频率与概率
初二数学概率与频率 八下数学频率与概率知识点
初二数学概率与频率八下数学频率与概率知识点1. 频率频率是指某个事件在多次重复试验中出现的次数与试验总次数之比。
频率可以帮助我们判断某个事件发生的可能性大小。
频率的计算公式为：频率 = 事件发生的次数 / 试验的总次数2. 概率概率是指某个事件在一次试验中发生的可能性大小。
概率是介于0和1之间的数，表示事件发生的可能性大小。
概率可以用分数、小数或百分数来表示。
如果一个事件发生的可能性很小，我们可以说该事件的概率接近于0；如果一个事件发生的可能性很大，我们可以说该事件的概率接近于1。
3. 频率与概率的关系频率和概率都可以用来描述事件发生的可能性大小，但是它们的计算方法和应用场景有所不同。
频率是通过多次试验来统计事件发生的次数，然后计算频率。
频率可以用来预测事件在大量试验中发生的可能性大小。
概率是通过对试验的分析来确定事件发生的可能性大小。
概率可以用来预测一个试验中事件发生的可能性大小。
4. 计算概率的方法4.1. 等可能概型在等可能概型中，各个基本事件发生的可能性相等。
例如，抛硬币的结果可能是正面或反面，两个事件发生的可能性相等。
在等可能概型中，我们可以使用概率的定义来计算事件发生的可能性。
如果一个事件有n个基本事件，那么该事件发生的概率为 1/n。
4.2. 超几何概型在超几何概型中，试验不是等可能的，各个基本事件发生的可能性不相等。
在超几何概型中，我们可以根据试验的条件和已知的信息来计算事件发生的概率。
例如，从一副牌中抽取一张牌，在已知条件下计算抽到某种特定牌的概率。
4.3. 事件的互斥与独立事件的互斥是指两个或多个事件不能同时发生。
例如，抛一次硬币，事件A是正面朝上，事件B是反面朝上，A和B是互斥事件，它们不能同时发生。
事件的独立是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
例如，连续抛10次硬币，每次都是正面朝上的概率是(1/2)^10。
5. 概率的性质5.1. 概率的范围概率必须介于0和1之间，即0 ≤ P(A) ≤ 1。
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率的概念、古典概率
频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察 次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来 估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观 察次数趋于无穷时，频率的值就是该 事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据 具体情况选择使用频率 或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能 事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等 可能性，即每个事件发生的可 能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可 以重复进行且结果已知的实验， 例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部 基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事 件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率 在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围 、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概 率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获 得，不需要复杂的数学模型或理 论。
可验证性
概率和频率的计算方法
概率和频率的计算方法
概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
概率是一个衡量某件事发生的可能性的概念，它是一个介于0和1之间的实数，0表示某件事不可能发生，而1表示某
件事肯定会发生。
概率描述了某件事发生的可能性，即它可以用来预测未知的事件，但不能绝对保证其准确性。
频率是指某种事件发生的次数，它描述了某件事发生的可能性，但与概率不同，它是描述实际发生次数的一种衡量方法。
概率和频率的计算方法有很多，其中最简单的一种是贝叶斯定理。
贝叶斯定理可以用来计算某件事情在特定情况下发生的概率，其计算公式为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A)表示某件事发生的先验概率，P(B|A)表示某件事发生的条件概率，P(B)表示另一件事发生的概率。
另外，频率的计算也可以通过计算实际发生次数来完成。
其计算公式为：频率=实际发生次数/总发生次数。
概率和频率的计算方法有很多，可以根据不同的场景和情况选择合适的方法来计算。
此外，概率和频率的计算还可以通过计算机软件来完成，例如用Excel来计算概率和频率，可以
更加方便快捷地完成计算。
总之，概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
有多种不同的计算方法可以用来计算概率和频率，在不同的场景中选择合适的计算方法，可以有效地完成概率和频率的计算工作。
频率与概率
2 3
0.4 0.6
0.44 251 22 1 在 处波动较大 249 25 0.50
0.502 0.498 0.512 0.494
18
27
0.36 0.54
0.502 251 波动最小 262 0.524
258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
,且 A B ,则
P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
证明 因为
所以
又
A B, B A ( B A ).
(B A) A ,
B
A
得 于是
P (B ) P ( A) P (B A) P ( B A ) P ( B ) P ( A ).
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
实验者
n
nH
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
2048 4040 12000 24000
1061 2048 6019 12012
( 2 ) P ( A ) 1 P ( A );
( 3 ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB );
( 4 ) 设 A , B 为两个事件 P ( A ) P ( B ),
,且 A B ,则
P ( A B ) P ( A ) P ( B ).
P ( Ai ) P ( Ai A j )
频率分布和概率分布在统计学中的区别
频率分布和概率分布在统计学中的区别在统计学中，频率分布和概率分布是两个重要的概念，它们用于描述一组数据中不同数值或事件的出现次数或概率。
尽管它们都涉及到对数据的分析和描述，但它们在统计学中具有不同的定义和应用。
本文将探讨频率分布和概率分布的区别。
一、频率分布频率分布是统计学中常用的一种描述数据分布的方法。
它指的是将一组数据按照数值大小或者某种特征分成若干个区间，然后计算每个区间中数据出现的次数。
频率分布用于表示观察到的数据的分布情况，可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度以及是否存在异常值。
以一组考试成绩为例，假设我们有一组学生的考试成绩数据，为了更好地理解成绩的分布情况，我们可以将分数范围划分为若干个区间，例如60-69分、70-79分、80-89分等。
然后统计每个区间的考生人数，得到各个区间的频数。
最后我们可以使用直方图或者频率多边形来可视化展示频率分布。
在频率分布中，我们关心的是每个区间中数据出现的次数。
通过计算每个区间的频率（频数除以总样本数），我们可以知道每个区间的相对出现频率，可以对数据的分布进行定量描述。
频率分布主要用于描述观察到的数据的分布情况，是对现实的数据进行整理和总结的手段。
二、概率分布概率分布是统计学中用来描述随机事件发生概率的方式。
它指的是根据某种模型或者假设，通过计算每个事件发生的概率，来描述随机事件的分布情况。
概率分布用于表示理论上的概率分配情况，可以帮助我们了解不同事件发生的可能性。
以骰子掷出的点数为例，一个公正的六面骰子的点数是均匀分布的。
在概率分布中，我们关心的是每个事件发生的概率，即每个点数出现的可能性。
对于公正的六面骰子来说，每个点数出现的概率都是1/6。
我们可以用数学表达式或者概率密度函数来描述这种概率分布。
概率分布可以帮助我们计算不同事件的期望值、方差以及其他统计指标，从而对随机事件进行评估和预测。
概率分布主要用于描述数据可能的分布情况，是对理论概率模型进行统计分析的一种手段。
初中数学知识点：频率与概率的关系
初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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高中数学必修（3）导学案
2013-2014学年第二学期高一年级班姓名编写者使用时间2018-6-20
课题：§ 3.1.1 频率与概率 1 课时
学习目标：
1、知识与技能
（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
（2）通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
（3）进一步理解概率的意义及频率与概率的区别.
2、过程与方法
通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法．
3、情感态度与价值观
通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识.
学习重点：通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频率的区别和联系.
学习难点：利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性.
基础达标：
1、随机事件的频率及特点
（1）频率是一个变化的量，但在试验时，它又具有，在附近摆动．
（2）随着试验次数的增加，随机事件发生的频率摆动的幅度具有的趋势．（3）随机事件的频率也可能出现偏离“常数”的情形，但是随着试验次数的，频率偏离“常数”的可能性会．
2、随机事件的概率的定义
在的条件下，大量重复进行试验时，随机事件A发生的会在某个附近摆动，即随机事件A发生的频率具有．这时这个叫作随机事件A的概率，记作．取值．
合作交流：
1、下列说法：
①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率
m
n
就是事件的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离具体的n次的试验值，而概率是有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中哪些说法是正确的？为什么？
2、一个区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围1年内2年内3年内4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892 （1）计算男婴出生的频率(保留4位小数)；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
思考探究：
1、若随机事件A在n次试验中发生了m次，则事件A的概率一定是
m
n
吗？
2、频率与概率的关系？
达标检测：
1、下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①明天是阴天；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8米；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2、下面给出五个事件：
（1）子洲2015年6月7日下雨；
（2）函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)在定义域上是增函数； （3）实数的绝对值不小于0； （4）标准大气压下，水在1 ℃结冰； （5）当x 是实数时，x 2
≥0；
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________． 3、某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表： 分数段 [0，
[80，
[90，
[100，
[110，
[120，
[130，
[140，150] 人数
2
5 6 8 12 6
4 2
那么分数在中的频率是（精确到0.01）（
）
A ．0.18
B ．0.47
C ．0.50
D ．0.38
4、设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为（
）
A ．160件
B ．7 840件
C ．7 998件
D ．7 800件
5、利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的同学有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是________．
6、对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000 优等品数
40
92
192
285
478
954
（）计算表中优等品的各个频率；
（
）该厂生产的电视机优等品的概率约是多少？
7.(2011年合肥模拟)下列事件:①东边日出西边雨;②云彩向南雨连连;③清明时节雨纷纷.其中随
机事件有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个
8.(2011年潍坊模拟)①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上;②如果某种彩票的中奖概率为
10
1
,那么买10张这种彩票一定能中奖;③在乒乓球、排球等比赛中,裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球,这样做不公平;④一个骰子掷一次得到2的概率是
6
1
,这说明一个骰子掷6次会出现一次2.其中不正确的说法是( )
(A)①②③④ (B)仅①②④ (C)仅③④ (D)仅③ 9.下列说法中正确的是( )
(A)任何事件的概率总是在(0,1)之间 (B)频率是客观存在的,与试验次数无关
(C)随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 (D)概率是随机的,在试验前不能确定
10.每道选择题有四个选项,其中只有一个选项是正确的.某次数学考试共有12道选择题,有位同学说“每个选项正确的概率是
4
1
,我每道题都选择第一个选项,则一定有3道选择题结果正确.”该同学的说法( )
(A)正确 (B)错误 (C)不一定 (D)无法解释 11.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是( B )
(A)抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲获胜,向上的点数为偶数则乙获胜 (B)同时抛掷两枚硬币,
恰有一枚正面向上则甲获胜,两枚都正面向上则乙获胜
(C)从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲获胜,扑克牌是黑色的则乙获胜 (D)甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同甲获胜,否则乙获胜
12.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为: 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150, 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一名同学,估计该同学的身高在155.5~170.5 cm 之间的概率为 (用分数表示). 13.下列说法:
①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小; ②做n 次随机试验,事件A 发生的频率就是事件A 的概率; ③百分率是频率,但不是概率;
④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值;
⑤频率是不能脱离具体的n 次试验的实验值,而概率是不依赖于试验次数的理论值.其中正确的是 .
14.(2011年昆明高一检测)为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况,从这个水库的不同位置捕捞出n 条鱼,将这n 个样本分成若干组,若某组的频数和频率分别为30和0.25,则n= .
学后反思：。