频率与概率
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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数学上“频率”与“概率”的关系？
数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。
说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。
频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。
在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。
⼀。
⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。
调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。
⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。
这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。
⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。
当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。
这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。
⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。
这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。
从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。
⼆。
⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。
这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率的概念、古典概率
频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察 次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来 估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观 察次数趋于无穷时，频率的值就是该 事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据 具体情况选择使用频率 或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能 事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等 可能性，即每个事件发生的可 能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可 以重复进行且结果已知的实验， 例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部 基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事 件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率 在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围 、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概 率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获 得，不需要复杂的数学模型或理 论。
可验证性
概率和频率的计算方法
概率和频率的计算方法
概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
概率是一个衡量某件事发生的可能性的概念，它是一个介于0和1之间的实数，0表示某件事不可能发生，而1表示某
件事肯定会发生。
概率描述了某件事发生的可能性，即它可以用来预测未知的事件，但不能绝对保证其准确性。
频率是指某种事件发生的次数，它描述了某件事发生的可能性，但与概率不同，它是描述实际发生次数的一种衡量方法。
概率和频率的计算方法有很多，其中最简单的一种是贝叶斯定理。
贝叶斯定理可以用来计算某件事情在特定情况下发生的概率，其计算公式为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A)表示某件事发生的先验概率，P(B|A)表示某件事发生的条件概率，P(B)表示另一件事发生的概率。
另外，频率的计算也可以通过计算实际发生次数来完成。
其计算公式为：频率=实际发生次数/总发生次数。
概率和频率的计算方法有很多，可以根据不同的场景和情况选择合适的方法来计算。
此外，概率和频率的计算还可以通过计算机软件来完成，例如用Excel来计算概率和频率，可以
更加方便快捷地完成计算。
总之，概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
有多种不同的计算方法可以用来计算概率和频率，在不同的场景中选择合适的计算方法，可以有效地完成概率和频率的计算工作。
频率与概率
2 3
0.4 0.6
0.44 251 22 1 在 处波动较大 249 25 0.50
0.502 0.498 0.512 0.494
18
27
0.36 0.54
0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
,且 A B ,则
P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
证明 因为
所以
又
A B, B A ( B A ).
(B A) A ,
B
A
得 于是
P (B ) P ( A) P (B A) P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
实验者
n
nH
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
2048 4040 12000 24000
1061 2048 6019 12012
( 2 ) P ( A ) 1 P ( A );
( 3 ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB );
( 4 ) 设 A , B 为两个事件 P ( A ) P ( B ),
,且 A B ,则
P ( A B ) P ( A ) P ( B ).
P ( Ai ) P ( Ai A j )
频率分布和概率分布在统计学中的区别
频率分布和概率分布在统计学中的区别在统计学中，频率分布和概率分布是两个重要的概念，它们用于描述一组数据中不同数值或事件的出现次数或概率。
尽管它们都涉及到对数据的分析和描述，但它们在统计学中具有不同的定义和应用。
本文将探讨频率分布和概率分布的区别。
一、频率分布频率分布是统计学中常用的一种描述数据分布的方法。
它指的是将一组数据按照数值大小或者某种特征分成若干个区间，然后计算每个区间中数据出现的次数。
频率分布用于表示观察到的数据的分布情况，可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度以及是否存在异常值。
以一组考试成绩为例，假设我们有一组学生的考试成绩数据，为了更好地理解成绩的分布情况，我们可以将分数范围划分为若干个区间，例如60-69分、70-79分、80-89分等。
然后统计每个区间的考生人数，得到各个区间的频数。
最后我们可以使用直方图或者频率多边形来可视化展示频率分布。
在频率分布中，我们关心的是每个区间中数据出现的次数。
通过计算每个区间的频率（频数除以总样本数），我们可以知道每个区间的相对出现频率，可以对数据的分布进行定量描述。
频率分布主要用于描述观察到的数据的分布情况，是对现实的数据进行整理和总结的手段。
二、概率分布概率分布是统计学中用来描述随机事件发生概率的方式。
它指的是根据某种模型或者假设，通过计算每个事件发生的概率，来描述随机事件的分布情况。
概率分布用于表示理论上的概率分配情况，可以帮助我们了解不同事件发生的可能性。
以骰子掷出的点数为例，一个公正的六面骰子的点数是均匀分布的。
在概率分布中，我们关心的是每个事件发生的概率，即每个点数出现的可能性。
对于公正的六面骰子来说，每个点数出现的概率都是1/6。
我们可以用数学表达式或者概率密度函数来描述这种概率分布。
概率分布可以帮助我们计算不同事件的期望值、方差以及其他统计指标，从而对随机事件进行评估和预测。
概率分布主要用于描述数据可能的分布情况，是对理论概率模型进行统计分析的一种手段。
初中数学知识点：频率与概率的关系
初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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四、课堂小结
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1. 概率的定义 。
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生
的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就
把这个常数叫做A事件的概率，记作P(A).
2、弄清概率与频率的关系。
（频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。频率具有 随机性不能事先预测，概率是客观存在固定不变的，与试 验次数无关；）
3、概率的意义与性质。
（1）概率是反映事件发生的可能性大小的量。 （2）概率的性质：必然事件的概率是1，不可能事件 的概率是0。事件A的概率是0≦P(A) ≦1 。
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知识回顾 Knowledge Review
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祝您成功！
16
抛掷次数（n)
2048 4040
正面朝上次数(m) 1061 2048
频率(m/n)
0.518 0.506
12000 6019 0.501
24000 12012 0.5005
30000 14984 0.4996
频率m/n
1
德 . 摩根 蒲 丰 皮尔逊
皮尔逊 维 尼
0.5
2048 4040 12000
频率的范围：[0,1]
4
二、自主探究
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探究1、根据初中所学概率知识我们知道 掷一枚硬币，正面向上的概率为0.5， 是否意味着连续掷n次硬币一定有n/2 次正面向上呢？请每小组抛掷硬币10
次，统计出正面向上的次数，然后汇
总全班数据。
反思、实验结果和理论值一样吗，为什么？
5
ห้องสมุดไป่ตู้
探究2、当试验次数足够多时，随机事件发 生的频率有怎样的特点？
11
二、自主探究
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探究4、概率与频率的区别与联系是什么？
区别：(1)频率本身是随机变化的，具有随机性，
试验前不能确定。 (2)概率是一个确定的数，客观存在的，与
试验次数无关。
联系: 频率是概率的近似值，概率是频率的稳
定值。(由频率估算出概率)
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三、学以致用
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1、关于频率与概率的关系下列说法正确的是（ ）
A.频率等于概率。
B.随机试验验得到的频率与概率不可能相等。
C.当试验次数很少时，概率稳定在频率附近。
D.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近。
答案：D
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三、学以致用
2、对某产品进行质量抽查，结果如下表所示：
抽取台数（n） 50 100 200 300 500 1000
优等品台数（m） 44 92 178 273 451 911
优等品频率（ m） n
0.88
0.92
0.89 0.91
0.90 0.91
（1）计算表中优等品的频率；
（2）估计该厂生产的产品优等品的概率是多少？
0.9
问：若优等品的概率为80%，抽取10台该产品， 一定会抽到8台优等品？
不一定,抽取10台，相当于10次试验，试验具有随 机性，抽到8台优等品是随机事件。
那些是刻画不可能事件的，那些是刻画随
机事件的？
（1）海枯石烂
不可能事件
（2）守株待兔
随机事件
（3）水中捞月
不可能事件
（4）种瓜得瓜，种豆得豆。 必然事件
3
一、新课导读
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3、频率的定义是什么？ 在n次重复试验, 事件A发生了m次
（频0数≤在m试≤验n）的总,m次叫数做中事的件比A的例频mn数,，事叫件做A事的 件A出现的频率。
二、自主探究
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探究2、当试验次数足够多时，随机事件发 生的频率有怎样的特点？
探究结论1：随机事件A发生的频率是随 机的，在试验前是不确定的，就算做同样 次数的试验频率都可能不同。
7
二、自主探究
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历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
24000 30000
抛掷次数n
72088
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二、自主探究
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探究2、当试验次数足够多时，随机事件发 生的频率有怎样的特点？
探究结论2：在相同条件下大量重复进行 同一试验，随机事件A发生的频率具有稳定 性。
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二、自主探究
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探究3、随机事件A发生概率的定义是什
么？ 在相同条件下，大量重复进行同一试验
时，随机事件A发生的频率在某个常数附近
摆动，我们把这个常数叫作随机事件A的概
率，记作P（A）。
（1）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫
做事件A的概率；
（2）概率是反映事件发生的可能性大小的理论值；
（3）概率的性质：必然事件的概率是1，不可能事件的概 率是0。事件A的概率是0≤P(A) ≦1 。
财富梦想调查
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1、你有买彩票的经历吗？ 2、买之前你确定能中奖吗？ 3、你意识到买彩票中大奖的
机会有多大吗？
1
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频率与概率
2
一、新课导读
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1、必然事件、不可能事件、随机事件、 的定义分别是什么？
2、在下成语中，那些是刻画必然事件的，