2020人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形练习(含答案)
2020人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形一、单选题1．平行四边形的一个内角是70°，则其他三个角是（ ）A ．70°，130°，130°B ．110°，70°，120°C ．110°，70°，110°D ．70°，120°，120°2．如图，在ABCD Y 中，2,AD AB CE =平分BCD ∠交AD 边于点E ，且3AE =，则ABCD Y 的周长为（ ）A ．16B ．18C ．19D ．203．如图，在▱ABCD 中，AD=8，点E ，F 分别是BD ，CD 的中点，则EF 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．54．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行，另一组对边相等C ．两组对边分别相等D ．一组对边平行且相等5．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形ABCD 的对角线AC 的长是（ ）．A ．2B ．4C ．D ．6．如图，将长方形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若22.5DBC ∠=︒，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中45︒的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．27．如图，在菱形ABCD 中，AB =6，▱ABD =30°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．18B ．18√3C ．36D ．36√38．下列命题错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C ．矩形的对角线相等且互相平分D ．对角线相等的四边形是矩形9．如图，矩形纸片ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点1B 处，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2cmB ．C ．D ．7cm10．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是AD 的中点，BE 与CF 相交于点P ，设AB a =.得到以下结论：▱BE CF ⊥；▱AP a =；▱5CP a =则上述结论正确的是（ ）A ．▱▱B ．▱▱C ．▱▱D ．▱▱▱二、填空题 11．在平面直角坐标系中，(1,0)(4,0)(0,3),A B C -、、若以A B C D 、、、为顶点的四边形是平行四边形，则D 点坐标是________________．12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ▱BD ，垂足为点E ，若▱EAC =2▱CAD ，则▱BAE =__________度．13．如图，在▱MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为_____cm．14．如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，作CAD∠的平分线，交BC的延长线于点E，⊥，交CB延长线于点F，则BF的长为________．作AF AE三、解答题15．如图，□ABCD中，AE▱BD于点E，CF▱BD于点F．（1）求证：BF=DE；（2）如果▱ABC=75°, ▱DBC=30°，BC=2，求BD的长．＝＝＝．16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA OB OC OD（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若2AB =，60AOB ︒∠=，求BC 的长．17．如图，▱ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE▱BC ，过点D 作DE▱AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．（1）求证：AD=EC ；（2）当▱BAC=Rt▱时，求证：四边形ADCE 是菱形． 18．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），延长AE 到点F ，连接BF ，且▱AFB ＝45°，G 为DC 边上一点，且DG ＝BE ，连接DF ，点F 关于直线AB 的对称点为M ，连接AM 、BM ．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：▱DAG ＝▱MAB ；（3）用等式表示线段BM 、DF 与AD 的数量关系，并证明．Y中，对角线AC，BD交于点O，E为AB的中点，点F在CB的19．如图，在ABCDEF BD．延长线上，且//（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由；（3）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是正方形？并说明理由答案1．C2．B3．C4．B5．B6．A7．B8．D9．C10．D11．（-5，3）、（5，3）、（3，−3）12．22.5°13．4．141．15.（1）证明：▱□ABCD，▱AD▱BC，AD=BC.▱▱ADE=▱CBF.▱AE▱BD 于点E ，CF▱BD 于点F ，▱▱AED=▱CFB=90°.在▱ADE 和▱CBF 中，▱AED=▱BFC,▱ADE=▱CBF ，|AD=BC▱▱ADE▱▱CBF （AAS ）▱DE=BF（2）解：▱▱ABC=75°，▱DBC=30°，▱▱ABE=750-30°=45.▱AB▱CD ，▱▱ABE=▱BDC=45°，▱AD=BC=2， ▱ADE=▱CBF=30°，▱在Rt▱ADE 中，AE=1，在Rt▱AEB 中，▱ABE=▱BAE=45°故AE=BE=1.则+1．16.（1）证明：OA OB OC OD Q ＝＝＝，∴四边形ABCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ▱OA OC OB OD +=+，即AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． （2）解；Q 四边形ABCD 是矩形，90ABC ︒∴∠=，▱OA OB ＝，2AB ＝，60AOB ︒∠＝，▱▱AOB 为等边三角形，60BAO ︒∴∠＝，30ACB ︒∠＝，4AC =，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，BC ==17.(1)证明：▱AE ▱BC ，DE ▱AB ，▱四边形ABDE 是平行四边形，▱AE =BD ，▱AD 是边BC 上的中线，▱BD =DC ，▱AE =DC ，又▱AE ▱BC ，▱四边形ADCE 是平行四边形.(2) 证明：▱▱BAC =90°，AD 是边BC 上的中线. ▱AD =CD▱四边形ADCE 是平行四边形，▱四边形ADCE 是菱形.18.（1）如图1所示：（2）证明：▱四边形ABCD 是正方形，▱AB ＝AD ，▱ABC ＝▱BAD ＝▱ADG ＝90°，在▱ABE 和▱ADG 中，90AB AD ABE ADG BE DG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，▱▱ABE ▱▱ADG （SAS ），▱▱BAE ＝▱DAG ，▱点F 关于直线AB 的对称点为M ，▱▱BAE ＝▱MAB ，▱▱DAG ＝▱MAB ；（3）BM 2+DF 2＝2AD 2；理由如下：连接BD ，延长MB 交AG 的延长线于点N ，如图2所示：▱▱BAD ＝90°，▱DAG ＝▱MAB ，▱▱MAN ＝90°，由对称性可知：▱M ＝▱AFB ＝45°，▱▱N ＝45°，▱▱M ＝▱N ，▱AM ＝AN ，▱AF ＝AM ，▱AF ＝AN ，▱▱BAE ＝▱DAG ，▱▱BAN ＝▱DAF ，在▱BAN 和▱DAF 中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，▱▱BAN ▱▱DAF （SAS ），▱▱N ＝▱AFD ＝45°，▱▱BFD ＝90°，▱BF 2+DF 2＝BD 2，▱BD =，BM ＝BF ，▱BM 2+DF 2＝2AD 2．19.（1）证明：▱四边形ABCD 是平行四边形，▱点O 是AC 的中点．又▱点E是边AB的中点，▱OE是▱ABC的中位线，▱OE▱BC，又▱点F在CB的延长线上，▱OE▱BF．▱EF▱BD，即EF▱OB，▱四边形OBFE是平行四边形．（2）当AD▱BD时，四边形OBFE是矩形．理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，又▱AD▱BD，AD▱BC，且点F在BC的延长线上，▱FC▱BD，▱▱OBF=90°，▱四边形OBFE是矩形．（3）结论：当AD▱BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形．理由：▱OE为▱ABD的中位线，▱OE=12AD▱O为BD中点，▱OB=12BD，▱AD=BD，▱OB=OE，▱当AD▱BD时，四边形OBFE是矩形，▱当AD▱BD，AD=BD时，四边形OBFE是正方形。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)含辅助线证明题训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形含辅助线证明题训练1.已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．2.在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC=120°，连接BG，CG，DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=90°，AB=8，AD=14，M是EF的中点，求DM的长．6.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．(1)求证：DP＝BF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求DP的长；(3)求证：CP＝BM＋2FN．7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM=AE；（2）连接CM，DF=2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC=2∠MCF，求ME的长．8.在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；（2）如图2．若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE＝EF．AC，将菱形ABCD绕着点B （3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE＝12顺时针旋转α°（0≤α≤360），请直接写出在旋转过程中DE的最大值．9.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN=1.（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值.10.如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC的中点．求证：AF=BC+CF．11.已知：如图（1），点E、F分别为正方形ABCD的边BC、DC上的点，线段AE和AF分别交BD于点M和点N，连接MF，MF⊥AE于点M．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）如图（2），连接EF，当AD＝5，DF＝1时，求线段EF的长度；BD．（3）如图（3），作FR⊥BD于R．求证：RM=12BC，CE⊥AB于点E，F是AD的中点，连接12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12EF，CF．求证：（1）EF=CF；（2）∠EFD=3∠AEF．13.如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．14.已知：如图，G为平行四边形ABCD中BC边的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2．（1）求证：E是AD的中点；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，得∠3＝∠2，求证：CD＝BF+DF．15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED=EF：(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形．并证明你的结论(请先补全图形，再解答)：(3)若ED=EF，则ED与EF垂直吗?若垂直给出证明，若不垂直说明理由．16.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
2020年人教版初中数学八年级下册第18章《平行四边形》单元综合测试题含答案
平行四边形一．选择题（共10小题）1．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC2．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．下列说法正确的有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角互补；③平行线间的线段相等；④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；⑤平行四边形的四内角之比可以是2：3：2：3．A．1个B．2个C．3个D．4个5．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34 B．26 C．8.5 D．6.56．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），则点B坐标为（）A．（0，2）B．（0，）C．（0，1）D．（0，2）7．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．2.69．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断10．把一张长方形纸片ABCD按如图方式折一下，就一定可以裁出（）纸片ABEF．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形二．填空题（共8小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E、F两点，AB＝6，BC＝10，则EF的长度是．12．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AO＝CO，④∠ABC ＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）13．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝时，四边形APQD 也为矩形．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为．16．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝．17．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝．18．如图，正方形OABC在直角坐标系中，点B（﹣2，2），点D为BC的中点，点E在线段OC上运动，射线ED交AB延长线于点F，设E（0，t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是．三．解答题（共7小题）19．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE 的长．20．在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：四边形DFBE是平行四边形；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边或对角线的所有平行四边形．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．22．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．23．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB 的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：四边形BDCF为菱形；（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC＝，求CF的长．25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．第《18章平行四边形》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；【解答】解：∵CM＝MA，CNB，∴MN∥AB，MN＝AB，∵MN＝18m，∴AB＝36m，故A、B、D正确，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．2．【分析】根据平行四边形的性质得到∠DAB+∠ABC＝180°，由角平分线可得∠BAO+∠ABO＝90°，根据三角形的内角和定理得∠AOB＝90°，即可得到所选选项．【解答】解：▱ABCD的∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于O，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAO＝∠BAO＝∠DAB，∠ABO＝∠CBO＝∠ABC，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能综合利用性质进行证明是解此题的关键．3．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．【解答】解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．4．【分析】根据平行四边形的判定定理以及性质定理即可判断．【解答】解：①正确；②平行四边形的对角相等，命题错误；③平行线间的平行线段相等，命题错误；④正确；⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理以及性质定理，正确理解定理的内容是关键．5．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．6．【分析】根据菱形的性质可得∠OAB＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，解直角△AOB，求出OB，即可得到点B坐标．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），∴∠OAB＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，在直角△AOB中，∵OA＝2，∴OB＝OA•tan∠OAB＝2×＝2，∴点B坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．也考查了锐角三角函数定义，坐标与图形性质．7．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ACD均正确，而B不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．8．【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．9．【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，再再证明AB＝BC即可解决问题．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．【分析】根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片．【解答】解：由已知，根据折叠原理，对折后可得：∠FAB＝∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF，∴四边形ABEF是正方形，故选：D．【点评】此题考查了正方形的判定和折叠的性质，关键是由折叠原理得到四边形有三个直角，且一组邻边相等．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据平行四边形的性质可知∠DEC＝∠ECB，又因为CE平分∠BCD，所以∠DCE＝∠ECB，则∠DEC＝∠DCE，则DE＝DC，同理可证AF＝AB，那么EF就可表示为AF+ED﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DEC＝∠ECB，又CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，同理可证：AF＝AB，∴2AB﹣BC＝AF+ED﹣BC＝EF＝2．故答案为2．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．12．【分析】根据AD∥BC可得∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO＝DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：可选条件①③，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：①③．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．【分析】根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．则AE＝AF＝2．∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是2，∴S四边形ABCD＝BC×2＝CD×2，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．∴四边形ABCD的面积为2×2×＝4．故答案是：4．【点评】本题主要考查菱形的性质和特殊角的三角函数值，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．14．【分析】四边形APQD为矩形，也就是AP＝DQ，分别用含t的代数式表示，解即可．【解答】解：根据题意，当AP＝DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t＝20﹣t，解得t＝4（s）．故答案是：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．此题利用了矩形的对边相等的性质进行解题的．15．【分析】由平行四边形的性质和角平分线证出AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF 的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由AAS证明ADF≌△ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，又F为DC的中点，∴DF＝CF，∴AD＝DF＝DC＝AB＝4，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，则AF＝2AG＝2，∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝2×2＝4，故答案为：4【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键．16．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DAE，推出AB＝BE，根据已知条件推出∠ADF＝∠ADC，得到∠DFC＝∠CDF，推出CF＝CD，于是得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，∴AB＝7；②如图2，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵DF⊥AE，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∵∠BAD+∠ADC＝180°，∴∠ADF＝∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵∠ADF＝∠DFC，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD∵EF＝4，∴BC＝BE++EF+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，∴AB＝3；综上所述：AB的长为7或3．故答案为：7或3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD．17．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝2，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝2，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2∴GP＝＝2∴GH＝GP＝故答案为：【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．18．【分析】由ASA证明△DBF≌△DCE，得出BF＝CE＝2﹣t，得出AF＝AB+BF＝4﹣t，即可得出点F的坐标；分两种情况：①当AE＝AF时，根据勾股定理得出AE2＝OA2+OE2，得出方程22+t2＝（4﹣t）2，解方程即可求出t的值；②当AE＝EF时，点E在AF的垂直平分线上，得出OE＝AF，即t＝（4﹣t），解方程即可求出t的值，从而求解．【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB＝BC＝OC＝2，∠AOC＝∠ABC＝∠BCO＝90°，∴∠FBD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△DBF和△DCE中，，∴△DBF≌△DCE（ASA），∴BF＝CE＝2﹣t，∴AF＝AB+BF＝4﹣t，∴D的坐标为（﹣2，4﹣t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当AE＝AF时，∵AE2＝OA2+OE2，∴22+t2＝（4﹣t）2，解得：t＝1.5；②当AE＝EF时，点E在AF的垂直平分线上，∴OE＝AF，即t＝（4﹣t），解得：t＝．综上所述：当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是（0，1.5）或（0，）．故答案为：（0，1.5）或（0，）．【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．三．解答题（共7小题）19．【分析】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF，然后求解即可．【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝×4＝2．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．20．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF，即可得出四边形DFBE是平行四边形；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形DFBE是平行四边形；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE；以GH为对角线的平行四边形有GFHE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．21．【分析】由矩形的性质可得出BA＝CD、∠A＝∠D，由AM＝DN可得出AN＝DM，进而即可证出△ABN≌△DCM（SAS），根据全等三角形的性质可证出BN＝CM．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA＝CD，∠A＝∠D．∵AM＝DN，∴AN＝DM．在△ABN和△DCM中，，∴△ABN≌△DCM（SAS），∴BN＝CM．【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS 证出△ABN≌△DCM是解题的关键．22．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME（SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．23．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE＝DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意可得BE＝5，BF＝3，根据勾股定理可求EF的长【解答】证明：（1）连接BE，DE∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝AC，DE＝AC∴BE＝DE∵点F是BD的中点，BE＝DE∴EF⊥BD（2）∵BE＝AC∴BE＝5∵点F是BD的中点∴BF＝DF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝＝4【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键．24．【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF＝AD＝BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD＝BD，根据菱形的判定得出即可；（2）设CE＝2x，AC＝3x，求出BC＝4x，DF＝AC＝3x，根据菱形的面积公式求出x，求出EF和CE，根据勾股定理求出CF即可．【解答】（1）证明：DE⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠BED＝∠ACB，∴DF∥AC，∵CF∥AB，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AD＝CF，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，∵BD∥CF，∴四边形BDCF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DC＝BD，∴四边形BDCF是菱形；（2）解：∵tan∠EAC＝＝，∴设CE＝2x，AC＝3x，∵四边形BDCF是菱形，∴BE＝CE＝2x，∴BC＝4x，∵四边形ADFC是平行四边形，∴DF＝AC＝3x，∵四边形BDCF的面积为24，∴＝24，解得：x＝2（负数舍去），∴CE＝4，DF＝6，∴DE＝EF＝×6＝3，∵DE⊥BC，∴∠CEF＝90°，∴由勾股定理得：CF＝＝＝5．【点评】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．25．【分析】（1）过G作GH⊥CD于H，根据三角形的内角和得到∠CDE＝60°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝2，得到∠ADC＝120°，解直角三角形即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，推出∠DFA＝∠C，在DH上截取HM＝AH，得到∠HAM＝∠HMA，求得∠DAM ＝∠H，根据全等三角形的性质即可得到结论．．【解答】解：（1）如图1，过G作GH⊥CD于H，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CDE＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝2，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA＝30°，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝GF，∵CD＝2，∴DF＝，∴HF＝DF＝，∴GF＝1；（2）∵AH⊥AD，DE⊥BC，∴∠DAH＝∠DEC＝90°，在△ADE与△DEC中，，∴△ADE≌△DEC（SAS），∴∠ADH＝∠EDC，∠H＝∠C，DH＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＝∠C，∠DFA＝∠BAF，∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DFA＝∠C，如图2，在DH上截取HM＝AH，∴∠HAM＝∠HMA，∴∠H＝180°﹣2∠HAM，∵∠MAD＝90°﹣∠HAM，∴∠DAM＝∠H，∴∠MAD＝∠GFD，在△ADM与△FDG中，，∴△ADM≌△FDG（ASA），∴DM＝DG，∵AB＝CD＝DH＝HM+DM，∴AB＝AH+DG．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
人教版 八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)
人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°， 又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6， 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18， 故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ， 又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ， 中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。
【精选】人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》测试卷(含答案)
【精选】人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》测试卷（含答案）一、选择题(每题3分，共30分)1．已知在▱ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠B的度数为( ) A．100° B．160° C．80° D．60°2．【2022·广东】如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝( )A.14B.12C．1 D．2(第2题) (第4题) (第5题) (第8题) 3．【2022·河北】依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )4．【教材P44例2改编】【2021·恩施州】如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC ⊥BC，则▱ABCD的面积为( )A．30 B．60 C．65 D.65 25．【教材P53例1改编】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB ＝60°，AB＝5，则BD的长为( )A．20 B．15 C．10 D．56．【2021·河南】关于菱形的性质，以下说法不正确．．．的是( )A．四条边相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形7．下列命题中，是真命题的为( )A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形8．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )A．16 3 B．16 C．8 3 D．89．【2022·青岛】如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( )A.62B. 6 C．2 2 D．2 3(第9题) (第10题) (第11题) (第13题)10．【教材P68复习题T13拓展】【2022·恩施州】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( )A．当t＝4时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4D．当CD＝PM时，t＝4或6二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在▱ABCD中，AB＝5，AC＝8，BD＝12，则△COD的周长是________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝________. 13．【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC ＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是________(限填序号)．14．如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，D(2，3)，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移________个单位长度，再向上平移________个单位长度．(第14题) (第15题) (第16题) (第17题) 15．【2022·哈尔滨】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.点E在OB 上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF.若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为________．16．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，AE＝5，BE＝4，则DF＝________.17．【2022·苏州】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC, AB＝3, AC＝4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF.则四边形AECF的周长为________．18．以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是____________．三、解答题(19，20题每题8分，21，22题每题12分，其余每题13分，共66分)19．【2022·桂林】如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF ＝DE.(1)求证：BE＝DF；(2)求证：△ABE≌△CDF.20．【2021·郴州】如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF, 连接BE，DF.若BE＝DF，证明：四边形ABCD是平行四边形．21．【教材P55练习T2改编】【2021·长沙】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．22．【2021·十堰】如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．23．如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.(1)求证：AE＝BF；(2)若正方形的边长是5，BE＝2，求AF的长．24．【2022·北京八中模拟】在▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC，BD交于点O，AC ＝10，BD＝16.点M，N在对角线BD上，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运动，到达点D时停止运动，同时点N从点D出发，运动至点B后立即返回，点M停止运动的同时，点N也停止运动，设运动时间为t 秒(t＞0)．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)翻折问题专题训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,E 是CD 的中点,将△BCE 沿BE 翻折,得到△BFE ,连接DF ,则DF 的长度是（ ）A.55 B. 255 C. 355 D. 4552.如图,▱ABCD 中,点E 在边BC 上,以AE 为折痕,将△ABE 向上翻折,点B 正好落在CD 上的点F 处,若△FCE 的周长为7,△FDA 的周长为21,则FD 的长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，在▱ABCD 中，AB =5，AD =6，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为（ ）A. 3B. 12C. 15D. 44.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上一点,将矩形沿BE 翻折后,点A 的对应点为A ',延长EA '交BC 于点F ,若∠ABE =35∘,则∠BFE 的大小为( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘5.如图所示，在矩形ABCD中，AC=13，AD=5，O是AC的中点，E为AB上任意一点，连接EO，将△AOE沿OE翻折至△A′OE，A的对应点为A′，连接A′C，当A′E⊥AB时，求A′C的长为（ ）A. 4B. 32C. 732D. 7226.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边B′处，若AE=3，DE=9，∠AEF=120°，则矩形ABCD的面积是（ ）A. 36B. 363C. 48D. 483二、填空题7.如图,E为▱ABCD的边AD上一点,将△ABE沿BE翻折,得到△FBE,点F在BD上,且EF=DF.若∠C=54∘,则∠ABE= °.8.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______ .9.如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF 的长为______．10.如图，四边形ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG＝________cm．11.如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ΔABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为7，ΔFCB的周长为23，则FC的长为．12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45 ∘，AD=2，E，H分别为边AB，CD上一点．将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，C为FG的中点，则EF的长度为__________．三、解答题13.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，连接DM．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△FDC≌△FEA（2）若AB=4，BC=6，求图中阴影部分的面积．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）若设AP＝x，试求CF的长（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．16.已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD´M，点D对应点为D´，AD´所在直线与边BC交于点P.（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；（2）如图2，当t为何值时，点D´恰好落在边BC上；（3）如图3，当t=3时，求CP的长.17.已知矩形ABCD，把△BCD沿BD翻折，得△BDG，BG，AD所在的直线交于点E，过点D作DF∥BE交BC所在直线于点F．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB=8，AD=4，求四边形BEDF的面积．18.如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=12，P为AD上一点，将▵ABP沿BP翻折至▵EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP=DG；（2）求线段AP的长．参考答案1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.49.58.4a+2b9.710.43−611.8.12.2-213.证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD 是菱形．14.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠E =∠B ，AB =AE ，∴AE =CD ，∠E =∠D ，在△AEF 与△CDF 中，∠E =∠D∠AFE =∠CFD AE =CD ，∴△AEF ≌△CDF （AAS ）；（2）∵AB =4，BC =6，∴CE =AD =6，AE =CD =AB =4，∵△AEF ≌△CDF ，∴AF =CF ，EF =DF ，∴DF 2+CD 2=CF 2，即DF 2+42=（6-DF ）2，∴DF =53，∴阴影部分的面积=S △ACD -S △CDF =12×4×6-12×4×53=263．15.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，由翻折的性质可知：∠E =∠A =90°，∴∠E =∠D ，在△ODP 和△OEF 中，∠D =∠EOD =OE ∠DOP =∠EOF，∴△ODP ≌△OEF （ASA ）．∴OP =OF ．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，∵△ODP ≌△OEF （ASA ），∴OP =OF ，OD =OE ．∴DF =EP ．∵AP =PE =DF =x ，∴CF =8-x ．（3）∵AD =BC =6，PA =PE =DF =x ，∴PD =EF =6-x ，CF =8-x ，BF =BE -EF =8-（6-x ）=2+x ，在Rt △FCB 根据勾股定理得：BC 2+CF 2=BF 2，即62+（8-x ）2=（x +2）2，解得：x =4.8，∴AP =4.8．16.证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ，∵折叠∴∠DAC =∠D 'AC∴∠ACB =∠D 'AC∴AP =PC（2）∵折叠∴AD =AD '=10cm ，DM =D 'M ，在Rt △ABD '中，BD '=AD′2−AB 2=8cm ，∴CD '=BC -BD '=10-8=2cm ，在Rt △D 'MC 中，D 'C 2+CM 2=D 'M 2，∴4+CM 2=（6-CM ）2，∴CM =83cm∴t =831=83（3）如图，连接MP ，∵t=3，∴CM=3cm，∴DM=CD-CM=3cm，∵折叠∴AD=AD'=10cm，DM=D'M∴D'M=CM，且MP=MP∴Rt△CMP≌Rt△D'MP（HL）∴CP=D'P在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∴36+（10-CP）2=（10+CP）2，cm.∴CP=91017.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC，根据题意可知△BCD≌△BDG，∴∠DBG=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，∵AD∥BC，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵DE=BE，∴四边形BEDF为菱形；（2）设菱形BEDF的边长为x，则AE=DE-AD=x-4，在Rt△AEB中，BE2=AE2+AB2，即x2=（x-4）2+82，解得x=10，∴菱形BEDF的面积=DE•AB=10×8=80．18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，∴AP=DG；（2）解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=16，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=12-x，DG=x，∴CG=16-x，BG=16-（12-x）=4+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即122+（16-x）2=（x+4）2，解得：x=9.6，∴AP=9.6，第11页，共11页。
八年级数学(下)第十八章《平行四边形的判定》同步练习(含答案)
八年级数学（下）第十八章《平行四边形的判定》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为A．30 B．40C．50 D．无法计算【答案】B2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120°，则∠C的度数为A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】A【解析】∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°，∵∠D=120°，∴∠C=60°．故选A．3．四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3【答案】B【解析】根据对角相等的四边形是平行四边形，A．1∶2∶3∶4，对角不相等，不能；B．2∶3∶2∶3，对角相等，能；C．2∶2∶3∶3，对角不相等，不能；D．1∶2∶2∶3，对角不相等，不能，故选B．4．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．故选A．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C6．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为A．20 B．16 C．12 D．8【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE =12BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．7．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形A．AE=CF B．DE=BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【答案】BD选项：∵∠AED=∠CFB，∴∠DEO=∠BFO ，∴DE∥BF，在△DOE和△BOF中，DOE BOF DEO BFO OD OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．故选B．8．如图，E，F分别是□ABCD的边AB，CD的中点，则图中平行四边形的个数共有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=FC=12DC，AE=EB=12AB，∵DC=AB，∴DF=FC=AE=EB，∴四边形DFBE和CFAE都是平行四边形，∴DE∥FB，AF∥CE，∴四边形FHEG是平行四边形，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=a，则AB=2a，它的根据是__________．【答案】三角形的中位线等于第三边的一半10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB=4，∠F=∠CDE，则BF的长为__________．【答案】4【解析】因为∠F=∠CDE，所以AB∥CD，因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，因为点E是BC边的中点，所以ED=EF，又因为∠F=∠CDE，∠DEC=∠FEB，所以△ECD≌△EBF，所以BF=CD，所以BF=AB，因为AB=4，所以BF=4，故答案为：4．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF，BD，请你只添加一个条件：__________，使得四边形BDFC为平行四边形．【答案】DE=EC（答案不唯一）【解析】答案不唯一，比如：BD∥CF，构成两组对边分别平行的四边形是平行四边形；DF=BC，构成一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；DE=EC，可以证明BE=EF，构成对角线相互平分的四边形是平行四边形，等等．故答案：DE=EC（答案不唯一）．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足__________的条件时，四边形DEBF是平行四边形．【答案】AE=CF（答案不唯一）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．【解析】∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形，故AE与DF互相平分．14．如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵AE=CF，∴FD=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥FB，DE=FB．∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN．∵DE∥FB，∴四边形MENF是平行四边形．15．如图，点M，N在线段AC上，AM=CN，AB∥CD，AB=CD．求证：∠1=∠2．16．如图1，平行四边形ABCD中，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．（1）在旋转过程中，线段AF与CE的数量关系是__________．⊥，当旋转角至少为__________︒时，四边形ABEF是平行四边形，并证明（2）如图2，若AB AC此时的四边形是ABEF是平行四边形．【解析】（1）相等，理由如下： 如图，在ABCD 中，AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠1=∠2，在△AOF 和△COE 中，1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOF ≌△COE （ASA ）， ∴AF =CE ．（2）当旋转角为90︒时，90COE ∠=︒，如图，又∵AB ⊥AC ， ∴∠BAO =90°， ∠AOF =90°， ∴∠BAO =∠AOF ， ∴AB ∥EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， 即：AF ∥BE ， ∵AB ∥EF ，AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．。
2020—2021学年人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形 强化训练试卷(二)【含答案】
2020—2021学年人教版八年级数学下册第十八章平行四边形强化训练题（二）1．已知：如图，在△ABC和△ABE中，∠ACB＝∠AEB＝90°，D是AB中点，联结DC、DE、CE，F是CE中点，联结DF．（1）求证：DC＝DE；（2）若AB＝10，CE＝8，求DF的长．2．如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．3．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．4．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF＝∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长度．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B 作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB与点O，若BC＝8，AO＝，求△ABC的面积．6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F．（1）求证：BC＝BE；（2）连接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证：四边形ABCD是正方形．7．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）△EFD≌△GFB．（2）试判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（3）当△ABC满足条件 时，四边形EBGD是正方形（不用说明理由）．8．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．10．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．11．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．13．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得∠CDE＝15°，连接BE．延长BE到F，连接CF，使得CF＝BC．（1）求证：DE＝BE；（2）求证：EF＝CE+DE．14．定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD＝180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝63°，求∠BPC的度数．（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF．（1）证明：AF＝CE；（2）若∠B＝30°，AC＝2，连接BF，求BF的长．答案1．解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD＝AB，同理：ED＝AB，∴CD＝ED；（2）∵CD＝ED，F是CE中点，∴DF⊥CE，∵CD＝AB，AB＝10，∴CD＝5，∵F是CE中点，CE＝8，∴CF＝4，∴DF＝＝3．2．证明：在▱ABCD中，∵OA＝OC，OB＝OD，∵E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，∴CE＝AF，∴BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）当t＝2或t＝10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；理由：由矩形的性质知OE＝OF、OA＝OC，要使∠EAF是直角，只需OE＝OF＝OA＝AC＝4cm．则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴2∠2+2∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°即∠EAF＝90°．此时BE＝DF＝（BD﹣EF）＝（12﹣8）＝2cm或BE＝DF＝12﹣2＝10cm3．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．4．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠DCF＝90°，∵∠BAE＝∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE＝CF，∴BC＝EF，∵BC＝AD，∴EF＝AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）由（1）知：EF＝AD＝5，在△EFD中，∵DF＝3，DE＝4，EF＝5，∴DE2+DF2＝EF2，∴∠EDF＝90°，∴•ED•DF＝EF•CD，∴CD＝．5．证明：（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC．即∠ADB＝90°．∴四边形ADBE为矩形．（2）∵在矩形ADCE中，AO＝2.5，∴DE＝AB＝5．∵D是BC的中点，∴AE＝DB＝4∴AB＝2AO＝5，∵∠ADB＝90°，∴AD＝，∴△ABC的面积＝．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AD＝EB，∴BC＝BE；（2）由（1）知：四边形AEBD是平行四边形，∴AF＝BF＝AB，EF＝FD，∵AD＝2AF，∴AB＝AD，∵AD∥EC，∴∠ADF＝∠BCF，∴∠FEC＝∠BCF，∴EF＝FC＝FD，∴∠FDC＝∠FCD，∴∠ADF+∠FDC＝∠FCD+∠BCF，即∠ADC＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形．7．解：（1）：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，（2）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形．（3）当△ABC是直角三角形，即∠ABC＝90°时，四边形EBGD是正方形，根据有一个角是直角的菱形是正方形可以得出．故∠ABC＝90°．8．证明：（1）∵CF平分∠ACD，且MN∥BD∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO∴OF＝OC同理可证：OC＝OE∴OE＝OF（2）由（1）知：OF＝OC＝OE∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC∴∠OCF+∠OCE＝∠OFC+∠OEC而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC＝180°∴∠ECF＝∠OCF+∠OCE＝90°∴∴（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形理由如下：∵当点O移动到AC中点时∴OA＝OC且OE＝OF∴四边形AECF为平行四边形又∵∠ECF＝90°∴四边形AECF为矩形9．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AE∥CF∵AE＝CF∴四边形AECF是平行四边形∵AC平分∠ECF∴∠ACF＝∠ACE∵AE∥CF∴∠ACF＝∠EAC∴∠EAC＝∠ACE∴AE＝CE∴四边形AECF是菱形（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x∴AF＝FC＝8﹣x在Rt△ABF中AB2+BF2＝AF2∴（8﹣x）2＝x2+42解得：x＝3∴FC＝8﹣3＝5∴S菱形AECF＝FC•AB＝5×4＝2010．（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．∵AB＝1，DG＝2，∴由勾股定理得BD＝，DF＝2．∵B、D、F共线，∴BF＝3．∵H是BF的中点，∴BH＝BF＝（2）证法一：如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∴AB∥EF．∴∠ABH＝∠MFH．又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，∴△ABH≌△MFH．∵AB＝AD，∴AD＝MF．∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，∴△ADG≌△MFG．∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．又∵∠DGM+∠MGF＝90°，∴∠AGD+∠DGM＝90°．∴△AGM为等腰直角三角形．∵AH＝MH，∴AH＝GH，AH⊥GH．证法二：如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM＝BD，DN＝DF．∴∠AMD＝∠GNH＝90°，MN＝BF．∵H是BF的中点，∴BH＝BF．∴BH＝MN．∴BM＝HN．∵AM＝BM＝DM，∴AM＝HN＝DM．∴MD+DH＝NH+DH．∴MH＝DN．∵DN＝GN，∴MH＝GN．∴△AMH≌△HNG．∴AH＝GH，∠AHM＝∠HGN．∵∠HGN+∠GHN＝90°，∴∠AHM+∠GHN＝90°．∴∠AHG＝90°．∴AH⊥GH．∴AH＝GH，AH⊥GH．11．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°．∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠BCD＝∠DCE＝90°．又∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′．∵CE＝CG，∴CG＝AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB＝CD．∴AB﹣AE′＝CD﹣CG．即BE′＝DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．12．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2．在Rt△ACE中，AE＝＝2．13．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．∵在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE．（2）在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．∴∠CBE＝∠CDE，∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．∵∠CDE＝15°，∴∠CBE＝15°，∴∠CEG＝60°．∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝45°，∴∠ECD＝∠GCF．∵在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE＝GF．∵EF＝EG+GF，∴EF＝CE+ED．14．解：（1）∵如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝63°，∴∠BPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣63°＝117°，即∠BPC＝117°；（2）如图2，连接AP、CP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP．在△ADP与△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠APD＝∠CPD．又∠APB+∠APD＝180°，∴∠APB+∠CPD＝180°，即点P为菱形ABCD的一个“互补点”．15．解：（1）∵D，E分别是BC，AB上的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，AC＝2DE，又∵DF＝2DE，∴EF＝AC，∴四边形ACEF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2∴BC＝2，DE＝1，∠EDB＝90°，∵D为BC中点，∴BD＝，又∵EF＝2DE，∴EF＝2，∴DF＝3，在△BDF中，由勾股定理得．。
人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
2020-2021学年八年级数学人教版下册第十八章《平行四边形》单元练习题(含答案)
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元练习题（含答案）一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，6AD =，16BC =，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．若以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 运动的时间为（ ）A ．1B ．72C ．2或72D ．1或722．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90˚，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AD 的中点，若AB=8，则EF 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．233．如图，在Rt ABC ∆中， 90BAC =︒∠，45ACB ∠=︒，22AB =，点P 为BC 上任意一点，连结PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连结PQ ，则PQ 的最小值为（ ）A ．2B 2C ．2D ．44．如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中, 5AC =,3OA =,把矩形OABC 沿直线DE 对折使点C 落在点A 处,直线DE 与,,OC AC AB 的交点分别为,,D F E ,点M 在y 轴上,点N 在坐标平面内,若四边形MFDN 是菱形,则菱形MFDN 的面积是（ ）A ．258B ．134C ．278D ．1545．若一个正方形的边长为4，则它的面积是() A ．8 B ．12 C ．16D ．20 6．如图，在四边形ABCD 中,点O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A ．AC=BD ，AB∥CB，AD∥BCB ．AD∥BC，∠BAD =∠BCDC ．AO=CO ，BO=DO ，AB=BCD ．AO=BO=CO=DO ，AC⊥BD7．如果点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，那么四边形EFGH 是（ ）．A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不是8．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 中点，连接OE ，若菱形ABCD 的周长为83，则线段OE 的长为（ ）A ．43B ．23C 3D 39．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）．A．0个B．1个C．3个D．4个10．已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=( )A．3 B．4 C．5 D．611．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半D．正方形的两条对角线相等且互相垂直平分12．已知菱形较大的角是较小角的3倍，并且高为4cm，则这个菱形的面积是（）A．82cm²B．162cm²C．3233cm²D．32cm²二、填空题13．如图，在矩形ABCD中有一个正六边形EFGHIJ，其顶点均在矩形的边上，边EJ和边GH分别在矩形的边AD和BC上，则ABAD＝_____．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是_____．（写出一种即可）15．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD = 2 AB ；CF 平分∠BCD 交AD 于F ，作CE ⊥AB ，垂足E 在边AB 上，连接EF ．则下列结论：①F 是AD 的中点；②S△EBC= 2S△CEF；③EF =CF ；④∠DFE = 3∠AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上）16．如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（）17．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE的延长线于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是________．(填序号)18．如图，在□ABCD中，已知∠， cm， cm，那么_____cm，______cm.19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边CD 的中点，AD 、BE 的延长线相交于点F ，3DF =，2DE =，则平行四边形ABCD 的周长为__________．20．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A 落在A /处，BC 为折痕，然后再把BE 折过去，使之与BA 重合，折痕为BD ，若∠ABC=58°，则求∠E′BD 的度数是____________ ．三、解答题21．在平行四边形ABCD 中，AB 6cm =，BC acm =，P 是AC 上的一个动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），速度为每秒1cm ，Q 是CB 延长线上一点，与点P 以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（不与B 重合），连结PQ 交AB 于E ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，BC AB =，求点P 运动几秒后，BQE 30∠=︒.（2）在（1）的条件下，作PF AB ⊥于F ，在运动过程中，线段EF 长度是否发生变化，如果不变，求出EF 的长；如果变化，请说明理由.（3）如图3，当BC AB 时，平行四边形的面积是224cm ，那么在运动中是否存在某一时刻，点P ，Q 关于点E 成中心对称，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．22．已知BD 是△ABC 的角平分线，ED ⊥BC ，∠BAC=90°，∠C=30°．（1）求证：CE=BE ；（2）若AD=3，求△ABC 的面积．23．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、点O 分别为BC 、AC 的中点，AE//BC ．（1）如图1，求证：四边形ADCE 是矩形；（2）如图2，若点 F 是 CE 上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形 ABDF 面积相等的三角形和四边形．24．已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，E为梯形内一点，且EA=ED，求证：EB=E C．25．如图，正方形ABCD的边长为26，点E是AB边的中点，点F是AD边上一动点(不⊥于H，与直线CD交于G．含端点)，EG BF()1求证：EG BF=．()2若,C,==试写出y与x之间的函数关系式．AF x G y()3求DH的最小值．26．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG=DE；（2）若E为AD中点，求证：四边形ABGE是平行四边形．27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长．28．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是_________，证明你的结论；（2）当四边形 ABCD的对角线满足_________条件时，四边形 EFGH是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ________（3）当四边形 ABCD的对角线满足_________条件时，四边形 EFGH是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？ _________．29．如图，边长为a的正方形ABCD中，E、F是边AD,AB上两点（与端点不重合），且AE=BF.连接CE,DF相交于点M,（1）当E为边AD的中点时，则DF的长为（用含a的式子表示）（2）求证：∠MCB+∠MFB=180°.（3）点M能成为DF的中点吗？如果能，求出此时CM的长（用含a的式子表示）；如果不能，说明理由.参考答案1．D2．B3．A4．C5．C6．D7．B8．C9．B10．A11．C12．B31314．AC=BD或AD⊥CD(答案不唯一)15．①③④.16．3．4．17．①②③④18． 1219．1420．32°21．（1）2秒；（2）EF的长度不会发生变化，且其长度为3；（3）存在，a=5. 22．（1）证明：∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=30°，∴∠C=∠DBC，∴DC=DB，∵DE⊥BC，∴EC=BE．（2）解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，22BD AD-3，∴DB=DC=6，∴AC=9，∴△ABC的面积=12×933⨯=32．23．（1）证明：∵点D、点O别是BC、AC的中点，∴OD∥AB，∴DE∥AB，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∵点D是BC的中点，∴AE平行且等于DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴四边形ADCE 是矩形；（2）解：∵四边形ADCE 是矩形，∴AD ∥CE ，∴S △ADC =S △ADF =S △AED ，∴四边形ABDF 面积=S △ABC =S 四边形ABDE =S 矩形ADCE ．24．证明：∵EA ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ．∵等腰梯形ABCD ，∴∠BAD ＝∠CDA ，AB ＝DC,∴∠BAE ＝∠CDE,在△ABE 和△DCE 中EA ED BAE CDE AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE ．∴EB ＝EC ．25． ()1证明：如图1，作GK AB ⊥于K ．ABCD 是正方形，BCGK ∴是矩形90AB BC A ABC ∠∠︒＝,＝＝．901290KG BC AB EKG ∴∠︒∠+∠︒＝＝,＝,＝．EG BF ⊥1390∴∠+∠︒＝32∴∠∠＝()KGE ABF AAS ∴≌．EG BF ∴＝()2解：如图1，由()1KE AF x BK CG y ＝＝,＝＝ 6x y BE ∴+＝＝∴当06x ≤＜时，y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝如图2，作GP AB ⊥于P同理，BCGP 是矩形，PGE ABF ≌．PE AF x BP CG y ∴＝＝,＝＝6x y BE ∴－＝＝∴626x <<y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝()3解：如图1，取BE 的中点O ，连接.OH OD ,则DH OD OH ≥-．EG CF ⊥，12OH BE OE ∴==． 6BE AE ＝＝6OH OE ∴＝＝ 362OA ∴＝ 26AD AB ＝＝222925646644OD OA AD ∴+⨯+⨯=⨯＝＝OD ∴DH ∴≥=DH ∴的最小值为26．证明：（1）∵四边形EFGH 是矩形∴,//EH FG EH FG =∴GFH EHF ∠=∠∵180,180BFG GFH DHE EHF ∠=︒-∠∠=︒-∠∴BFG DHE ∠=∠又∵四边形ABCD 是菱形∴GBF EDH ∠=∠∴()BGF DEH AAS ∆≅∆∴BG DE =（2）连接EG∵四边形ABCD 是菱形∴,//AD BC AD BC =又∵E 为AD 中点，∴AE ED BG ==∴,//AE BG AE BG =∴四边形ABGE 是平行四边形27．（1）证明：∵∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC ＝OA ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ， ∴AC ＝BD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠CBE＝3∠ABE，∴∠ABE＝14×90°＝22.5°，∵BE⊥AO，∠BAE=90°-∠ABE=67.5°，在EB上取一点H，使得EH＝AE，∴∠HAE=∠AHE=45°，∴∠BAH=∠BAE-∠HAE=22.5°，∴∠BAH=∠ABE=22.5°，∴AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝22AE EB+=2x，∵BE＝2，∴x+2x＝2，∴x＝222-．28．（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：连结BD，如图所示：∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，同理FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：连结AC、BD，如图所示：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；菱形的中点四边形是矩形．理由如下：连结AC、BD，如图所示：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=12BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥H G，∴平行四边形EFGH是矩形；（3）添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12 BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连结AC、BD，如图所示：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH=12BD，FG=12BD，EF=12AC，GH=12AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形．29． (1)∵E为边AD的中点，∴F也为边AB边的中点，∴AF=12AB=12a，在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2，∴DF2a=；(2)∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=AD，又∵AE=BF，∴AF=DE，∵∠CDE=∠A=90°，∴△ADF≌△DCE，∴∠ADF=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠ADF+∠DEC=90°，∴∠DME=90°，∴∠MCB+∠MFB=180°；(3)假设点M成为DF的中点，∵∠DME=90°，∴DF⊥CE，∵M成为DF的中点，∴CM是DF的垂直平分线，∴DC=CF，∵DC=BC≠CF，∴点M不能成为DF的中点.。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)含辅助线证明 专项训练(含答案)
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形含辅助线证明训练一1.如图，□ABCD中，AC⊥AB，点E在线段AC上，AE=AB，BE的延长线交边AD于点F，AG⊥BC，且AG=AF，AG交BF于点O．（1）若AD=13，AC=12，求BE的长；（2）若点O恰好是线段AG的中点，连接GE，求证：AF=GE．2.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠DAC的平分线AE交CD于点E，过点D作DM⊥AE于F，交AC于点M，共过点A作AN⊥AE交CB延长线于点N．(1)若AD=3，求△CAN的面积；(2)求证：AN=DM+2EF．3.如图1，已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.图1 图2（1）如图1，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO,求证：AG-BG=2GO4.如图，平行四边形ABCD中，BF⊥DC交DC于点F，且BF=AB，E点是BC边上一点，连接AE交BF于G；（1）若AE平分∠DAB，∠C=60∘，BE=3，求BG的长；（2）若AD=BG+FC，求证：AE平分∠DAB．5.如图，在□ABCD中，AD上有一点E，连接BE,AH⊥BC于H,AH、BE交于点G,连接CG并延长交AB于F,且GC=CD,∠GCD=90∘.(1) 若GC＝6，∠BAG＝30∘，求四边形AGCD的面积；(2) 求证：DE=2BG．6.如图，▱ABCD中，点E为BC边上一点，过点E作EF⊥AB于F，已知∠D=2∠AEF．（1）若∠BAE=70°，求∠BEA的度数；（2）连接AC，过点E作EG⊥AC于G，延长EG交AD于点H，若∠ACB=45°，求AC．证：AH=AF+227.如图，▱ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点H，G为DH的中点．（1）如图①，若M为AD的中点，AB⊥AC，AC=9，CF=8，CG=25，求GM；（2）如图②，M为线段AB上一点，连接MF，满足∠MCD=∠BCG，∠MFB=∠BAC．求证：MC=2CG．8.如图，在▱ABCD中，连结BD，点E在BD上，且DE=DC，连结CE并延长它与AD交于点F，过点C作CG⊥BD垂足为G，交AD于点H．（1）若DG=3，CG=23，求△CDE的面积；（2）若∠DFC=45°，求证：EF+2FH=CF．9.如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．10.如图，▱ABCD中，E为平行四边形内部一点，连接AE，BE，CE．（1）如图1，AE⊥BC交BC于点F，已知∠EBC=45°，∠BAF=∠ECF，AB=5，EF=1，求AD的长；（2）如图2，AE⊥CD交CD于点F，AE=CF且∠BEC=90°，G为AB上一点，作GP⊥BE 且GP=CE，并以BG为斜边作等腰Rt△BGH，连接EP、EH．求证：EP=2EH．11.如图1，在等腰△ABO中，AB=AO，分别延长AO、BO至点C、点D，使得CO=AO、BO=BO，连接AD、BC．（1）如图1，求证：AD=BC；（2）如图2，分别取边AD、CO、BO的中点E、F、H，猜想△EFH的形状，并说明理由．12.已知，如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，（1）如图1，若AC=AD过点A作AE⊥BC于点E，若AE=3,BC=5，求AB边的长；（2）如图2，过点A作BD的垂线，垂足为F，且AF=BF，过点B作BC的垂线，两条垂线相交于点G，若∠BAG=∠BFC，连接DG.求证：GF=4FO13.已知，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F，AB=BD.（1）如图1，若点E与点C重合，且AF=25，求AD的长；（2）如图2，若点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H，连接FH.求证：AF=DH+FH;（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G,M为AG的中点，点N在BC边上且BN=1，已知AB=42，请直接写出MN的最小值。