江苏省南京外国语学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版无答案
2018-2019学年南京外国语学校高一数学上学期期中试卷及答案解析
函数关系为 Q t 40 0 t 30, t N ，则这种商品的日销售量金额最大的一天是 30 天中的第
_____天．
12.已知函数
f(x)
=
3x log2x
x≤ x≻
00且关于
x
的方程 f(x) + x + a = 0 有且只有一个实根，且实数
a
的取值
范围是_____.
13.已知
再向上平移 1 个单位，即得到 y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3，
故答案为 y = x − 12 + 3.
【点睛】本题主要考查函数图象的“平移法则”：上加下减，左加右减，属于简单题.
4.偶函数 y f x 的图象关于直线 x 2 对称， f 3 3 ，则 f1 （
）
2.幂函数 y x的图象是_____（填序号）．
①.
②.
③.
④.
3.把函数 y＝(x－2)2＋2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象对应的函数的解析
式是________．
4.偶函数 y f x 的图象关于直线 x 2 对称， f 3 3 ，则 f1 （
2018-2019 学年南京外国语学校高一数学上学期期中试卷及答案解析
南京外国语学校 2018—2019 学年第一学期期中
高一年级数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分．）
1.已知集合 A 1, 2, 3, 6, B x | 2 x 3 ，则 A ∩B （
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 58 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答 案写在答题纸的指定区域内） 15.已知幂函数 f(x) = xm2 +m+1(m ∈ N∗ )的图象经过点 ． ⑴ 试确定 m 的值 ； ⑵ 求满足条件 f(2-a)＞f(a-1)的实数 a 的取值范围．
【高一数学】南京外国语2018-2019学年上学期高一上数学期中试卷答案
南京外国语学校2018—2019学年度第一学期期中高一年级数学试题（A 卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案写在答．卷纸相应．．．．位置上．．．） 1. 已知集合{}1,2,3,6A =−,{}|23B x x =−<<，则A B =______．【答案】{}1,2−；【解析】由交集的定义可得．2.幂函数y =_______（填序号）．① ② ③ ④【答案】③；【解析】12y x =，在()0,+∞单调递增，比y x =增长的慢则选③．3. 把函数()222y x =−+的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是______．【答案】224y x x =−+；【解析】()()22122124y x x x =+−++=−+．4. 偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，()33f =，则()1f −=______． 【答案】3；【解析】由偶函数可得()()11f f −=，()()13f f =则()13f −=．5. 集合U =R ，()1,2A =−，(){}|ln 1B x y x ==−，则图中阴影部分所代表的集合为______（结果用区间的形式表示）．欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475【答案】[)1,2；【解析】(),1B =−∞图像中阴影部分为[)1,2UA B =．6. 若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为______． 【答案】6−；【解析】函数在,2a ⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦单调递减，在,2a ⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，则362a a −=⇒=−．7. 已知函数()()0,1x f x a a a =>≠且，如果以()()11,P x f x ，()()22,Q x f x 为端点的线段的中点在y 轴上，那么()()12f x f x =_______． 【答案】1；【解析】120x x +=，121201x x x x a a a a +⋅===．8. 函数()37ln f x x x =−+的零点位于区间(),1n n +()n ∈N 内，则n =______． 【答案】2；【解析】函数在()0,+∞单调递增，()21ln20f =−+<，()32ln30f =+>则零点在()2,3之间．9. 若关于x 的方程2420x x a −−−=在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)6,2−−；【解析】转化成242x x a −−=有交点，[)2426,2x x −−∈−−，则[)6,2a ∈−−．10. 若函数()221x x af x −=+是奇函数，则使()13f x >成立的x 的取值范围为______．【答案】()1,+∞；【解析】()10011a f −==+1a ⇒=.211213x x −>+即224x ⨯>，则()1,x ∈+∞．11. 某商品在近30天内每件的销售价格P （单位：元）与销售时间t （单位：天）的函数关系为20,025;100,2530.t t P t t +<<⎧=⎨−+≤≤⎩，t ∈N ，且该商品的日销售量Q （单位:件）与销售时间t （单位：天）的函数关系为()40030,Q t t t =−+≤≤∈N ，则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第_____天． 【答案】10；欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475【解析】()()()()2040,025;40100,2530.t t t S t t t +−<<⎧=⎨−−≤≤⎩，可得max 10,900t S ==．12. 已知函数()2log ,0;3,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a ++=有且只有一个实根，且实数a 的取值范围是______. 【答案】1a ≤−；【解析】结合()f x 的图象，原方程可以理解为()y f x =与y x a =−−只有一个交点．所以1a −≥，1a ≤−13. 如果函数()()21,1;, 1.x a x x f x a x −+<⎧=⎨≥⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x −>−成立，那么a 的取值范围是______．【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】即()f x 在R 上单调递增，2031,2221a a a a a−>⎧⎪⎡⎫>⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪−+≤⎩.14. 已知函数()2f x x bx =+，若()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等，则实数b 的取值范围是____． 【答案】(][),02,−∞+∞；【解析】()min 2b f x f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,则()min 2b f x ≤−即242b b −≤−解得0b ≤或2b ≥．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15. （8分）已知幂函数()()21*mm f x x m ++=∈N 的图象经过点()2,8．⑴ 试确定m 的值 ；⑵ 求满足条件()()21f a f a −>−的实数a 的取值范围． 【答案】⑴ 1m =；⑵32a <． 【解析】⑴21281m m m ++=⇒=或2m =−(舍).⑵()3f x x =，()f x 在R 上单调递增，由()()21f a f a −>−可得3212a a a −>−⇒<. 欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：69330047516. 已知()243f x x x =−+.⑴ 作出函数()f x 的图象； ⑵ 写出函数()f x 的单调递增区间．⑶ 写出集合(){}|M m f x m ==使方程有四个不相等的实根. 【答案】⑴ 见解析；⑵ ()1,2和()3+∞，；⑶{}|01M m m =<<；【解析】⑴见右图；⑵单调递增区间为()1,2和()3+∞，； ⑶由图象可得()0,1m ∈则{}|01M m m =<<.17. 设全集U =R ，集合1|22xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}[)2|lg 0,B y y x a ==+=+∞．⑴ 求()U A B ；⑵ 求实数a 的值． 【答案】⑴()1,−+∞；⑵1； 【解析】⑴(],1A =−∞−，()1,UA =−+∞则()()1,U A B =−+∞；⑵()[)[)22lg 0,1,x a x a +=+∞⇒+∈+∞则1a =．18. 已知函数()()log 4a f x ax =−，其中常数1a >.⑴ 当[]1,2x ∈，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；⑵ 是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为1？如果存在，试求出a 的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】⑴()1,2；⑵不存在．【解析】⑴原题可化为40ax −>在[]1,2上恒成立，402420a a a −>⎧⇒<⎨−>⎩，又因为1a >所以()1,2a ∈； ⑵由题意可得4ax −在[]1,2上的最大值为a ，由于1a >，所以4ax −单调递减4a a −=，解得2a =，但此时在2x =处没有定义，所以不存在.19. 已知函数()e e x x f x −=−（x ∈R ,且e 为自然对数的底数）．⑴ 判断函数()f x 的单调性与奇偶性；欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475⑵是否存在实数t ，使不等式()()220f x t f x t −+−≥对一切的x ∈R 都成立？若存在，求出t 的值，若不存在说明理由．【答案】⑴ 证明见解析；⑵ 存在，12t =−．【解析】⑴函数定义域为R ，关于0对称，()x x f x e e −−=−，则()()0f x f x −+=，则()f x 是奇函数，以下证明()f x 在R 上单调递增：任取12,x x ∈R ，令12x x <，()()()121212121212e e 1e e e e 10e e e ex x x x x x x x x x f x f x −⎛⎫−=−+=−+< ⎪⎝⎭所以函数单调递增.⑵存在，证明：()()()2222f x t f x t f t x −≥−−=−等价成22x t t x −≥−，则220x x t t +−−≥对一切的x ∈R 都成立，则()2140t t ∆=++≤可得12t =−．20. 已知函数()221f x x ex m =−++−，()()20e g x x x x=+>.⑴ 若()y g x m =−有零点，求m 的取值范围；⑵ 确定m 的取值范围，使得()()0g x f x −=有两个相异实根. 【答案】⑴[)2,e +∞；⑵212e e m >+−；.【解析】⑴ 2e x m x +=220x mx e ⇒−+=在0x >有根，当02m >时则22024m e m e −+≤⇒≥或2m e ≤−(舍)，当02m≤时，()20f e =，则()00f ≤无解，则2m e ≥. ⑵ 结合图象，可得()g x 与()f x 有交点时可以看出212e e m >+−，以下详细证明；记()()()()22e 12e 1h x g xf x x x m x=−=+−+−+，则可以证明()h x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增证明如下：任取()12,0,e x x ∈，令12x x <，()()()212121212e 2e +1h x h x x x x x x x ⎛⎫−=−+−− ⎪⎝⎭，由于122e <0x x +−，212e 10x x −<，120x x −<所以()()12h x h x >，所以函数在()0,e 上单调递减；同理可证得在()e,+∞上单调递增，所以()e h 为函数最小值，根据零点定理()e 0h <，解得212e e m >+−，以下说明必存在函数值大于零：首先说明()e,+∞上，当2e m ≥时，()22e 2e 10h m m m m=−++>，当212e e 2e m +−<<时，欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475()e2e 2e 102h m =++−>；所以在()e,+∞上只有一个零点 再说明()0,e 上，()2222e e 2e 4e 2e 22mx x h x m x x x x −−>−−=+，所以取2e min 2m ⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭，2e 2m ，中2e 2m <即m <0h >>⎝⎭2e 2m ≥即m ≥232e e 102h m m m⎛⎫⎛⎫>−≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以在()0,e 上只有一个零点； 综上，212e e m >+−欢迎加入新东方QQ群领更多资料，高一563460659高二：775765653 高三：693300475。
江苏省南京外国语学校仙林分校高一数学上学期期中测试试题苏教版
高一年级期中测试数试题命题人 审题人 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B 则= ．2． 函数1()f x x=，{1,2,3}x ∈的值域为 ． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是 ． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 ．8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9． 用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数．10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈ （1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数_________k =． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = ．16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___________17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为18．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．中学部2012—2013学年第一学期高一年级期中测试数学学科答卷纸第一部分（满分100分）一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. _____2. __3. ___4. ___5. 6. 7. 8.二、解答题：本大题共4小题，共60分.9.（本小题满分14分）姓名____________________ ———————————线————————————————――――10．（本小题满分16分）11（本小题满分14分）12（本小题满分16分）第二部分（满分60分）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13. _______ 14. _____ 15. ___16. 17. 18.四、解答题：本大题共2小题，共30分.19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）——密——————————封—————————————线————————————————――――――――南外仙林分校中学部2012—2013学年度第一学期高一年级期中测试 数 学 学 科 试 题命题人： 审题人： 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B 则= （3，5） ．2． 函数1()f x x =，{1,2,3}x ∈的值域为11{1,,}23． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是1k <． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 0 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ a<1 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 -1 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 ． 8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是(6,)-+∞二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9．用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数． 证明略10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210． 答案：（1）2； （2）令 2.778210m =，则lg 2.7782lg6lg600m =≈+=，故 2.778210约为600．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.答案：22,012t y t ≤≤=⎨⎪+<≤⎪⎩12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈（1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值． 答案：（1）[3,5]；（2）最小值-19，2x =．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数k = 0或2 ． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= -4 ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = 1 . 16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___a,b,c___17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为 ② 18． 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．略解：由题意得22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 且)2()(2x f x f =，由)(x f是单增，())f x t f +≥在]2,[+∈t t x 恒成立，得x t x 2≥+在]2,[+∈t t x 恒成立，得2≥t ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f（1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数． 略解：（1）法一：由(0)0f =得1a =，再由定义域为R ，()()f x f x -=-证明． 法二：直接令()()f x f x -=-求出1a =，以上各步可逆，故1a =． （2）化函数为2()21x f x a =-+，再由单调性定义证明．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．解：（1）3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33解得⎩⎨⎧=-=11b a ，所求的区间为[-1，1]（2）取,10,121==x x 则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数．取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数，所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数． （3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的值域为[b a ,]，即⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a ，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实数根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根．当2-≤k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k ．当2->k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解．故k 的范围是：249-≤<-k ．。
【优质文档】2018-2019学年度11月13日南京外国语高一上数学期中试卷与解析
2018—2019 学年度第一学期期中高一年级
数学试题（ A 卷）
一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分．请把答案写在答 ．卷．纸．相．应．位．置．上．） 1. 已知集合 A = - 1,2,3,6 , B = x |- 2 x 3 ，则 A B = ______．
- t +100,25 t 30.
数关系为 Q = - t + 40(0 t 30, t N ) ，则这种商品的日销售量金额最大的一天是
30天中的第 _____
天．
12.
已知函数
f ( x) =
log2 x, x 3x , x
0;
且关于 x 的方程 f (x) + x + a = 0 有且只有一个实根，且实数
2. 幂函数 y = x 的图象是 _______（填序号） ．
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
①
②
③
④
2
3. 把函数 y = (x - 2 ) + 2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是
______．
4. 偶函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (- 1) = ______ ．
上，那么 f ( x1 ) f ( x2 ) = _______．
8. 函数 f ( x) = 3x - 7 + ln x 的零点位于区间 (n, n + 1) (n N ) 内，则 n = ______．
9. 若关于 x 的方程 x2 - 4 x - 2 - a = 0 在区间 (1,4 ) 内有解，则实数 a 的取值范围是 ______．
江苏省南京外国语学校仙林分校2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
南京外国语学校仙林分校中学部2016-2017学年度第一学期高一数学期中试卷一、填空题（每小题3分，共42分）1．设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x x =>，则A B =_________．(224．已知13a a -+=，则22a a -+=_________．5．函数21,()lg ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩+1,则((10))f f =_________．6．函数|1|()3x f x -=的单调递增区间是_________．7．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是_________． 8．已知242y x ax =+-在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围是_________． 9．2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+的值为 ．10．函数1()23(0x f x a a +=->，且1a ≠)的图象经过的定点坐标是_________．11．设函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0x 所在的区间是(,1)k k +()k Z ∈，则k =_________．12．函数()y f x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线x y e =关于y 轴对称，则()f x =_________．13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x <0时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是_________．14．已知函数()3|log |,034,3x x f x x x <≤⎧=⎨-+>⎩，若a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则()2cab +的取值范围是_________．二、解答题（58分）15．（本题满分8分）已知全集U R =，集合{|18}A x x =<≤，{|29}B x x =<<，{|}c x x a =≥． (1)求A B ，A B ；(2)如果AC ≠∅，求a 的取值范围．16．（本题满分8分）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当(0,)x ∈+∞时，2()43f x x x =-+-．(1)求函数()f x 的解析式；(2) 画出函数()f x 的图象，并根据图象直接写出函数()f x 的单调区间．17．（本题满分10分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的关系：厂里的固定成本为2.8万元，每生产1百台的生产成本为1万元，每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元）（总成本=固定成本+生产成本）．如果销售收入20.4 4.2,05,()11,5x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，且该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），请完成下列问题：(1)写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入—总成本）； (2)甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？ 18．（本题满分10分）已知函数222()log log 2f x x m x =-+，其中m ∈R ． (1)当3m =时，求方程()0f x =的解； (2)当[1,2]x ∈时，求()f x 的最小值． 19．（本题满分10分）已知定义域为R 的函数2()21x x bf x +=+是奇函数．(1)求函数()f x 的解析式，并说明函数的单调性； (2)解不等式(21)()0f x f x ++<．20．（本题满分12分）已知函数2()2g x x x=+-． (1)证明：函数()g x在)+∞上是增函数；(2)若不等式(2)20x x g k -⋅≥在[1,1]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析1.{1}【解析】本题主要考查集合的基本运算.依题意，集合A=，，则，故填{1}.2.(2，+∞)【解析】本题主要考查函数的概念.依题意，要使函数有意义，则，得，故填(2，+∞).3.【解析】本题主要考查幂函数的性质.依题意，设幂函数，其图象过点，即，得，故，故填. 4.7【解析】本题主要考查指数的运算性质.依题意，平方得，即，故填7.5.2【解析】本题主要考查分段函数.依题意，函数则，则，故填2.6.【解析】本题主要考查函数的性质.依题意，函数单调递增，函数在上单调递增，故复合函数的单调递增区间是，故填.7.【解析】本题主要考查指数和对数的运算性质.依题意，,则，故有，故填.8.【解析】本题主要考查二次函数的性质.依题意，二次函数的对称轴为，当时，函数单调递减，若在区间(﹣∞，4]上为减函数，则，得，故填.【解析】本题主要考查对数的运算性质.，故填1.10.【解析】本题主要考查指数函数的性质.指数函数过点，则对于函数，令得，此时，，故函数过点，故填.11.0【解析】本题主要考查函数的零点.依题意，函数的零点为，函数单调递增，且，，则函数在内有唯一的零点，则，故填0.12.【解析】本题主要考查函数的图像.依题意，曲线关于轴对称的曲线为，将其向左平移1个单位得函数，故填.13.【解析】本题主要考查函数的性质.依题意，函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，当时，，则，得，由不等式得，当时，得，当时，成立，当时，，得，此时，综上，不等式的解集是，故填.14.【解析】本题主要考查分段函数.依题意，函数，若，且，则，则，得，则，故填.15.(1)全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，∴，.(2)∵，∴a≤8，∴a的取值范围为(﹣∞，8].【解析】本题主要考查集合的基本运算.(1)全集U=R，集合A={x|1＜x≤8}，B={x|2＜x＜9}，利用集合的交集与并集的运算求得，.(2)由，求得a≤8，从而求得a的取值范围.16.(1)当x＜0时，﹣x＞0，∵为R上的奇函数，∴.∴，即x＜0时，.当x=0时，f(0)=0，所以，(2)作出的图象(如图所示)数形结合可得函数的减区间：，；增区间为[﹣2，0)，(0，2].【解析】本题主要考查函数的表达式及函数图像.(1)当x＜0时，﹣x＞0，，利用函数的奇偶性求得的表达式，当x=0时，f(0)=0，利用分段函数写出函数表达式.(2)作出的图象数形结合可得函数的单调区间.17.(1)由题意固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元，且总成本=固定成本+生产成本，得G(x)=2.8+x. 而利润=收入-成本，而收入函数，故可知利润函数∴=R(x)-G(x)=.对于分段函数的最值的研究分别考查每一段函数的最值，结合二次函数和一次函数的性质可知：当x >5时，∵函数递减，∴<=3.2(万元)当0≤x≤5时，函数= -0.4(x-4)2+3.6，当x=4时，有最大值为3.6(万元).所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元.【解析】本试题主要是考查了函数的运用，考查分析问题和解决问题的能力。
江苏省南京市2017-2018学年高一第一学期期中数学试卷
江苏省南京市2017-2018学年高一数学上学期期中试题一.填空题: （本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1.集合{1,1},{0,1,-2}P Q =-=，则P Q ⋂= _______________.2.2lg 2lg 25+=______________ .3.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((4))g f =_______________ .4.已知集合{}()|1,,A x x B a =>=+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ..5.设20.40.50.6,2,log 2a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 ____________（从小到大排列）.6.函数2()23f x x x =--的零点是 __________________.7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，若()1f a =,则a 的值是 ____________. 8.已知函数75()5f x x ax bx =++-，且(3)5f -=，那么(3)f = ________.9.已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2x f x x a =++，那么(1)f -= .10.已知1123,2a b m a b==+=且，则实数m 的值为 . 11.若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = _____________.12.某老师2014年九月十日用8100元买一台笔记本. 由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低， 每经过一年计算机的价格降低三分之一，到2017年九月十日该老师这台笔记本还值 ________元．13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为 .14．已知函数(21)72(1)() (1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围是 .二、解答题：15.（本题满分14分）U R =，{}{}。
江苏省南京外国语学校(仙林分校)高一数学上学期期中试题(含解析)
2015-2016学年江苏省南京外国语学校（仙林分校）高一（上）期中数学试卷（第一部分满分40分）一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．已知U=[0，1]，A=（0，1]，则∁U A= ．3．已知m＞0，化简÷（2）的结果为．4．函数的定义域为．5．若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a= ．6．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．7．已知函数y=x（m∈N*）的图象与坐标轴无交点，则m的值是．8．已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．二、解答题（本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．10．计算：（1）；（2）．11．已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．12．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．（第二部分满分30分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）13．已知A={x|x≤﹣2}，B={x|x＜m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．14．已知函数y=lg（x2﹣x+k）的定义域为R，则k的取值范围是．15．已知函数f（x）=．若，则实数m的值等于．16．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f（1）＜f（lnx），则x的取值范围是．17．已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为．18．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．四、解答题（本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？20．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+ax．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m﹣1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省南京外国语学校（仙林分校）高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析（第一部分满分40分）一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2．已知U=[0，1]，A=（0，1]，则∁U A= {0} ．【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】找出全集U中不属于A的部分，即可求出A的补集．【解答】解：∵U=[0，1]，A=（0，1]，∴∁U A={0}．故答案为：{0}．【点评】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．已知m＞0，化简÷（2）的结果为2m ．【考点】有理数指数幂的运算性质．【专题】常规题型．【分析】由分数指数幂的运算性质进行化简【解答】解：因为4÷（2）=4××=2m，故答案为； 2m【点评】利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式转化为分数指数幂，在根据分数指数幂的运算性质进行运算．4．函数的定义域为（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．5．若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a= 5 ．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，确定对称轴，可得出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，∴x=5为函数的对称轴，∵函数f（x）=x2﹣2ax∴x=a为函数的对称轴，∴a=5故答案为：5【点评】本题考察了函数的对称轴，与单调区间的关系，属于容易题．6．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（1，3）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】根据所有的指数函数过（0，1）点，函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3，得到函数的图象过（1，3）【解答】解：根据指数函数过（0，1）点，∴函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3∴函数的图象过（1，3）故答案为：（1，3）．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么没有关系．7．已知函数y=x（m∈N*）的图象与坐标轴无交点，则m的值是1，2 ．【考点】幂函数的图像．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于0；【解答】解：∵幂函数y=x（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无交点，∴m2﹣m﹣3＜0解得＜m＜，又m∈N*∴m=1，2，故答案为：1，2．【点评】本题考查幂函数的性质与幂指数的取值范围有关、由幂函数的解析式画幂函数的图象，属于基础题8．已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．二、解答题（本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．（1）若a=5，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）利用交集的定义求解．（2）利用并集的性质求解．【解答】解：（1）∵a=5，A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}，集合B={x|﹣1≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，解得0≤a≤4．【点评】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意集合的性质的合理运用．10．计算：（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）=（2）=2+4lg2+3lg5+lg5=2+4lg2+4lg5=2+4=6．【点评】本题考查分数指数幂和对数式的化简求值，是基础题，解题时要注意指数和对数的性质及运算法则的合理运用．11．已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】法一：（1）由函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），知，由此能求出a，b．（2）由f（x）==1+，知2x﹣1＞﹣1，且2x﹣1≠0，知，或，由此能求出f（x）的值域．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．法二：（1）由f（x）是奇函数，知，由此能求出a，b．（2）由y=f（x）=，知＞0，由此能求出f（x）的值域．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．【解答】解法一：（1）：函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），∴，即，解得a=1，b=﹣1．经检验f（x）为奇函数，故a=1，b=﹣1．（2）∵a=1，b=﹣1．∴f（x）==1+，∵2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，且2x﹣1≠0，∴，或，∴f（x）＜﹣1，或f（x）＞1．∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）==，∵0＜x1＜x2，∴，，，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是递减，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．解法二：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，得（ab+1）•22x+2（a+b）•2x+ab+1=0，∴，得，或，…又∵f（1）=3，∴，即2a﹣3b=5，∴a=1，b=﹣1．…（2）∵a=1，b=﹣1，∴y=f（x）=，∴，∵2x＞0，∴，解得y＜﹣1，或y＞1．∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（3）在（0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）==，∵0＜x1＜x2，∴，，，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是递减，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，考查函数的单调性的判断．解题时要认真审题，注意待定系数法、分离常数法、定义法和等价转化思想、函数奇偶性的合理运用．12．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（﹣x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x﹣2）min=﹣1，由此可得m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．（第二部分满分30分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置上）13．已知A={x|x≤﹣2}，B={x|x＜m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】直接利用B⊆A，推出m的关系式，求解即可．【解答】解：因为A={x|x≤﹣2}，B={x|x＜m}，B⊆A，所以m≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查集合的包含关系，集合中变量范围的求法，考查计算能力．14．已知函数y=lg（x2﹣x+k）的定义域为R，则k的取值范围是（，+∞），．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】依题意，令g（x）=x2﹣x+k，利用g（x）＞0恒成立即可求得实数k的取值范围【解答】解：∵y=lg（x2﹣x+k）的定义域为R，令g（x）=x2﹣x+k，则g（x）＞0恒成立，∵g（x）的二次项系数为1＞0，∴△=1﹣4k＜0，解得k＞，∴k的取值范围是（，+∞），故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查对数函数的定义域，考查△的应用，属于中档题15．已知函数f（x）=．若，则实数m的值等于﹣6 ．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意可知f（）=3，从而可得f（m）=﹣3，继而可求得实数m的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（）=2×=3，又f（m）+f（）=0，∴f（m）=﹣3，∴m+3=﹣3．∴m=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查函数的值，理解分段函数的意义是关键，考查理解与运算能力，属于基础题．16．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f（1）＜f（lnx），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，f（lnx）＞f（1），可得|lnx|＜1，利用绝对值不等式的解法、对数函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，f（lnx）＞f（1），∴|lnx|＜1，∴﹣1＜lnx＜1，解得x∈．∴x的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、绝对值不等式的解法、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为[﹣0]∪{} ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】f（x）=，令f（x）=1可得 x=﹣4，或x=0，或 x=4．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称．且f（x）=，令f（x）=1可得 x=﹣4，或x=0，或 x=4．若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞﹣1．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得﹣≤a≤0．当a＞0时，应有2a+1=4，解得 a=．综上可得，a的取值范围为[﹣0]∪{}，故答案为[﹣0]∪{}．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．【点评】本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．四、解答题（本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．【专题】综合题．【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…∵，∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（2）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．20．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=﹣x2+ax．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m﹣1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知表达式可求f（﹣x），根据奇函数性质可求f （x）；（2）①借助二次函数图象的特征及奇函数性质可求a的范围；②利用奇函数性质及单调递减性质可去掉不等式中的符号“f”，进而可转化为函数最值问题处理．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，又因为f（x）为奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x2+2x）=x2﹣2x，所以f（x）=．（2）①当a≤0时，对称轴，所以f（x）=﹣x2+ax在[0，+∞）上单调递减，由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）上递减，不合题意，所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．②f（m﹣1）+f（m2+t）＜0，∴f（m﹣1）＜﹣f（m2+t），又f（x）是奇函数，∴f（m﹣1）＜f（﹣t﹣m2），又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m﹣1＞﹣t﹣m2恒成立，所以恒成立，所以．即实数t的范围为：（，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．。
南京市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案
(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减， 所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316， 所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解， 所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0， 所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数， 所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0； 当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)． 数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， 所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。
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南京外国语学校
2017-2018学年度第一学期期中高一年级数学试题
一、填空题（42分）
1.设全集 A = {x|x ≤ 2x +1≤5} , B = {x |0 < x ≤3},则A∩B = .
2. 4lg2 + 3lg5 - lg 5
1 = . 3.若)
3(log 244a a --有意义，则a 的取值范围是 . 4.已知)1＞＞(25log log b a a b b a =+，则224
b
a b a ++的值为 . 5.若集合{x|ax 2
+ x +1 = 0}有且只有一个元素，则实数a 的取值集合 .
6.已知函数|lg |)(x x f =，若 a ≠ b，且)()(b f a f =，则 ab = .
7.已知⎩⎨⎧≥+-=1
,1＜,4)14()(x a x a a x f x ，是(-∞, +∞)上的减函数，则a 的取值范围是 .
8.已知 a,b 为常数，若2410)(,34)(22++=+++=x x b ax f x x x f ，则5a-b = .
9.已知 a - a -1 = 2，则=--++---442233)2)((a
a a a a a . 10.已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f 是偶函数，则 k = .
11.已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f ，若函数的值域为R ，则常数a 的取值范围
是 .
12.若函数)1,0＞)(31(log ≠-=a a ax y a 在区间（0,2)上是单调增函数，则常数a 的取值范围是 .
13. 已知函数)(x f 为R 上的奇函数，满足)()2(x f x f =+，当x ∈(0,1)时，22)(-=x x f ，则)6(log 2
1f = .
14. 函数)
4lg(1)(k a a x f x x -+=-的定义域为R (常数a > 0，a ≠1），则实数的取值范围
为 .
二、解答题
15.(8 分）设集合 A = {x | 2 < x < 4}， B = {a < x < 3a}.
(1)若A∩B≠φ，求实数a 的范围.
⑵若A ∪ B = {x|2< x < 6}，求实数a 的值.
16.(8分）函数a x x x f 2)(2-+=，若)(x f y =在区间(-1,1)内有零点，求a 的取值范围.
17. (8 分）已知R x x f x x x
∈+=,2
44)( (1)求证：对一切实数x ，)1()(x f x f -=恒为定值.
(2)计算：).7()6()0()3()4()5()6(f f f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-
18.(12分）画出函数|22|-=x y 的图象，并利用图象回答:
(1)函数|22|-=x y 的值域与单调增区间；
(2)k 为何值时，方程|2x - 2| = k 无解？有一解？有两解?
19.(12分）对于在区间[m, n]上有意义的两个函数)(x f 与)(x g ，如果对任意],[n m x ∈均有1|)()(|≤-x g x f ，则称)(x f 与)(x g 在[m,n]上是接近的；否则称)(x f 与)(x g 在[m,n]上是非接近的.现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=，与)1,0＞(1log )(2≠-=a a a
x x f a
，给定区间[a+2,a+3].
(1)若)(1x f 与)(1x f 在给定区间[a+2,a+3]上都有意义，求a 的取值范围；
(2)讨论)(1x f 与)(1x f 在给定区间[a+2, a+3]上是否是接近的?
20.(10分）已知)(x f ,)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且x x g x f 3)()(=+ . (1)求 )(),(x g x f ；
(2)若对于任意实数t∈[0,1]，不等式0＜)()2(t ag t f +恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若存在m ∈ [-2,-1]，使得不等式0＜)2()(m g m af +成立，求实数a 的取值范围.。