离散数学关系运算-图文

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离散数学关系-PPT

离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等价关系,相容关系。在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举例
自反性反自反性对称性反对称性传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}

离散数学第2版教学课件-关系的运算

4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A为集合，
（1）R在A上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A上的限制R↾ A是R的子关系，而A在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}
4.3.2 限制与像
定理4.3
设R为二元关系，A和B为集合，则有 (1) R↾ (A B) = R↾ A R ↾ B (2) R[A B] = R[A] R[B] (3) R↾ (A B) = R↾ A R↾ B (4) R[A B] R[A] R[B]
证：(3) 对任意的<x, y>， <x, y>∈R↾ (A B) <x, y>∈R∧x∈A B <x, y>∈R∧(x∈A∧x∈B) (<x, y>∈R∧x∈A)∧(<x, y>∈R∧x∈B) <x, y>∈R↾ A∧<x, y>∈R↾ B <x, y>∈R↾ A R↾ B 所以有R↾ (A B) = R↾ A R↾ B。其他证明略。
例 4.17
设A={a, b, c, d}, R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}, 求R的各次幂。

离散数学课件第四章关系

Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章二元关系
第一节有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。即 A×B={<x,y>|x A y B}

离散数学二元关系与运算 ppt课件

= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2} = {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中的元素为< x, <y, z> > 。
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
解：关系矩阵：
1100 0011 0000 0100
关系图：
1
2
4
3
§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元素构成的集合)
AA的所有子集有2 n 2 个。就是说，A上有2 n 2个不同的二元关系，其中包括空关系、全域关系UA和恒等关系IA。
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}

离散数学第四章课件

无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义：若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)，称R是反对称的。例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征自反关系的关系图中，每个顶点都有自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法：因为关系也是集合，所以也可以用集合的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,

离散数学关系的运算

例2.37 求集合A={1,2,3}上的关系R = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>}的自反闭包。
关系的对称闭包
定义2.18 设R和R是集合A上的关系，如果满足：（1）R是对称的；（2）R R；（3）对A上任何包含R的自反关系R都有RR。
则将R称为R的对称闭包，记作s(R)。
逆运算的性质
定理2.5 对于任意集合A和B，设R是集合A到B的关系，则有： (R-1)-1 = R。
逆运算的性质
定理2.6 对于任意集合A、B和C，设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么 (R◦S)-1 = S-1◦R-1。
逆运算的性质
定理2.7 对于任意集合A、B和C，设R和S分别是集合A到B和集合B到C的关系，那么：
①计算R-1、S-1、(R-1)-1、(S-1)-1、(R◦S) -1和S-1◦R-1；
解 ① 根据逆运算和复合运算的定义，有 R-1 = {<a, 1>, <c, 2>, <b, 3>, <b, 4>, <d, 4>} S-1 = {<2, a>, <4, b>, <3, c>, <5, c>, <5, d>} (R-1)-1 = {<1, a>, <2, c>, <3, b>, <4, b>, <4, d>} (S-1)-1 = {<a, 2>, <b, 4>, <c, 3>, <c, 5>, <d, 5>} R◦S = {<1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <3, 4>, <4, 4>, <4, 5>} (R◦S) -1= {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>} S-1◦R-1 = {<2, 1>, <3, 2>, <5, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <5, 4>}

离散数学4-关系与函数

BA = {<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>, <b,3>,<c,3>}
A={}, P(A)A= {<,>, <{},>}
7
笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C)
(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
10
二元关系的定义
定义如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空, 且它的元素都是有序对（2）集合是空集
❖关系R1 ：{m, n}到 {w, x, y, z} ，且R1 ={<m, x>，<m, z>，<n, w>}。
❖ 计算R1∘R2
a R2 m
R1
w
b
n
x
o
y
c
p
z
23
第二种方法：关系矩阵乘法
利用图示（不是关系图）方法求合成
❖关系R2：{a, b, c}到 {m, n, o, p} ，且R2={<a, p>，<a, o>，<b, m>}。
12
从A到B的关系与A上的关系
定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上的二元关系.

离散(关系的运算)

t ( R ) R i =R∪R2∪R3
i 1

={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c> }
定理3.8.5 设A是含有n个元素的集合, R是 A上的二元关系,
则存在一个正整数k≤n，使得
t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rk
n
wij ( rik skj )
k 1
式中∧代表逻辑乘,满足0∧0=0 , 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1. ∨代表逻辑加,满足0∨0=0 , 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1.
例4. 设集合A={ 1, 2, 3, 4 }, B={ 2, 3, 4}, C={ 1, 2, 3 }
离散数学(Discrete Mathematics)
3-7 关系的运算
一、复合关系 (Compound Relations)
定义3.7.1 设 R 是由X 到Y 的关系, S 是由Y 到Z 的关系, 则 RS 称为R 和 S 复合关系, 表示为 RS ={ <x,z> | xX∧zZ∧(y)(yY∧xRy∧ySz) } 两个关系的合成运算可以推广到多个. 例如: RSP、 R S P Q 等. 且合成运算满足结合律.即: ( P R )Q= P( RQ ) 关系R自身合成n次可以记为: RR ‥‥R=R(n)
1 0 0

RS={< 1, 1 >, < 2,1 >, < 2, 3 > ,< 3, 2 >,<4,1> }

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3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
例3 设 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} ，则 R↾{1}={<1,2>,<1,4>} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF
1 0 M IA 0 0 1 1 M A A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 M 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 ML A 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
即ranR = { y | x (<x,y>R) }。称domR ranR为R的域，记
为fldR 。即fldR = domR ranR 。例1 设A={1，2，3，4}， R1是A上的二元关系，当a,b∈ A，且a<b 时， (a,b) ∈ R1 , 求R和它的前域，值域和域。
解：根据题意R1 ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
14

在讨论关系矩阵运算前, 我们先定义布运算, 它只涉及数字0和1。

布尔加法（∨ ）：
0+0=0
0+1=1+0=1+1=1

布尔乘法（ ∧ ）：
Rο (S∪T)=(Rο S)∪(Rο T)
（ 2）
（ 3）（ 4）（ 5）
(S∪T)ο R=(Sο R)∪(Tο R)
Rο (S∩T)( Rο S)∩(Rο T) (S∩T)ο R( Sο R)∩(Tο R)
Rο (Sο T)=(Rο S)ο T
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三、A上关系的幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂定义为： (1) R0={<x,x> | x∈A }=IA (2) Rn+1 = Rn∘R
3 2
9
四、幂运算的性质
定理设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则
(1) Rm∘Rn=Rm+n
(2) (Rm)n=Rmn
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关系运算的矩阵表示关系矩阵（matrix of relation）。设R A×B， A=｛a1, a2, …, am｝, B=｛b1, b2, …, bn｝，那么R的关系矩阵 MR 为一 m×n 矩阵，它的第 i , j 分量 rij 只取值0或1，而
4.2 关系的运算

基本运算定义
定义域、值域、域逆、合成、限制、像
基本运算的性质幂运算

定义求法性质
1
一、关系的基本运算定义
1、定义域、值域和域
定义设R是二元关系，由（x,y）∈R 的所有x 组成的集合称为 R的前域，记为domR。即domR = { x | y (<x,y>R) }。使（x,y）∈R 的所有y组成的集合称为R的值域，记为ranR。
R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
3
合成运算的图示方法
例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}，求R1， R∘S ， S∘R 。利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
注意：对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
8
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
5
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1∘F1
6
定理
（ 1）
设R, S, T均为A上二元关系，那么
12
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
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思考：写出集合A=｛1 , 2 , 3 , 4 ｝上的恒等关系、空关系、全域关系和小于关系的关系矩阵。答案：分别为：

1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
11
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
故前域dom R1 ={1,2,3}, 值域 ran R1 ={2,3,4}， fldR ={1,2,3,4}。
2
2、逆与合成 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R∘S = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例2 已知 R={<1,2>, <1,4>, <2,2>，<2,3>, }， S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}，求R1， R∘S ， S∘R 。解：R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}