三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公式 专题训练
三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公式 专题训练一、选择题1.若点(4，a )在y ＝x 12的图象上，则tan a 6π的值为( ) A.0 B.33 C.1 D. 32.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33 C.－ 3 D. 33.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( ) A.2425 B.1225 C.－1225 D.－24254.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A.－1－k 2 B.1－k 2 C.－k D.±1－k 25.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C.－34 D.－43创新导向题利用三角函数值的符号求参数取值范围6.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是() A.(－2，3] B.(－2，3) C.[－2，3) D.[－2，3]诱导公式的应用7.已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B.－14 C.12 D.－12专项提升测试模拟精选题一、选择题8.已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( ) A.3 B.13 C.－13D.－3 9.已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点P (sin A －cos B ，3cos A －1)位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、填空题10.已知角α为第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，则cos α＝________. 11.在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.创新导向题三角函数的定义与同角三角函数基本关系式的应用问题12.在直角坐标平面内，已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A.－12B.12C.710D.－710利用诱导公式求三角函数最值问题13.若2α＋β＝π，则函数y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值为( )A.最大值为2，最小值为12B.最大值为2，最小值为0C.最大值为2，最小值不存在D.最大值为7，最小值为－5三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公式 专题训练答案一、选择题1.若点(4，a )在y ＝x 12的图象上，则tan a 6π的值为( ) A.0 B.33C.1D. 3 解析 ∵a ＝412＝2，∴tan a 6π＝ 3. 答案 D2.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( ) A.－33 B.33 C.－ 3 D. 3 解析 －10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同， 所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D3.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( ) A.2425 B.1225 C.－1225 D.－2425解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D4.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A.－1－k 2 B.1－k 2 C.－k D.±1－k 2解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α>0，则sin ()π＋α ＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A.答案 A5.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43 B.34 C.－34 D.－43解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x ＜0，即x ＜0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43. 答案 D创新导向题利用三角函数值的符号求参数取值范围6.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A.(－2，3]B.(－2，3)C.[－2，3)D.[－2，3]解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2＜a ≤3.答案 A诱导公式的应用7.已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B.－14 C.12 D.－12解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14，选A. 答案 A专项提升测试模拟精选题一、选择题8.已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( ) A.3 B.13 C.－13D.－3 解析 因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.答案 D9.已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点P (sin A －cos B ，3cos A －1)位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π2－B ，且A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，π2－B ＞0， 故sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝12，故点P 在第一象限. 答案 A二、填空题10.已知角α为第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，则cos α＝________. 解析 sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝45，又α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案 －3511.在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.解析 设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32， 则θ＝2k π＋π6(k ∈Z)， 则A (2cos θ，2sin θ)，设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3，所以B (－1，3)，且tan α＝－3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 答案 (－1，3) 3创新导向题三角函数的定义与同角三角函数基本关系式的应用问题12.在直角坐标平面内，已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A.－12B.12C.710D.－710 解析 因为函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，所以f (x )的图象恒过定点P (－1，3)，由三角函数的定义知sin θ＝310＝31010， cos θ＝－110＝－1010， 则cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ＝110＋2×31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝110－610＝－12，故选A. 答案 A利用诱导公式求三角函数最值问题 13.若2α＋β＝π，则函数y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值为( )A.最大值为2，最小值为12B.最大值为2，最小值为0C.最大值为2，最小值不存在D.最大值为7，最小值为－5解析 ∵2α＋β＝π，∴β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α＝－cos 2α－6sin α＝－(1－2sin 2α)－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin α－322－112， ∵－1≤sin α≤1，∴当sin α＝1时，函数最小值为2－6－1＝－5；当sin α＝－1时，函数最大值为2＋6－1＝7.答案 D。
第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2025年高考数学备考
第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为( )A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若，且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题 10．已知，且是第四象限的角。
.（1）求；（2）. 11．(1)已知,求的值；(2)已知, ,求的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=. （1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算：（1）；（2）.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sin cos 2sin cos θθθθ-的值. 18．已知求的值.19．已知,(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20．已知.(1)求的值(2)求的值.21．已知，求的值；若是第三象限角，求的值．22．已知，.(1)求的值.(2)求的值.23．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα和sinα的值，可得cosα﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝，sin α＝＝，则cos α－sin α＝－＋＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝。
高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
6.2(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)2doc
同角三角函数基本关系式及诱导公式必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2. 诱导公式1． (2011·大纲全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 答案 －55解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 2． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 ∵α是第二象限的角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.4． sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 题型分析 深度剖析题型一 同角三角函数基本关系式的应用例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．思维启迪：由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求sin A ，cos A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.题型二 三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪：(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 题型三 三角函数式的化简与求值例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23. (2)原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， 求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值． 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，∴cos α＝－55，又α∈(0，π)， ∴sin α＝255.cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin α－cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α－cos α＝－sin αsin α－cos α＝－23.分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )．审题视角 (1)角中含有变量n ，因而需对n 的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看． 规范解答解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则[1分]原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[5分] 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )，则 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0 故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0.温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式． 1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0答案 B解析 cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1.3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为 ( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案265解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________．答案 －13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 解 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于 ( )A ．－79B ．－13 C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12. 3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α，平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. 答案 －32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－32. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________. 答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 三、解答题7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A .(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解 (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.。
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式和诱导公式
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式和诱导公式一、单项选择题（共4小题）1.已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A ．34− B ．43− C ．34 D ．432.tan600°的值是（ ）A ．33−B ．33C ．3−D ．33.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπ2cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝（ ）A ．355B ．377C ．31010D ．134．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为（ ）A ．－12B ．12C ．－32D ．32二、多项选择题（共3小题）5.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则（ ） A ．θ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2 B ．cos θ＝－35 C ．tan θ＝－34 D ．sin θ－cos θ＝756.在△ABC 中，若tanA ＋B 2＝sinC ，则下列结论正确的是（ ） A .tan A tan B ＝1 B ．1<sin A ＋sin B ≤2C ．sin 2A ＋cos 2B ＝1D ．cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C 7.下列结论中，正确的是（ ）A ．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B .若cos(n π－α)＝13(n ∈Z)，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z)，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1三、填空题（共4小题）8.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α=________. 9.若sin α＝2cos α，则cos 2α＋sin αcos α－sin 2α＝________.10.已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.11.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ125＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-12＝________. 四、解答题（共3小题）12.化简计算：（1）sin sin1sin 1sin αααα−+−； （2 13.求值：（1）若α是第二象限角，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2＝－13，求tan α的值； （2）已知f (α)＝sin (3π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (π－α)sin (－π－α)，化简f (α)，在(1)的条件下，求f (α)的值. 14.某同学在思考是否存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22-ππα，，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛−βπ2cos ，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.。
高中数学专题7_三角函数的_概念、同角关系、诱导公式(有答案)
专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. cos(2014π3)的值为（）A.1 2B.√32C.−12D.−√322. （广西柳州、玉林、梧州、贵港、贺州4月模拟）若sinα=513，且α为第二象限角，则tanα的值等于（）A.125B.−125C.512D.−5123. （合肥二次质检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=（）A.−12B.−√32C.12D.√324. （福建厦门一中下学期开学考）已知sinα−2cosα=2(α≠kπ，k∈Z)，则tanα=（）A.−43B.43C.−34D.345. （吉林实验中学四模）已知α∈(0,π)，且cosα=−513，则sin(π2−α)⋅tanα=（）A.12 13B.−513C.−1213D.5136. （东北三省三校一联）已知sin(π3−α)=13，则cos(5π6−α)=（）A.1 3B.−13C.2√23D.−√237. （石家庄一模）已知cosα=k，k∈R，α∈(π2,π)，则sin(π+α)=（）A.−√1−k2 B.√1−k2 C.—k D.±√1−k28. （江西赣州摸底）已知θ∈(0,π)，sin(θ+π4)=12，则cos2θ=（）A.−12B.−√32C.12D.√329. （广州综测一）已知sin(x−π4)=35，则cos(x+π4)=（）A.4 5B.35C.−45D.−3510. （成都三诊）当α∈(π2，π)时，若sin(π−α)−cos(π+α)=√23，则sinα−cosα的值为（）A.√23B.−√23C.43D.−43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（兰州诊断）若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．（四川南充二次适应性考试）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为________．（武汉4月调研）已知sinα=2cosα，则sinαcosα=________．（河南模拟）已知cosα=−√55，tanβ=13，π<α<32π，0<π2，则α−β的值为________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．sinα≥√32；cosα≤−12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限用横坐标是35，点B在第二象限，点C(1, 0)．设∠COA=θ，求sin2θ的值；若△AOB为正三角形，求点B的坐标．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1,y1)，B(x2,y2)．若x1=13，求x2；分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．参考答案与试题解析专题7 三角函数的 概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 依题意得cos (2014π3)=cos (670π+4π3)=cos 4π3=−12，故选C ．本题考查三角函数基本公式．2.【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由于α为第二象限角，则cos α=−√1−sin 2α=−1213，故tan α=sin αcos α=−512，故选D ．【知识总结】同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，tan α=sin αcos α．本题考查同角三角函数的基本关系． 3.【答案】 A【考点】任意角的三角函数 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】由题意知，角α的终边经过点P (−√32,12)，所以sin α=12，所以sin (π+α)=−sin α=−12，故选A ．本题考查三角函数的定义、诱导公式． 4. 【答案】 A【考点】同角三角函数基本关系的运用 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由sin a −2cos α=2和sin 2α+cos 2α=1解得sin α=45，cos α=−35，或sin α=0，cos α=−1，又α≠kπ,k ∈Z ，则sin α=45，cos α=−35，则tan α=sin αcos α=−43，故选A ． 本题的突破点是灵活应用同角三角函数的基本关系求出sin α与cos α的值． 本题考查同角三角函数的基本关系式． 5.【答案】 A【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为cos α=−513且α∈(0,π)，所以sin α=√1−cos 2α=1213，所以sin (π2−α)⋅tan α=cos α⋅sin αcos α=1213，故选A ．本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式． 6.【答案】 B【考点】任意角的三角函数 运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 cos (5π6−α)=cos (π2+π3−α)=−sin (π3−α)=−13，故选B ．【技巧点拨】当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 本题考查三角函数求值问题． 7.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数间的基本关系直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】因为α∈(π2,π)，所以sinα>0，则sin(π+α)=−sinα=−√1−cos2α=−√1−k2，故选A．本题考查三角函数的诱导公式与同角三角函数的关系．8.【答案】B【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由θ∈(0,π)知θ+π4∈(π4,5π4)，而sin(θ+π4)=12，可得θ+π4=5π6，解得θ=7π12，故cos2θ=cos7π6=−cosπ6=−√32，故选B．直接利用特殊角的三角函数值确定对应的角，这样运算起来比较简单快捷．本题考查三角函数的求解、诱导公式．9.【答案】D【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】cos(x+π4)=sin[π2−(x+π4)]=sin(π4−x)=−sin(x−π4)=−35，故选D．【一题多解】因为sin(x−π4)=√22(sin x−cos x)=35，所以sin x−cos x=3√25，所以cos(x+π4)=√22(cos x−sin x)=√22×(−3√25)=−35，故选D．本题考查诱导公式．10.【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】因为sin(π−α)−cos(π+α)=sinα+cosα=√23，所以(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=29，则2sinαcosα=−79，又因为α∈(π2,π)，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=43，故选C．熟记三角函数的诱导公式进行合理的化简是解题的关键．本题考查三角函数的诱导公式、同角关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】−2 5【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】cos(−π4+α)=sin[π2−(π4+α)]=sin(π4−α)=−25．【易错警示】利用诱导公式要注意符号与名称是否改变．本题考查诱导公式的运用．【答案】−3【考点】同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】原式=tanα+1tanα−3=2+12−3=−3．【考向分析】三角函数求值是高考常考点，本题对同角三角函数的基本关系的考查是重要命题方向之一．本题考查同角三角函数的基本关系．【答案】25【考点】同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由sin α=2cos α可知tan α=2，从而sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=25．本题考查同角三角函数的基本关系． 【答案】54π 【考点】两角和与差的正切同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为π<α<32，cos α=−√55，所以sin α=−2√55，tan α=2，又tan β=13，所以tan (α−β)=2−131+23=1，由π<α<32π，−π2<−β<0得π2<a −β<32π，所以α−β=−54π．本题考查同角基本关系式和两角差的正切公式． 三、解答题（本大题共3小题，共30分） 【答案】 {α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3, k ∈Z , } {α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3, k ∈Z }【考点】三角函数线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：作直线y =√32交单位圆于A 、B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域（图中阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3, k ∈Z , }．作直线x =−12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为 {α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3, k ∈Z }．【答案】2425(3−4√310,4+3√310)【考点】求二倍角的正弦 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由条件cos θ=−35，∵ 点A 在单位圆上且在第一象限，∴ sin θ=45． ∴ sin 2θ=2sin θcos θ=2425．∵ △AOB 为正三角形，∴ ∠BOC =∠AOC +60∘=θ+60∘．∴ cos ∠BOC =cos (θ+60∘)=cos θcos 60∘−sin θsin 60∘=3−4√310． sin ∠BOC =sin (θ+60∘)=sin θcos 60∘+cos θsin 60∘=4+3√310． ∴ 点B 的坐标为(3−4√310,4+3√310)． 【答案】 1−2√66 α=π4【考点】任意角的三角函数三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由三角函数定义得x1=cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23，所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．依题意得y1=sinα，y2=sin(a+π3)．S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)==−14sin(2α+2π3)，依题意得sin2α=−2sin(2α+2π3)，整理得cos2α=0．因为π6<α<−π2，所以π3<2α<π，所以2α=−π2，即α=π4．。
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式及诱导公式
高考数学专题复习题：同角三角函数基本关系式及诱导公式一、单项选择题（共8小题）1.已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝（ ）A.－34B.34C.－43D.43 2.已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．12 C ．12− D ．25− 3.若cos α＝35，α是第一象限角，角α，β的终边关于y 轴对称，则tan β＝（ ）A.34B.－34C.43D.－434.“sin cos 1αα+=”是“sin20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若α为锐角，tan α＝1cos 2α＋1，则tan α＝（ ）A.12B.1C.2－3D.36.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5，cos 4π5，则α的最小正值为（ ） A.π5 B.3π10 C.4π5 D.17π107.如果函数321()(1)23f x x x f =++'，且该函数的图象在点3x =处的切线的倾斜角为α，那么π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．310 B ．310− C ．910 D ．34−二、多项选择题（共3小题）9．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则（ ）A. π2＜α＜πB. sin αcos α＝－1225C. cos θ＝－45D. cos α－sin α＝－75 10．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，－π2＜α＜π2，则（ ） A.tan α＝2B.sin α－cos α＝－55C.sin 4α－cos 4α＝35D.1－2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1311．若sin θ＋cos θ＝t ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，t ∈(－1，2]，函数f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是（ ）A ．当t ＝12时，sin θcos θ的值为38B ．当t ＝12时，sin 3θ－cos 3θ的值为－5716C ．函数f (θ)的值域为(－1，2]D ．函数f (θ)的值域为(－1,1]三、填空题（共3小题）12．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________. 13．已知sin(3π＋θ)＝13，则cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝________.14．已知－π＜x ＜0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝________.。
数学(文)专题提分训练：三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式(含答案解析)
三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式高考试题考点一三角函数的概念1。
（2011年新课标全国卷,文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )（A）-45（B）—35（C)35(D）45解析：①取x=1，则y=2，∴r=5，∴cos θ=15=55，cos 2θ=2cos2θ-1=-35。
②取x=-1,则y=-2,∴r=5,cos θ=—15。
cos 2θ=2cos2θ—1=—35.故选B。
答案:B2.(2012年山东卷，文16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0）,圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1）时，OP的坐标为。
解析：如图，由题意知=OB=2, ∵圆半径为1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2—π2,∴DA=APcos （2-π2)=sin 2，DP=APsin (2-π2）=-cos 2.∴OC=2—sin 2,PC=1—cos 2。
∴OP =(2-sin 2,1—cos 2). 答案：(2—sin 2，1-cos 2)3。
（2011年江西卷，文14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴。
若P(4，y)是角θ终边上一点,且sin θ=—55，则y= . 解析216y + ∴sin θ216y +=25即2216y y +=45,且y 〈0，∴y=—8或y=8（舍去),∴y=—8. 答案：-8考点二 同角三角函数的基本关系式1.（2013年大纲全国卷,文2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α等于( )（A)-1213 (B)-513 (C ）513(D ）1213解析:因α是第二象限角，所以cos α<0。
由三角函数同角关系式知cos α=-21sin α-=-1213。
故选A.答案:A2.（2012年江西卷,文4）若sin cos sin cos αααα+-=12,则tan 2α=（ )(A)-34 （B ）34 (C ）-43 （D ）43解析：因为sin cos sin cos αααα+-=12，所以tan 1tan 1αα+-=12，解得tan α=—3. 故tan 2α=22tan 1tan αα-=34。
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，是第三象限角，则 .【答案】.【解析】根据同角三角函数的基本关系知，，化简整理得①，又因为②，联立方程①②即可解得：，，又因为是第三象限角，所以，故.【考点】同角三角函数的基本关系.2.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.3. cos660o的值为( ).A．B．C．D．【答案】C.【解析】【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.4.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，诱导公式和特殊值的三角函数值记忆不正确，会导致选择A或B，选择D的错误很少见.【考点】诱导公式和特殊角的三角函数值.5.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.6.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.7.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.8.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．9.已知sinα=，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sinα=，且α为第二象限角，∴，∴．【考点】同角三角函数的基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】诱导公式的化简12. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.13.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.14.已知函数,.(1)求的值;(2)若,,求.【答案】(1)1；(2)【解析】(1)直接将代入函数即可求其值。