14 拉普拉斯展开定理分解
laplace展开定理
Laplace展开定理Laplace展开定理（Laplace’s expansion theorem）是数学中一个重要的理论，它利用线性代数的方法，将一个n阶行列式展开为n个n-1阶子行列式的和。
Laplace展开定理在代数、概率论、微积分以及工程等领域有广泛的应用。
1. Laplace展开定理的表述给定一个n阶行列式A，可以用Laplace展开定理将其展开为：|A|=∑(−1)i+jni=1a ij M ij其中，a ij是A的第i行第j列元素，M ij是A的第i行第j列元素的代数余子式。
代数余子式是将第i行第j列的元素划去后剩余元素的行列式的值。
2. Laplace展开定理的证明Laplace展开定理的证明可以通过递归的方法进行。
我们可以选择行展开或列展开两种方式，这里以行展开为例进行说明。
假设给定一个3阶行列式：A=[a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33]首先选择第一行进行展开。
根据Laplace展开定理，行列式A可以表示为：|A|=(−1)1+1a11M11+(−1)1+2a12M12+(−1)1+3a13M13其中，M11、M12、M13分别是将第一行的元素划去后剩余元素的2阶子行列式。
对于子行列式M11，可以再次应用Laplace展开定理，将其展开为：M11=(−1)1+1a22a33−(−1)1+2a23a32同理，对于M12和M13也可以进行展开。
将子行列式的展开式代入到行列式A的展开式中，可以得到完整的展开式。
证明过程中，我们可以通过递归的方式将n阶行列式展开为n个n-1阶子行列式，直到最后将2阶子行列式展开为元素的乘积。
3. Laplace展开定理的应用Laplace展开定理在数学中具有广泛的应用，下面列举几个常见的应用领域。
3.1 代数方程组求解Laplace展开定理可以应用于求解代数方程组。
给定一个线性方程组：a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2…a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n其中，x1,x2,…,x n是未知数，a ij和b i是已知系数。
Laplace展开定理.
由此可知，D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 1 i1 ik j1 jk
…，第n列加到第n+1列，用 b12,b22, bn2 乘第1列，第2列，
第二章
行列式
…，第n列加到第n+2列，…，用 b1n ,b2n ,
…，第n列加到第2n列，则 D2n 化为
a11 a12
a1n a11b11 a12b21 a1nbn1
a21 a22
a2n a21b11 a22b21 a2nbn1
§2.8 Laplace展开定理
利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明 这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
k 1 k n 1 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证明：设D中取定k行后所得的子式为M1, M 2 , , Mt , 它的
代数余子式分别为 A1, A2, , At , 下证 D M1A1 M 2 A2 M t At
—（1）
2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。
abcd
例2.8.1 写出行列式 D g h p q 中取定第一行和
stuv
wx y z
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。 二阶子式共有 C42 6 个。
拉普拉斯展开定理(课堂PPT)
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
1
一、k阶子式的概念 定义 在n阶行列D式 中，任k行 取k列(1kn)，
位于k这 行k列的交点k上 2个的元素按原来的相 置组成k阶 的行列S， 式称D为 的一k个 阶子式。
在行列 D中式 划S所 去在k行 的 k列，余下的元 原来的相对位 nk置 阶组 行成 列 余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
3
例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
laplace展开定理
laplace展开定理Laplace展开定理是数学中的一个重要定理，它是对函数进行分析的一种方法，可以将一个复杂的函数表示为简单的分段函数。
本文将详细介绍Laplace展开定理的定义、性质、证明及应用。
一、定义Laplace展开定理是指，对于任意一个实数t>0和任意一个具有有限变化区间[a,b]上连续函数f(x)，其Laplace变换F(s)可以表示为：F(s)=∫[a,b]f(x)e^{-sx}dx其中s为复平面上的复数。
如果f(x)在[a,b]上满足一定条件，那么可以通过Laplace展开定理将其表示为一个无穷级数形式：f(x)=∑_{n=0}^{∞}(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0}其中d^n/ds^n表示对F(s)求n次导数。
二、性质1. Laplace展开定理适用于具有有限变化区间[a,b]上连续函数f(x)。
2. Laplace展开定理可以将复杂的函数表示为简单的分段函数形式，便于进行分析和计算。
3. Laplace展开定理中的无穷级数收敛性需要满足一些条件，如Dirichlet条件和Abel条件等。
4. Laplace展开定理可以用于求解微分方程、计算概率密度函数等数学问题。
三、证明Laplace展开定理的证明涉及到一些复杂的数学知识，其中包括复变函数、级数收敛性等。
下面给出一个简单的证明思路：1. 将f(x)表示为一个幂级数形式：f(x)=∑_{n=0}^{∞}a_nx^n2. 对f(x)进行Laplace变换，得到F(s)：F(s)=∫[0,∞)f(x)e^{-sx}dx=\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_n}{s^n}3. 对F(s)进行逐项求导，并将s=0代入，得到：\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0}=(-1)^na_nx^n4. 将上述结果代入Laplace展开定理中，得到：f(x)=\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0} 5. 由于幂级数具有良好的收敛性，因此可以将无穷级数和积分号交换顺序，从而得到Laplace展开定理。
拉普拉斯定理
例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行 中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解 对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元 素按原来的次序所构成 的r阶行列式，称 为行列式 的 一个r 阶子式.在 n 阶行列式中， 划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子 式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和 第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的 ，而且 N是M的余子式。则称带有正 或负号
谈拉普拉斯定理及其应用
一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。
他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。
在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。
拉普拉斯定理公式
拉普拉斯定理公式拉普拉斯定理公式是数学中一个非常重要的定理，在解决行列式相关问题时发挥着关键作用。
咱先来说说啥是拉普拉斯定理。
简单来讲，它就是关于行列式按照某行或者某列展开的一种规则。
比如说，一个 n 阶行列式，如果咱选定了某一行或者某一列，那么这个行列式的值就等于这一行或者这一列的各个元素分别乘以它们对应的代数余子式，然后把这些乘积加起来。
我记得有一次给学生们讲这个定理的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着回答他：“就像你搭积木，每一块积木都有它的位置和作用，拉普拉斯定理就是帮你找到这些积木在整个结构中的价值。
”咱再深入聊聊这个定理的公式。
假设我们有一个 n 阶行列式 D，选定了第 i 行。
那么 D 就等于第 i 行的每个元素 aij 乘以它对应的代数余子式 Aij 之和。
用公式写出来就是：D = ∑(j=1 到 n) aijAij 。
要真正理解和运用这个定理，得通过大量的练习题。
有一回，课堂上做练习，有个题目是一个四阶行列式，让用拉普拉斯定理来计算。
不少同学一开始都抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就引导他们，先选定一行或者一列，然后找出每个元素对应的代数余子式。
慢慢地，大家开始有了思路，一个个算出了答案，那股兴奋劲儿，就像解开了一个超级难的谜题。
在实际应用中，拉普拉斯定理常常能让复杂的行列式计算变得简单清晰。
比如说在求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性等问题时，它都能大显身手。
学习拉普拉斯定理公式，就像是在数学的海洋里掌握了一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。
虽然一开始可能会觉得有点难理解，但只要多练习、多思考，就能逐渐体会到它的妙处。
就像我们在生活中遇到的很多困难，一开始看起来毫无头绪，但只要找到了那个关键的“定理”，就能迎刃而解。
所以，同学们，别害怕这个定理，勇敢地去探索它，相信你们一定能在数学的世界里畅游！。
大一线性代数课件2.3_拉普拉斯展开定理
k
A1k k At
返回
A1
可逆的充要条件是 At A1， ，At 可逆 ( Ai为方阵)
1
A1 At A1 A t
DD
1
C A X 1 B O X 3
X 2 CX 1 AX 3 X4 BX 1
CX 2 AX 4 I O . BX 2 O I
CX 1 AX 3 I X 3 A1 CX AX O 1 1 2 4 X 4 A CB O B 1 1 . D 1 A 1 1 X1 O BX 1 O A CB BX 2 I X 2 B 1 返回
A2 1
1 3 4 2 3 5
M2 M2 .
返回
例如，5阶行列式detA中，取子式 S
则其代数余子式为
a22 a52
a24 a54
a11 a41
a13 a43
a15 a35 a45
( 1) ( 25 )( 24 ) a31 a33
对于行列式D中的每一个子式S，它的余子式M 和代数余子式A都由S唯一确定.
大一线性代数课件23拉普拉斯展开定理线性代数拉普拉斯定理线性代数拉普拉斯拉普拉斯定理拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理行列式拉普拉斯终值定理拉普拉斯变换终值定理棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理的证明
2.3
拉普拉斯展开定理
返回
2.3
k阶子式：
拉普拉斯展开定理
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式. S的余子式: 在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式. S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称 (i1 i k ) (j1 jk ) A (1) M 为S的代数余子式.
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第一章 行列式
第四节
1.4 拉普拉斯展开定理
复习
内容
※ 一行一列展开：
ai1Aj1 ai2 Aj2 k1Aj1 k2Aj2
ain Ajn
D
0
i i
j j
kn Ajn D1
D1为将D中的第j行依次换为k1 ,k2 , …,kn的行列式。
a1i A1 j a2i A2 j
k 1 n
a2k bkn
k 1
D a0n1 a0n2 1 0
n
n
n
a ……
0nn
ankbk1 ankbk 2
k 1
k 1
ankbkn
k 1
0 b11 b12
b1n aan12111
0 1
0 b21 b22
b2n aan1222
00
1 bn1 bn2
bnn aan12nnn
AB (1)n (1)n2 AB (1)n(n1) AB
定理1.4 两个n阶行列式的乘积：
i1
a11 a12
a1n b11 b12
b1n
A B a21 a22
a2n b21 b22
b2n
矩 阵
an1 an2
ann bn1
的 行
列式与行列式
表
n
a1ibi1
i1
n
a2ibi1
i1
n
a1ibi2
i1
n
a2ibi 2
i1
示
n
n
anibi1
a nibi 2
c11
akk c1k
0 b11
0
a11
b1n
ak1
cn1 cnk bn1 bnn
a11
a1k c11
c1n
a1k b11
akk bn1
b1n ,
bnn
D ak1 0 0
akk ck1 0 b11
0 bn1
ckn a11 b1n
ak1
bnn
a1k b11
akk bn1
b1n ,
例1
12
20
A , B
,
34
5 3
则
AB 8 6
14 12
96 84 12
12 2 AB
0 (2) 6 12.
3 4 5 3
abcd
b a d c
例18 设 A c d
a
, b
求
A
d c b a
解 因为 a4 系数为正，又
a b c d a b c d
T b a d c b a d c AA
【小结】 1.拉普拉斯定理 2. 方阵积的行列式
AB A B BA
下节课内容：1.5 克莱姆法则
i1
i1
的值相等，即 AB A B .
bn2
bnn
n
a1ibin
i1
矩阵乘 积的行 列式表
示Байду номын сангаас
n
a2ibin AB
i1
n
anibin
i1
证明＊
设
A
aij
n
,B
bij
,
n
构造2n阶行列式
a11 a12
a1n 0 0
0
a21 a22
a2n 0 0
0
D an1 an2
ann 0 0
0
1 0
0 b11 b12
构成一个k阶行列式 N ，称为D的一个k阶子式.
划去这k行k列，余下的元素按照原来的顺序构成一 个n-k阶行列式，称为N的余子式.记为M。
称A (1)i1i2 ik j1 j2 jk M 为子式N的代数余子式。
其中 i1 , i2 , , ik , j1 , j2 , , jk 分别为k阶子式在D中的
b1n
0 1
0 b21 b22
b2n
00
1 bn1 bn2
bnn
由拉普拉斯定理知：D A B . 下证D＝│AB│
a011 a0 21
a0 12 0a22
…… ……
a01n a0 2n
n
n
a1kbk1 a1kbk2
k 1
k 1
n
n
a2kbk1 a2kbk2
k 1
k 1
AB的积
n
a1kbkn
行标、列标.
※ ①n行列式共有 Cnk 2个k 阶子式.
②子式与其代数余子式之间有类似行列式按行 （列）展开的性质.
定理2 （拉普拉斯定理）在n阶行列式 D aij 中任意取定了k行 (k列）(1≤k≤n－1)，由这k行(列)元素 组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等 于行列式D。
bnn
③0
0 a11
a1m
0 D
b11
0 am1 b1n c11
? amm
c1m
bn1
a11
bnn cn1
cnm
a1m
b11
(1) mn
b1n ,
am1
amm
bn1
bnn
如
347
120 0
0 0
2 1
3 3 2
2
1
3
23
3 ,
2
1 2
0 1
0 1 22
2 1 32
2 3
1
3 7 2 1
例1 求行列式
2354
0230 D
2123
0110
解
r2 , r42 D
1
3 1 (1)2423
(1)(1)(2) 2
24 23
例2
a
计算
a
b b
D2n
ab cd
c
d
c
d
解 每次按第一、最后一行展开
ab ab
D c
dc
d
a
c
ba
b n (ad bc)n
d cd
1.4.2 行列式的乘积
n
a11b11 a12b21 a1nbn1 a1ibi1
ani Anj
D
0
i i
j j
k1A1j k2A2 j kn Anj D2
D2为将D中的第j列依次换为k1 ,k2 , …,kn的行列式。
1.4.1 拉普拉斯定理（Laplace定理）
定义 在n阶行列式D中,任意取定k行k列(1≤k≤n)
位于这些行和列交叉处的 k2 个元素，按照原来的顺序
c d a b c d a b
d c b a d c b a
a2 b2 c2 d2
0
0
0
0
a2 b2 c2 d2
0
0
0
0
a2 b2 c2 d2 0
0
0
0 a2 b2 c2 d2
A
A
T
A2
a2 b2 c2 d 2
4
a4>0
A a2 b2 c2 d 2 2
这个定理也就是说: 在D中任取k行（列）后，
得到的子式为 N1, N2, , NCnk ，它们的代数余子式
分别为 A1, A2 , ACnk ，则
D N1A1 N 2 A2
证明 略。
N Cnk ACnk
注：① 行列式按一行(列)展开是该定理中时的特殊情况。
② a11 a1k 0 0
D ak1