全国卷Ⅰ2020届高三高考压轴卷数学试题(理)(含解析)
的夹角为(
)
π A.
6
π
B.
4
π C.
3
πLeabharlann D.24.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N (0,32 ) ，从中随机取一件，其 长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ −σ < ξ < µ +σ ) = 68.26% ，
故选 D 3. 答案 A
解析由已知可得：
v a
v b
−
v a
2
=2
，得
v a
v b
=
3
，
vv
设向量 a 与 b 的夹角为θ
，则 cosθ =
va bv a×b
=
3. 2
所以向量
r a
与
r b
的夹角为
π 6
故选 A.
4. 答案 A
解析由三视图可知，几何体为三棱锥
∴三棱锥体积为：V = 1 Sh = 1 × 1 ×5× 2.4× 4 = 8 3 32
C.
1,
3 2
D.
1,
3 2
U
3 2
,
+∞
二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
已知 ，且 ，则 ． 13. θ ∈(0,π )
sin(θ − π ) = 2 4 10
tan 2θ = ________
设 14. m 为正整数，(x + y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 ，a (x + y)2m+1 展开式的二项
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 ，求得 22+d2=4 ， d=0 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a＞0，b＞0，可得
（ ）（ ） 4 + 1 = 4 + 1 a+b =5+ 4b + a ≥5+2 4b × a = 9
4
4 a
+
1 b
的最小值是（
）
2 / 17
1
1
A. 9
B. 4
C.
D.
2
4
11.已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F，点 M ( x0,2
)
2
x0
>
p 2
是抛物线
C
上一
点，以点 M 为圆心的圆与直线 x
=
p 2
交于
，E G
两点，若
sin
∠MFG
=
1 3
，则抛物线
C
8. 答案 B 解析由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为 4 + 2 = 3 ，故选 B． 2
9. 答案 C
解析因为bsinA =
，展开得 acos
B
+
π 6
bsinA = 3 acosB − asinB ，由正弦定理化简得
2
2
8 / 17
，整理得 sinBsinA = 3 sinAcosB − sinAsinB
参考答案 1. 答案 B
或 解析因为 ， { } A = {x x2 + 2x − 8 ≥ 0} ⇒ A = x x ≥ 2 x ≤ −4
所以 A I B = 2 ≤ x < 3 = [2,3) ，故本题选 B. 2. 答案 D 解析因为 z = (1+ i)(2 − i) = 3+ i
所以 z 2 = 32 + (−1)2 = 10
△ABC
中，内角
A、B、C
所对的边分别为
a、b、c，已知 4sin2
A− 2
B
+
4 sin
A sin
B
=
2
+
2
（1）求角 C 的大小；
（2）已知b = 4 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题 12 分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，PD⊥平面
， ABCD
BC
=
CD
=
1 2
AB
=
2
，
∠ ∠ ， ABC= BCD=90° E 为 PB 的中点。
（1）证明：CE∥面 PAD.
4 / 17
（2）若直线 CE 与底面 ABCD 所成的角为 45°，求四棱锥 P-ABCD 的体积。 19. （本小题 12 分） 已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工 60 人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获 得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）
本题正确选项：A 5. 答案 B 解析由题意
（ ＜ ＜ ） ，（ ＜ ＜ ） ， （ ＜ ＜ ） （ ） ． P − 3 ξ 3 = 68.26% P − 6 ξ 6 = 95.44% ∴ P 3 ξ 6 = 1 95.44% − 68.26% =13.59% 2
故选 B． 6. 答案 B 解析由题意，执行程序框图，可得：
1 / 17
序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是
()
A. i ≤ 7 ?, s = s − 1 ,i = i+1 i
B. i ≤ 128?, s = s − 1,i = 2i i
C i ≤ 7 ?, s = s − 1 ,i = i+1 2i
D. i ≤ 128?, s = s − 1 ,i = 2i 2i
B. [2,3)
－ C.[ 4,2]
－ D. ( 4,3)
已知 ，则 （ ） 2. z = (1+ i)(2 − i) | z |2 =
A. 2 + i
B. 3 + i
C. 5
D. 10
3.若向量
r a
＝
1 2
,
−
， ＝ 3
2
r |b|
2
3
，若
r a
·(
r b
－
r a
)＝2，则向量
r a
与
r b
式系数的最大值为 b，若15a = 8b ，则 ． m=______
f
(x)
=
x4
− 3x2
−
ax,
x
>
0,
15.已知函数
x4 −3x2 + ax, x < 0, 有四个零点，则实数 a 的取值范围是
． __________
16.如图，已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ， ABC PA = 2AB ，给出
甲部门 6
7
8
乙部门 5.5
6
6.5
7
7.5
8
丙部门 5
5.5
6
6.5
7
8.5
（1）求该单位乙部门的员工人数？ （2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为 A，乙部 门选出的员工记为 B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求 A 的睡眠时间不少于 B 的睡 眠时间的概率； （3）若将每天睡眠时间不少于 7 小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 X 的分 布列与数学期望． 20. （本小题 12 分）
ab ab
ab
ab
当且仅当 4b = a 时取等号，∴ 4 + 1 的最小值是 9．
ab
ab
故选：A．
答案 11.
C
解析作 MD ⊥ EG ，垂足为点 D．
由题意得点 M (x0,2
)
2
x0
>
p 2
在抛物线上，则
8
=
得 2 px0
px0
=
4
．①
由抛物线的性质，可知，
|
DM
|=
x0
−
p 2
，
因为 ，所以 ． sin ∠MFG = 1 3
3sinB = cosB
2
2
即 tanB =
3 ，而三角形中 0<B<π，所以 B = π
3
6
由余弦定理可得b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，代入
( ) b2 = 32 +
2
2
3 − 2×3×2
π 3 cos
6
解得b = 3
所以选 C
答案 10.
A
解析圆 x2 + y2 + 2x − 4y +1 = 0 的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 ， =4
x + y −1≤ 0 3x − y +1 ≥ 0
7.已知变量 ，x y 满足约束条件 x − y −1≤ 0 ，则 z = 2x + y 的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），
上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ）
A. 二升
B. 三升
C. 四升
D. 五升
在△ 9. ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a = 3,c = 2
2020年高考全国I卷理科数学试题(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位H±o2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题R对应题日的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦T净后，再选涂梵他答案标号。
冋答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在木试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
L 若z=l+i,则k2-2z∣=A. 0B. 1C. √2D・ 22. 设^A={x∖x2 4<0}, B- {x∣2r÷α<0}, WA^B-{x∖-2≤κ<∖},则旷A. -4 B∙ -2 C. 2 D. 43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之•,它的形状可视为•个正四棱锭•以该卩q核锥的高为边长的正方形而枳等于该四棱维一个侧而三角形的面枳，则几侧面三角形底边上的髙与底而正方形的边长的比值4. 已知/为抛物线Cy=2砂（p>0）上•点，点/到C的焦点的距离为12,到）轴的距离为9,则严5∙某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度X （单位:O C）的关系，在20个不同的温度亦+ 1A. 2B. 3C. 6D. 9为442条件卜•进行种子发芽实验•由实验数据（兀丿）（心12….20）得到卜•而的散点图:100%8. (.r + ^-)(x + >05的展开式中QJ 的系数为 XA ・5 B. IO C. 15D. 209∙己知 αe (0,π)t M. 3cos2α 一 Scosa==5» 则 Sina =A.逅B. ZC.1 D.迈 333910.已知4氏C 为球O 的球面上的三个点.OQ 为Z ∖∕BC 的外接圆.KOO I 的面积为4兀・由此散点图，在10。
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020 数学 理科
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)-2020数学理科2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：1.若 $z=1+i$，则 $|z^2-2z|=$A。
$1$。
B。
$2$。
C。
$2\sqrt{2}$。
D。
$4$2.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|2x+a\leq 0\}$，且$A\cap B=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$。
B。
$-2$。
C。
$2$。
D。
$4$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}$。
B。
$\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$。
C。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{4}$。
D。
$\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
$2$。
B。
$3$。
C。
$6$。
D。
$9$5.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：$^\circ$C）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$ 得到下面的散点图：在 $10^\circ\text{C}$ 至 $40^\circ\text{C}$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程由此散点图，在 $10^\circ\text{C}$ 时发芽率最高的类型的是A。
$y=a+bx$。
B。
$y=a+bx^2$。
C。
$y=a+be^x$。
D。
$y=a+blnx$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
2020届全国高考(ⅰ卷)高三新课标(一)卷数学(理)试题(解析版)
2020届全国高考（ⅰ卷）高三新课标（一）卷数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|12}A x x =-<，12{|log 1}B x x =>-，则A B =（ ）A ．{|04}x x <<B ．{|22}x x -<<C ．{|02}x x <<D ．{|13}x x <<【答案】C【解析】由题意得：{}|1x 3A x =-<<，{}|0x 2B x =<< ∴{}|02A B x x ⋂=<< 故选C2．以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r ，||r 值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在x ∈R ，210x x +-<”的否定是“不存在x ∈R ，210x x +-≥”；③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是 1.230.08y x =+.A ．4B ．2C ．3D ．1【答案】B【解析】①相关系数r 值越小，变量之间的相关性越弱，故错误；②命题“存在x R ∈，210x x +-<”的否定是“任意x R ∈，210x x +-≥”，故错误；③“p q ∨”为真时，“p ⌝”为假不一定成立，故“p q ∨ q ”为真是“p ⌝”为假的不充分条件，“p ⌝”为假时，“p ”为真，“p q ∨”为真，故“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要条件，故“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件，故正确；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为()4,5，则5 1.2340.08a =-⨯=，则回归直线方程是 1.230.08y x =+，故正确；故选B.3．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b =λ”是“a b a b +=+”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】存在实数λ，使得λab ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，a b a b +=+成立， 当,a b 反向时，a b a b +=+不成立，所以，充分性不成立. 当a b a b +=+成立时，有,a b 同向，存在实数λ，使得λa b 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b ”是“a b a b +=+”的必要而不充分条件.故选B . 【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是 A ．(1－3，2) B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1+3) 【答案】A【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C （13+，2），作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，由图知，直线:l z x y =-+过C 时，min z =1－3，过B （0,2）时，max z =3-1=2，故z 的取值范围为（1－3，2），故选C.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想5．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x -【答案】C【解析】∵()0sin f x x =， f 1(x )=cos x ， f 2(x )=−sin x ， f 3(x )=−cos x ， f 4(x )=sin x ， f 5(x )=cos x .∴题目中的函数为周期函数，且周期T =4， ∴f 2018(x )=f 2(x )= −sin x . 故选C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6．使函数()3)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-【答案】C【解析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B 正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确.【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.8．某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形 ③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是3 所有正确的说法是A ．①B ．①②C ．②③D ．①③【答案】D【解析】 由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱锥，即01,1,90,SA AB AC BAC SA ===∠=⊥平面ABC ， 则三棱锥的体积为11111113326V Sh ==⨯⨯⨯⨯=，故①是正确的； 其中SBC ∆2的等边三角形，所以②不正确； 其中SBC ∆为面积最大的面，其面积为233(2)S =③是正确的， 故选D .9．如图阴影部分1C是曲线y x=与y x=所围成的封闭图形，A是两曲线在第一象限的交点，以原点O为圆心，OA为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB部分图形为2C，在2C内随机选取m个点，落在1C内的点有n个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A．32nmB．3mnC．3nmD．23mn【答案】B【解析】分别求出1C的面积和2C的面积，利用几何概型，即可求出π的表达式．【详解】由题意联立y x=y x=得A（1，1），则OA2.所以2CS=214OAπ=2π，1CS=100xdx xdx-⎰=2132-=16，所以1211632CCSnm Sππ===，则π3mn=，故选B. 【点睛】本题考查了几何概型的知识，是基础题．10．已知双曲线22221(,0)x ya ba b-=>的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l交双曲线于,M N两点，P为直线l上的一点，当APB△的外接圆面积达到最小值时，点P恰好在M（或N）处，则双曲线的离心率为（）A2B3C．2 D5【答案】A【解析】设出点P的坐标，根据两角差的正切公式，结合基本不等式和正弦定理进行求解即可. 【详解】解：(,0)A a -，(,0)B a ，(c,0)F ，直线l 的方程为x c =， 设(,)P c m ，则,PA PB m m k k c a c a==+-， 22222tan 1m m a m ac a c a APB m m b m b m c a c a m-+-∴∠===+-⋅+++. 当且仅当2b m m+取得最小值时，即m b =时，tan APB ∠取得最大值，即APB ∠最大.根据正弦定理，此时APB ∆的外接圆半径达到最小值，即APB ∆的外接圆面积达到最小值.∴2b b a=，a b ∴=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，不等式的性质，属于中档题. 11．已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1 B ．()1,+∞C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t ta ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.12．将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B '处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ） A ．1423⎛⎫⎪⎪⎝， B ．144⎛⎫⎪⎪⎝⎭， C ．()323，D ．()34，【答案】B【解析】由题意画出图形，可证AC ⊥平面B ′ED ，得到球心O 位于平面B ′ED 与平面ACF 的交线上，即直线EF 上，由勾股定理结合OA ＝OB ′，OE ＜EF ，EF ＜EB ′＝4可得线段EF 长度的取值范围． 【详解】 如图所示：由已知可得，AC ⊥B ′E ，且AC ⊥DE ， ∴AC ⊥平面B ′ED ， ∵E 是AC 的中点，∴到点A 、C 的距离相等的点位于平面ACF 内，同理可知，到点B ′、D 的距离相等的点位于平面ACF 内， ∵球心O 到点A ，B ′，C ，D 的距离相等，∴球心O 位于平面B ′ED 与平面ACF 的交线上，即直线EF 上． ∴球心O 落在线段EF 上（不含端点E 、F ），显然EF ⊥B ′D ，由题意EA ＝3，EB ′＝4，则OA 2＝OE 2+9，且OB ′2＝OF 2+FB ′2＝OF 2+EB ′2﹣EF 2＝（EF ﹣OE ）2+16﹣EF 2＝OE 2+16﹣2EF •OE ． ∵OA ＝OB ′，∴OE 2+9＝OE 2+16﹣2EF •OE ，则72OE EF=， 显然OE ＜EF ，∴72EF ＜EF ，即EF 2．又EF ＜EB ′＝4，∴2EF ＜4． 故选：B ． 【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系以及距离计算，还考查了空间想象能力与转化思维能力，属难题．二、填空题13．已知()()421f x x =-，设()42340123421x a a x a x a x a x -=++++，则1234234a a a a +++=________．【答案】8【解析】把等式两边同时对x 求导数，再令1x = ，可得1234234a a a a +++的值． 【详解】解：已知()()421f x x =- ，设()42340123421x a a x a x a x a x -=++++ ， 把等式两边同时对x 求导数，可得()32412348?21234x a a x a x a x -=+++ ， 再令1x =，可得1234234=8a a a a +++， 故答案为8． 【点睛】本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和即可求出答案，属于基础题．14．已知A ，F ，P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为__. 【答案】2.【解析】根据二倍角的正切公式和直线的斜率公式列恒等式，结合P 点在双曲线右支，化简得出a ，b ，c 的关系，从而得出双曲线的离心率. 【详解】解：(,0)A a -，(c,0)F ，设0(P x ，0)y ，00AP y k x a ∴=+，00FP y k x c=-， 2PFA PAF ∠=∠，tan AP k PAF =∠，tan FP k PFA =-∠，∴00002220000022()()()1y y x ay x a y x c y x a x a⨯++==--+-+， 222200000022222y x ax a x ax cx ac ∴---=+--， 即2220003(42)20y x a c x a ac ----+=，又0(P x ，0)y 在双曲线上，2222002b y x b a∴=-，222002(3)(42)20b x a c x ac c a ∴---+-=恒成立，∴2223042020b a a c ac c ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪⎩，2c a ∴=，即2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线的斜率，属于基础题目，15．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nna n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4．【考点】1．数列的通项公式；2．解不等式．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则()19f =_____________.【答案】3【解析】根据正方形的运动，得到点(),B x y 的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可. 【详解】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0A -为圆心，以2为半径的14圆； 当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()0,0D 为圆心，以22为半径的14圆； 当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点()4,0A 为圆心，以2为半径的14圆， 与42x -≤<-的形状相同，因此函数()(y f x =的图象在[]4,4-恰好为一个周期的图象； 所以函数()y f x =的周期是8； ∴(19)(3)3f f ==，其图象如图：3【点睛】此题考查函数图象的变化，其中由已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解本题的关键，属于较难题.三、解答题17．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知12c =，b =O 为ABC ∆的外接圆的圆心.（1）若4cos 5A =，求ABC ∆的面积S ； （2）若D 为BC 边上任意一点，1124DO DA AB AC -=+，求sin B 的值.【答案】（1；（2【解析】（1）由4cos 5A =，得3sin 5A =，代入三角形面积公式求得ABC ∆的面积S ；（2）由1124DO DA AB AC -=+，利用余弦定理求出AO ，再由正弦定理求得sin B的值. 【详解】解：（1）由4cos 5A =，0A π<<，得3sin 5A =，∴113sin 12225S bc A ==⨯⨯=；（2）由1124DO DA AB AC -=+，所以1124AO AB AC =+， 于是11···24AO AO AB AO AC AO =+， 即211cos cos 24AO AB AO OAB AC AO OAC =∠+∠，① 又O 为ABC ∆的外接圆圆心，则1cos 2AO OAB AB ∠=，1cos 2AO OAC AC ∠=，②将（1）代入（2），得到2221111||14496484848AO AB AC =+=⨯+⨯=，所以43AO =由正弦定理得2sin b R B ==，得sin B =. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，属于中档题.18．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.【答案】(1)见详解；(2) 30.【解析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A --对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证. 【详解】 (1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥.AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)过B 作BH GC ⊥延长线于H ，连结AH ，因为AB ⊥平面BCGE ，所以AB GC ⊥ 而又BH GC ⊥，故GC ⊥平面HAB ，所以AH GC ⊥.又因为BH GC ⊥所以BHA ∠是二面角B CG A --的平面角，而在BHC △中90BHC ∠=，又因为60FBC ∠=故60BCH ∠=，所以sin 603BH BC ==.而在ABH 中90ABH ∠=,3tan 33AB BHA BH ∠===，即二面角B CG A --的度数为30.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力． 19．已知函数()ln 1f x x x =++，()22g x x x =+.（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的极值；（Ⅱ）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）极大值为1ln 24-，无极小值；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m 的最小值. 【详解】(Ⅰ)设()()()2ln 1x f x g x x x x ϕ=-=--+，∴()()()211121x x x x x xϕ--+'=--=， 令()0x ϕ'>，则102x <<；()0x ϕ'<，则12x >；∴()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， ∴()11=ln 224x ϕϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭极大，无极小值.(Ⅱ)由()()0f x mg x -≤，即()2ln 120x x m x x ++-+≤在()0,∞+上恒成立，∴2ln 12x x m x x++≥+在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 12x x h x x x ++=+，则()()()()2212ln 2x x x h x x x -++'=+， 显然10x +>，()2220x x+>设()()2ln t x x x =-+，则()210t x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，故()t x 在()0,∞+上单调递减 由()110t =-<，11112ln 2ln 202222t ⎛⎫⎛⎫=-+=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点定理得01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00t x =，即002ln 0x x += 且()00,x x ∈时，()0t x >，则()0h x '>，()0,x x ∈+∞时，()0t x <. 则()0h x '<∴()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 ∴()()0002max 00ln 12x x h x h x x x ++==+， 又由002ln 0x x +=，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0002000ln 111,1222x x h x x x x ++⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭ ∴由()m h x ≥恒成立，且m 为整数，可得m 的最小值为1. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．已知点()10F -，，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点1F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】（1）22143x y +=；（2）3(0,]2 【解析】（1）处理向量等式，代入向量坐标，计算方程，即可．（2）分直线斜率是否存在考虑，设出直线l 的方程，代入椭圆方程，用m 表示三角形面积，换元，结合函数性质，计算范围，即可． 【详解】（1）设动点()P x y ，，则()4H y -， 由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2214PF PM ∴=即2214PF PM =()2221144x y x ∴++=+化简得22143x y +=（2）由(1)知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1322DAB S AB OF ∆∴=⋅= 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为1x my =- ()0m ≠，设()11,A x y ()22,B x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=.则21441440m ∆=+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+， 11212OAB S OF y y ∆=⋅- 112=⨯==令21(1)m t t +=>，则OAB S ∆===令()196f t t t =++，则()21'9f t t =-，当1t >时，()'0f t >，()196f t t t∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f ∴>=，32OAB S ∆∴<= 综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本道题考查了曲线轨迹方程计算，考查了直线与椭圆位置关系，考查了函数的性质，属于综合性问题，难度偏难．21．某医药开发公司实验室有()*n n N∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii )若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=【答案】（1）310（2）（ⅰ）()1*11n P n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N （ii ）8【解析】（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i )根据()()E E ξη=，找到P 与n 的函数关系；(ii )根据()()E E ξη>得到关于n 的不等式式，构造函数解决问题. 【详解】解：（1）记所求事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前三次均不含有细菌R ”为事件C ， 则A BC =，且,B C 互斥，所以111322333355113()()()51010A A A A P A PB PC A A =+=+=+= （2）()()i E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--，所以()(1)(1)1(1)1(1)n n nE P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦， 由()()E E ξη=得1(1)nn n n P =+--，所以()1*11nP n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ；（ii ）141P e-=-,所以4()1n E n n eη-=+-⋅，所以4(1)nn n e n -+-⋅<，所以ln 0,4nn ->设()ln (0)4xf x x x =->， 114()44xf x x x-'=-=，当(0,4)x ∈时，()0,()f x f x '>在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在(4,)+∞上单调递减 又9(8)ln820,(9)ln 904f f =->=-<， 所以n 的最大值为8 【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..22．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos2a ρθ=（a R ∈,a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足22x t =+，（t 为参数）． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．【答案】（1）222x y a -=2(12x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）； （2）2.【解析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线l 的普通方程，代入2x =解得112y t =+，即得参数方程.（2）将直线参数方程代入曲线C 方程，根据参数几何意义得1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，解得a ，再根据1212PA PB t t t t -=-=+，利用韦达定理解得结果. 【详解】（1）由22cos2a ρθ=得()2222cos sin aρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l的普通方程为)21y x =-+，由2x =+得112y t =+ ∴直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）；（2）将212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y a -=，得()()2221230t t a ++-=，依题意知()()2221830a ⎡⎤∆=-->⎣⎦则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=，∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±，∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()1221t t +=-，∴2PA PB -=．【点睛】本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本题. 23．设函数f （x ）＝|2x ﹣1|+mx +2，m ∈R ．（1）若m ＝1，解不等式f （x ）＜6；（2）若f （x ）有最小值，且关于x 的方程2()1f x x x =-++有两个不等实根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）5(3,)3-；（2）322m -≤<-【解析】（1）将1m =代入，分12x ≤及12x >解不等式即可； （2）由()f x 有最小值，可先得到m 的范围，并求得()f x 的最小值，要使方程()21f x x x =-++有两个不等实数根，则()y f x =与2()1g x x x =-++有两交点，数形结合，求得m 的取值范围.【详解】（1）当1m =时，()212f x x x =-++， 当12x ≤时，()1226f x x x =-++<，得3x >-，综合得132x ≤， 当12x >时，()2126f x x x =-++<，得53x <，综合得1523x <<， 综上，不等式的解集为5(3,)3-； （2）当12x ≤时，()122(2)3f x x mx m x =-++=-+， 当12x >时，()212(2)1f x x mx m x =-++=++，则1(2)3,2()1(2)1,2m x x f x m x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩，要使()f x 有最小值， 则2020m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得22m -≤≤， 要使方程()21f x x x =-++有两个不等实数根， 则()y f x =与2()1g x x x =-++有两交点，易知当12x =时，()f x 有最小值122m +，()g x 有最大值54 作示意图如图所示：则122m +<54，得32m <-，综合得322m -≤<-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．。
2020年高考全国I卷理科数学试题(含解析)
6)
在[ ,
] 的图像大致如下图，则
f
( x)
的最小正周期为（
）
A.
10 9
C. 4 3
B.
7 6
D.
3 2
答案：C
解析：∵ cos(
4 9
6
)
0 ，∴
4
9
6
2k
2
(k
Z)
，
∴
9k 2
3 2
，根据图像可知
2 | |
4 9
13 9
，
2 | |
，∴
18 13
|
|
2，
2 2 4
故取 k 0，则
（）
A. y 2x 1
B. y 2x 1
C. y 2x 3
D. y 2x 1
答案：B
解答：由题可得 f (1) 1， f (x) 4x3 6x2 ，则 f (1) 2 ，
∴在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 2(x 1) ，即 y 2x 1．
7.设函数
f
( x)
cos(x
底面正方形的边长的比值为
（）
A． 5 1 4
B. 5 1 2
51
C.
4
答案：C
D. 5+1 2
1 2
ah ，
解答：设四棱锥的底面边长为a ，侧面三角形的高为h ，四棱锥的高为h，则有 h2
又 h
h2 ，(又12aha)2，0联，所立以两 式 可 得 (h)2
1 4
a2
1 2
ah
(
h )2 a
1 2
由圆 O 的面积为 4 1
，∴
OA 1
2020年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(考试版)
数学试题 第 1页（共 6页）
数学试题 第 2页（共 6页）
A．7
B．20
C．22
D．54
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 上单调递增，则（ ）
A． f 3 f log313 f 20.6 C． f 20.6 f log313 f 3
B． f 3 f 20.6 f log313 D． f 20.6 f 3 f log313
A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 从 日到 日 PM 2.5 日均值逐渐降低 C. 这 天中 PM 2.5 日均值的中位数是 D. 这 天中 PM 2.5 日均值最高的是 5 月 日 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． (M P) S
数学试题 第 4页（共 6页）
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（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
D1 A1
E C1
B1
D C
A
B
19．（本小题满分 12 分） 为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的 数学考试成绩，统计如下表所示：
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 {an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(含答案解析)
展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
9．A
【分析】
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20．已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
21．已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
10．A
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
17．设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
18．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1A y y ==，{}30B x x =-≤，则A B =I （） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞ 答案：B首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.解： {{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=.故选：B.点评：本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cossin 33z i ππ=+，则3z 等于（）A ．122-B ．1-C ．122--D ．122-+ 答案：B 根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可.解： 由题意得3cossin 33i z i e πππ=+=， 333()cos sin 1i i z e e i ππππ====-＋. 故选：B点评：本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3-B．2313-C．3πD．31π-答案：B首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.解：如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B点评：本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）A ．n 是偶数？，100n ≤？B ．n 是奇数？，100n ≤？C ．n 是偶数？，100n <？D ．n 是奇数？，100n <？答案：A模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.解：根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n 是偶数？”；执行程序框图，当101100n =>结束，所以第二个框应该填100n ≤？.故选：A点评：本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（）A ．11B ．16C ．10D ．15答案：D首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可.解：因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D点评： 本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题.6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（） A ． B ．C ．D ． 答案：D首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案. 解：因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-， 所以()f x 为奇函数，排除C.1432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D点评： 本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率是（）ABCD答案：B首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11b B b b -++，1(,)11b C b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可. 解：由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+.因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11b C b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r。
高考全国 I 卷：2020年[理数]考试真题与答案解析
A ．B ．10π97π6C ．D ．4π33π28．的展开式中x 3y 3的系数为25()()x x y xy ++A ．5B ．10C ．159．已知，且，则π()0,α∈3cos28cos 5αα-=sin α三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第每个试题考生都必须作答。
第（一）必考题：共6017．（12分）设是公比不为1的等比数列，{}n a（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正xOy 1C cos ,sin kkx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t )x 半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．2C 4cos 16sin 30ρθρθ-+=（1）当时，是什么曲线？1k =1C （2）当时，求与的公共点的直角坐标．4k =1C 2C 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．()|31|2|1|f x x x =+--（1）画出的图像；()y f x =（2）求不等式的解集．()(1)f x f x >+答案解析一、选择题1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 二、填空题13．1 14． 15．2 16．314-三、解答题17．解：（1）设的公比为，由题设得即.{}n a q 1232,a a a =+21112a a q a q =+所以解得（舍去），.220,q q +-=1q =2q =-故的公比为.{}n a 2-（2）设为的前n 项和.由（1）及题设可得，.所以n S {}n na 1(2)n n a -=-，112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯- .21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯- 可得2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--⨯- 1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以.1(31)(2)99nn n S +-=-18．解：（1）设，由题设可得，DO a =63,,63PO a AO a AB a ===.22PA PB PC a ===因此，从而.222PA PB AB +=PA PB ⊥又，故.222PA PC AC +=PA PC ⊥所以平面.PA ⊥PBC （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角O OEy ||OE 坐标系.O xyz -丙上场后连胜三场的概率为．18所以需要进行第五场比赛的概率为．11131161684---=（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．18比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．1161818因此丙最终获胜的概率为．111178168816+++=20．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则，=（a ，–1）.由=8得a 2–1=8，即a=3.(,1)AG a = GB AG GB ⋅所以E 的方程为+y 2=1．29x （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x=my+n ，由题意可知–3<n<3.由于直线PA 的方程为y=（x+3），所以y 1=（x 1+3）.9t 9t直线PB 的方程为y=（x–3），所以y 2=（x 2–3）.3t 3t可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于，故，可得，222219x y +=2222(3)(3)9x x y +-=-121227(3)(3)y y x x =-++即①221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=将代入得x my n =+2219x y +=222(9)290.m y mny n +++-=所以，．12229mn y y m +=-+212299n y y m -=+代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n=–3（含去），n=.32故直线CD 的方程为，即直线CD 过定点（，0）．3=2x my +32若t=0，则直线CD 的方程为y=0，过点（，0）.32综上，直线CD 过定点（，0）.3221．解：（1）当a=1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则=e x +2x–1．()f x '故当x ∈（–∞，0）时，<0；当x ∈（0，+∞）时，>0．所以f （x ）在（–∞，0）()f x '()f x '单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.31()12f x x ≥+321(1)e 12xx ax x --++≤设函数，则321()(1)e (0)2x g x x ax x x -=-++≥.32213()(121)e 22x g x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2x x x a x a -=--+++1(21)(2)e 2x x x a x -=----（i ）若2a+1≤0，即，则当x ∈（0，2）时，>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，12a ≤-()g x '而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a+1<2，即，则当x ∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x ∈(2a+1，1122a -<<2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g (x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e −2≤1，即a≥.27e4-所以当时，g(x)≤1.27e 142a -≤<（iii ）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.12a ≥31(1)e 2xx x -++由于，故由（ii ）可得≤1.27e 10[,)42-∈31(1)e 2x x x -++故当时，g(x)≤1.12a ≥综上，a 的取值范围是.27e [,)4-+∞22．解：（1）当k=1时，消去参数t 得，故曲线是圆心为坐标原点，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩221x y +=1C 半径为1的圆．（2）函数的图像向左平移()y f x =的图像与()y f x =(y f x =+。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅰ) Word版含答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z＝1＋i，则|z2－2z|＝A.0B.1C.2D.22.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝A.－4B.－2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514-B.512-C.514+D.512+4.已知为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋be xD.y＝a＋blnx6.函数f(x)＝x 4－2x 3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为A.y ＝－2x －1B.y ＝－2x ＋1C.y ＝2x －3D.y ＝2x ＋17.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π 8.(x ＋2y x)(x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为 A.5 B.10 C.15 D.209.已知a ∈(0，π)，且3cos2α－8cos α＝5，则sin α＝A.53B.23C.13D.59 10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π1..已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为A.2x －y －1＝0B.2x ＋y －1＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x ＋y ＋1＝012.若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则A.a>2bB.a<2bC.a>b 2D.a<b 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案
全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y) |x，y为实数，且y=x－2}，则A ∩ B的元素个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2 （B）z的实部为1（C）z的虚部为－i （D）z的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22 （B）0.28（C）0.36 （D）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)（5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n ＝（A ）4n －1 （B ）4n －1 （C ）2n －1（D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2（B ）2（C ） 5（D ） 3（7）已知函数f (x)＝cos (2x ＋π 3)，g (x)＝sin (2x ＋2π3)，将f (x)的图象经过下列哪种变换可以与g (x)的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移π12（C ）向左平移π 6 （D ）向右平移 π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a ）∥b ，c⊥（b+a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73，79） （C ）（ 73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （A ）24种 （B ）36种 （C ）48种（D ）60种（11）函数，其图像的对称中心是俯视图正视图（A）（－1，1）（B）（1，－1）（C）（0，1）（D）（0，－1）（12）关于曲线C：x 12＋y12＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l＞2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 1 6上述命题中，真命题的个数是（A）4 （B）3（C）2 （D）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）在(1＋x2)(1－ 2x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1, d2,d 3 ，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|－AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋3cos A＝2sin B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X的分布列和均值．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60 ，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．BCB1BAC1A1A（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD·CD ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsi n θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x)＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)一、选择题：CDBCD ABCDD BA二、填空题：（13）41；（14）100π；（15）[ 125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A＋3cos A＝2sin B即2sin(A＋π3)＝2sin B，则sin(A＋π3)＝sin B．…3分因为0＜A，B＜π，又a≥b进而A≥B，所以A＋π3＝π－B，故A＋B＝2π3，C＝π3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋b c ＝sin A＋sin Bsin C＝23[sin A＋sin(A＋π3)]＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋π6)．…10分当A＝π3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝ 18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝ 18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝ 18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316， 依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k)＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X)＝2×316＝8．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB⊥BB 1．又AB⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)．…6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0， 即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)．…………………10分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B-AC-A 1的余弦值为－77．……………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2． (6)分因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)x 1－x 2＝k(x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分（Ⅲ）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，k ＝±1． 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意． 故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x) =当x∈(0，a)时，f '(x)＜0，f (x)单调递减， 当x∈(a ，＋∞)时，f '(x)＞0，f (x)单调递增． ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a ，0）．f (a)=lna ＋1=0，可知a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： .取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g '(t)＜0，g (t)单调递减， 当t∈(1，＋∞)时，g '(t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是.∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x 是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即. ……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE∥AB ，故DE∥AB ． ………………………… …5分OA（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC∽△ECD ． ⇒AC CD ＝AD CE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ．……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322， 故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（24）解： （Ⅰ）f (x)＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x≤4，2x －7，x ＞4． ……………………………2分作函数y ＝f (x)的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9 2，由图象知 不等式f (x)≤2的解集为[ 5 2， 9 2]．……………………………5分（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数y ＝f (x)与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ． 由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2，＋∞)． ………………………10分 ＝12。