中考数学第三轮基础巩固练习五资料
九年级数学 中考 三轮考点查漏补缺 四边形 专题练习(含答案)
中考数学四边形三轮考点查漏补缺（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为 ()A.4B.4C.10D.82. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A.40B.24C.20D.153. 如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE长为cm，则对角线AC和BD长之比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶D.1∶4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.有下列结论:①∠CAD=30°，②S▱ABCD=AB·AC，③OB=AB，④OE=BC，其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°6. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.二、填空题（本大题共6道小题）7. 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题:“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形.”经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC”.你同意的观点，理由是.8. 将平行四边形OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(1，2)，则点B的坐标为.9. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=.10. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.11. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C'与CD交于点M，若∠B'MD=50°，则∠BEF的度数为.12. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、解答题（本大题共6道小题）13. 如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且满足AE=CG，AH=CF.(1)求证:△AEH≌△CGF;(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.14. 如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D 落在点G处，折痕为EF.求证:(1)∠ECB=∠FCG;(2)△EBC≌△FGC.15. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.16. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证:AD与BE互相平分.17. 如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM.(1)如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.(2)如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.18. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由.2020中考数学四边形三轮考点查漏补缺-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A[解析]连接AE，如图，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，AE=CE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE.在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(ASA)，∴CE=AF=5，∴AE=CE=5，BC=BE+CE=3+5=8.在Rt△ABE中，AB===4，∴AC===4.故选A.2. 【答案】B[解析]∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，∵O是BD的中点，∴BO=DO，又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.在Rt△ABO中，BO=BD=4，AO===3，∴AC=2AO=6，∴四边形ABCD的面积为AC·BD=×6×8=24.故选B.3. 【答案】D[解析]由菱形ABCD的周长为8 cm得边长AB=2 cm.又高AE长为cm，所以∠ABC=60°，所以△ABC，△ACD均为正三角形，AC=2 cm，BD=2AE=2cm.故对角线AC和BD长之比为1∶，应选D.4. 【答案】C[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE.∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确;∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB·AC，故②正确;∵AB=BC，OB=BD，BD>BC，∴AB≠OB，故③错误;∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB=BC，故④正确.5. 【答案】A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6. 【答案】C[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF==x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+(1-x)2=(x)2，解得x=-1(舍负).故选C.二、填空题（本大题共6道小题）7. 【答案】小明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形8. 【答案】(4，2)[解析]因为四边形OABC是平行四边形，所以BC=OA=3.所以点B(4，2).9. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，∴S△BDC=9S△BPG=9.∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，∴S△PDF=4S△BPG=4.∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.10. 【答案】8[解析]如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.11. 【答案】70°[解析]依题意∠B=∠B'=∠B'MD+∠B'EA=90°，所以∠B'EA=90°-50°=40°，所以∠B'EB=180°-∠B'EA=140°，又∠B'EF=∠BEF，所以∠BEF=∠B'EB=70°，故应填:70°.12. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、解答题（本大题共6道小题）13. 【答案】[解析](1)由矩形的性质得∠A=∠C=90°，结合条件AE=CG，AH=CF，用SAS 即可得证.(2)由(1)中△AEH≌△CGF可得HE=FG，与(1)同理可证得△BEF≌△DGH，进而有EF=GH，证得四边形EFGH为平行四边形.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠C=90°，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF(SAS).(2)四边形EFGH是平行四边形.理由:由(1)中△AEH≌△CGF得HE=FG.∵在矩形ABCD中有∠B=∠D=90°，AB=CD，BC=AD，且有AE=CG，AH=CF，∴HD=BF，BE=DG，∴△BEF≌△DGH，∴EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).14. 【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD.由折叠可知:∠A=∠ECG，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF，∴∠ECB=∠FCG.(2)由折叠可知:∠D=∠G，AD=CG.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AD=BC，∴∠B=∠G，BC=GC.又∵∠ECB=∠FCG，∴△EBC≌△FGC.15. 【答案】解:(1)证明:在矩形EFGH中，EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG=DE.(2)连接EG，在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，又∵AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，在矩形EFGH中，EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长为8.16. 【答案】证明:连接BD，AE.∵AB∥ED，∴∠ABC=∠DEF.∵AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE.∵FB=CE，∴BC=EF.在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE(ASA).∴AB=DE.又∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形.∴AD与BE互相平分.17. 【答案】解:(1)结论:DM⊥EM，DM=EM.[解析]延长EM交AD于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.(2)结论不变.DM⊥EM，DM=EM.证明:延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.18. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABE=∠CDF.∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=OB，DF=OD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下: ∵AC=2OA，AC=2AB，∴AB=OA.∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理:CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG=AE，OA=OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形.。
2021年九年级中考第三轮冲刺数学专题复习：三角形 综合练习
2021年中考第三轮冲刺数学专题复习：三角形 综合练习1、若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,则我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC 是比例三角形,AB=2, BC=3,请直接写出所有满足条件的AC 的长; (2)如图1,在四边形△BCD 中,AD// BC,对角线BD 平分∠ABC,∠BAC=∠ADC. 求证:△ABC 是比例三角形;(3)如图2,在（2）的条件下,当∠ADC =90°时,求BDAC 的值.2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值．3、如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =（0°<<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE ．αα（1）求∠DBC 的大小（用含的代数式表示）；（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小； （3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明．4、⑴.问题发现：如图1，△ACB 与△DCE 均为等边三角形，点A D E 、、在同一直线上，连接BE ,求∠AEB 的度数.⑵.拓展探究：如图2，，△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∠=∠=ACB DCE 90,点A D E 、、在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ,求∠AEB 的度数以及线段CM AE BE 、、之间的数量关系.ααα5、在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=1,BC=2,D 是BC 边上的点.[基础巩固](1)如图1,∠DAC=∠B,求ABAD的值;[尝试应用](2)如图2,若∠DAC=2∠B,求BD 长; [拓展提高](3)如图3,E 是△ABC 外一点,∠AEB=∠BAC,35AE BE ,直接写出AE 的长.图1 图2 图36、在△ABC 和△ADE 中，AC =BC ，AD =AE ，∠ACB =∠DAE =90°，点E 在AB 上，点F 在EB 上， ∠BCF =∠BDE ．（1）如图①，若E 是AB 中点，CE 延长线交BD 于点G ，求证：△CEF ≌△BEG ； （2）如图②，若E 不是AB 中点，①求证：CF =21BD ；②求证：EF =BF ．7、已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，BAD BCE 90∠=∠= ,M 为DE 的中点，过点E 与AD 的平行的直线EN 交射线AM 于点N .⑴.当A B C 、、 三点在同一直线上时，如图1，求证：M 为AN 的中点； ⑵.将图1中△BCE 绕点B 旋转，当A B E 、、 三点在同一直线上时，如图2；求证：△CAN 为等腰直角三角形.⑶.将图1中△BCE 绕点B 旋转，当A B E 、、 三点不在同一直线上时，如图3，⑵中的结论是否仍然成立（不需证明）？8、点D,E,F 分别在△ABC 的三边上,且∠DEF=∠ACB.(1)基本模型:如图1,若AB=AC,求证:CEBDEF DE =；(2)已知∠BAC=90°.①模型运用:如图2,求证：CE BDB EF DE ⋅=tan ; ②拓展延伸:如图3,若34=AC AB ,DE=EF,且FD 平分∠AFE,直接写出FCAF的值.9、数学课上，老师出示了如下的题目：在等边⊿ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =,如图①，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴.特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时，如图②，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“> ”, “< ”或“= ”）. ⑵.特列启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是AE DB （（填“> ”, “< ”或“= ”）. 理由如下：如图③，过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F （请你完成以下解答过程）. ⑶.拓展讨论，设计新题在等边等边⊿ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED BC =,若⊿ABC 的边长为1 ，AE 2=,求CD 的长（请直接写出结果．．．．．．．）.图3图2图1A B D EF AB D E FD )10、如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =8，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q ． ⑴ 求证：△BPE ∽△CEQ ；⑵ 如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA 的延长线交于点Q ,BP =3，求AQ 的长.⑶ 如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ，EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，直接写出BE 的长；若不能，请说明理由．11、在△ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠EDB=21∠C ，BE ⊥DE,垂足为E ，DE 与AB 相交于点F.探究：：当AB=AC 且C ，D 两点重合时（如图1）,探究（1）线段BE 与FD 之间的数量关系，直接写出结果 ；（2）∠EBF= .证明：当AB=AC 且C ，D 不重合时，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明.计算：当AB=k AC 时，如图，求FDBE的值 （用含k 的式子表示）.12、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 边的中点，点E 在直线BC 上（不与点D 重合），连接AE ，过点C 作直线AE 的垂线，垂足为点F ，交直线AD 于点G ，连接EG .⑴ 如图1，当点E 在线段BD 上时，请直接写出三条线段BE 、AB 、EG 之间的数量关系是______________；⑵ 如图2，当点E 在线段BC 的延长线上时，请写出三条线段BE 、AB 、EG 之间的数量关系，并证明你的结论；13、阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1，在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B ′处．于是，由∠ACB ＞∠B ′，∠ABC ＝∠B ′，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3，在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD14、定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如，在ABC ∆中，100A ∠=︒，60B ∠=︒，20C ∠=︒，满足2A B C ∠-∠=∠，所以ABC ∆是关于C ∠的“差倍角三角形”．（1）若等腰ABC ∆是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角A ∠的度数； （2）如图1，ABC ∆中，3AB =，8AC =，9BC =，小明发现这个ABC ∆是关于C ∠的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC 上取点D ，使得1BD =，连结AD ，（请你完成接下去的证明） （3）如图2，五边形ABCDE 内接于圆，连结AC ，AD 与BE 相交于点F ，G ，AB BC DE ==，ABE ∆是关于AEB ∠的“差倍角三角形”． ①求证：四边形CDEF平行四边形；②若1BF =，设AB x =，CDEF AEGS y S ∆=四边形，求y 关于x 的函数关系式．15、对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点，，，……,是1M 2M 3M都在△ABC 的边上，且 ，那么称点，，，……,为△ABC 关于点P 的等距点，线段，，，……,为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段PA ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点，分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC=1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点. 若，直接写出长的取值范围.（用含的式子表示）图 1 图 2n M 123n PM PM PM PM ====1M 2M 3M n M 1PM 2PM 3PM n PM 1M 2M 1PM 2PM C BC a =PCa。
2020年中考总复习第三轮冲刺串讲课程--数学(通用) 课后练习册子
中考数学三轮冲刺串讲目录第1讲2019年数学专题基础题满分攻略之代数篇 ........................................................................... - 1 -第2讲2019年数学专题基础题满分攻略之几何篇 ........................................................................... - 2 -第3讲2019年数学专题压轴题突破之规律探究 ............................................................................... - 3 -第4讲2019年数学专题压轴题突破之运动变化 ............................................................................... - 5 -第5讲2019年数学专题压轴题突破之分类讨论 ............................................................................... - 6 -第6讲2019年数学专题压轴题突破之新定义 ................................................................................... - 7 -课后练习参考答案.................................................................................................................................. - 10 -千难万阻简单应对，人生必定不简单第1讲 2019年数学专题 基础题满分攻略之代数篇题一：已知23109y x a a -=+-，22018x y a +=-，若16x y +≥，则实数a 的值为_______．题二：已知关于x 、y 的方程组2246622x y a a x y a ⎧-=-++⎨-=+⎩． (1)当方程组的解满足16x y +=时，求a 的值； (2)试说明：不论a 取什么实数，x 的值始终为正数．题三：在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y = -2x +n 与抛物线y =mx 2-4mx -2m -3相交于点A （-2，7）． (1)求m 、n 的值；(2)过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，设抛物线与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求△BCD 的面积．题四：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：y =ax 2-4ax +3a -2(a ≠0)，其顶点为C ，直线l ：y =ax -2a +1(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．(1)当抛物线G 的顶点C 在x 轴上时，求a 的值； (2)当a ＞0时，若△ABC 的面积为2，求a 的值．题五：如图，点A 是反比例函数my x=(m ＜0)位于第二象限的图象上的一个动点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ；M 是线段AC 的中点，过点M 作AC 的垂线，与反比例函数的图象及y 轴分别交于B 、D 两点．顺次连接A 、B 、C 、D ．设点A 的横坐标为n ． (1)求点B 的坐标（用含有m 、n 的代数式表示）； (2)求证：四边形ABCD 是菱形；(3)若△ABM 的面积为2，当四边形ABCD 是正方形时，求直线AB 的函数表达式．题六：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =kx （k ＞0）分别交反比例函数1y x= 和9y x=在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交1y x=的图象于点C ，连结AC ．(1)若点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；(2)若△ABC 是等腰三角形，求k 的值是多少？自主学习引领者第2讲2019年数学专题基础题满分攻略之几何篇题一：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC交AC于点F，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交BE于点G，求证：①DF是⊙O的切线；②BM=2DG；③若圆的半径为2，BE=22，求四边形OBDE 的面积．题二：以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF、EC、AD．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．题三：已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD 有怎样的数量关系，请说明理由．题四：如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，如图3，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．题五：已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．(1)证明：EF⊥AC；千难万阻简单应对，人生必定不简单(2)将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由；(3)若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．题六：如图1，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB =90°，E为AC上一点，D为BC延长线上一点，且CE=CD，连接AD，BE，并延长BE交AD于F．(1)求证：BF⊥AD；(2)若点N与C关于直线AD对称，连接CN，连接AN；①如图2，作∠ACB的角平分线CM交BE于点M，连接AM．判断∠DAN与∠DAM的数量关系，并证明你的结论；②如图3，若AF=1，CN=4，求AB的长．第3讲2019年数学专题压轴题突破之规律探究题一：将从1开始的连续自然数按以下规律排列：……则第45行左起第3列的数是______．题二：将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置___行___列．第1列第2列第3列第4列…第1行1 2 9 10第2行4 3 8 11第3行5 6 7 12第4行16 15 14 13第5行17 ……题三：有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n，若123a=，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”，通过探究可以发现这些数有一定的排列规律，利用这个规律可得a2019等于______．题四：已知整数a1、a2、a3、a4、……满足下列条件：a1=-1，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4= -|a3+3|，……，a n+1=-|a n+n|（n为正整数）依此类推，则a2019的值为．题五：发现问题：“所有的有理数都可以写成分数形式”，好奇的小明对老师的说法产生了疑问，“既然有理数包括无限循环小数，那么无限循环小数能不能写成分数形式呢？”探究问题：小丽查阅课本得知，设0.73x=，自主学习引领者由0.730.737373=…，知100x=73.7373…所以100x-x=73，解得7399x=，即730.7399=．(1)把0.81用方程思想尝试着进行转化；(2)根据以上方法把0.57，1.6，0.174转化为分数．题六：我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.4化为分数形式由于0.4=0.444…，设x=0.444…①则10x=4.444…②②-①得9x=4，解得x=49，于是得40.49=．根据以上阅读，把下列无限循环小数化为分数形式(计算结果均用最简分数表示)，(1)0.69；(2)3.027=；(3)若已知30.428571=7，则4.571428=．题七：：已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为S1，则S1=______；在余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图2），得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和记为S2，则S2=_____；在余下的4个三角形中再按照小林设计的剪法进行第三次裁剪（如图3），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为S3；按照同样的方法继续操作下去…，第n次裁剪得到______个新的正方形，它们的面积的和S n=_______．题八：如图所示的三角形都是直角三角形，都有一条直角边是1，面积分别S1，S2…，OA1=1，斜边分别是OA2，OA3…(1)填空：OA10=_____，OA n=_____，S10=_____，S n=_____.(2)求S12+S22+S32+…+S102的值．千难万阻简单应对，人生必定不简单第4讲2019年数学专题压轴题突破之运动变化题一：如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．(1)求证：AE=C′E；(2)求∠FBB'的度数．题二：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=25，BC=5．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=______．题三：如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数kyx=(k＞0)的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．(1)连接OE，若△EOA的面积为3，则k=_______；(2)是否存在点D，使得点B关于DE的对称点B′在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．题四：如图，将边长为4的等边△AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数kyx=(k＞0，x＞0)与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．(1)若S△OCF=3，求反比例函数的解析式；(2)AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：F A的值；若不存在，请说明理由．自主学习引领者题五：如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．(1)若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB；(2)当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形，问：11OM ON的值是否发生变化？题六：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A 出发以2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第5讲2019年数学专题压轴题突破之分类讨论题一：用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么30根火柴棒能搭成三角形个数是（）A．15个B．16个C．18个D．19个题二：雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其它两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．题三：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为_______．千难万阻简单应对，人生必定不简单题四：如图，矩形ABCD中，AD=10，CD=15，E是边CD上一点，且DE=5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F ，连结PE，EF，PF，设AP=m．(1)当m=6时，求AF的长；(2)在点P的整个运动过程中，①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求m的值．题五：在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB ，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC上的一个动点（不与B、C 重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，EF．(1)若tan∠BOF=，求F点的坐标；(2)若四边形OECF的面积等于12，求反比例函数（k＞0）的表达式；(3)是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由．题六：如图，一次函数的图象交x、y轴于A、B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角△ABC，反比例函数的图象经过点C，连接OC交AB于点D．(1)求OA、OB的长；(2)求反比例函数的表达式；(3)将△AOC绕平面内一点逆时针旋转90°得△A′O′C′，使得△A′O′C′有两个顶点落在的图象上，求O′的坐标．第6讲2019年数学专题压轴题突破之新定义题一：某校利用二维码建立了一个七年级学生身份识别系统，图1是七年级某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，自主学习引领者那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a ×23+b×22+c×21+d×20．如图1第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20=6，表示该生为6班学生．则该系统最多能识别七年级的班级数是____个．题二：某校利用二维码进行学生学号统一编排．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么利用公式a×23+b×22+c×21+d计算出每一行的数据．第一行表示年级，第二行表示班级，第三行表示班级学号的十位数，第四行表示班级学号的个位数．如图1所示，第一行数字从左往右依次是1，0，0，1，则表示的数据为1×23+0×22+0×21+1=9，计作09，第二行数字从左往右依次是1，0，1，0，则表示的数据为1×23+0×22+1×21=10，计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号．小明所对应的二维码如图2所示，则他的统一学号为________．题三：对于三个数a、b、c，M|a，b，c|表示这三个数的平均数，min {a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M|-1，2，3|=123433-++=，min {-1，2，3}=-1；M|-1，2，a|=12133a a-+++=，min{-1，2，a}=(1)1(1)a aa≤-⎧⎨->-⎩，解决下列问题：(1)填空：M|8-218；min{-3，5--π}=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；(2)若min{2，2x+2，4-2x}=2，求x的取值范围；(3)若M|2，x+1，2x|=min{2，x+1，2x}，求x的值．题四：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数；用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{-2，1，5}= 215433-++=，max{-2，1，5}=5，max{-2，1，a}=(1)1(1)a aa≥⎧⎨<⎩．解答下列问题：(1)填空：max{-2，-5，-3}=_____；max{ sin45°，cos60°，tan30°}=_____；(2)如果M{-2，x-1，2x}=max{-2，x-1，2x}，求x的值；(3)如果max{2，2-2a，2a-4}=2，那么a的取值范围是_____；(4)如果M{a，b，c}=max{a，b，c}，那么_______（填a、b、c的大小关系），并证明你的结论；题五：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下定义：若⊙O上存在两个点M，N，使得∠MPN=60°，则称P为⊙O的关联点．已知点D13(2，E(0，-2)，F3,0)．(1)当⊙O的半径为1时，①在点O，D，E，F中，⊙O的关联点是_______；②如果G（0，t）是⊙O的关联点，则t的取值范围是________；(2)如果线段EF上每一个点都是⊙O的关联点，那么⊙O的半径r最小为_____．题六：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下定义：若⊙O上存在一个点M，使得MP=MO，则称点P为⊙O的“等径点”，已知点D(12，13)，E(0，3，F(-2，0)．(1)当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是；②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．第7讲2020年数学专题基础题满分攻略之代数篇本讲课正在更新中，届时同学们可从网站上下载该讲的电子版文档。
2021年九年级中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形 综合练习(含答案)
2021年中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形综合练习1、如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．3、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．6、如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH=ED；（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？7、如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．8、如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）9、已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．10、如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．11、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．13、如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x= ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分时，直接写出x 的值．16、在菱形ABCD 中，∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =2√3 ,BE =2√19 ,求四边形ADPE 的面积.图1图2图3图4参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形综合练习题1、如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又 EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm，3、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．【解答】解：（1）∵AB与AG关于AE对称，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF=EF=DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE=AF，则AE=AF=EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG=30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，∵AB=2，∴BE=1、DF=AF=AE=，则EH=AE=、AH=，∴S=××=．△ADF5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．6、如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH=ED；（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？【解答】解：（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD，∴FH=ED；（2）设AE=a，则ED=FH=4﹣a，=AE•FH=a（4﹣a），∴S△AEF=﹣（a﹣2）2+2，∴当AE=2时，△AEF的面积最大．7、如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′∴EG=ME=ME′=MM′同理可证：FH=NF=N′F=NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′∴ME=NF=EG=FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD∴四边形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵，∠2=∠DAB∴∠3+∠2=90°在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴AB==5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，∴∠2=∠5由（1）知GE=NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG=CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE=DE，ME=EG∴△DME≌△DGE∴DG=DM∴DM+CN=DG+AG=AB=5∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF=MN=48、如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）【解答】解：（1）依题意作出图形如图①所示，（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵点E是CD的中点，∴DE=CE=CD=1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠AED=∠BEC，在Rt△ADE中，AD=，DE=1，∴tan∠AED==，∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，∴BE平分∠AEC；（3）∵BP=2CP，BC=，∴CP=，BP=，在Rt△CEP中，tan∠CEP==，∴∠CEP=30°，∴∠BEP=30°，∴∠AEP=90°，∵CD∥AB，∴∠F=∠CEP=30°，在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．9、已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO ∴BM=CO，∵AO∥BM，∴四边形OCBM是平行四边形，∵∠BMO=90°，∴▱OCBM是矩形，∵∠ABP=90°，C是AO的中点，∴OC=BC，∴矩形OCBM是正方形．（2）连接AP、OB，∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM，∴∠APB=∠OBM，∴△APB∽△OBM，∴（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，∴易证：四边形DBMO是矩形，∴MO=2PO=BD，∴，∵AO=2BM=2，∴BM=，∴OE=，DE=，易证△ADB∽△ABE，∴AB2=AD•AE，∵AD=DO=DM=，∴AE=AD+DE=∴AB=，由勾股定理可知：BE=，易证：△PEO∽△PBM，∴=，∴PB=当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，∵MO=2PO，∴点P是OM的中点，设PM=x，BD=2x，∵∠AOM=∠ABP=90°，∴A、O、P、B四点共圆，∴四边形AOPB是圆内接四边形，∴∠BPM=∠A，∴△ABD∽△PBM，∴，又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，∴=，解得：x=，∴BD=2x=2由勾股定理可知：AB=3，BM=310、如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM．在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH．∵CD=BC，∴CE=CH\1∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2如图2，连接AE，∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上．∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME．∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°．∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD．∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC．∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°．∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．11、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）【解答】解：（1）BG=EG，理由是：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形CFED是菱形，∴EF=CD，EF∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴∠A=∠GFE，∵∠AGB=∠FGE，∴△BAG≌△EFG，∴BG=EG；（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，由（1）知：△BAG≌△EFG，∴FG=AG=a，∵CD∥BH，∴∠HAD=∠ADC=60°，∵∠ADE=60°，∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AD=AH=2a+b，∴==；②如图3，连接EC交DF于O，∵四边形CFED是菱形，∴EC⊥AD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=，∴OF=bcosα，∴DG=a+2bcosα，过H作HM⊥AD于M，∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，∴AH=AD，∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，Rt△AHM中，cosα=，∴AH=，∴==cosα．12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．13、如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为6cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA=BC=16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=，此时，点Q的运动距离是×2=cm，故答案为，；（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE=AB=6，BE=6，∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，根据勾股定理得，PQ=6，故答案为6；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2=100，∴t=或t=；（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=﹣x+16①，设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为y=x+16﹣3t②，联立①②解得，x=，y=，∴D（，），∴k=×=是定值．14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°，又∵∠B=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴=cos45°=，即CE=BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD=AD，∴=；（2）①设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，∴AE=（﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，∵∠BEC=45°，∠A=90°，∴∠AEH=45°=∠AHE，∴AH=AE=（﹣1）a，设AP=x，则BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH=∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，∴∠APH+∠BPC=90°，∴∠CPH=90°；②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x= s ；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．【解答】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，∴2x=2（2﹣2x），∴x=s．故答案为s．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2﹣x+2tx×x=x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1）]=x2﹣3x+4；综上所述，y=．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan ∠DEA=tan ∠QPB ， ∴=，解得x=，综上所述，当x=s 或时，直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分．16、在菱形ABCD 中，∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =2√3 ,BE =2√19 ,求四边形ADPE 的面积.【解析】 （1）① BP=CE 理由如下： 连接AC∵菱形ABCD ，∠ABC=60°图1图2图3图4∴△ABC是等边三角形∴AB=AC ∠BAC=60°∵△APE是等边三角形∴AP=AE ∠PAE=60°∴∠BAP=∠CAE∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE② CE⊥AD∵菱形对角线平分对角∴∠ABD=30°∵△ABP≌△ACE∴∠ACF=∠ABD=30°∴∠DCF=30°∴∠DCF＋∠ADC=90°∴∠CFD=90°∴CF⊥AD 即CE⊥AD（2）(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立，理由如下：连接AC∵菱形ABCD，∠ABC=60°∴△ABC和△ACD都是等边三角形∴AB=AC ∠BAD=120°∠BAP=120°＋∠DAP ∵△APE是等边三角形∴AP=AE ∠PAE=60°∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP∴∠BAP=∠CAE∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE ∠ACE=∠ABD=30°∴∠DCE=30°∵∠ADC=60°∴∠DCE＋∠ADC=90°∴∠CHD=90°∴CE⊥AD∴(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立.(3) 连接AC交BD于点O , CE, 作EH⊥AP于H∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD BD平分∠ABC∵∠ABC=60°，AB=2√3∴∠ABO=30°∴AO=√3 BO=DO=3∴BD=6由(2)知CE⊥AD∵AD∥BC ∴CE⊥BC∵BE=2√19BC=AB=2√3∴CE=√(2√19)2－(2√3)2=8由(2)知BP=CE=8 ∴DP=2 ∴OP=5∴AP=√52＋(√3)2=2√7∵△APE是等边三角形，∴ PH=√7EH=√21∵S四ADPE=S△ADP+S△APE∴S四ADPE =12DP·AO+12AP·EH=12×2×√3 +12×2√7×√21=√3+7√3=8√3∴四边形ADPE的面积是8√3 .。
中考数学三轮复习每天30分综合训练.docx
中考数学三轮复习每天30分综合训练1总分100分时间30分钟一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上•】1.计算（/『的结果是（)A. a 5B. a 6C.9D. a2.不等式组《兀 +1 >0,的解集是（X —2 < 1)A. x>-lB. x<3C. -l<x<3D . 一3<兀<13.用换元法解分式方程口3x (--------- +1X — 1X — 1=0时，如果设 一将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是()A. y 1+y-3 = 0 B. y 1-3y + l = 0C. 3y 2-y + l =0 D. 3)，-y-l=04.抛物线y = 2（x+/?i ）2 4-n （ m 比是常数）的顶点坐标是（ ）二. 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） ［请将结果直线填入答题纸的相应位置］A.(加,n)B. (-m. n)C. 伽一并）D. (-m, - n)5.下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）A.正六边形B.正五边形C.正四边形c.正三边形6.如图 1,已知 AB//CD// EF , 那么下列结论正确的是（ ）AD BCBC DFCD BCCD AD_ —_V.—U. —DF CE CE AD EF BEEF AF图1&方程J 口 = 1的根是如果关于兀的方程x 2-x+k = 0 （k 为常数）有两个相等的实数根，那么k =已知函数/W = -—,那么/（3）=12. 将抛物线y = x 2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 _____________ .13. 如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ___________ . 14. 某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是加，那么该商品现在的价格是 __________ 元（结果用含加的代数式表示）.15. 在圆。
浙教版初中数学初三中考冲刺：代数综合问题--巩固练习(基础)
中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，已知函数(0)y ax b a =+≠和y ＝kx(k ≠0)的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,.y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是( ) A ．42x y =⎧⎨=⎩ B ．42x y =-⎧⎨=⎩ C ．42x y =-⎧⎨=-⎩ D ．42x y =⎧⎨=-⎩2.（2016•河北模拟）如图，点A 是x 轴正半轴上的任意一点，过点A 作EF ∥y 轴，分别交反比例函数()1110k y y x =>和()2220k y y x =<的图象于点E 、F ，且53EA FA =，连接OE 、OF ，有下列结论：①这两个函数的图象关于x 轴对称；②△EOF 的面积为（k 1﹣k 2）；③1235k k =-；④当∠EOF=90°时，OE OF =，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③3．下列说法中x ＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8. ④在反比例函数2k y x-=中，若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k ＞2. 其中正确的命题有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题4．如图所示，是二次函数21y ax bx c =++(a ≠0)和一次函数2y mx n =+(n ≠0)的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围____ ____．5．已知二次函数22(1)2(1)y x m x m =-++-．若此函数图象的顶点在直线y ＝-4上，则此函数解析式为 ．6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②4a+2b+c ＞0；③b 2﹣4ac ＜0；④b ＞a+c ；⑤a+2b+c ＞0，其中正确的结论有 ．三、解答题7．（北京校级期中）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+1）x+1=0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值；（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y=﹣x 上有一个动点P ．求使PA+PB 取得最小值时的点P 的坐标，并求PA+PB 的最小值．8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；(2)求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式；(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?9. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．10. 已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．2.【答案】B ；【解析】①∵点E 在反比例函数()1110k y y x=>的图象上， 点F 在反比例函数()2220k y y x =<的图象上，且53EA FA =， ∴k 1=OA•EA，k 2=﹣OA•FA， ∴1235k k =-， ∴这两个函数的图象不关于x 轴对称，即①错误；②∵点E 在反比例函数y 1=的图象上，点F 在反比例函数y 2=的图象上，∴S △OAE=k 1，S △OAF =﹣k 2，∴S △OEF =S △OAE +S △OAF=（k 1﹣k 2），即②正确； ③由①可知1235k k =-，∴③错误； ④设EA=5a ，OA=b ，则FA=3a ，由勾股定理可知：OE=，OF=． ∵∠EOF=90°，∴OE 2+OF 2=EF 2，即25a 2+b 2+9a 2+b 2=64a 2，∴b 2=15a 2， ∴=，④正确．综上可知：正确的结论有②④．3.【答案】B ；有意义，则x ≥1，①错误；由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2 代入方程x 2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数2k y x-=中， 若x ＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k ＜2，④错误.故选B.二、填空题4.【答案】-2≤x ≤1；【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．5.【答案】24y x x =-，24y x =-； 【解析】∵顶点在直线y ＝-4上，∴2444ac b a -=-．242(1)4(1)44m m ⨯--+=-，m ＝±1． ∴此函数解析式为：24y x x =-，24y x =-．6.【答案】①②④⑤；【解析】∵抛物线开口朝下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣=1，∴b ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，故②正确；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③错误；根据图象知道当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴a+c ＜b ，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ，∴a+2b+c=﹣3a+c ， ∵a ＜0，c ＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c ＞0，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题7.【答案与解析】（1）证明：由题意得m ≠0，∵△=（m+1）2﹣4m ×1=（m ﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：方程的两个实数根为x=， ∴x 1=1，x 2=1m， ∵方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，∴m=±1；（3）由（2）知，m=±1．∵抛物线y=mx 2﹣（m+1）x+1的开口向上，∴m=1，则该抛物线的解析式为：y=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2．易求得A （1，0），B （0，1）．如图，点B 关于直线y=﹣x 的对称点C 的坐标为（﹣1，0），连接AC ，与直线y=﹣x 的交点即为符合条件的点P ．此时点P 与原点重合，则P （0，0）．所以PA+PB=AC=2．8. 【答案与解析】(1)设y ＝kx ，当x ＝1时，y ＝2，解得k ＝2，∴y ＝2x(0≤x ≤20)．(2)当0≤x ＜4时，设y ＝a(x-4)2+16．由题意，∴a ＝-1，∴y ＝-(x-4)2+16，即当0≤x ＜4时，28y x x =-+．当4≤x ≤10时，y ＝16．(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x ≤10)分钟，学习收益总量为y ，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．当0≤x ＜4时，22282(20)640(3)49y x x x x x x =-++-=-++=--+．当x ＝3时，49y =最小． 当4≤x ≤10时，y ＝16+2(20-x)＝56-2x ．y 随x 的增大而减小，因此当x ＝4时，48y =最大， 综上，当x ＝3时，49y =最大，此时20-x ＝17．答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．9．【答案与解析】解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等． 所以抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是1122b x a -+==-+，2122b x a--==--． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++=无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 的最小值为2．10．【答案与解析】解：（1）将原方程整理，得04)4(2=++-m x m x ，△=2222)4(168)4(4)]4([4-=+-=-+-=-m m m m m ac b ＞0∴ 2)4()4(-±+=m m x ． ∴m x =或4=x ．（2）由（1）知，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴的交点分别为（m ，0）、（4,0），∵A 在B 的左侧，40<<m .∴A （m ，0），B （4,0）.则42222222+=+=+=m m OD OA AD ，202422222=+=+=OD OB BD ．∵AD ·BD=10，∴AD 2·BD 2=100.∴100)4(202=+m .解得1±=m .∵40<<m ，∴1=m .∴51=+=m b ，44-=-=m c .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（3）答：存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式，如：4)(3213--=y y y （答案不唯一）.证明：由题意可得4521-+-=a a y ，410422-+-=a a y ，415923-+-=a a y . ∵左边=415923-+-=a a y .右边=－)(321y y -－44)]4104()45[(322--+---+--=a a a a =41592-+-a a .∴左边=右边.∴4)(3213---=y y y 成立.。
2021年中考九年级数学第三轮冲刺：三角形综合题 专项练习(含答案)
2021年中考九年级数学第三轮冲刺：三角形综合题专项练习1、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC 于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．2、在△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN =90°，当∠AMN =30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF =90°，求证：BE =AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN =AM．3、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．4、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．5、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．6、性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．7、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A 1M1N1=90°．8、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P 作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．9、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A 1M1N1＝90°．10、如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD 交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．11、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）12、在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．13、在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM 并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？参考答案2021年中考九年级数学第三轮冲刺：三角形综合题专项练习1、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC 于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【解答】解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ＝MN，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x，∵MN∥BC，∴＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．2、在△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN =90°，当∠AMN =30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE =AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN =AM．【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，解得，DM＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△AMN中，，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．3、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝25°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．4、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∴BG＝∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣5、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．【解答】证明：（1）∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE∴∠BAE＝∠DAC（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β∴∠ABC＝∠ADB＝α+β∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC∴∠EAC＝2β∵AF平分∠EAC∴∠FAC＝∠EAF＝β∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β∴AF＝FC，AF＝BF∴AF＝BC＝BF∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°∴△ABG∽△BCA∴∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB∴△ABF∽△BAD∴，且AB＝kBD，AF＝BC＝BF∴k＝，即∴（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC∴△ABH∽△ACB∴∴AB2＝AC×AH设BD＝m，AB＝km，∵∴BC＝2k2m∴AC＝＝km∴AB2＝AC×AH（km）2＝km×AH∴AH＝∴HC＝AC﹣AH＝km﹣＝∴6、性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为4；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sinα（用含α的式子表示）．【解答】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，∴AB＝4，∴△ABC的面积＝AB×CD＝×4×2＝4；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN＝FH＝5；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，∵sinα＝，∴BD＝AB×sinα，∴BC＝2BD＝2AB×sinα，∴＝＝2sinα；故答案为：2sinα．7、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A 1M1N1=90°．解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°， ∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°， ∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ）， ∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2， ∵A 1M 1=M 1N 1， ∴EM 1=M 1N 1， ∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°， ∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°， ∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．8、如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为以t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ． （1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．9、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A 1M1N1＝90°．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．10、如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD 交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为 6 ．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．11、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值为．12、在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：∠OCE＝∠OAC；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．【解答】解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，∴∠OCA＝∠A，∵BE＝ED，BO＝OA，∴OE∥AD，OE＝AD，∴CE＝EO．∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图2中，∵OC＝OA，DA＝DB，∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，∴∠COA＝∠ADB，∵∠MON＝∠ADB，∴∠AOC＝∠MON，∴∠COM＝∠AON，∵∠ECO＝∠OAC，∴∠MCO＝∠NAO，∵OC＝OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM＝ON．②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，∵△OCM≌△OAN，∴CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，∴BD＝m，∵BE＝ED，∴CE＝BD＝m，∴EM＝CM+CE＝m+m．如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，∴∠ONH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HN＝m，∵AH＝m，∴CM＝AN＝m﹣m，∵EC＝m，∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．13、在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD ＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM 并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，在Rt△ADC中，DC＝AC•tan30°＝6×＝2．（2）由题意易知：BC＝6，BD＝4，∵DE∥AC，∴∠FDM＝∠GAM，∵AM＝DM，∠DMF＝∠AMG，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF＝AG，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝＝＝＝．（3）∵∠CPG＝60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q与DE相切时，如图3﹣1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．连接QC，QG．菁优网设⊙Q的半径为r．则QH＝r，r+r＝2，∴r＝，∴CG＝×＝4，AG＝2，由△DFM∽△AGM，可得＝＝，∴DM＝AD＝．②当⊙Q经过点E时，如图3﹣2中，延长CO交AB于K，设CQ＝r．∵QC＝QG，∠CQG＝120°，∴∠KCA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠AKC＝90°，在Rt△EQK中，QK＝3﹣r，EQ＝r，EK＝1，∴12+（3﹣r）2＝r2，解得r＝，∴CG＝×＝，由△DFM∽△AGM，可得DM＝．③当⊙Q经过点D时，如图3﹣3中，此时点M，点G与点A重合，可得DM＝AD＝4．观察图象可知：当DM＝或＜DM≤4时，满足条件的点P只有一个．。
2020年中考三轮冲刺复习练习(5份,含答案)(20200915165523)
2020年中考三轮冲刺复习同步练习：《反比例函数》实际应用（三）1．（1）兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如表：①写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式（不要求写xy的取值范围）．②虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数（y）在减少，但y与x是成反例吗？（2）水池中有水若干吨，若单开一个出水口，水流速v与全池水放光所用时t如表：①写出放光池中水用时t（小时）与放水速度v（吨/小时）之间的函数关系．②这是一个反比例函数吗？③与（1）的结论相比，可见并非反比例函数有可能“函数值随自变量增大而减小”，反之，所有的反比例函数都是“函数值随自变量的增大而减小吗？这个问题，你可以提前探索、尝试，也可以预习下一课时”反比例函数的图象和性质，也可以等到下一节课我们共同解决．2．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂1月的利润为200万元．设1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．（1）分别求该化工厂治污期间y与x之间对应的函数关系式．（2）求5月份的利润及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．（3）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到1月的水平？13．①一电源E给不同电阻值的电阻供电，测量通过各电阻的电流，结果如下：R/Ω 5 10 15 20 25 30 …I/A0.6 0.3 0.2 0.15 0.2 0.1 …②给一电阻R加上不同的电压，测得相应的电流结果如下：U 2.4 4.8 7.2 9.6 12 …I0.2 0.4 0.6 0.8 1 …要求：（1）根据表①的数据，求出I关于R的函数关系式，画出图，并确定这一电源E的电压；（2）根据表②的数据，求出I关于U的函数关系式，画出图象，并确定这一电阻R的阻值；（3）当电源E给电阻R供电时，电流是多少．14．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）写出这一函数的解析式．（2）当气体的体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于150KPa时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？15．已知圆柱的侧面积是6πcm2，若圆柱的底面半径为x（cm），高为ycm．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）完成下列表格：x…0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …y……（3）在所给的平面直角坐标系中画出y关于x的函数图象．16．今年某水果超市都以2万元/吨的价格购进甲、乙两种水果，甲水果的销量y1（吨）、乙水果的销量y2（吨）与售价x（万元/吨）之间大致满足如图所示的两个函数关系．（1）求y1，y2的函数解析式；（2）在两种水果的售价相同的情况下，售价定为多少时，甲水果的销量大于乙水果的销量？（3）分别将甲、乙两种水果的售价定为多少时，通过销售这两种水果各能获得12万元的利润？（利润＝销售量×（售价﹣进价））17．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果如下：用1个单位量的水可洗掉蔬菜残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数y＝（x≥０）（1）试确定c的值，并写出两条上述函数的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．18．为了预防流感，某校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒，消毒过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与消毒开始后的时间x（h）之间的函数图象如图所示，其中药物释放完毕前y与x成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例．（1）求y关于x的函数解析式；提示：分两段求解．（2）如果规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时工作人员方可进入教室开窗换气，清理卫生，那么从药物释放开始小时后工作人员才能进入教室．19．有一水池装水12立方米，若从水管中每小时流出x立方米的水，则经过y小时可以把水放完．（1）写出y与x的函数关系式．（2）如果准备在3小时内将满池水放完，那么从水管中每小时至少流出多少立方米的水？（3）已知从水管中每小时最多流出15立方米的水，那么最少多长时间可将水池里的水全部放完？20．某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0.55﹣0.74元/千瓦时之间．经测算，若电价调至x元/千瓦时，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x﹣0.4）成反比例，且当x＝0.65元/千瓦时时，y＝0.8亿千瓦时．（1）请写出本年度新增用电量y（亿千瓦时）与调整后的电价x（元/千瓦时）的函数解析式；（2）若想电价不高于0.65元/千瓦时，则新增用电量至少是多少亿千瓦时？参考答案1．解：（1）①兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式为：y＝30﹣x，②y与x之间的函数关系式是一次函数而不是反比例函数，∴y与x不成反比例；（2）①V＝，②是反比例函数．③y＝30﹣x是一个一次函数，因为x前面的系数是负数，所以y随x的增大而减小．v＝是一个反比例函数，因为10大于0，所以当t大于0时，v随t的增大而减小．2．解：（1）当1≤x≤５时，设，把（1，200）代入，得k＝200，即；（2）∵从1月到5月，y与x成反比例．∴当x＝5时，即＝，∴y＝40，∵到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元，∴当x＞5时，y＝40+20（x﹣5）＝20x﹣60；（3）当y＝200时，20x﹣60＝200，解得：x＝13，所以治污改造工程顺利完工后经过13﹣5＝8个月后，该厂利润达到200万元．3．解：（1）I＝，图象如图所示；．（2）I＝，图象如图所示；根据R＝可得R＝12；（3）由（1）可知U＝3，由（2）R＝12，∴电流I＝＝＝0.25．4．解：（1）设，将A（0.5，120）代入求出k＝60，∴；（2）当V＝1m3时，P＝60（KPa）；（3）当P＞150KPa时，气球将爆炸，∴P≤150，即，解得V≥＝0.4（m3）．故为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）．5．解：（1）依题意，得2πxy＝6π，即y＝；（2）填表如图：x…0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …y… 6 3 2 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …（3）函数图象如图：6．解：（1）设y1＝，将（6，5）代入得：k＝30，则y1的函数解析式为：y1＝，设y2＝ax+b，将（6，5），（10，3），则，解得：，故y2的函数解析式为：y2＝﹣x+8；（2）如图所示：当0＜x＜6时或x＞10时，甲水果的销量大于乙水果的销量；（3）设甲的利润为：w1根据题意可得：w1＝（x﹣2）×＝30﹣＝12，解得：x＝，乙的利润为：w2根据题意可得：w2＝（x﹣2）×（﹣x+8）＝12，解得：x1＝4，x2＝14，答：甲种水果的售价定为万元/吨时，能获得12万元的利润，乙种水果的售价定为4或14万元/吨时，能获得12万元的利润．7．解：（1）由题意x＝0时，y＝1，∴1＝，∴c＝1，性质①函数的图象在第一象限，性质②x＞1时，y随x的增大而减小．（2）若是一次清洗，则：农药量y＝，若分为两次清洗，则：第一次清洗后农药量y＝＝，第二次清洗后农药的量是y＝＝（）2．∵＜1，∴（）2＜．所以可知当分两次清洗时，农药残留量均小于一次清洗．所以应两次清洗．8．解：（1）设药物释放完毕后y与x之间的解析式y＝，把点（3，0.5）代入得0.5＝，解得k＝1.5，x），∴y关于x的函数式为：y＝（1.5≤当y＝1时，1＝，解得：x＝1.5，∴设药物释放完毕前y与x的关系式为：y＝ax，则1＝1.5a，∴解得：a＝，故y＝x（0≤x≤1.5）；（2）当y＝0.25时，由y＝；解得：x＝6，所以6后学生才可进入教室．故答案为：6．9．解：（1）根据题意得xy＝12，∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0）；（2）把y＝3代入中，可得：x＝4，答：从水管中每小时至少流出4立方米的水；（3）把x＝15代入y＝得y＝＝，所以当x＝15米3/小时，时间y的值为小时．10．解：（1）∵本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x﹣0.4）成反比例，∴设y＝．∵x＝0.65元/千瓦时时，y＝0.8亿千瓦时，∴0.8＝．解得k＝0.2．∴y＝．即本年度新增用电量y（亿千瓦时）与调整后的电价x（元/千瓦时）的函数解析式是：y ＝．（2）由x＝0.65元/千瓦时时，y＝0.8亿千瓦时可知，若想电价不高于0.65元/千瓦时，则新增用电量至少是0.8亿千瓦时．答：若想电价不高于0.65元/千瓦时，则新增用电量至少是0.8亿千瓦时．2020年中考三轮冲刺复习同步练习：《图形的对称》综合训练（二）1．如图，P为正方形ABCD的边BC上的一动点（P不与B、C重合），连接AP，过点B 作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BCQ沿着BQ所在直线翻折得到△BQE，延长QE交AB 的延长线于点M．（1）探求AP与BQ的数量关系；（2）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD上的一点，把△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，且点F恰好落在AD边上，连接BF．（1）求△DEF的周长；（2）求sin∠BFE的值．3．如图，在14×5的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接AB．（1）请根据以下要求依次画图：①在直线l的左边画出一个格点△ABC（点C不在直线l上），且满足格点△ABC是直角三角形；②画出△ABC关于直线l的轴对称△A'B'C'．（2）满足（1）的△A′B′C′面积的最大值为．4．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC；（2）若∠C﹣∠B＝10°，∠BAD＝x°．①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．5．如图1．将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A'处，然后将矩形展平，沿EF折叠使点A 落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2．（1）求证：EG＝CH；（2）已知AF＝，求△CDE的面积．6．如图，已知直线AB经过点（1，5）和（4，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有个；（3）在图中作点C（4，0）关于直线AB的对称点D，则点D的坐标为；（4）若在直线AB和y轴上分别存在一点M、N使△CMN的周长最短，请在图中标出点M、N（不写作法，保留痕迹）．7．如图，长方形ABCD的纸片，长AD＝10厘米，宽AB＝8厘米，AD沿点A对折，点D 正好落在BC上的点F处，AE是折痕．（1）图中有全等的三角形吗？如果有，请直接写出来；（2）求线段BF的长；（3）求线段EF的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值．9．已知：如图，已知△ABC（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）求四边形CC1A1A的面积；（3）在x轴上找一点P使得PB+PC最小．10．如图1：P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点．（1）请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置，使得△PMN的周长最小（保留作图痕迹）；（2）在图2中若△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是多少？参考答案1．解：（1）AP＝BQ．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABQ+∠CBQ＝90°．∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA＝90°，∴∠PAB＝∠CBQ．在△PBA和△QCB中，，∴△PBA≌△QCB（ASA），∴AP＝BQ；（2）过点Q作QH⊥AB于H，如图．∵四边形ABCD是正方形，∴QH＝BC＝AB＝3．∵BP＝2PC，∴BP＝2，PC＝1，∴BQ＝AP＝＝＝，∴BH＝＝＝2．∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB＝∠QBA．由折叠可得∠EQB＝∠CQB，∴∠QBA＝∠EQB，∴MQ＝MB．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中，根据勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+32，解得x＝．∴QM的长为．2．解：（1）∵AB＝6，BC＝8，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝10，∵把△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴AF＝AB＝6，BE＝EF，∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝BE+DE+AD﹣AF＝10+8﹣6＝12；（2）如图，过点F作FH⊥BD于H，∵AB＝AF，∠BAD＝90°，∴BF＝6，∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵S△BFD＝×BD×FH＝×DF×AB，∴10×FH＝（8﹣6）×6，∴FH＝，∵sin∠BFE＝sin∠EBF＝，∴sin∠BFE＝＝．3．解：（1）①如图1﹣7中，△ABC即为所求．②如图1﹣7中，△A′B′C′即为所求．（2）满足（1）的△A′B′C′面积的最大值为5，如，4，5，6，7中，三角形的面积都是5．故答案为5．4．证明：（1）∵AE⊥BC，∴∠EAC+∠C＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠B＝∠EAC，∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED，∴∠B＝∠E，∴∠EAC＝∠E，∴DE∥AC；（2）①∵∠B+∠C＝90°，∠C﹣∠B＝10°，∴∠B＝40°，∠C＝50°，∵DE⊥BC，∴∠EDF＝90°，∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED，∴∠B＝∠E＝40°，∠BAD＝∠EAD＝x°，∴∠DFE＝50°，∵∠DFE＝∠B+∠BAF，∴2x+40＝50，∴x＝5；②由题意可得，∠ADC＝40+x，∠ADB＝140﹣x，∠EDF＝140﹣x﹣（40+x）＝100﹣2x，∠DFE＝40+2x，若∠EDF＝∠DFE，则100﹣2x＝40+2x，∴x＝15；若∠EDF＝∠E，则100﹣2x＝40，∴x＝30；若∠DFE＝∠E，则40+2x＝40，∴x＝0（舍去）．综上可得x＝15或30．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A'处，∴AD＝A'D，AE＝A'E，∠ADE＝∠A'DE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，由折叠的性质可得AE＝EG，BC＝CH，∴EG＝CH；（2）∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，∴DG＝，DF＝2，∴AD＝AF+DF＝+2；由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠GEF+∠HEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE，在△AEF与△BCE中，，∴△AEF≌△BCE（AAS），∴AF＝BE，∴AB＝AE+BE＝+2+＝2+2＝CD，∴△CDE的面积＝×CD×AD＝×（2+2）×（2+）＝4+3．6．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把（1，5）和（4，2）代入，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1），共10个；（3）∵OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∵点C与点D关于AB对称，∴∠DAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠DAC＝90°，∴D（6，2）；故答案为10，（6，2）；（4）如图，点M、N为所作．7．解：（1）由折叠性质可得：△ADE≌△AFE（2）∵△ADE≌△AFE∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF在Rt△ABF中，BF＝＝＝6cm（3）∵BC＝AD＝10cm，BF＝6cm∴FC＝4cm∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2．∴EF2＝（8﹣EF）2+16∴EF＝58．解：（1）如图，作点E关于CD的对称点F连接AF交CD于点P，则此时，PA+PE的值最小；点P即为所求；（2）如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，则此时，PA+PE的值最小；PA+PE的最小值＝EF，∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，∴DA＝DF，即点A与点F关于CD对称，∴CF＝AC＝10，∵∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝5．9．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，3），B1（3，2），C1（1，1）；（2）四边形CC1A1A的面积＝×（4+2）×2＝6；（3）如图所示，点P即为所求．10．解：（1）分别作点P关于OA、OB的对称点D，C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN、MN，则△PMN的周长最小；（2）连接OC、OD，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°．2020年中考三轮冲刺复习同步练习：《图形的平移》综合训练（二）1．如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分∠BAE．（1）∠CAF＝°；（2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），D（6，4），将线段AD平移得到BC，使B（0，b），且a、b满足|a﹣2|+＝0，延长BC交x轴于点E．（1）填空：点A（，），点B（，），∠DAE＝°；（2）求点C和点E的坐标；（3）设点P是x轴上的一动点（不与点A、E重合），且PA＞AE，探究∠APC与∠PCB 的数量关系？写出你的结论并证明．3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b，0），a，b满足+|b+4|+（c+2）2＝0，将线段AB平移得到线段CD，CD交x轴与E点，点A，B分别对应点D，C．（1）求a，b，c的值；（2）如图1，∠BAO与∠BEC的角平分线交于N，求∠N的度数；（3）如图2，延长BA至F，∠BED的平分线交∠BAO的平分线AN的反向延长线与G 点，AM平分∠GAF，GQ∥AM，GP平分∠AGE，若∠BAO＝α，求∠PGQ的度数（用含α的式子表示）．4．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，c）的坐标满足+（b+a﹣7）2+|c﹣b+1|＝0．（1）求点A、B的坐标；（2）如图1，将线段AB平移至CD处（A点对应C点），使点C在坐标轴上，且点D 到x轴的距离是点D到y轴的距离的，求C点坐标；（3）如图2，作射线BO，过A作射线AC∥BO，已知P（a，﹣1）是平面内一点，问当a满足什么条件时，∠CAP﹣∠OBP＝∠APB总是成立？5．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（0，a）、B（b，0）满足：．（1）求A、B两点的坐标；（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C（﹣2，t），如图所示．若三角形ABC 的面积为9，求点D的坐标．6．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为∠B与∠D的大小关系为；（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE 交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝．7．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．8．已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，∠α＝70°，∠β＝30°．（1）如图①，求∠AEC的度数；（2）如图②，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．9．如图（1）所示：已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点E（不与B、D点重合），∠CBN ＝110°．（1）若∠ADQ＝140°，则∠BED的度数为（直接写出结果即可）；（2）若∠ADQ＝m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．10．如图，已知射线CD∥OA，点E、点F是OA上的动点，CE平分∠OCF，且满足∠FCA ＝∠FAC．（1）若∠O＝∠ADC，判断AD与OB的位置关系，证明你的结论．（2）若∠O＝∠ADC＝60°，求∠ACE的度数．（3）在（2）的条件下左右平行移动AD，∠OEC和∠CAD存在怎样的数量关系？请直接写出结果（不需写证明过程）参考答案1．解：（1）∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝130°，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF，∵∠CAD＝∠CAE，∴∠CAF＝∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝65°，故答案为65．（2）结论：∠ACB与∠AEB度数的比值不变．理由：∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE，∵∠CAD＝∠CAE，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠AEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACB，∴∠ACB：∠AEB＝1：2．（3）设∠ACD＝x，∠CAD＝y．则有x+y＝130°，∵∠AFB＝∠ACD＝∠ACB+∠CAF，∴x＝65°+y，解得x＝97.5°，∴∠ACD＝97.5°．2．解：（1）∵a，b满足|2﹣a|+＝0，∴2﹣a＝0，6+b＝0，∴a＝2，b＝﹣6，∴A（2，0），B（0，﹣6）；∵tan∠DAE＝1，∴∠DAE＝45°，故答案为2，0，0，﹣6，45°；（2）∵AD∥BC，AD＝BC，∴点B向右平移4个单位向上平移4个单位得到点C，∵B（0，﹣6），∴C（4，﹣2）．∴直线BC的解析式为y＝x﹣6，∴E（6，0）．（3）①当点P在点A的左侧如图2，连接PC．∵OE＝OB，∴∠PEC＝45°，∵∠PCB＝∠APC+∠PEC，∴∠PCB﹣∠APC＝45°②当P在直线BC与x轴交点的右侧时∵∠PCB＝∠PEC+∠APC，∴∠PCB﹣∠APC＝135°．3．解：（1）∵+|b+4|+（c+2）2＝0，∴a﹣3＝0，b+4＝0，c+2＝0，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2；（2）如图1，过N作NM∥AB，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∠BAC＝∠ACD，∴∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，∵AN平分∠BAC，EN平分∠BEC，∴∠1＝∠BAC，∠4＝BEC，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝（∠BAC+∠BEC），∵∠BAC＝∠OCE，∠OCE+∠BEC＝90°，∴∠BAC+∠BEC＝90°，∴∠ANE＝∠2+∠3＝∠1+∠4＝＝45°；（3）∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠ACD＝α，∴∠ABE＝∠BEC＝90°﹣α，EG平分∠BED，∴∠BEG＝45°+α，在△BEH中，∠BHE＝180°﹣∠ABE﹣∠BEH＝180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）＝45°+α，∴∠AHG′＝135°﹣α，在△AGH中，∠AGH＝180°﹣∠GAH﹣∠AHG＝180°﹣α﹣（135°﹣α）＝45°，∵AM平分∠GAH，PG平分∠AGH，∴∠GAM′＝α，∴∠AGP＝22.5°，∵QG∥AM，∠QGA＝∠MAG＝α，∴∠PGQ＝∠QGA+∠AGP＝α+22.5°．4．解：（1）∵+（b+a﹣7）2+|c﹣b+1|＝0．2∴，解得，∴A（0，4），B（3，2）．（2）由题意点C在x轴上，向左平移或得到线段CD，∴点C的横坐标为﹣﹣3＝﹣或﹣3+＝﹣，故C（﹣，0）或（﹣，0）．（3）当Q点不在OB与直线y＝﹣1的交点D的左边时，过Q作QK∥AC∥OB，如图2，则有∠CAQ＝∠AQK，∠OBQ＝∠BQK，∵∠AQK﹣∠BQK＝∠AQB，∴∠CAQ﹣∠OBQ＝∠AQB，设OB的解析式为y＝kx（k≠０），∵B（3，2），∴3k＝2，∴k＝，∴直线OB的解析式为：y＝x，令y＝﹣1，提﹣1＝x，解得，x＝﹣，∴D（﹣，﹣1），∵Q（a，﹣1），∴当a≥﹣时，∠CAQ﹣∠OBQ＝∠AQB总是成立的．5．解：（1）∵．又∵|2a﹣b﹣1|≥０，≥０，∴2a﹣b﹣1＝0，a+2b﹣8＝0，解得a＝2，b＝3，∴A、B两点的坐标分别为（0，2），（3，0）．（2）如图，△ABC的面积＝长方形CMMT的面积﹣（△ANB的面积+△ACT的面积+△CMB的面积）依题意有9＝5（2+|t|）﹣[×2×3+×2×（2+|t|）+×5×|t|]，化简得|t|＝4，解得t＝±，依题意t＜0，∴t＝﹣，点C的坐标为（﹣2，﹣），所以点D的坐标是（1，﹣）．6．解：（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；（2）∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠B，由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∵DG平分∠CDE，∴∠CDG＝∠EDG，∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠FDG＝∠DCE，即∠FDG＝∠B，∵∠B＝60°，∴∠FDG＝×60°＝30°；（3）思路同（2），∵∠FDG＝α，∴∠B＝2α，故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．7．解：（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．8．解：（1）过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD＝∠α，∵∠α＝70°，∴∠BCD＝70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD＝70°＝35°，∵EF∥l2，∴∠FEC＝∠ECD＝35°，同理可求∠AEF＝15°，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝50°；（2）过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD＝∠α，∵∠α＝70°，∴∠BCD＝70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD＝70°＝35°，∵EF∥l2，∴∠FEC＝∠ECD＝35°，∵l1∥l2，∴∠BAD+∠β＝180°，∵∠β＝30°，∴∠BAD＝150°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝×150°＝75°，∵EF∥l1，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝105°，∴∠AEC＝105°+35°＝140°．9．解：（1）如图（1），过点E作EF∥PQ．∵∠CBN＝110°，∠ADQ＝140°，∴∠CBM＝70°，∠ADP＝40°．∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，∴∠EBM＝35°，∠EDP＝20°．∵EF∥PQ，∴∠DEF＝∠EDP＝20°．∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠FEB＝∠EBM＝35°，∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝20°+35°＝55°；故答案为：55°（2）如图（2），过点E作EF∥PQ．∵∠CBN＝110°，∴∠CBM＝70°．∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，∴∠EBM＝35°，∠EDQ＝m°．∵EF∥PQ，∴∠DEF＝180°﹣∠EDQ＝180°﹣m°．∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠FEB＝∠EBM＝35°，∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝180°﹣m°+35°＝215°﹣m°．10．解：（1）∵CD∥OA，∴∠BCD＝∠O，∵∠O＝∠ADC，∴∠BCD＝∠CDA，∴AD∥OB；（2）∵∠O＝∠ADC＝60°，∴∠BCD＝60°，∴∠OCD＝120°，∵CD∥OA，∴∠DCA＝∠CAO，∵∠FCA＝∠FAC，∴∠DCA＝FCA，∵CE平分∠OCF，∴∠OCE＝∠FCE，∴∠ECF+∠ACF＝∠OCD＝60°，∴∠ACE＝60°；（3）∠CAD+∠OEC＝180°，理由：∵AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，∵∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝60°+∠OCE，∵∠AEC＝∠O+∠OCE＝60°+∠OCE，∴∠AEC＝∠CAD，∵∠AEC+∠OEC＝180°，∴∠CAD+∠OEC＝180°．三轮冲刺复习：《图形的旋转》综合训练（一）1．如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF 的关系并直接写出结论．2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点（1）求证：DO＝OG；（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．3．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．4．（1）问题发现如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是．（2）类比探究如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC 绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．7．如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN 与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）8．如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G 在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为．如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G 三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．9．已知，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．（1）如图1，求证：∠EBD＝90°（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．10．已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．（1）如图1，求∠B的度数；（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．参考答案1．解：（1）结论：BE＝2CF，BE⊥CF．理由：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝90°，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，∵F为线段AD的中点，∴CF＝AF＝DF＝AD∴BE＝2CF；∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠FCA，∵∠BCF+∠ACF＝90°，∴∠BCF+∠EBC＝90°，即BE⊥CF；（2）旋转一个锐角后，（1）中的关系依然成立．证明：如图2，延长CF到M，使FM＝FC，连接AM，DM，又AF＝DF，∴四边形AMDC为平行四边形∴AM＝CD＝CE，∠MAC＝180°﹣∠ACD，∠BCE＝∠BCA+∠DCE﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，即∠MAC＝∠BCE，在△MAC和△ECB中，，∴△MAC≌△ECB（SAS），∴CM＝BE；∠ACM＝∠CBE，∴BE＝CM＝2CF，∴∠CBE+∠BCM＝∠ACM+∠BCM＝90°，即BE⊥CF．2．解：（1）如图1，延长CB交DE于H．∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH，∴∠ADH+∠ABH＝180°，∴∠DAB+∠DHB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∴∠DHB＝∠HCG＝90°，∴DE∥CG，∴∠EDO＝∠G，∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC，∴△DOE≌△GOC（AAS），∴EO＝OC．（2）如图2，连接EG，BD，由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD+∠ABC＝180°，∴点D，B，C在同一条直线上，由（1）知，∠EDG＝∠CGD，∴DE∥CG，∵DE＝CG，∴四边形CDEG是平行四边形，∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，∴∠DCG＝90°，∴平行四边形CDEG是矩形，∴DG＝CE，由旋转知，∠CAE＝90°，AE＝AC＝2，∴CE＝AC＝2，∴DG＝2，（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°，∴∠BAF＝∠BCF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC，CF＝AB，∴FD＝FG，在Rt△DFG中，DG＝DF＝（AD+AF）＝（AB+BC），在RtACF中，AF2+CF2＝AC2，∴AB2+BC2＝AC2，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴2AB2﹣5AB?BC+2BC2＝0，∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0，∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，∴＝或＝2（舍弃），故答案为：．3．（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，∴OA＝AB＝4，OD＝CD＝，∴AD＝＝＝，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC＝AD＝，∵点H为线段BC的中点，∴OH＝BC＝；（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，∵点H是BC中点，∴BH＝CH，∴△BEH≌△CHO（SAS），∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，∵OB＝OA，OC＝OD，∴△BEO≌△ODA（SAS），∴OE＝AD，∴OH＝OE＝AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，∴OH⊥AD．4．解：问题发现（1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，∴OC＝OD，且OA＝OB，。
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中考数学第三轮基础巩固练习五
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中考第三轮基础巩固练习五
一、选择题
1．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“－5”错写成“＋5”进行运算，这
样他得到的结果比正确答案（ ）
A ．少5
B ．少10
C ．多5
D ．多10
2．不等式组⎩⎨⎧x ＋2＜1，2(x －1)≥－6
的解集在数轴上表示为（ ）
A
．
C
．
3．H7N9禽流感病毒颗粒的直径约为0.0000001 m ．用科学记数法表示为
（ ）
A ．0.1×10－7
B ．1×10－7
C ．0.1×10－6
D ．1×10－6
4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一
个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（ ）
A ．平均分
B ．众数
C ．中位数
D ．极差
二、填空题
5．2的相反数是 ． 4的平方根是 ．= ．
6．函数y ＝1＋x 中，自变量x 的取值范围是 ．
在函数2
x y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 7．已知方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝－1，3x ＋y ＝9．
则x ＋y ＝ ． 8．请写出一个主视图、俯视图有可能完全一样的几何体 ．
9．若一个多边形每个外角都是30°，则这个多边形的边数有 条．
10．将反比例函数y ＝1x 的图像沿x 轴向右平移1个单位长度后，该图像
不经过
第 象限．
11．若一个圆锥的高和底面圆的半径均为3 cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2
12．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，已知∠A ＝34°，∠ABC ＝82°，
则∠ABO ＝ °．
13．如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为 m2．三、解答题
14．计算：2－1－2cos30°＋||
1－12
15．先化简代数式x2－1
x＋2÷
x－1
x2＋4x＋4，再判断它与代数式3x＋2的大小关
系．
16．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．某市记者随机调查了一些家长对这种现象的态度（A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在图①中，C部分所占扇形的圆心角度数为 °；选择图①进行统计的优点是；
（2）将图②补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市50000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？
家长对中学生骑电动车上学三种态度分布统计
①
A
家长对中学生骑电动车上学三种态度人数统计图
B C
②
（第13题）
（第12题）
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17．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次网球单打比赛，要从中选出两位
同学打第一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）请你设计一个以摸球为背景的实验（至少摸2次），并根据该
实验写出一个发生概率与（1）所求概率相同的事件．
18．在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AF 与DE 相交于点
G ，CE 与BF 相交于点H ．
（1）求证：四边形EHFG 是平行四边形；
（2）若四边形EHFG 是矩形，则□ABCD 应满足什么条件？（不需
要证明）
19．下图是一个专用车位的指示牌，其侧面示意图可看成由一个半圆和
一个等腰梯形ABCD 组成．已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝18
cm ，腰AB ＝50 cm ，∠B ＝70°，求这个指示牌的高（参考数据：
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
A B E D F G H
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20．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
21．有这样一道试题：“甲车从A 地出发以60 km/h 的速度沿公路匀速行驶，0.5小时后，乙车也从A 地出发，以80 km/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．请建立一次函数．．．．关系解决上述问题．”
小明是这样解答的： A B
C
D
侧面示意图
解：设乙车出发后x小时追上甲车，甲乙两车间距离为y km．根据题意可得
y＝60×0.5－(80－60)x．当乙车追上甲车时，即y＝0，求得x＝1.5．
答：乙车出发1.5小时后追上甲车．
（1）老师看了小明的解答，微笑着说：“万事开头难，你一开始就有错误哦．”请帮小明思考一下，他哪里错了？为什么？
（2）请给出正确的解答过程并画出相应的函数图像．
22．已知二次函数y＝x2＋bx＋c图像的顶点坐标为（1，－4），与y轴交点为A．
（1）求该二次函数的关系式及点A坐标；
（2）将该二次函数的图像沿x轴翻折后对应的函数关系式是；
（3）若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图像上，求m＋n的值．
（4）若该二次函数与x轴负半轴交于点B，C为函数图像上的一点，D为x轴上一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四
边形时，请直接写出该平行四边形的面积．
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