Z变换的性质定理

数字信号处理第2章

Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部相对应， z 的幅角则仅与 s 的虚部对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数的性质，有：
即序列绝对可和
某的有立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：

06第六讲 Z变换的性质

Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n

n m

x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。证
Z [ x(n m)]
n

x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*

n

n *
[ x(n)(z )

* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)

Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry

7.4 z变换

Tz z z 1 2 2 Z[ x( t T ) x( t )] Z[2Tt T ] 2T T T z 2 ( z 1) z 1 ( z 1)2
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0

两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0

两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0

x2 ( t ) ( t kT )
k 0

由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值，单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性，其z变换结果相同。相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1

证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]

z变换复移位定理

z变换复移位定理摘要：1.引言2.Z变换及其性质3.复移位定理4.Z变换复移位定理的应用5.结论正文：【引言】在信号处理、系统分析等领域，Z变换及其相关理论发挥着重要作用。

复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理，它为我们分析信号和系统提供了便利。

本文将详细介绍Z变换、复移位定理及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一理论。

【Z变换及其性质】Z变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。

给定一个时域信号x(t)，其Z变换X(z)可以通过以下公式表示：X(z) = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) dt其中，ω为角频率，j为虚数单位。

Z变换具有许多有益的性质，如线性性质、时域性质、频域性质等。

这些性质为我们分析信号和系统提供了便利。

【复移位定理】复移位定理是Z变换理论中的一个重要定理。

它描述了将时域信号进行Z变换后，对变换结果进行复数域上的平移（即频域上的卷积）的操作。

复移位定理的数学表达式如下：X(z) * z^k = ∫(-∞,∞) x(t) * e^(-jωt) * z^k dt其中，z为复变量，k为实数。

复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。

【Z变换复移位定理的应用】在实际应用中，Z变换复移位定理可以帮助我们简化信号处理和系统分析的过程。

以下是一个具体例子：假设我们有一个线性时不变系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。

我们可以通过分析系统的冲激响应h(t)来了解系统的性能。

利用Z变换和复移位定理，我们可以得到如下关系：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z)为系统的传递函数，Y(z)为输出信号的Z变换，X(z)为输入信号的Z变换。

通过这一关系，我们可以轻松地求解系统的性能参数，如频率响应、群延迟等。

【结论】Z变换及其复移位定理在信号处理、系统分析等领域具有重要应用价值。

掌握这一理论，可以帮助我们更好地分析和设计信号处理系统。

第六节 Z 变换

2 2
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e

j0z k源自 z 1 j 0 j 0

1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2

z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b

七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;

2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k

Z变换的基本性质

第
22 页
Y z A1 A2 z z 1 z 0.9
A1 0.5
A2 0.45
z z Y z 0.5 0.45 z 1 z 0.9
y n 0.5 0.45 0.9
n
n 0
第
例8-7-2
已知系统框图列出系统的差分方程。
a,b为任意常数。
二．位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
第 4 页
1．双边z变换的位移性质
x ( n) 4
第 5 页
x ( n 2) 4
4
x ( n 2)
1O Hale Waihona Puke 2n 1O 1 2
n
2 1 O 1
n
的z变换为Z x( n m ) z m X ( z )
1 m k z X z x k z k m
（z域微分）三．序列线性加权
若则 Z x( n) X ( z )
第
12 页
d X (z) 1 d X z nx( n) z z dz d z 1
例：求na
解：
n
z2 Yzs z 2 z 2
n Yzs z yzs n n 1 2 un
第
b.由储能引起的零输入响应（对n 2都成立）
Yzi z 1 3z 1 2z 2 2z 1 y 1 3 y 1 2 y 2
z z 1 3z 2z Yzi z z 2z 1 z 2 z 1 零输入响应为
25 页

第二章Z变换

2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的，不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围，才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1

(优选)z变换的基本性质和定理

X (z)H(z)
两者交集序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集不变
线性性质移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域不变不变
说明线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换）如果则有：证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数）如果则有：
证明：（见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列如果则有：
证明：
6、翻褶序列如果则有：
证明：（见下页）
证明：
7、初值定理证明：（怎样证明？）显然： lim X (z) x(0)