拉普拉斯变换的理解，还能为日后的应用打下坚实的基础。
2. 拉普拉斯变换初值定理2.1 定义和原理解析拉普拉斯变换初值定理是指如果函数f(t)在t=0处连续，并且t<0时f(t)=0，则拉普拉斯变换的初值f(0-)等于原函数的初始值f(0)。
2.2 详细推导与举例说明以实际函数为例，对拉普拉斯变换初值定理进行推导和举例说明，可以更加直观地理解这一概念的含义和应用。
2.3 个人观点与理解在我看来，拉普拉斯变换初值定理的重要性在于它可以帮助我们在进行变换计算时更加便捷准确地处理初始值的情况，同时也为我们提供了从初始值到变换结果的直观对应关系。
3. 拉普拉斯变换终值定理3.1 概念解析拉普拉斯变换终值定理是指如果函数f(t)在t=∞时有界，并且在t>0时f(t)有有限个第一类间断点，则拉普拉斯变换的终值lim(s→0)F(s)等于原函数f(t)的终值lim(t→∞)f(t)。
3.2 推导及应用范围通过数学推导和具体应用范例，可以更好地理解拉普拉斯变换终值定理在控制理论、信号处理等领域中的作用和价值。
3.3 个人见解和扩展思考我认为拉普拉斯变换终值定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式，它能够帮助我们从全局的角度去理解和分析问题，为我们解决实际问题提供了新的视角和思路。
4. 总结与回顾通过对拉普拉斯变换初值定理和终值定理的深度探讨，我们不仅对这两个定理有了更深入的理解，也为我们今后在工程技术和科学研究中的应用提供了更加丰富的思维方式。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换基本性质
F(s) F1(s) 1 esT 0
例：周期信号的拉氏变换
LT
f1(t) F1(s)
第一周期的拉氏变换
LT
利用时移特性
f1(t nT ) esnT F1(s)
LT
f (t nT ) F1(s) eSnT
n0
n0
1
F1(s) eST
利用无穷递减等比 级数求和 s a1
1- q
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换
设f (t) sint
sin 0t u(t)
t 0
sin0t u(t t0)
t 0 t0
sin0(t t0) u(t)
0 t0
t
sin0(t t0)u(t t0)
t 0 t0
3.时移特性的应用p250.4-2 (1)
sin t 0 t T
1. f (t)
2
0 t为其它值时
解: f (t) sin t[u(t) u(t T )] 2
s 0 dt
s
f (0) f (0 ) f (0 ) lim sF(s) s
再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成
df df1 [ f (0 ) f (0 )](t) dt dt
t0
其中f 1(t)在t=0连续,于是
lim df (t) est dt lim df1 est dt
采用 0 系统还是采用 0 系统,所求得的初值
总是 f (0 )
b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值f (0) 等于真分式F0(s) 逆变换f 0(t) . c.物理解释:s ( j ) 相当于接入信
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
控制工程基础拉氏变换
曹冲称象的故事： 象======》船在水中的刻度《=====石头
变换的原则与目的： 1、变换是等价的，可逆的； 2、变换使问题的性质更清楚； 3、变换使问题的求解更方便。 双变量函数f(s,t)在给定区间对一个变量的 有限积分是另外一个变量的函数。 例如：设函数f(x,t)=2xt
终值定理 若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：
lim f (t ) 存在。则： t
lim f (t ) f ( ) lim sF ( s )
t s 0
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 dt e dt s 0 dt s 0 df (t ) 0 dt f () f (0) dt 又由于： df (t ) lim L lim sF ( s ) f (0) s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0)
F ( s ) f ( 1) (0) L f (t )dt , f ( 1) (0) f (t )dt t0 s s
1 当初始条件为零时： L f (t )dt F ( s ) s
证明：
1 L f (t )dt f (t )dt e dt f (t )dt de st 0 0 s st st e e f (t ) dt 0 f (t ) dt s 0 s
at
f (t )e dt f (t )e( s a )t dt F (s a)
st 0
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2