频率和概率
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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随机事件的频率与概率
随机事件的频率与概率1.随机事件的频率随机事件的频数与频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例n n A f A n )(为事件A 出现的频率． 2.随机事件的概率一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作P(A)．3.频率与概率的区别和联系(1) 频率本身是随机的，在试验前不能确定。
做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
(2) 概率是一个确定的数，与每次试验无关。
是用来度量事件发生可能性大小的量。
(3) 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
例1.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率是多少分析：(1)分清m ，n 的值，用公式nm 计算； (2)观察各频率是否与某一常数接近，且在它附近摆动．解：(1)(2)从上表可以看出，这名运动员击中10环的频率在附近波动，且射击次数越多，频率越接近，故可以估计，这名运动员射击一次，击中10环的概率约为.点评：在相同条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们就可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性的大小，而将频率作为其近似值．从中要进一步体会频率与概率的定义及它们的区别与联系．如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm . 例2.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．分析：用样本估计总体．解：设水库中鱼的尾数为n,n 是未知的，现在要估计n 的值，将n 的估计值记作nˆ. 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从库中任捕一尾鱼，设事件A 为“带有记号的鱼”，易知P(A)＝n2000． 第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A 发生的频数n A =40，由概率的统计定义知50040)(≈A P . 所以500402000≈n ． 解得n≈25 000，即nˆ＝25 000.故可以估计水库中约有鱼25000尾．点评:随着试验次数的变化，事件发生的频率也可能发生变化，但总体来看频率趋于一个稳定值，所以我们也可借助于频率来对一些实际问题作出估计． 例3.某校举办2021年元旦联欢晚会，为了吸引广大同学积极参加活动，特举办一次摸奖活动．凡是参加晚会者，进门时均可参加摸奖，摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球，这些乒乓球的大小和质地完全相同．另有一只密封良好且不透光的立方体木箱（木箱的上方可容一只手伸入）.拟按中奖率为101设大奖，其余109则为小奖，大奖奖品的价值为40元，小奖奖品的价值为2元．请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求． 分析：借助于现有的乒乓球，使一种情况产生的可能性为101即可,并将其定为大奖的条件．解：方案一：在箱子里放10个乒乓球，其中1个黄色的，9个白色的．摸到黄球时为大奖，摸到白球时为小奖．方案二：在箱子里放5个乒乓球，3个白色的，2个黄色的．每位参加者在箱子里摸两次，每次摸一个乒乓球，并且第一次摸出后不放回．当摸到2个黄色乒乓球时为大奖，其他情况视为小奖．点评：概率知识来源于生活、生产实残，由实际问题可以总结出发生某一事件的可能性的大小，在实际生活中设计某一活动的实施方案，一般可以以希望得到的统计数据为依据，还要注意与实际相结合．。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率的概念、古典概率
频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察 次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来 估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观 察次数趋于无穷时，频率的值就是该 事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据 具体情况选择使用频率 或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能 事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等 可能性，即每个事件发生的可 能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可 以重复进行且结果已知的实验， 例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部 基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事 件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率 在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围 、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概 率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获 得，不需要复杂的数学模型或理 论。
可验证性
概率和频率的计算方法
概率和频率的计算方法
概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
概率是一个衡量某件事发生的可能性的概念，它是一个介于0和1之间的实数，0表示某件事不可能发生，而1表示某
件事肯定会发生。
概率描述了某件事发生的可能性，即它可以用来预测未知的事件，但不能绝对保证其准确性。
频率是指某种事件发生的次数，它描述了某件事发生的可能性，但与概率不同，它是描述实际发生次数的一种衡量方法。
概率和频率的计算方法有很多，其中最简单的一种是贝叶斯定理。
贝叶斯定理可以用来计算某件事情在特定情况下发生的概率，其计算公式为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A)表示某件事发生的先验概率，P(B|A)表示某件事发生的条件概率，P(B)表示另一件事发生的概率。
另外，频率的计算也可以通过计算实际发生次数来完成。
其计算公式为：频率=实际发生次数/总发生次数。
概率和频率的计算方法有很多，可以根据不同的场景和情况选择合适的方法来计算。
此外，概率和频率的计算还可以通过计算机软件来完成，例如用Excel来计算概率和频率，可以
更加方便快捷地完成计算。
总之，概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
有多种不同的计算方法可以用来计算概率和频率，在不同的场景中选择合适的计算方法，可以有效地完成概率和频率的计算工作。
概率与统计中的频率与概率的计算
概率与统计中的频率与概率的计算在概率与统计中，频率和概率是两个重要的概念。
它们都与事件发生的可能性有关，但在计算方法和应用上有所不同。
频率是指某个事件在重复试验中发生的次数与总试验次数的比值。
它用来描述随机事件在实际观察中的相对频繁程度。
频率可以用来估计概率，特别是在试验次数较少或无穷大的情况下不能直接计算概率时，频率是一种常用的近似计算方法。
频率的计算公式为：频率 = 某个事件发生的次数 / 总试验次数例如，某个骰子六个面的数字出现次数分别为1、2、3、4、5、6，则各个数字出现的频率分别为1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6。
与频率相比，概率是事件发生的理论上的可能性。
概率可以用数值表示，范围在0到1之间。
概率越接近于1，事件发生的可能性越大；概率越接近于0，事件发生的可能性越小。
概率的计算方法包括经典概率和统计概率。
经典概率是基于等可能性原理的计算方法。
当每个事件发生的可能性相等时，事件A的概率可以用下式计算：概率A = A发生的情况数 / 总情况数例如，一枚硬币正面朝上的概率可以用1/2表示，因为正面朝上的情况只有一种，总情况数为两种（正面和反面）。
统计概率是基于统计数据的计算方法。
当无法保证每个事件发生的可能性相等时，可以通过实验或观察得到事件发生的频率，进而估计概率。
例如，通过投掷一枚硬币100次，正面朝上的频率为60次，反面朝上的频率为40次。
则可以估计硬币正面朝上的概率为60/100=0.6。
在实际应用中，频率和概率都有其独特的作用。
频率可以用来描述实际观察中的现象和实验结果，是验证概率理论的基础。
而概率则可以用来预测事件发生的可能性，是决策和风险管理的重要工具。
总结起来，频率和概率在概率与统计中扮演着重要的角色。
频率描述了事件在实际观察中的相对频繁程度，可以用来估计概率；而概率则是事件发生的理论上的可能性。
它们的计算方法和应用略有不同，但都是研究和理解随机事件的重要工具。
初中数学知识点：频率与概率的关系
初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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频率和概率的计算公式
频率和概率的计算公式在我们的日常生活和学习中，频率和概率可是一对相当重要的“小伙伴”。
它们就像隐藏在数学世界里的神秘密码，能帮我们理解和预测很多奇妙的现象。
先来说说频率。
频率啊，其实就是指某个事件在多次试验中出现的次数与试验总次数的比值。
比如说，咱们抛硬币 100 次，其中正面朝上了 45 次，那正面朝上的频率就是 45÷100 = 0.45 。
给大家讲个我亲身经历的事儿。
有一次学校组织义卖活动，我负责统计一种小玩偶的销售情况。
总共准备了 50 个小玩偶，活动结束后发现卖出了 30 个。
这卖出的 30 个就是发生的次数，总共 50 个就是试验的总次数，那这次销售小玩偶成功的频率就是 30÷50 = 0.6 。
再聊聊概率。
概率呢，它是指某个事件在大量重复试验中发生的可能性大小的一个数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示这个事件绝对不会发生，1 就表示这个事件肯定会发生。
举个例子，从一副扑克牌中随机抽取一张牌是红桃的概率。
因为一副扑克牌有 54 张，其中红桃有 13 张，所以抽到红桃的概率就是 13÷54 ≈ 0.24 。
就像我之前参加抽奖活动，奖池里有 100 个号码球，只有 10 个能中奖。
那我中奖的概率就是 10÷100 = 0.1 ，这可真是有点悬乎啊！那频率和概率之间又有啥关系呢？简单来说，当试验次数越来越多的时候，频率会逐渐接近概率。
比如说，咱们扔骰子。
扔个几次，可能得到每个点数的频率不太稳定。
但要是扔个几百次、几千次，那得到每个点数的频率就会很接近1/6 这个概率值。
在实际应用中，频率和概率的计算公式能帮我们解决好多问题。
比如在质量检测中，通过计算次品出现的频率来估计次品出现的概率，从而判断生产过程是否稳定。
在市场调查里，通过统计消费者对某种产品的购买频率，能推测出这种产品在市场中的受欢迎程度和销售概率，帮助企业做出更明智的决策。
还有在保险行业，通过分析事故发生的频率和概率，来确定保险费率，保障公司的盈利和客户的权益。
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频率和概率
考纲考试范围
（一）考纲点击
1.经历试验、统计等活动过程，在活动中进步发展学生合作交流的意识和能力。
2.通过试验等活动，理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深对概率的理解，进一步
体会概率是描述随即现象的数学模型。
3.能运用树状图和列表发计算简单事件发生的概率，能用试验或模拟试验的方法估计一些
复杂的随即事件发生的频率。
4.结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系。
（二）单元知识结构
基础训练
例一.某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计(可以不同年) ( )
A．至少有两人生日相同 B．不可能有两人生日相同
C．可能有两人生日相同，且可能性较大 D．可能有两人生日相同，但可能性较小
例二.一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左
或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H 点的概率是（）
A.1
2
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
8
例三．在甲乙两个盒子里分别放着4个和8个小球,其中甲盒子中装有1个红球,3个白球;乙盒子
装有2个红球,6个白球.如果你现在想取出一个红球,那么选择哪个盒子能使你成功的机会大?
例四.现有长度为3cm，4cm，5cm，7cm，9cm的小木棒5根，从中任意取出三根，则能构成三角形
的概率是多少？
解：列举所有可能出现的结果：3cm，4cm，5cm；3cm，4cm，7cm；3cm，4cm，9cm；3cm，5cm，
7 cm；3cm，5cm，9cm；3cm，7cm，9cm；4cm，5cm，7cm；4cm，5cm，9cm；4cm，7cm，9cm；5cm，
7cm，9cm.共有10种情况，其中能构成三角形的有6种情况，所以
P=
10
6
=
5
3
.
例五. 李大爷的鱼塘今年放养鱼苗10万条，根据这几年的统计分析，鱼苗成活率约为95%，现准
备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条
鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，请你帮助李大爷估算今年鱼塘中
鱼的总重量.如果每千克售价为4元,那么，李大爷今年的收入如何？
解：李大爷的鱼塘有鱼≈100000×95%=95000（条）
李大爷的鱼塘鱼的总重量≈[（40×2.5+25×2.2+35×2.8）÷(40+25+35)]×
95000=240350(千克)
李大爷今年的收入≈240350×4=961400(元)
答：李大爷估算今年鱼塘中鱼的总重量估计有240350千克，如果每千克售价为4元, 李大爷大约
今年的收入有961400元.
高频考点
1、如图所示的矩形花园ABCD中，AB=4m,BC=6m,E为DC边上任意一点，小鸟任意落在矩形中，则
落在阴影区域的概率是多少？
现实生活中存在大量的随机事件随机事件发生的可能性有大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算
概率的应用理论计算
试验估算
只涉及一步实验的随机
事件发生的概率
涉及两步或两步以上实验的随
机事件发生的的概率
列表法树状图法
A
C
E
B
D
2．(1)连掷两枚骰子,它们点数相同的概率是多少?
(2)某口袋里放有编号1∼6的6个球,先从中摸出一球,将它放回口袋中后,再摸一次,两次摸到的球相同的概率是多少?
3.有四张背面相同的纸牌A，B，C，D其正面分别画有四个不同的几何图形如下图所示，小华将这四张牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张.
（1）用列表法（或树状图）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A，B，C，D表示）.
（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.
4. 一不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4. （1）从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率；
（2）先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字；将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明. 5．如图7，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被均匀地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字，转盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
(1)同时自由转动转盘A与B；
(2)转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜（如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜）．
你认为这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
6．有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字l，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字一2，一l，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．
(1)用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；
(2)分别求出当S=0和S<2时的概率．。