三角形四大模型

三角形的四大模型
、三角形的重要概念和性质
1、 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°
2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形角平分线 （角分线） 中线 （分面积等） 高（直角三角形两锐角互余）
、八字模型：
三、飞镖模型：
证明结论： 1．∠BOC ＝∠ A ＋∠B ＋∠ C
四、角分线模型：
如图， BD 、CD 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线， BD 、CD 相交于点 D ， 试探索∠ A 与∠D
之间的数量关系，并证明你的结论．
如图，△ ABC 两个外角（∠ CAD 、∠ ACE ）的平分线相交于点 P ． 探索∠ P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论．
题型一、三角形性质等应用
5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别 说出
内角和和外角和变化情况．
6．如图，直线 AC ∥ BD ，连接 AB ，直线 AC ，BD 及线段 AB 把平面分成①、②、③、④ 四
个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连接 PA ，PB ，
构成∠ PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是 0°角）
（ 1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠ APB= ∠PAC+∠ PBD ；
（ 2）当动点 P 落在第②部分时，∠ APB= ∠ PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答） （ 3）当动点 P 在第③部分时，全面探究∠ PAC ，∠ APB ，∠ PBD 之间的关系，并写出
动点 P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
1．如图，小亮从 A 点出发前进 下去，他第一次回到出发点 A ．120
B ． 150
2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿 如果 AB=8cm ， BE=4cm ， DH=3cm ，
10m ， A 时， C ． 向右转 15°，再前进10m ，又向右转 15°，这样一直
走 一共走了米数是（ ）
240 D ．360
则图中阴影部分面积为
BC 方向平移得到 △
DEF ．
2
3． 如图，在 △ ABC 中，已知点 D ， 且 S △ABC =4cm 2，则 S 阴影=
4． A 、B 、C 是线段 A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点， E ， F 分别为边 BC ，AD ， 2 cm ．
S △ABC 的面积是 1，则 S △ A 1B 1C 1 的面积
CE 的中点，
题型二、八字模型应用
① 图 2中共有 个“8字形 ”；
② 若∠ ABC=80° ，∠ ADC=3°8 ，求∠ P 的度数； （提醒：解决此问题你可以利用图 1 的结论或用其他方法） ③ 猜想图 2中∠P 与∠B+∠D 的数量关系，并说明理由．
8．（ 1）求五角星的五个角之和； （ 2
）求这六个角之和
7．（ 1）如图 1 的图形我们把它
称为
8字形 ”，请说明∠
A+∠ B=∠C+∠D ；
题型三、飞镖模型应用
9．如图，已知 AB ∥DE ，BF ，EF 分别平分∠ ABC 与∠CED 交于点 F ，探索∠ BFE 与∠ BCE
之间的数量关系，并证明你的结论．
10．如图 1，E 是直线 AB ，CD 内部一点， AB ∥CD ，连接 EA ，ED ．
（1）探究猜想：①若∠ A=30°，∠ D=40°，则∠ AED 等于多少度？
②若∠ A=20°，∠ D=60°，则∠ AED 等于多少度？
③猜想图 1中∠ AED ，∠ EAB ，∠ EDC 的关系并证明你的结论．
（ 2）拓展应用：
如图 2，射线 FE 与矩形 ABCD 的边 AB 交于点 E ，与边 CD 交于点 F ，①②③④分 别是被射线 FE 隔开的 4 个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线 AB 上方， P 是位于以上四个区域上的点，猜想：∠ PEB ，∠PFC ，∠EPF 的关系（不要求证明） ．
题型四、角分线模型应用
11．如图，∠ A=65 °，∠ ABD=30 °，∠ ACB=72 °，且 CE 平分∠ ACB ，求∠ BEC 的度数． 12．如图，在 △ABC 中，∠ A=42 °，∠ ABC 和∠ ACB 的三等分线分别交于点 D ，E ，
14．如图，∠ ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ ACD 的平分线交于点 A 1，∠A 1BC
的平分线与∠ A 1CD 的平分线交于点 A 2，⋯，∠ A n ﹣1BC 的平分线与∠ A n ﹣1CD 的平分线 交于点 A n ．设∠ A= θ．则：（ 1）∠ A 1= ；（ 2）∠ A 2= ；（ 3）∠A n = ．
题型五、其他应用
15．已知△ ABC 中，∠ A=60°．
（1）如图①，∠ ABC 、∠ ACB 的角平分线交于点 D ，则∠ BOC=
°．
（2）如图②，∠ ABC 、∠ ACB 的三等分线分别对应交于 O 1、O 2，则∠BO 2C=
°．
（3）如图③，∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线分别对应于 O 1、O 2⋯O n ﹣1（内部有 n ﹣ 1个点）， 求∠ BO n ﹣1C （用 n 的代数式表示） ．
（4）如图③，已知∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线对应于 O 1、O 2⋯O n ﹣1，若∠ BO n ﹣1C=90°，
求 n 的值．
C ．88
D ．
110 第 13 题
，则∠ BCD 的大小为（ ）
B ． 100°
C ． 130°
D ． 150°
A ． 50
°
则∠BDC 的度数是（
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

16． 我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若 △ABC 的三条内
角平分线相交于点 I ，过 I 作 DE ⊥AI 分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．
（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
（ 2
）从上表中你发现了∠ BIC
与∠
BDI 之间有何数量关系，写出并说明其中的道理．
∠BAC 的度数 40° 60° 90° 120°
∠BIC 的度数
∠ BDI 的度数
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善。