考研数学分析笔记
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
考研数学分析重要考点归纳
考研数学分析重要考点归纳1.1考点归纳一、数列极限1．定义设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．（1）无穷小数列：；（2）无穷大数列：；（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；（4）收敛⇔的任何子列都收敛．2．性质（1）唯一性收敛数列{an}只有一个极限．（2）有界性若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．（3）保号性若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．（4）保不等式性收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则（5）夹逼性设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有则{cn}收敛，且3．四则运算4．单调有界定理单调且有界的数列一定存在极限．5．柯西收敛准则{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有二、函数1．函数三要素定义域值域对应法则2．性质（1）有界性若∃正数M，对∀x∈D有则称f在D上有界．（2）单调性①单调递增对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；②单调递减对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．（3）奇偶性D关于原点对称①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．（4）周期性若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．3．分类（1）复合函数形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．（2）反函数设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．三、函数极限1．概念（1）函数f在点x0的极限f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x －x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作（2）函数f在x趋于∞时的极限f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N 时有则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作（3）左极限f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有则称A为f在点x0的左极限，记为（4）右极限f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有就称A为f在点x0的右极限，记为（5）．2．性质（1）唯一性；（2）有界性；（3）保号性；（4）保不等式性；（5）夹逼性．注：函数极限性质同数列极限性质类似．3．归结原则f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．4．单调有界定理f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．5．柯西准则f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有6．两个重要极限7．无穷小量与无穷大量（1）无穷小①时的无穷小，得；②时的无穷小，得．（2）无穷小的性质若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．（3）无穷大f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．8．相关无穷小的定义（1）高、低阶无穷小若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作（2）同阶无穷小f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．（3）等价无穷小若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作注：常用的等价无穷小9．渐近线设曲线y＝f（x）（1）斜渐近线y＝kx＋b（2）垂直渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．（3）水平渐近线若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．四、函数的连续性1．概念（1）连续的定义f（x）定义在U（x0）上，若则f在点x0连续．2．性质（1）有界性；（2）保号性；（3）四则运算．3．间断点（1）定义函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．（2）类型①第一类间断点a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．②第二类间断点a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．4．定理（1）最值定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．（2）有界性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．（3）介值性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．（4）根的存在定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．5．一致连续（1）定义f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称f在I上一致连续．（2）一致连续与连续的关系如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I 上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．（3）一致连续性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．。
伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解(多元函数的极限和连续)【圣才出品】
③用列向量
来表示
，称 x 为 中的一个点或向量
的转置．
④记
为 中的原点或零向量．
（2） 中的运算
① 中的加法运算
设
，定义
，
并称 x y 为 x 与 y 的和．
② 中的数乘运算
设
，定义
1 / 22
圣才电子书
并称 x 为 与 x 的数乘．
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
向量空间 有了内积运算后，称 为欧几里得（Euclid）空间或欧氏空间．
②向量的模
利用内积运算，定义向量
的模如下：
中两个非零向量 x 与 y 的内积为：
．
其中 x, y 是向量 x 与 y 的夹角．
（5）距离
①距离的定义
设
与
为 中任意两个点，则 x 与 y 的距离定义
表示单位向量（0，1），并称它们为单位坐标向量．因此，对于
，有
3 / 22
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
③当 n＝3 时，用 (x, y, z) 表示空间 中的点，记
，
于是对于
有
（7）矩阵的范数
设
是一个 m n 矩阵，其中
2．点列极限
（1）欧氏空间 中邻域的概念
集合，并称之为 E 的内部．
②若存在
使得
，则称 x 是 E 的外点．E 的所有外点构成的集合称
为 E 的外部．
③若对于
，有
，并且
，则称 x 是 E 的边界点，
并用 来记 E 的边界点集，称之为 E 的边界．
注：E 的内点一定属于 E；E 的外点一定不属于 E，且 E 的外部即为 的内部 ；E
考研数学分析重点知识点总结
考研数学分析重点知识点总结数学分析是考研数学中非常重要的一门学科，它涉及到微积分、级数、极限等概念。
对于考生来说，掌握数学分析的重点知识点是提高成绩的关键。
本文将从微积分、级数、极限三个方面总结考研数学分析的重点知识点。
一、微积分微积分是数学分析的基础，也是考研数学分析中的重点内容。
在微积分部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 导数与微分：掌握导数和微分的定义和性质，熟练运用导数的几何意义和微分的物理意义来解决相关问题。
2. 高阶导数与高阶微分：理解高阶导数和高阶微分的定义和概念，能够求解高阶导数和高阶微分的相关问题。
3. 隐函数与参数方程：了解隐函数和参数方程的定义及其求导法则，能够应用隐函数与参数方程求导解题。
4. 极值与最值：熟悉极值与最值的判定条件和求解方法，能够应用极值与最值的知识解决相关问题。
5. 泰勒展开：理解泰勒展开的概念和应用条件，能够应用泰勒展开解决近似计算和误差估计的问题。
二、级数级数也是考研数学分析中的重点考点，它包括数列、数列极限和级数等概念。
在级数部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限与函数极限的关系：了解数列极限与函数极限的关系，能够利用数列极限与函数极限之间的关系解决相关问题。
2. 收敛级数与发散级数：能够判断级数的收敛性和发散性，熟悉判别法和判定条件。
3. 常见级数的性质与求和：掌握常见级数的性质与求和公式，如等比级数、调和级数等。
4. 级数收敛的判别法：熟悉级数收敛的判别法，如比较判别法、积分判别法等，能够灵活运用判别法解决问题。
三、极限极限是数学分析中的基础概念，也是考研数学分析的重点内容。
在极限部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限的定义与性质：了解数列极限的定义和性质，熟悉极限的四则运算规则。
2. 函数极限的定义与求解：掌握函数极限的定义和求解方法，理解函数极限与数列极限之间的关系。
3. 极限存在性的判定：熟悉极限存在性的判定法则，如夹逼定理、单调有界原理等。
大学考研数学分析笔记
大学数学学习提高群398643171大学《数学分析》笔记笔记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题2-3套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！目录第二模块笔记 (3)第一部分实数集与函数 (3)第二部分数列极限 (8)第三部分函数极限 (10)第四部分函数连续性 (15)第五部分导数与微分 (30)第六部分微分中值定理及其应用 (36)第八部分不定积分 (51)第九部分定积分 (54)第十部分定积分的应用 (60)第十一部分反常积分 (68)第十二部分数项级数 (72)第十三部分函数列与函数项级数 (90)第十四部分幂级数 (101)第十五部分傅里叶级数 (116)第十六部分多元函数的极限与连续 (131)第十七部分多元函数微分学 (136)第十八部分隐函数定理及其应用 (148)第十九部分含参量积分 (152)第二十部分曲线积分 (163)第二十一部分重积分 (166)第二十二部分曲面积分 (175)第二模块笔记第一部分实数集与函数§1实数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一．实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。
例如：记为；0记为；记为实数大小的比较定义1给定两个非负实数其中为非负整数，。
若由1）则称与相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称大于（或小于），分别记为（或）。
规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。
对于负实数的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为的过剩近似值。
考研数学分析知识点梳理
考研数学分析知识点梳理数学分析是考研数学中的重要部分，也是许多考研学子最困惑的内容之一。
为了帮助大家更好地掌握数学分析的知识点，以下将对常见的数学分析知识点进行梳理。
本文按照数学分析的章节内容和考研的重点来划分，希望能帮助大家在备考中有所收获。
一、极限与连续1.数列极限数列极限是数学分析的基础，通过数列极限我们可以理解数学分析的许多概念。
例如极限的定义、数列极限的性质、夹逼准则、单调有界原理等。
2.函数极限函数极限是数学分析中的核心概念，包括无穷小量与无穷大量、函数极限的定义与性质、极限的四则运算法则等。
3.连续性连续性是数学分析中的重要概念，涉及到函数的连续性定义、连续函数的性质、间断点的分类、闭区间上连续函数的性质等。
4.一致连续性一致连续性是连续性的进一步推广，常用的证明方法有柯西收敛性和一致收敛性。
二、导数与微分1.导数的定义导数的定义是函数微分学的基础，涉及到导数的定义、可导与连续的关系、可导函数的性质等。
2.常见函数的导数常见函数的导数是考研数学中的重点，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3.高阶导数与导数的应用高阶导数是导数的进一步推广，可以使用高阶导数求函数的极值、凹凸性、拐点等。
4.隐函数与参数方程隐函数与参数方程是函数的另一种表达形式，在求导过程中要注意相应的求导法则。
三、积分与微积分基本定理1.定积分定积分是微积分中的重要概念，包括定积分的定义、性质与运算法则、牛顿-莱布尼茨公式等。
2.不定积分不定积分是定积分的逆运算，包括不定积分的定义、性质与运算法则，常用的积分方法有换元积分法、分部积分法等。
3.微积分基本定理微积分基本定理将导数与积分联系起来，包括第一、第二微积分基本定理，以及与定积分相关的一些公式和性质。
四、级数1.数项级数数项级数是级数的基础，包括级数的定义、收敛与发散的判定、级数性质等。
2.幂级数幂级数是数学分析中的重要内容，包括幂级数的收敛半径、收敛区间、求和等。
2024考研数学满分笔记pdf
2024考研数学满分笔记pdf一、数学分析1.极限与连续性极限的定义：对于数列的极限，若对于任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，|an - a| < ε，则称数列{an}收敛于a，记作lim(an) = a。
连续性的定义：若函数f在点x0处连续，则对于任意ε>0，存在δ>0，使得当|x - x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| < ε成立。
2.微分与积分微分的定义：函数f在点x0处可导，则存在常数A，使得当x→x0时，有Δf = f(x) - f(x0) ≈ A(x - x0)成立。
积分的定义：对于定积分∫[a,b]f(x)dx，若存在分点ξk∈[xk-1,xk]，使得S = ∑(i=1)^n f(ξi)Δxi = limn→∞ Σ(i=1)^nf(ξi)Δxi成立，则称f在[a,b]上可积。
二、线性代数1.向量空间向量空间的定义：对于域F上的n维数组空间Vn(F)，若满足以下条件，则称Vn(F)为F上的n维向量空间：（1）对于任意u、v∈Vn(F)，有u+v∈Vn(F)；（2）对于任意k∈F、u∈Vn(F)，有ku∈Vn(F)；（3）存在零向量0∈Vn(F)使得对于任意u∈Vn(F)，有u+0=u；（4）对于任意u∈Vn(F)，存在-u∈Vn(F)，使得u+(-u)=0。
2.矩阵与行列式矩阵的定义：对于m×n矩阵A=(aij)，其中aij∈F，则称A为m×n矩阵。
对于n×n矩阵A，若存在n阶单位矩阵En，使得EA=AE=A 成立，则称A为可逆矩阵。
行列式的定义：对于n阶行列式Det(A)，其定义为Det(A)=Σα(i1i2...in)Ai1i1Ai2i2...Ainin，其中α(i1i2...in)为排列的符号，Ai1i1Ai2i2...Ainin为n个元素所组成的乘积。
三、概率论与数理统计1.随机变量与概率分布随机变量的定义：对于样本空间Ω上的实函数X(ω)，若X(ω)是Ω上的一个实数值函数，则称X(ω)为随机变量。
考研数学分析总结-数二
1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aa dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aa dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-a aa 02偶函数偶函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数学分析》
笔记
笔 记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记 讲 义：目标院校目标专业本科教学课件 期末题：目标院校目标专业本科期末测试题 2-3 套 模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题 2 套 复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题 真 题：目标院校目标专业历年考试真题，录
第二模块 笔记.................................................................................................................................3 第一部分 实数集与函数.........................................................................................................3 第二部分 数列极限................................................................................................................8 第三部分 函数极限..............................................................................................................10 第四部分 函数连续性...........................................................................................................15 第五部分 导数与微分..........................................................................................................30 第六部分 微分中值定理及其应用.......................................................................................36 第八部分 不定积分...............................................................................................................51 第九部分 定积分..................................................................................................................54 第十部分 定积分的应用.......................................................................................................60 第十一部分 反常积分...........................................................................................................68 第十二部分 数项级数...........................................................................................................72 第十三部分 函数列与函数项级数.......................................................................................90 第十四部分 幂级数.............................................................................................................101 第十五部分 傅里叶级数..................................................................................................... 116 第十六部分 多元函数的极限与连续.................................................................................131 第十七部分 多元函数微分学.............................................................................................136 第十八部分 隐函数定理及其应用.....................................................................................148 第十九部分 含参量积分.....................................................................................................152 第二十部分 曲线积分.........................................................................................................163 第二十一部分 重积分.........................................................................................................166 第二十二部分 曲面积分.....................................................................................................175