六年级下册奥数讲义-奥数方法：交集法(练习无答案)全国通用

有些数学题目的问题所求，是由几个条件共同决定的，这时我们可以对每一条进行分别考虑，然后再求满足所有条件的情况。

在考虑问题时，我们把满足每一个条件的情况称为一个集合，用一个圈表示。

那么这些圈的交叉重叠部分就是同时满足这几个条件公共部分，称为交集。

用这种思考方法解题叫做交集法。

另一方面，在运用交集法解题的过程中，常要考虑由于重复、相互包含而引起的多加的数学问题，即包含与排除的问题，也就是常说的“容反”原理。

同时，用交集法解题，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。

[例1】有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色或红色的。

若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有
分析与解答
50个学生中，有14人穿的是蓝色上衣白裤子，则剩下的50-14=36 (人)穿的是红上衣白裤和蓝上衣黑裤子，红上衣黑裤子，又知31人穿黑裤子，则剩下36-31=5(人)穿红上衣白裤子，又知穿红上衣有18人，故18-5=13(人)穿红上衣黑裤子。

[例2】 100名学生，有音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么音乐、体育都爱好的学生至少有几人?至多有几人?
思路剖析
这100名学生可以分成4部分：①爱好音乐而不爱好体育的同学；②爱好体育而不爱好音乐的同学；③既爱好体育又爱好音乐的同学；④既不
爱好音乐又不爱好体育的同学。

如图l所示。

①+③表示爱好音乐的同学53人，②+③表示
爱好体育的同学72人。

由于①+②+③+④=
100，即有(①+③)+(②+③)-③+④=100，53+
72-③+④=100，故有③=25+④。

由③=25+④
知，当既不爱好音乐又不爱好体育的人数为0时，既
爱好音乐又爱好体育的人数最少为25人。

因为音乐爱好者53人，体育爱好者72人，53<72，所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。

解答
53+72-100
=25(人)……音乐、体育都爱好的学生最少人数
因53<72，所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。

答：音乐、体育都爱好的学生至少有25人，至多有53人。

[例3] 在某班48个学生中，每个学生至少会打乒乓球或羽毛球中的一种。

其中有的学生会打乒乓球，有的学生两种都会。

求会打羽毛球的学生有多少人?
思路剖析
依题意，48个学生中，包括三种人：只会打乒乓球的人；只会打羽毛球的人；两种全会的人。

所以我们只要求出会打乒乓球的人，就知道了会打羽毛球的人了。

解答
会打乒乓球的人数：
两样都会的人数：
所以会打羽毛球的人数：
48-28+12=32(人)
[例4] 如图2所示。

A、B、c分别代表面积为8平方厘米、9平方厘米、11平方厘米的三张不同形状的纸片。

它们重叠放在一起没盖住的面
积是18平方厘米。

并且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别为4 平方厘米、5平方厘米、3平方厘米。

求：A、B、C三个图形公共部分的面积是多少平方厘米?
思路剖析
为了说明方便，在图中加上①、②、③、④。

①、②、③是两层重叠；④是三层重叠。

弄清楚A与B相交部分是由②+④组成，B与C相交部分是③+④的和，A与C的公共部分是①+④的和。

解答
A+B+C=8+9+1l=28(平方厘米)
28-没盖住面积=①+②+③+④×2
28-18=10(平方厘米)
(①+④)+(②+④)+(③+④)=①+②+③+④×3
4+5+3=12(平方厘米)
①+②+③+④×3-(①+②+③+④×2)=④
12-10=2(平方厘米)
答：A、B、C三个图形公共部分的面积是2平方厘米。

[例5] 一个班有42名同学，其中有32人参加了文科知识竞赛，27 人参加了理科知识竞赛，文理科知识竞赛都没有参加的一个也没有，问：同时参加文理科知识竞赛的有多少人?
思路剖析
如图3所示，长方形的平面部分表示这个
班的全体同学，左边的圆面表示参加文科知识
竞赛的同学，右边的圆面表示参加理科知识竞
赛的同学，两个圆面的重叠部分表示同时参加
文、理科知识竞赛的同学。

由图3可知：
全班人数一文理科知识竞赛都未参加的人
数
：参加文科知识竞赛的同学人数+参加理科知识竞赛的同学人数一同时参加文、理科知识竞赛的同学人数
解答
设同时参加了文、理科知识竞赛的同学人数为x，
则： 32+27-x=42-0
所以 x=32+27-42
x=17(人)
答：同时参加文理科知识竞赛的同学有17人。

【例6】某班有学生45人，参加天文爱好小组、文学爱好小组和物理爱好小组的各20人、20人、15人。

其中同时参加天文爱好小组和文学爱好小组的有5人，同时参加文学爱好小组和物理爱好小组的有5人，同时参加物理爱好小组和天文爱好小组的有3人，并且全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个。

三个小组都参加的有多少人?
思路剖析
我们用图4帮助思考，用长方形的平面表示全体同学，用3个圆面分别表示参加天文爱好小组、文学小组和物理小组的学生，从中可以看出：全班人数=3个小组都未参加的人数+天文爱好小组人数+文学爱好小组人数+物理爱好小组人数一同时参加天文爱好小
组和文学爱好小组人数一同时参加天文爱好小组和物理
爱好小组的人数一同时参加文学爱好小组和物理爱好小组的人数+同时参加3个小组的人数。

解答
设同时参加3小组的人数为x．则
45=0+20+20+15-5-5-3+x
45=55-13+x
故x=45+13-55=3
答：三个小组都参加的有3人。

[例7】向阳区100个外语教师懂法语或德语，其中懂法语的75人。

既懂法语又懂德语的20人，问懂德语的有
多少?
思路舌_析
我们用交集法来求解，在图5中，左边
的圆圈表示懂法语的人，右边的圆圈表示
懂德语的人，中间相交部分表示既懂法语
又懂德语的人，图中阴影部分表示只懂法
语的人，由图5可知：
懂德语的人=只懂德语的人数+既懂法语又懂德语的人。

解答
依题意
只懂德语的人数：
100-75=25(人)
懂德语的人数：
25+20=45(人)
答：懂德语的有45人。

点津
用交集法解题的实质是用集合的思想来考虑数学问题，因此，正确理解集合的含义及集合之间的运算的意义是解题的关键。

利用正确的图形直观表示题中条件，有助于我们对问题的综合思考。

1．某学校开展课外活动，有400名学生踊跃报名。

其中有200名学生报名参加舞蹈班，有312名学生报名参加武术班，问两个班都报名参加的学生有多少人?
2．在1至100的整数中，能被2整除或能被3整除的整数共有多少个?
3．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事，每个人都是从某一个故事开始按顺序往后读。

已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。

那么甲、乙、丙共同读过的故事至少有多少个?
4．设A={1、2、3、4、5、6、7、8、9}，B={1、2、3、5、6}，C={1、5}，指出集合A、B、C之间的关系。

5．朝阳小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。

现知道，五、六年级有25幅画。

问其他年级共有多少幅画?
6．甲、乙两班共有83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。

问甲班和丁班共多少人?
7．某班学生中骑车、游泳、打球每人至少会一项，其中会骑车的有29 人，会游泳的有25人，会打球的有37人；同时会骑车和游泳的有15人，同时会游泳和打球的有13人，同时会骑车和打球的有16人，同时会这三项
的有7人，问全班共有学生多少人?
8．从1到500的整数中，不能被3整除，也不能被5整除的数有多少? 9．某班参加田径运动会各类项目的人数统计如下：，参加田径赛项目的有15人；(A)
参加跳类项目的有13人；(B)
参加投掷项目的有14人；(C)
既参加径赛、又参加跳类项目的有4人：
既参加跳类、又参加投掷类项目的有5人；
既参加投掷、又参加径赛项目的有6人；
三类项目都参加的有2人。

求这个班参加运动会比赛的总人数。

10．在50名女学生中，穿的都是红裙子或黄裙子，白上衣或花上衣。

穿黄裙子的有31人，穿白上衣的有18人，穿红裙子和花上衣的有14人，问穿黄裙子和白上衣的有多少人?。