统计学 第6章 参数估计

第6章 参数估计
偶然的东西是没有根据的，因为它是偶然的；但同 样因为它是偶然的，它又是有根据的。 ——黑格尔
见一落叶，而知岁之将暮，睹瓶中之冰，而知天下之 寒，以近论远。 ——《淮南子说山训》
10 - 1
6.1 参数与参数估计的概念 6.2 总体均值的估计
6.3 总体比例的估计
6.4 总体方差的估计
影响区间宽度的因素
总体数据的离散程度，用 来测度
x 样本容量，
信区间随着样本容量的增大而减小，即较 大样本所提供的有关总体的信息要比较小 的样本多 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小。当样本 容量确定时，置信区间随着置信水平的增 大而增大
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n。当置信水平固定时，置
10 - 20
（三）一致性
当样本单位数达到充分大的时候，样本统计量也会越来越接近总体参数。就是说，随 着样本单位数 n 的无限增加，样本统计量和被估计的总体参数之差的绝对值小于任意小的 正数，它的可能性也将趋近于必然性，或者说实际上是几乎肯定的。用公式可以表示为:
lim P ˆ 1
由于 n N 20 100 0.2 0.05，因此需要用修正系数对样本均值的方差进行修正， 把相关数据代入公式，可得：
x z 2
N n 10 100 20 52.3 1.96 52.3 3.94 n N 1 20 100 1
即 48.36,56.24 ，表明这批货物的平均重量的置信区间为 48 .36 ~ 56.24 千克。这也说明 了在同样的置信水平下，抽样比越大，给出的置信区间宽度越窄。

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（二）有效性
2 ˆ 和 ˆ 都是参数 的无偏估计量，若 2 ˆ ˆ 假设 ˆ ˆ ，则说明估计量 1 比 2 更有效。 1 2
1 2
即作为优良估计量的方差应该比其他估计量的方差小。
^
1
的抽样分布
^
2
的抽样分布
图 6.2 两个无偏点估计的抽样分布 对于同一总体参数的两个不同的无偏点估计，我们会偏好于采用方差较小的点估计， 因为它给出的估计更为可靠。图 6.2 给出了同一总体参数的两个无偏估计的情形，由于估
样本统计量 (点估计) 10 - 7
置信下限
置信上限
区间估计
68.27%
95.45% 99.73%
x
-3σ -2σ
-σ

+σ
+2σ +3σ
图3-12 常用的正态概率值
（在一般正态分布及标准正态分布中）
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置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
/2
x
1 –
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解：已知 10 ， n 20 ，置信水平为 95%时临界值 z 2 1.96 由样本数据计算的样本均值为 x 52 .3 代入公式得：
x z 2
n 52.3 1.96 10 20 52.3 4.38
即 47.92,56.68 ，表明这批货物的平均重量的置信区间为 47 .92 ~ 56 .68 千克。
1.
x z ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
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n
或 x z 2
s n
( 未知)
（一）总体方差已知
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总体方差已知（续）
图6.3 总体均值的置信区间
10 - 27
【例 6.1】某公司为了对运来的一批原料货物的平均重量进行估计，从一批 2000 包原 料货物中随机抽取 20 包，测得的数据为（单位：千克） ： 38 48 35 39 61 52 52 54 47 60 59 47 43 76 65 51 50 60 52 57 假设这批货物的重量服从正态分布，标准差为 10 千克，试给出这批货物的平均重量的置信 区间，置信水平取 95%。
1490 1460
1510
1530 1470
1520
1510 1470
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x t
2
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
10 - 31
【例6.3】若例6.1中这批货物总量为100包， 其它数据一样，试给出这批货物平均重量的 置信水平为95%的置信区间。
10 - 32
解：根据例 6.1 知：
10 ， n 20 ，置信水平为 95%时临界值 z 2 1.96 ， x 52 .3
/2
x
(1 - ) 区间包含了
x
的区间未包含
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区间估计的图示
x z 2 x
- 2.58x -1.65 x -1.96x
x

+1.65x +2.58x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99ห้องสมุดไป่ตู้ 的样本
10 - 10
6.1.1 点估计与区间估计 点估计
用样本统计量去估计总体的参数 –用样本均值 x 估计总体均值μ –用样本方差s2去估计总体方差σ2 –用样本比率p估计总体比率π
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区间估计
区间估计：在点估计的基础上，给出总体
参数估计的一个区间范围，该区间由样本 统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统 计量与总体参数的接近程度给出一个概率 度量 –某班级平均分数在75～85之间，置信水 平是95% 置信区间
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据 样本数据计算得： x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z

2
10 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92 101.44,109.28
区间估计的图示
x z 2 x
- 2.58x -1.65 x -1.96x
x

+1.65x +2.58x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
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6.1.2 估计量优劣的评价标准
估计总体参数时，估计量一般不是唯一的，可能会有多个。如估计总体平均数时，可 以用样本平均数，也可以用样本中位数、众数等等。那么，究竟应当以哪一种样本统计量 来估计总体参数才是最优的呢？为解决这一问题，需要给出一定的评价标准，以下就是统 计学家在实际中常用来评价估计量优良与否的一些标准。
t
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总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取 16只，测得其使用寿命 (小时)如 下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
16灯泡使用寿命的数据 1510 1520 1480 1500
1450
1480 1460
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1480
6.5 样本容量的确定
6.6 SPSS在统计推断中的应用—参数估计
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学习目的与要求
掌握参数估计、估计量和估计值等基本概念 了解参数估计量的特性——无偏性、有效性和一致性 熟练求出一个总体均值、总体比例和总体方差的置信
区间
了解不同情形下两个总体均值之差、总体比例之差和
总体方差比置信区间的求法。
掌握总体均值和总体比例估计时样本容量的确定
10 - 3
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
10 - 4
6.1 参数与参数估计的概念
估 计 方 法
点
估
计
区间估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
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6.1 参数与参数估计的概念
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0
101.0
107.5 123.5
103.0
95.0 102.0
102.0
108.8 101.6
100.5
115.6 102.2
116.6
136.8 10 - 30
95.4
102.8
97.8
101.5
108.6
98.4
105.0
93.3
总体均值的区间估计
置信区间
由样本统计量所构造的总体参数的估计区
间称为置信区间，其中区间的最小值称为 置信下界，最大值称为置信上界
统计学家在某种程度上确信这个区间会包
含真正的总体参数，所以给它取名为置信 区间
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区间估计
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置信水平
将构造置信区间的步骤重复很多次，置信
区间包含总体参数真值的次数所占的比率 称为置信水平 表示为 (1 - 为总体参数未在区间内的比率 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
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常用置信水平
在构造置信区间时，一般用所希望的值作为置
信水平。比较常用的置信水平及标准正态分布 曲线下右侧面积为α/2时的z值（zα/2）
常用置信水平zα/2值
置信水平
α
α/2
zα/2
90% 95% 99%
10 - 14
0.10 0.05 0.01