中考数学构造法解题技巧
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
初中数学解题方法之一构造法之构造方程
初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。
构造方程是其中一种常见的构造法。
构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。
下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。
1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。
例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。
2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。
可以采用等量关系、比例关系等。
3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。
下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。
例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。
已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。
即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。
将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。
例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。
设正方形的边长为x厘米。
根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
中考数学解题技巧---构造三角形全等
中考数学解题技巧——构造三角形全等 （马铁汉）遇到有关线段的计算或证明时，经常需要将线段替换转移，常用的方法有作轴对称（在求线段之和、线段之差最值中）、旋转三角形（特殊三角形背景下的三条线段之和问题）、构造全等三角形。
关于作轴对称和旋转三角形这两种方法用的较多，且易掌握，前面解题经验中已有介绍，这里就不啰嗦了；关于构造全等三角形方法用得较少，不易掌握，下面通过几个中考真题作简单介绍。
现有图形中找不到解题途径时，联想问题背景及已知和所求之间的联系，可以考虑构造全等三角形建立起已知与所求之间的桥梁。
例1、（2021武汉16）．如图（1），在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x ＝AD ，y ＝AE ＋CD ，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是__21-．分析： 这里要求两条线段AE 、CD 之和，可以用x 的代数式表示CD=21x +和22-12x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，从而得到y 关于x 的函数2221-12y x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭烦，不容易解决问题。
简单的方法是通过转化使两条线段连在一起，用几何方法解决函数问题。
这里的转化就需要构造全等。
如图（3）作BN ⊥BC ，使BN=AC ，连接EN.则△BEN ≌△ADC∴ DC=ENy ＝AE ＋CD=AE+EN如图（4），当A 、E 、N 三点在同一直线上时， y 最小。
此时，作AM ⊥BC 于点M ， AM EM BN BE = 由图像知，AB=AC=1，AM=BM=MC=12∴ 11-22=1x x∴ 21x =-还有一种转化方法，如图（5），作HA ∥BC ，且HA=AB则△ABE ≌△HAD ∴AE=DH 当H 、D 、C 在同一直线上时y=HD+DC 最小，如图（6）。
初中数学构造法的归纳整理(保证精品)
构造法深度探索构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．1 构造代数式初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．1．1 构造多项式例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.1．2 构造有理化因式例2 已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .1．3 构造对偶式根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34+的值？1．4 构造递推式数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，1633=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +2 构造几何图形如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．2．1 构造对称图形例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=b a u 的最小值.2．2构造矩形例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。
2．3 构造圆例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .2. 4 构造三角形例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：.2k cA bC aB <++3 构造方程、不等式、函数3．1 构造二次方程方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2)1(3)1(3+-=+b b ,则 ba a ab b+的值为.例11．已知a<0，b>0，且15152=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．3．2 构造不等式利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．3．3 构造函数用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．例 13 已知实数0,0,0>≤<c b a ,且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.4 其他构造4．1构造反例构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
浅谈中学数学中的构造法解题
理论创新2014-02一、问题的提出G ·波利亚有一句名言“掌握数学就意味着善于解题”。
解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来解决问题却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下，就要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。
构造法就是这样的手段之一。
G ·波利亚在他的《怎样解题》中给出了“怎样解题”表，其中第二步是拟定计划，“找出已知数与未知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
”运用辅助性数学模式，这也正是我们用构造法解决问题的思路。
构造法的特点：构造新的数学对象过程直观，有很大灵活性。
构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步步地导求必要条件，直至推断出结论。
它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。
构造法解决问题的活动是一种创造性的思维活动，关键是借助对问题特征的敏锐观察展开丰富的联想，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化。
二、中学数学中常见的构造解题用构造法解题时，因被构造的对象是多种多样的，可按它的内容分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、数学模型、算法等类别。
本文着重介绍以下几种：（一）构造辅助数与式例1.证明N=910·1112·1314…9999991000000<0.003.分析：构造M=1011.1213.1415 (999998999999).显然M ·N=91000000，又因为N <M （因为910<1011；1112<1213；…），所以N 2<M ·N=91000000，从而得N <31000=0.003.不等式证明题通常需要构造一个不等式，从它出发进行推理进而获得解决。
（二）构造辅助函数求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合出一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转换。
中考数学学霸笔记——构造全等三角形的五种常用方法.doc
中考数学学霸笔记——构造全等三角形的五种常用方法方法一：倍长中线法例1：如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，构造△ADC≌△EDB，再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5﹣3＜2AD＜5+3，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD＝CD，再延长AD至E，使DE＝AD，∵D为BC的中点，∴DB＝CD，在△ADC和△EDB中，∴BE＝AC，在△ABE中，∵AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD；（2）∵AB＝5，AC＝3，∴5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4．【点评】此题主要全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，延长中线，是一种常见的辅助线．方法二：翻折法例2：如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．【分析】延长AD交BC于点F（相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE），由BE 是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1+∠C可得证．【解答】证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是角平分线，AD⊥BE，∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，又∵∠AFB＝∠1+∠C，∴∠2＝∠1+∠C．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．方法三：旋转法例3：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．【分析】延长EB使得BG＝DF，易证△ABG≌△ADF （SAS）（相当于将△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG）可得AF＝AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG＝∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF＝90°即可解题．【解答】解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，在△AEG和△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°∴∠EAG+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝45°．答：∠EAF的角度为45°．【点评】本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG＝∠EAF是解题的关键．方法四：构造法例4：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，由ASA证明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，证出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS证明△BFG ≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出结论．【解答】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠BCG，在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，∵CD＝BD，∴BG＝BD，∵∠ABC＝45°，∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，在△BFG和△BFD中，∴△BFG≌△BFD（SAS），∴∠FGB＝∠FDB，∴∠ADC＝∠BDF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．方法五：截长补短法例5：如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB+CD．【分析】在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，由角平分线的性质可以得出∠1＝∠2，从而可以得出△ABE≌△FBE，可以得出∠A＝∠5，进而可以得出△CDE≌△CFE，就可以得出CD＝CF，即可得出结论．【解答】证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180．∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D．在△CDE和△CFE中，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF＝CD．∵BC＝BF+CF，∴BC＝AB+CD．【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是关键．以上五种方法是比较常用的方法，希望对你的解题有所帮助～～～～。
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构造法在初中数学中的应用
所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学
对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求
解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：
一、构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真
分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获
得问题解决。
例1:如果关于x的方程ax+b=2 （2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
•••此方程有无数多解，•—-4=0且15-b=0
分别解得a=4, b=15
2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程”，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
4 _ 2
g 住W+4 例匕己知实数鮎b 分别满足卩『 〜 和bfm ■求代数式 / 的值*
4 _ 2 * * 解析’由于实数2、b 分别满足孑一匚
17丿I 和存F+酹7 = 0,于是可知。
从而.我们可以将/和戸看
成是方程尸11的两个不等的实根。
不妨设方程（I 啲两个不尊的实根分别为％与耳,
_ 2 風、4
且7 .也=于是由一无二茨方程韦达定理.可知—1 妁=3.所以 胪
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3:已知3, 5, 2x ，3y 的平均数是 4。
20，18, 5x , -6y 的平均数是1。
求 一
分析：这道题考查了平均数概念， 根据题目的特征构造二元一次方程组，
从而解出 x 、y 的值，再求出 的值。
解：根据题意得（3 + 5 + 2x+3y=4X4
20 + 18+5/+ (-6y) = 4X1
解得f x = -2
所 iy. x ;+y : =
80
y=4
二、构造几何图形
1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可
以通过构造适当的图形把其两者联系起来， 从而构造出几何图形， 把代数问题转化为几何问
题来解决•增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
例4:已知「」•卜 二二4、，则x 的取值范围是（） 和b J -b--3=0.也就是它们分别滿足 的值。
1< x W5 B x <1C1 v x v 5 D x >5
分析：根据绝对值的几何意义可知：|兀-1| + ］兀_：5|二4「表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。
如图3,只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5）, 那么它到1与5的距离之和都等于4,所以1< x < 5,故选A。
2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问
题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例5:如图，在△ ABC中，/ B=2/ C,/ BAC的平分线交BC于点D。
求证：AB+ BD
=AC
分析：若遇到三角形的角平分线时，常构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性
质，往往能够找到解题途径。
因此，延长CB到点F,使BF=AB连接AF,则厶BAF为等腰三
角形，且/ F=/ 1.再根据三角形外角的有关性质，得出/ ABD/ 1+/ F ,即
/ ABD=/ 1=2/ F,而/ ABD=/ C,所以/ C=/ 仁/ F , △ AFC为等腰三角形，即AF=AC
又可得△ FAD为等腰三角形，因此，AF=DF=DB+BF=DB+A即AB+ BD= AG
三、构造函数模型，解数学实际问题
在解答数学实际问题时，引进数学符号，根据已知和未知之间的关系，将文字语言
转化为数学符号语言，建立适当的函数关系式（考虑自变量的取值范围）。
再利用有关数学
知识，解决函数问题。
这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题
实践能力。
例6:（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品获总利润为y （元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解；（1 ）设需生产A种产品x件，那么需生产B种产品（50-x ）件，由题意得:
+10(50-z)< 290
解得：30W x w 32
•/ x是正整数
••• x = 30 或31 或32
•••有三种生产方案：①生产A种产品30件，生产B种产品20件；②生产A种产品
31件，生产B种产品19件；③生产A种产品32件，生产B种产品18件。
（2）由题意得；y = 700X+1200 （50-x ）=-500x+60000
••• y随x的增大而减小。