高二数学-朝阳区2018-2019学年第二学期期末
安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2018〜2019第二学期期末考试高二数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考必考内容。
第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2)(3)1i i i++=+（ ）A. 5B. 5iC. 6D. 6i【答案】A 【解析】 【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】由题()()()2351 5.11i i i ii+++==++故选A【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2.已知集合{}2|45,{2}A x x x B x =-<=，则下列判断正确的是（ ）A. 1.2A -∈B. BC. B A ⊆D. {|54}A B x x =-<<U【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与集合B ，再判别集合A 与B 的关系，得出结果. 【详解】{}{}15,04A x x B x x =-<<=≤<Q ， .B A ∴⊆【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.3.某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10n的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =（ ） A. 990 B. 1320C. 1430D. 1560【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为611和511，于是得出样本中男生与女生人数之差为65111110n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，于此可求出n 的值． 【详解】依题意可得6512111110n⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，解得1320n =，故选：B ． 【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题．4.设向量a v 与向量b v 垂直，且(2,)a k =v，(6,4)b =v，则下列向量与向量a b +v v共线的是（ ） A. (1,8) B. (16,2)--C. (1,8)-D. (16,2)-【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量a b ⊥r r计算出k 的值，然后写出a b +r r 的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.【详解】因为向量a r 与向量b r垂直，所以2640k ⨯+=，解得3k =-，所以()8,1a b +=r r ，则向量()16,2--与向量a b +r r共线， 故选：B.【点睛】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当()()1122,,,a x y b x y ==r r ，若a b ⊥r r，则12120x x y y +=，若a b r rP ，则12210x y x y -=.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A. ()5,∞-+ B. [)5,∞-+ C. (),5∞-- D. (],5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解.【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-.故选B.【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.7.设x，y满足约束条件2020210yxx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩，，，…„…则z x y=+的最大值与最小值的比值为（）A. 2- B.32- C.1- D.52-【答案】A【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y=+，观察直线在x轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出z最大值和最小值，于此可得出答案．【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.由图可知，当直线z x y=+经过点()25A，时.z取得最大值；当直线z x y=+经过点3,22B⎛⎫--⎪⎝⎭时，z取得最小值.故maxmin7272zz==--，故选A．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．8.已知函数()3cos(2)2f x xπ=+，若对于任意的x∈R，都有12()()()f x f x f x剟成立，则12x x-的最小值为（）A. 4B. 1C.12D. 2【答案】D【解析】【分析】由题意得出()f x的一个最大值为()2f x，一个最小值为()1f x，于此得出12x x-的最小值为函数()y f x=的半个周期，于此得出答案．【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题． 9.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A. 10 B. 20 C. 20或-10 D. -20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求．【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用 10.设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A. 2 B.3316C.5527D.6532【答案】D【解析】 【分析】先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出EX 的最小值，并求出相应的p ，最后利用数学期望公式得出EY 的值．【详解】∵()()222211721322248EX p p p pp p p ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当14p =时，EX 取得最大值.此时32652232EY p p =-++=，故选D ． 【点睛】本题考查数学期望的计算，考查二次函数的最值，解题的关键就是数学期望公式的应用，考查计算能力，属于中等题．11.若实轴长为2的双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足2i iPB PA =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（ ）A. )+∞B. (C. )+∞D. ( 【答案】C 【解析】 【分析】设点(),P x y ，由2PB PA =结合两点间的距离公式得出点P 的轨迹方程，将问题转化为双曲线C 与点P 的轨迹有4个公共点，并将双曲线C 的方程与动点P 的轨迹方程联立，由>0∆得出b 的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得1a =，设(),P x y ，则由2PB PA =，=2251639x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭. 由222221516,39x y b x y ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩，得221101203x x b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 依题意可知210018109b ⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭，解得2187b >，则双曲线C 的虚轴长27b >=. 12.已知函数3()2f x x ax a =++.过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若||||MA MB =，则()f x 的极大值点为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】设切点的横坐标为t ，利用切点与点M 连线的斜率等于曲线C 在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t 的方程，得出t 的值，再由MA MB =得出两切线的斜率之和为零，于此得出a 的值，再利用导数求出函数()y f x =的极大值点．【详解】设切点坐标()3,2t t at a ++，∵26y x a '=+，∴32261t at at a t +++=+，即32460t t +=，解得0t =或32t =-.∵MA MB =，∴3020x x y y ==-''+=，即232602a ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，则274a =-，()22764f x x -'=.当4x <-或4x >时，()0f x '>；当44x -<<时，()0f x '<.故()f x 的极大值点为4-.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.71()7x x -的展开式的第3项为______. 【答案】337x【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rr rC xx -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r =可得出答案． 【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题． 14.已知tan()1αβ+=，tan()5αβ-=，则tan 2β=______. 【答案】23- 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式()()tan 2tan βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦展开，代入相应值可计算出tan 2β的值．【详解】()()()()()()tan tan 152tan2tan 1tan tan 1153αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯. 【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，解题时，首先应利用已知角去配凑所求角，然后在利用两角差的公式展开进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．15.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为35，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为______． 【答案】2212516y x +=【解析】 【分析】设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由面积公式以及离心率公式，求出a ，b ，即可得到答案．【详解】设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，椭圆C 的面积为20S ab ππ==，则20ab = ,又35e ==，解得225a =，216b =.则C 的方程为2212516y x +=【点睛】本题考查椭圆及其标准方程，注意运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题．16.已知高为H 的正三棱锥P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P AB C --的正切值为4，则HR=______. 【答案】85【解析】 【分析】取线段AB 的中点D ，点P 在平面ABC 的射影点M ，利用二面角的定义得出PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，于此得出4PMDM=，并在Rt OMC ∆中，由勾股定理2OM +22CM OC =，经过计算可得出R 与H 的比值．【详解】取线段AB 的中点D ，设P 在底面ABC 的射影为M ，则H PM =，连接CD ，PD （图略）. 设4PM k =，易证PD AB ⊥，CD AB ⊥，则PDC ∠为二面角P AB C --的平面角， 从而4tan 4PM kPDC DM DM∠===，则DM k =，2CM k =. 在Rt OMC ∆中，222OM CM OC +=，即()()22242k R k R -+=，解得52k R =，故85H R =. 故答案为85． 【点睛】本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n a n =-，且22n n n S T n +=+.(1)求数列11{}n n a a +的前n 项和n R ； (2)求{}n b 的通项公式.【答案】（1）21nn +（2）12,12, 2.n n n b n -=⎧=⎨⎩，…【解析】 【分析】 （1）先将11n n a a +表示为1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，然后利用裂项求和法可求出n R ；（2）先求出数列{}n a 的前n 项和2n S n =，于是得出2nn T =，然后利用作差法11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩可求出数列{}n b 的通项公式．【详解】（1）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n n R n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； （2）因为()21212n n n S n +-==，所以222n nn n T n S =+-=.当1n =时.112b T ==；当2n …时，112n n n n b T T --=-=. 故12,12, 2.n n n b n -=⎧=⎨⎩，…【点睛】本题考查裂项法求和以及作差法求数列通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率；(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立. (i )若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率； (ii )若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X ，求X 的方差.【答案】（1）81100（2）(i )27320 (ii )3 【解析】 【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；（2）(i )记事件:A 恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件A 的概率；(ii )由题意得出3~16,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用二项分布的方差公式可得出DX 的值． 【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为6，评价为五星的人数是75， 故评价在四星以上(包括四星)的人数为67581+=，故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为0.81（或81100）； （2）(i )记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件A ，则()21357527100100320P A C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭； (ii )由题可知3~16,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故33161344DX ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题第（1）考查频率计算，第（2）文考查独立重复试验的概率以及二项分布方差的计算，解题前要弄清事件的基本类型以及随机变量所服从的分布列类型，再利用相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．19.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin cos sin cos cos b A C a C B A += . （1）求tan A 的值；（2）若1b =，2c =，AD BC ⊥，D 为垂足，求AD 的长. 【答案】（1）tan A =2）1AD = 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求a ，再利用三角形面积公式求AD.【详解】（1）因为sin cos sin cos cos b A C a C B A ==， 所以sin sin cos sin sin cos cos B A C A C B A A +=因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B A +=,即()sin B C A +=.因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，所以sin A A =.则tan A =（2）因为tan A =sin A =1cos 2A =.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+- ，即a =由11sin 22bc A a AD =⋅，得111222AD ⨯⨯=. 所以1AD =.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 20.已知()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点．（1）若1,2A a ⎛⎫⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫⎪⎝⎭是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）由B 在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得FA ，FB ，FC 的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x ，根据韦达定理求解出k ，从而可得PQ 中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ 垂直平分线所在直线方程，代入0y =求得结果. 【详解】（1）()1,2B Q 是抛物线()2:20M y px p =>上一点42p ∴= 2p ⇒=24y x ∴=根据题意可得：13122FA =+=，112FB =+=，58133FC =+= 2382423=⨯=QFA ∴，FB ，FC 依次成等比数列（2）由234y kx y x=-⎧⎨=⎩，消x 可得24120ky y --= 124y y k∴+=，1212y y k =-12124y y y y ++=-Q 4124k k ∴-=- 2k ⇒=设PQ 的中点()00,x y()0121212y y y k ∴=+==，()001322x y =+= ∴线段PQ 的垂直平分线的斜率为12-故其直线方程为()1122y x -=--当0y =时，4x =【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若22PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）210【解析】 【分析】（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证；（2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n v 和PD u u u v，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin n PDn PDθ⋅=u u uv v u u u v v ，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=. 由432AF a =，得23AF a =.又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知2,23a a BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v . 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =v，由n BF ⊥u u u v v ，n OF u u u v v ⊥，得20232023a ax y z a a y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z =，得()0,4,3n =v .又0,,2a P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,2a PD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v . 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin 10n PDn PDθ⋅===u u uv v u u u v v .所以PD 与平面BDF所成角的正弦值为10.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22.已知函数()()()xf x x a e a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，()()ln F x f x x x =-+，记函数()y F x =在(1,14)上的最大值为m ，证明：43m -<<-. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）对()F x 求导，得()()11xF x x e x ⎛⎫=--⎝'⎪⎭，因为114x <<，所以10x -<，令()1xg x e x=-，求导得()g x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∃ 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，进而得()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减；所以()()00max 0212m F x F x x x ===--，令()212G x x x=-- ，求导得()G x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，进而求得m 的范围.【详解】（1）因为()()x f x x a e =-，所以()()1xf x x a e =-+'，当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞.（2）当2a =时，()()2ln xF x x e x x =--+，则()()()11111xx F x x e x e x x ⎛⎫=--+=-- ⎝'⎪⎭， 当114x <<时，10x -<，令()1x g x e x=-， 则()210xg x e x =+>'，所以()g x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为121202g e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110g e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即001x e x =，即00ln x x =-. 故当01,4x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x <，此时()0F x '>； 当()0,1x x ∈时，()0g x >，此时()0F x '<.即()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.则()()()00000max 2ln xm F x F x x e x x ===--+ ()00000012212x x x x x x =-⨯--=--. 令()212G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x-=-=>'. 所以()G x 在1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递增，所以()142G x G ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，()()13G x G <=-. 故43m -<<-成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.。
2018-2019学年江苏省南通市启东市高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省南通市启东市高二下学期期末数学试题一、填空题1．已知集合{}|14A x x =剟，{}1,0,3B =-，则A B =I _______. 【答案】{}3【解析】集合A ，B 是数集，集合的交集运算求出公共部分. 【详解】{}|14A x x Q =剟，{}1,0,3B =-， ∴ {}3A B ⋂=故答案为：{}3 【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______. 【答案】x ∀∈R ，212x x +≥【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．3．函数()f x =_______. 【答案】[2,)+∞【解析】被开方式大于或等于0，得390x -≥求解【详解】由题知：390x -≥ ，233x ≥， 2x ∴≥ 定义域为[2,)+∞ . 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查函数的定义域.常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4) 0y x ＝ 的定义域是{|0}x x ≠．(5)(0x y a a >＝且1)a ≠，y sinx y cosx ＝，＝的定义域均为R .(6)(0a y log x a >＝且1)a ≠的定义域为(0)+∞，． 4．有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____. 【答案】35【解析】从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率. 【详解】从5条线段中任取3条,共有3510C =种情况,其中,能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6种情况； 即能构成三角形的概率是63=105, 故答案为：35【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.5．“2x x >”是“1x >”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个） 【答案】必要不充分【解析】解出2x x >的解集，根据对应的集合之间的包含关系进行判断. 【详解】2x x >Q ，∴ 1x > 或0x < (1,)Q +? n (,0)(1,)-∞⋃+∞“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查充分、必要条件 充分、必要条件的三种判断方法: (1)定义法：根据p q qp 揶，进行判断．(2)集合法：根据p q ，成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．6．已知幂函数y x α=的图象经过点(4,4，则实数α的值是_______. 【答案】34-【解析】由幂函数的定义，把(4,4代入可求解. 【详解】Q 点在幂函数y x α=的图象上，∴ 4a =，32222a-=， 332,24a a \=-=- 故答案为： 34-【点睛】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质: (1)幂函数在(0)+∞，上都有定义；(2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当0α>时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0)+∞，上单调递增；(4)当0α<时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0)+∞，上单调递减； (5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 7．若函数()()()lg 1lg 1f x x ax =+++是偶函数，则实数a 的值为______. 【答案】1-【解析】根据偶函数的定义，先得到()()f x f x =-，化简整理，得到()220a x +=，即可求出结果. 【详解】因为函数()()()lg 1lg 1f x x ax =+++是偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()()lg 1lg 1lg 1lg 1x ax x ax +++=-+-， 即()()()()1111x ax x ax ++=--，整理得()220a x +=，所以1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记偶函数的概念即可，属于基础题型.8．已知()21f =，()22f '=，设()()()1f xg x f x =+，则()2g '=_______.【答案】12【解析】对()()()1f xg x f x =+求导，代值计算可得.【详解】()()()1f xg x f x Q =+，2()[()1]()()()[()1]f x f x f x f x g x f x ⅱ+\-¢=+ 又()21f =，()22f '=2(2)[(2)1](2)(2)21(2)==[(2)1]42f f f fg f ⅱ-¢+\+=故答案为： 12【点睛】本题考查导数运算.导数运算法则(1)()()()()[]f x g x f x g x 雹⒈?＝；(2)[]()?()()()()()f x g x f x g x f x g x ⅱ?＝＋； (3)2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ⅱ-¢= (()0g x ≠) 9．已知函数()22xx f x -=-，则关于x 的不等式()()lg 10f x f +>的解集是_______.【答案】1(0)10，【解析】求出()22xx f x -=-是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形(lg )(1)(1)f x f f >-=-再利用单调性解不等式可得解.【详解】()22x x f x Q -=-，()22()x x f x f x -∴-=-=-()22x x f x -∴=-是奇函数，又2x y -=是R 上的减函数，2x y =是R 上的增函数，由函数单调性质得()22xx f x -=-是R 上的减函数.()()lg 10f x f +>,则()()lg 1f x f >-，由奇函数得(1)(1)f f -=-()()lg 1f x f ∴>-且()22x x f x -=-是R 上的减函数.lg 1x <- ，110x \<，又0x > 不等式()()lg 10f x f +>的解集是1(0)10\， 故答案为：1(0)10， 【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解指对数方程或不等式.有关指对数方程或不等式的求解思路：利用指对数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．10．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.【答案】32()232f x x x =-+【解析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''= 联立求解可得.【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x \=-+故答案为：32()232f x x x =-+ 【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式. 11．已知函数()af x x x=+（0a >），若对任意1>0x ，总存在[)22,x ∈+∞满足()()12f x f x =，则正数a 的最小值是_______.【答案】4【解析】对任意1>0x ，总存在[)22,x ∈+∞满足()()12f x f x =，只需函数1()f x 的值域为函数2()f x 的值域的子集. 【详解】函数()af x x x=+（0a >）是对勾函数， 对任意1>0x ，1()f x 在=ax x时，即x a =1()f x \值域为[2,)a +∞当[)22,x ∈+∞时，若2x a =?，即4a ≥时2()f x 在]a 上是单减函数，在)+∞上是单增函数，此时2()f x值域为)+∞由题得，函数1()f x 的值域为函数2()f x 的值域的子集.显然成立4a ∴≥当[)22,x ∈+∞时，若2x <，即04a <<时2()f x 是单增函数，此时2()f x 值域为[2,)2a++? 由题得，函数1()f x 的值域为函数2()f x 的值域的子集.22a\?，解得=4a 综上正数a 的最小值是4 故答案为：4 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.12．已知不等式3232x xx xN M -<<+对任意x ∈R 恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，则M N -的最小值是________. 【答案】2【解析】设32()32x xx xf x -=+，其中x ∈R ，求出()f x 的取值范围，即可得出M N -的最小值． 【详解】设32()32x xx xf x -=+，其中x ∈R ； 21()23()1221()1()33xx x f x -∴==-++；Q 2()03x >，21()13x ∴+>，20221()3x ∴<<+，211121()3x ∴-<-<+， 即1()1f x -<<；令1M =，1N =-，则M N -的最小值是1(1)2--=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查不等式恒成立应用问题，可转化为求函数的最值，结合单调性是解题的关键．13．已知函数11,0,()2ln(),0,x x f x x x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】1[2，1)【解析】由题意可得()f x a =有4个不等实根，作出()y f x =的图象，通过图象即可得到所求范围． 【详解】函数()()g x f x a =-有4个不同的零点， 即为()f x a =有4个不等实根， 作出()y f x =的图象，可得112a <…时，()y f x =与y a =的图象有4个交点，故答案为：1[2，1)．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力，求解时注意准确画出函数的图象是关键.14．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，函数()x y e f x =的单调减区间为[,1]m -，则m =________. 【答案】2-【解析】由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得24344b a -=，由单调递减区间为[m ，1]-，结合函数的单调性与导数的关系可求． 【详解】由2()(,)f x x ax b a b =++∈R 的值域为3[4，)+∞，可得24344b a -=，243b a ∴-=，223()()4xxa y e f x e x ax +==++Q ，2243[(2)]4xa a y e x a x ++∴'=+++，由单调递减区间为[m ，1]-，可知1x =-及x m =是2243[(2)]04xa a e x a x +++++=的根，且1m <-，把1x =-代入可得，2314a +=，解可得，1a =或1a =-，当1a =时，可得2m =-，当1a =-时，代入可得0m =不符合题意， 故2m =-， 故答案为：2-． 【点睛】本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、解答题15．已知集合{|22}A x a x a =-+剟，{}2|41270B x x x =+-„. （1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7{|2R B x x =<-ð或1}2x >；（2）112a …【解析】（1）先解B 中不等式，得出x 取值范围，再利用数轴得到B 的补集；（2）由必要条件得出B 是A 的子集，再通过子集的概念，得出a 的取值范围． 【详解】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-剟?， 7{|2R B x x ∴=<-ð或1}2x >．（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，∴722122a a ⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩„…，解得：112a …， 即a 的取值范围是112a …． 【点睛】本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系.16．已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率.（1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且a b ¹；（2）实数,a b 满足条件11,1 1.a b -⎧⎨-⎩剟剟【答案】（1）16；（2）14【解析】（1）分别求出从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数所构成的直线条数及满足图象经过第二、三、四象限的直线条数，由古典概型概率公式求解； （2）由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案． 【详解】（1）从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数，所构成直线()f x ax b =+的条数为2412A =条，满足图象经过第二、三、四象限的直线有21y x =--与2y x =--两条，∴所求概率21126P ==；（2）满足约束条件1111a b -⎧⎨-⎩剟剟的区域的面积为224⨯=， 若函数()f x ax b =+的图象经过第二、三、四象限，则1010a b -<⎧⎨-<⎩„„，所占区域面积为111⨯=．∴所求概率为14P =．【点睛】本题考查古典概型与几何概型的概率计算，考查数形结合思想和数据处理能力．17．命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =-++有极值.若命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B . （1）求集合A ，B ；（2）若命题“P 且Q ”为假命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-；（2）{|3m m -„或0}m …【解析】（1）通过函数的零点，求解m 的范围；利用函数的极值求出m 的范围，即可． （2）利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可． 【详解】（1）命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；可得：(0)20(1)71320(2)2822620f m f m m f m m =-->⎧⎪=----<⎨⎪=---->⎩，解得(4,0)m ∈-命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =-++有极值，2()2(4)1g x x m x '=-++由2个不相等的实数根，所以24(4)40m +->，可得5m <-或3m >-．命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B ． 所以集合{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-； （2）命题“P 且Q ”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题，当“P 且Q ”为真命题时，实数m 的取值范围为集合{|30}M m m =-<<，∴“P 且Q ”为假命题时，实数m 的取值范围为R C M ={|3m m -„或0}m …．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力． 18．现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场ABCD ，AB CD ∥，AD BC =，已知AB ､BC 两段是由长为50m 的铁丝网折成，AD ､DC 两段是由长为90m 的铁丝网折成.设上底AB 的长为m x ，所围成的梯形面积为2m S .（1）求S 关于x 的函数解析式，并求x 的取值范围； （2）当x 为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?【答案】（1）()2201002100S x x x =+⋅-+，()0,30x ∈，（2）当x 为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为26003m .【解析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含x 的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积S ； （2）利用导数最值求出最大值 【详解】解：（1）由题意，50BC AD x ==-，()905040CD x x =--=+， 过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，则()40202x x DE +-==，梯形的高AE ==()()114022S AB CD AE x x ∴=+⋅=++⎡⎤⎣⎦()20x =+由2050010021000x x x x >⎧⎪->⎨⎪-+>⎩，解得030x <<.综上，()20S x =+，()0,30x ∈ （2）设()()()22201002100f x x xx =+-+，()0,30x ∈，()()()()4201055f x x x x '=+--令()0f x '=，得10x =（20x =-，55x =舍去）()0,10x ∴∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()10,30x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴当10x =时，()f x的最大值是1080000，此时max S =∴当x为10m 时，养鸡场的面积最大，最大为2. 【点睛】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 19．已知函数()(1)x f x a a =>，()(2)2()8g x f x f x =+-. （1）解关于x 的不等式()0<g x ；（2）若函数()g x 在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为5，求实数a 的值；（3）若(3)()f x x f x -剟对任意[1,4]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）log 2a x <；（2）a =（3）(1a ∈，4] 【解析】（1）令x t a =由()0<g x 得4)(2)0t t +-<进而求解；（2）由（1）知()g t 在2[1,]a 上单调递增，进而求解；（3）根据指数函数的图象特征，将不等式恒成立转化为函数图象的交点问题． 【详解】（1）2()(2)2()828(4)(2)x x x xg x f x f x a a a a =+-=+-=+-令x t a =，(0)t >则(4)(2)0t t +-<，解得02t <<，即02x a <<log 2a x ∴<（2）由（1）知22()28(1)9g t t t t =+-=+-，2[1,]t a ∈，()g t ∴在2[1,]a 上单调递增，()()5max min g t g t -=Q ，222()2855a a ∴+-+=，解得a =（舍)。
2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(带答案)
2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。
2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合2230{|}M x x x =--<，{|ln(1)}N y y x ==-，则M N ⋂为（ ）A ．(1,3)- B ．(3,1)- C ．(1,1)- D ．∅【答案】A【解析】利用集合的交集运算进行求解即可 【详解】由题可知集合M 中()1,3x ∈-，集合N 中求的是值域y 的取值范围，y R ∈所以M N ⋂的取值范围为(1,3)- 答案选A 【点睛】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x 还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A3．函数()2ln f x x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】因为ln y x =和2y x =在()0,+?均为增函数，所以()f x 在()0,+?单调递增，所以函数至多一个零点，再给()f x 赋值，根据()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭可得函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 【详解】因为ln y x =与2y x =均在()0,+?上为增函数，所以函数()2ln f x x x =+至多一个零点 又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1ln1110f =+=>，()110ff e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点 答案选B 【点睛】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数4．若0.22.1a =，0.40.6b =；lg 0.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b c a >> D.b a c >>【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别确定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【详解】因为0.202.1 2.11a =>=，0.4000.60.61b <=<=，lg 0.6lg10c =<=， 所以a b c >>. 故选A 【点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.5．设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】 若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．已知函数log (8)a y ax =-（其中 0,1a a >≠）在区间[]1,4上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】D【解析】根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解 【详解】0a >，8y ax ∴=-为减函数，若log (8)a y ax =-底数()0,1a ∈，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去若log (8)a y ax =-底数()1,a ∈+∞，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，log (8)a y ax =-的定义域满足80ax ->，8x a<，因l o g (8)a y a x=-在区间[]1,4上单调递减，故有842a a>⇒<，所以()1,2a ∈ 答案选D 【点睛】复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解7．已知函数()2()ln f x a x x =+-的定义域是()1,2-，则6⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．192-B ．192C ．230-D ．230【答案】A【解析】函数()2()ln f x a x x=+-的定义域是()1,2-可知，-1和2是方程20a x x +-=的两根，代入可求得a 值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可【详解】因为()2()ln f x a x x=+-的定义域()1,2x ∈-，所以-1和2是方程20a x x+-=的两根，将-1代入方程20a x x +-=可得2a =，则二项式定理为6⎛⎝根据二项式定理的通项公式61122162rrr r T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，62,122r r r --=∴=， 2x 的系数161162(1)192C --=-答案选A 【点睛】本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强8．湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ） A ．12B ．18C ．14D ．16【答案】C【解析】基本事件总数122412n C C ==，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数133m C ==，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．【详解】湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数122412n C C ==， 在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数133m C ==， ∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为31124m p n ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．下列说法中，正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a =A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大 ②对kx y ce =同取对数，再进行化简，可进行判断③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值 【详解】对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确; 对于②,kx y ce =,∴两边取对数,可得()ln ln ln ln ln kx kxy ce c e c kx ==+=+,令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==, 4c e ∴=.即②正确;对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中,2,1b x ==,3y =,则1a =.故 ③正确因此，本题正确答案是:①②③ 答案选D 【点睛】二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值10．下列说法正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若1x >-，则21x >”的否命题是真命题C ．命题“函数()ln 2xy =的值域是R ”的逆否命题是真命题D ．命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++≤无解”【答案】C【解析】采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假 【详解】A. 若p q ∨为真命题，则,p q 中有一个为真命题即可满足，但推不出p q ∧为真命题，A 错B. 命题“若1x >-，则21x >”的否命题是：“若1x ≤-，则21x ≤”，当2x =-时，不满足，B 错C. 原命题与逆否命题真假性相同，2x 的取值大于零，所以()ln 2xy =值域为R ，C 为真命题D. 命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++>无解”，D 错答案选C 【点睛】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m <B ．311m <C．m <D ．103m <<【答案】B【解析】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦可判断函数为减函数，将2()(2)0f mt t f m -+>变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，再将函数转化成恒成立问题即可 【详解】()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴为R 上减函数，故2()(2)0f mt t f m -+>可变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，即2()(2)f mt t f m ->-，根据函数在R 上为减函数可得22mt t m -<-，整理后得2212t m t t t+<=+，2y t t=+在t ∈为减函数，t ∈为增函数，所以112y t t =+在t ∈为增函数，t ∈为减函数 2212t m t t t +<=+在[1,3]t ∈恒成立，即1min m y <，当3t =时，1y 有最小值311所以311m < 答案选B 【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“f ”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题12．已知函数32()682f x x x x =-+-的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线2y =-的对称点落在直线2y kx =-上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞B ．(1,8)(8,)-⋃+∞C ．(,1)-∞D ．(,8)(8,1)-∞-⋃-【答案】D【解析】可先求2y kx =-关于2y =-的对称直线，联立对称直线和32()682f x x x x =-+-可得关于x 的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可 【详解】设直线2y kx =-关于2y =-的对称函数为()g x ，则()2g x kx =--，因为()g x 与()f x 有三个不同交点，联立()32()6822f x x x x g x kx ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩，可得3268x x k x x -+-=，当0x =时显然为一解，当0x ≠时，有268k x x =-+-，0,8x k ≠∴≠-画出268y x x =-+-的图像，可知满足y k =与268y x x =-+-有两交点需满足1k <综上所述，实数k 的取值范围是(,8)(8,1)-∞-⋃- 答案选D 【点睛】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点二、填空题13．已知函数22log (31),02()3,24x x x f x x -+≤<⎧=⎨≤≤⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦__________.【答案】1【解析】先求内层函数(1)f 的值，解得函数值为2，再将2代入求值即可 【详解】当1x =时，满足02x ≤<对应的表达式，先求内层函数2(1)log (31)2f =+=， 当2x =时，满足24x ≤≤对应的表达式，再求()2f ，()22213f -==所以[(1)]1f f = 【点睛】分段函数求值问题需注意先求解内层函数，再依次求解外层函数，每一个括号内对应的值都必须在定义域对应的区间内进行求值 14．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当12x ≤<时，()99x f x =-，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________【答案】18【解析】由()()1f x f x +=-可判断函数周期为2，所以12f ⎛⎫-=⎪⎝⎭32f ⎛⎫⎪⎝⎭，将32x =代入()99xf x =-即可求值 【详解】 由()()1f x f x +=-，可得()()()212f x f x f x T +=-+=⇒=12f ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭()3322239939182f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭18 【点睛】若函数满足()()f x a f x +=-，则函数周期为2T a =，对于给出x 的取值不在给定区间的，必须要根据周期性转化为在对应区间的x 值，再代入表达式进行求解15．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数1～9的方法如图:例如：163可表示为“”，27可表示为“”.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为_________.【答案】16【解析】根据算筹计数法，需要对不能被10整除的两位数进行分类讨论。
河北安平中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题
河北安平中学2018-2019学年高二下学期期末考试试题选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在等差数列{}n a 中，64=a ，1053a a a =+，则公差=d （）.A 1-.B 0.C 1.D 22.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（）A.7B.14C.21D.263.若011<<ba ，则下列结论不正确的是 A. 22b a < B. 2b ab < C.2>+baa b D. b a b a -=- 4.某实验幼儿园对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，若某儿童的记忆能力为12，则估计他的识图能力为( ) A ．9.2 B ．9.5 C ．9.8 D ．105.已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x>－1)，当a x =时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．86.供电部门对某社区1 000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量(单位：度)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是( )A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1 000位居民中任选1位协助收费，选到的居民的用电量在[30,40)内的概率为1107.在ABC ∆中，222a b c bc =+-，则角A 为（）8.甲乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为 ( )A.13B.14C.15D.169.同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π对称；③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是增函数”的一个函数可以是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=342sin πx y B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322cos πx y D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 10.已知数列{}{}n n b a ,满足,111==b a 211==-++nn n n b b a a ，则数列{}n a b 的前10项和为 ( ) A.()14349- B.()143410- C. ()14319- D.()143110- 11.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（） A.函数()f x 的周期为2πB.函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.函数()f x 图象关于直线12x π=对称D.函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A B C C sin cos sin 2sin =+,.A 030.B 0150.C 0120.D 06031cos ,6,2,0==⎪⎭⎫⎝⎛∈B a C π，则=b （）A. 2B.35 C. 512D. 4 二、填空题(共4个小题，每题5分，共20分）13．某单位普通职工和行政人员共280人，为了了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本，已知从普通职工抽取人数为49人，则该单位行政人员的人数为.14．已知向量()1,2-=a 与()2,x b =互相垂直，则=x ． 15. 中，1cos ,4,24A AB AC ===，则边上中线的长为． 16.已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是．三、解答题（共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17.(本小题满分10分）已知函数()x x x x f cos sin 3sin 2+=(1)求()x f 的最小正周期；(2)求()x f 的最大值，并说明取最大值时对应的x 的值18.(本小题满分12分）已知函数()xxx f -+=22(1)解不等式f (x )>52；(2)若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值．19.(本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()3a b =，m 与()cos sin AB =，n 平行. （1）求A ； （2）若7a =，2b =，求ABC △的面积.ABC ∆BC AD20（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22nn S n +=,*∈N n（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()n n a n a b n 12-+=*∈N n ,，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.21. （本小题满分12分）在ABC ∆中，已知ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，BC BA 2= (1）求BDC ∆与BDA ∆的面积之比； (2）若,3,120==∠BC ABC求AD 和DC .22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和满足()()212+-=n n n a a S ，且()*∈>N n a n 0(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2)若()()*∈-=N n na n b nn n 123,求数列{}n b 的前n 项和参考答案一、选择题（每题5分，共12小题，共60分） 1-12、C B D B C C D A B D D C 三、填空题(共4个小题，每题5分，共20分） 13、3514、1 15、616、334 四、解答题（共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤） 17.(本小题满分10分）解 (1)f(x)＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝2162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π． (2) 由(1)知f(x)＝2162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ． 当262ππ=-x 时，即3π=x 时，()x f 取得最大值23 18.(本小题满分12分）解 (1)设2x ＝t >0，则2－x ＝1t ，∴t ＋1t >52，即2t 2－5t ＋2>0， 解得t <12或t >2，即2x <12或2x >2，∴x <－1或x >1.∴f (x )>52的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)f (x )＝2x ＋2－x ，令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)．又f (2x )＝22x ＋2－2x＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4t≥2t ·4t＝4(当且仅当t ＝2，即x ＝0时等号成立)．∴m ≤m in4⎪⎭⎫⎝⎛+t t ＝4，即m 的最大值为4. 19.(本小题满分12分）(1)因为//m n ，所以sin 3cos 0a B b A -=① 由正弦定理得，sin sin bB A a=② 将式②代入式①，又sin 0B ≠，得到tan 3A =，由于0πA <<，所以π3A =. (2)解法一：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，而7a =，2b =，π3A =，得2742c c =+-，即2230c c --=.因为0c >，所以3c =， 故ABC △的面积为133sin 22bc A =. 解法二：由正弦定理，得72πsin sin 3B =，从而21sin 7B =. 又由a b >知A B >，所以27cos 7B =. 故()πππ321sin sin sin sin cos cos sin 33314C A B B B B ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭， 所以ABC △面积为133sin 22ab C =. 20（本小题满分12分）解：（1）当1=n 时，;111==S a当2≥n 时，()()n n n n n S S a n n n =-+--+=-=-2112221综上n a n =（2）由（1）知()n b n n n 12-+=()()n T n n 243212222212+-+-+-++++==()n n+--212122 =2212-++n n21（本小题满分12分）解：（1）设BDC ∆与BDA ∆的面积分别为21,S S ,则CBD BD BC S ∠⋅=sin 211 ABD BD BA S ∠⋅=sin 212 因为BD 平分ABC ∠,所以CBD ABD ∠=∠ 又因为BC BA 2=,所以122S S =,2121=∴S S （2）在ABC ∆中，由余弦定理得，120cos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC=6321632936=⨯⨯⨯++ ∴73=AC由（1）得221==S S DC AD 72,7==∴AD DC22.（本小题满分12分）解：（1）当1=n 时，()()11112212a a a S =+-=，,01>a 21=∴a 当2≥n 时，()()()()()212122111+--+-=-=---n n n n n n n a a a a S S a()()0111=--+∴--n n n n a a a a ，1,01=-∴>-n n n a a a{}n a ∴是以21=a 为首项，1=d 为公差的等差数列，()*∈+=∴N n n a n 1 （2）由（1）得1+=n a n ，()()nn n n n b nn n n 31311231-+=+-=∴+ n n n b b b b T ++++=∴-121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n n n n n n n n 313133233332311232 =3131-++n n。
北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试(理科)试题(解析版)
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。
2018-2019学年湖南省怀化市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省怀化市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题 1．与复数52i -相等的复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+C ．2i --D ．2i -【答案】C【解析】根据复数运算，化简复数，即可求得结果. 【详解】因为52i -()()()52222i i i i --==---+--. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算，属基础题. 2．设集合，，则等于（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由，所以，故选D ．【考点】集合的运算． 3．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件，【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.4．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A B ．5C ．D【答案】B【解析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B. 【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.5．已知等比数列{}n a 中,33a =，则15a a 等于（ ） A ．9 B ．5C ．6D ．无法确定【答案】A【解析】根据等比中项定义，即可求得15a a 的值。
2018-2019学年四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(理科)(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A. 随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上都是2.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A. 18B. 24C. 30D. 364.设i为虚数单位，则（x-i）6的展开式中含x4的项为（）A. -15x4B. 15x4C. -20ix4D. 20ix45.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A. B. C. D.6.曲线f（x）=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1，则P点的坐标为（）A. （1，3）B. （-1，3）C. （1，3）和（-1，3）D. （1，-3）7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的x的值为（）A.B.C.D.8.p设η=2ξ+3，则E（η）的值为（）A. 4B.C.D. 19.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A. B. C. D.10.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜011.若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A. （-∞，]B. （-∞，3]C. [，+∞）D. [3，+∞）12.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为______．14.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为______．16.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数==，=-19.已知函数，．（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．20.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，且平面D'AE⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AD'⊥EB；（Ⅱ）求二面角A-BD'-E的大小．21.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．22.已知函数f（x）=（ax-1）e x（x＞0，a∈R）（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1时，f（x）＞kx-2恒成立，求整数k的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：C．学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．2.【答案】D【解析】解：因为复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A（6，5），B（-2，3）．且C为线段AB的中点，所以C（2，4）．则点C对应的复数是2+4i．故选：D．写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求．本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，有C42C31=18种选法；②，选出的3人为1男2女，有C41C32=12种选法；则男女生都有的选法有18+12=30种；故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，②，选出的3人为1男2女，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：（x-i）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（-i）r，令6-r=4，求得r=2，故展开式中含x4的项为•（-i）2•x4=-15x4，故选：A．在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选B．6.【答案】C【解析】解：设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，f（x）=x3-x+3的导数为f′（x）=3x2-1，在点P处的切线斜率为3m2-1，由切线平行于直线y=2x-1，可得3m2-1=2，解得m=±1，即有P（1，3）或（-1，3），故选：C．设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，求得m的值，即可得到所求P的坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．【解答】解：第一次输入x=x，i=1第二次输入x=2x-1，i=2，第三次输入x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3，第四次输入x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4＞3，第五次输入x=2（8x-7）-1=16x-15，i=5＞4，输出16x-15=0，解得：x=，故选：C．8.【答案】B【解析】解：由题意可知E（ξ）=-1×+0×+1×=-．∵η=2ξ+3，所以E（η）=E（2ξ+3）=2E（ξ）+3=+3=．故选：B．求出ξ的期望，然后利用η=2ξ+3，求解E（η）即可．本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出η的分布列，再由分布列求出期望．9.【答案】B【解析】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为1-=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．故选：B．函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．故选：B．通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．11.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-tx2+3x，∴f′（x）=3x2-2tx+3，若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，∴t≥（x+）在[1，4]上恒成立，令y=（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，当x=4时，函数取最大值，∴t≥，即实数t的取值范围是[，+∞），由题意可得f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．先求导函数，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，13.【答案】【解析】解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率P==；故答案为：．根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P=，化简即可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及随机抽样的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵（1+2i）z=4+3i，∴z=，则|z|=||=．故答案为：．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．15.【答案】【解析】解：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D 1-EDF=V F -D1ED后体积易求．本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．16.【答案】[，+∞）【解析】解：根据题意，函数y=ax2（a＞0）与函数y=e x在（0，+∞）上有公共点，令ax2=e x得：，设则，由f'（x）=0得：x=2，当x＞2时，f'（x）＞0，函数在区间（2，+∞）上是增函数，所以当x=2时，函数在（0，+∞）上有最小值，所以．故答案为：．由题意可得，ax2=e x有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．17.【答案】解：（1）：f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2），由题因为f（x）为偶函数，∴2（1-a）=0，即a=1．（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）有两个不相等的实数根，∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，∴，∴a的取值范围为（）∪（）．【解析】（1）求出导函数，利用函数的奇偶性求出a即可．（2）求出函数的导数，利用曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，通过△＞0求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）根据题意，由表中的数据可得：=100+=100，=100+=100，则有，从而，故物理成绩更稳定；（2）由于x与y之间具有线性相关关系，则==0.5，则=100-0.5×100=50，则线性回归方程为=0.5x+50，当y=115时，x=130；建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．【解析】（1）根据题意，由数据计算数学、物理的平均数、方差，进而分析可得答案；（2）根据题意，求出线性回归方程，据此分析可得答案．本题考查线性回归方程的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题．19.【答案】解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（-∞，0） 0（0，）（，1）f′（x）- 0+ 0-f（x）极小值极大值∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=．（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[，1）上单调递减，在[0，]上单调递增．∵，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f（x）=a ln x．当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．【解析】（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）∵，AB=4，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则AD=D'E=2⇒MD'⊥AE，∵平面D'AE⊥平面ABCE，∴MD'⊥平面ABCE，∴MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，∴AD'⊥EB；解：（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（4，2，0）、C（0，0，0）、B（0，2，0）、，E（2，0，0），从而=（4，0，0），，．设为平面ABD'的法向量，则，取z=1，得设为平面BD'E的法向量，则，取x=1，得因此，，有，即平面ABD'⊥平面BD'E，故二面角A-BD'-E的大小为90°．【解析】（Ⅰ）推导出AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，由此能证明AD'⊥EB；（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD'-E的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3=0.729．P（B）=1-P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．【解析】（Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出这50路段为中度拥堵的个数．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3．P（B）=1-P（）=0.271，可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率．（III）利用频率分布直方图即可得出分布列，进而得出数学期望．本题考查了频率分布直方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f′（x）=[ax-（1-a）]e x（x＞0，a∈R），当a≥1时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增；当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．（2）依题意得（x-1）e x＞kx-2对于x＞0恒成立，方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），则g′（x）=xe x-k（x≥0），当k≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，且g（0）=1＞0，符合题意；当k＞0时，易知x≥0时，g′（x）单调递增．则存在x0＞0，使得，且g（x）在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，∴，，由得，0＜k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．另一方面，k=1时，，g′（1）=e-1＞0∴x0∈（，1），∈（1，2），∴k=1时成立．方法二：恒成立，令，则，令t（x）=（x2-x+1）e x-2（x＞0），则t′（x）=x（x+1）e x＞0，∴t（x）在（0，+∞）上递增，又t（1）＞0，，∴存在x0∈（，1），使得，且h（x）在在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，又x0∈（，1），∴∈（1，），∴h（x0）∈（，2），∴k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道综合题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），通过讨论k的范围，求出g（x）的最小值，从而确定k的最大值；方法二：分离参数k，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出k的最大值即可．。
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数学 第 1 页（共 11 页）北京市朝阳区2018-2019学年度第二学期期末质量检测高二年级数学试卷 2019.7（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{}(1)0A x x x =+≤，{}1B x x =<-，则AB =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x >-（C ）{}0x x ≤（D ）∅（2）已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（A ）11x y>（B ）11()()22x y< （C ）1122x y < （D ）sin sin x y >（3）如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）二项式61(2)x x-展开式中的常数项为（A ）960- （B ）160- （C ）160（D ）960（5）已知π(,π)2α∈,π1tan()47α+=,则sin cos αα+= （A ） 17-（B ） 25- （C ）51- （D ）15（6）将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为数学 第 2 页（共 11 页）（A ）sin(2)4y x π=+ （B ）sin()24x y π=+（C ）cos2xy = （D ）cos2y x = （7）构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD BD 2=，则△DEF 与△ABC 的面积之比为 （A ）12 （B ）13 （C ）15 （D ）17（8）某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有 （A ）30种（B ）60种 （C ）120种（D ）180种（9）函数e e ()x xf x x-+=的图象大致为（第7题图）数学 第 3 页（共 11 页）（10）已知函数()()sin 21f x k x x k =++∈R ，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.（11 ）23228log 6log 3+-=__________．（12）函数1()1(0)f x x x x=-->的值域为_______． （13）若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级A 的概率均为35，且三门课程的成绩是否取得等级A 互不影响．则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A 的概率为_______．（14）在△ABC 中，b B a B A b 3cos sin sin 2=+，则=ba_______． （15）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律．将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3）．设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H(单位: m)，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω（单位: rad/s），盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位:s)．已知r=3m，h=2m，筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈, 点P0距离水面的高度为3.5m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过s就可到达最高点；若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，则此函数表达式为．图1 图2 图3（16）已知函数2,0,()1,0,x k xf xx x-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩其中0≥k．①若2=k,则)(xf的最小值为；②关于x的函数))((xffy=有两个不同零点,则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分14分）已知函数2()sin cosf x x x x=+．（Ⅰ）求()f x的最小正周期；（Ⅱ）若()f x在[0,]m上单调递增，求m的最大值．（第15题图）数学第4 页（共11 页）（18）（本小题满分14分）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从20092018年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据.（互联网普及率=（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率=（手机网民人数/人口总数）×100%）（Ⅰ）从20092018这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X为手机网民普及率超过50%的年数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若记20092018年中国网民人数的方差为21s，手机网民人数的方差为22s，试判断21s s的大小关系.（只需写出结论）与22数学第5 页（共11 页）数学 第 6 页（共 11 页）（19）（本小题满分14分）设函数321()(1)41()3f x ax a x x a =-+++∈R ． （Ⅰ）当3a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．（20）（本小题满分14分）已知函数2()e (e)(0)≤x f x a x ax a =+--． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：当0<a 时，函数()f x 在区间(0,1)内存在唯一零点．（21）（本小题满分14分）设集合*123{,,,}n M x x x =⋅⋅⋅⊆N ()n ∈*N ，如果存在M 的子集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅同时满足如下三个条件：①M A B C =；②A ，B ，C 两两交集为空集；③(1,2,3,)i i i a b c i n +==，则称集合M 具有性质Ω.（Ⅰ） 已知集合}6,5,4,3,2,1{},9,7,6,5,2,1{==F E ，请判断集合F E ,是否具有性质Ω，并说明理由；（Ⅱ）设集合{1,2,,3}()m M m m =⋅⋅⋅∈*N ，求证：具有性质Ω的集合m M 有无穷多个.北京市朝阳区2018-2019学年度第二学期期末质量检测 高二年级数学参考答案 2019.7数学 第 7 页（共 11 页）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1） C （2）B （3）A （4）B （5）C （6） D（7）D（8）B（9）C （10）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （11）5 （12）(,1]-∞- （13）54125（14（15）203；()3sin()2(0)206≥H t t t ππ=++ （16）1-；[0,1) 三、解答题（共5小题，共70分） （17）（共14分）解：（Ⅰ）因为2()sin cos f x x x x =+11cos2sin 222xx +=+1sin 2222x x =++sin(2)3x π=+． 所以()f x 的最小正周期为22T π==π． ………………… 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sin(2)3f x x π=++．由 πππ2π22π232≤≤k x k -++()k ∈Z ，5ππ2π22π66≤≤k x k -+()k ∈Z ，得 5ππππ1212≤≤k x k -+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]1212k k -+ ()k ∈Z ． 要使得函数()f x 在[0,]m 上单调递增，只需5ππ[0,][,]1212m ⊆-． 所以(0,]12m π∈，m 的最大值为π12． ………………… 14分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A ：“从20092018这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民数学 第 8 页（共 11 页）总人数比值超过80%”.由题意可知63()105P A ==. ………………… 5分 （Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有20132018共六年，其中手机网民普及率超过50% 的年份有2016,2017,2018这3年.所以X 的取值为012,,.所以232631(0)155C P X C ====， 1133263(1)5C C P X C ===， 23261(2)5C P X C ===. 随机变量X 的分布列为0121555EX =⨯+⨯+⨯=. ………………… 12分（Ⅲ）2212s s <. ………………… 14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当3a =时，32()441f x x x x =-++，所以2()384f x x x '=-+．所以(1)2f =，(1)1f '=-．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=． ………… 4分 （Ⅱ）因为321()(1)413f x ax a x x =-+++， 所以2()2(1)4(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--．（1） 当0a =时，因为()2(2)f x x '=--，由()0f x '>得2x <， 由()0f x '<得2x >，数学 第 9 页（共 11 页）所以()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减．（2）当0a ≠时，令()0f x '=，得12x =，22x a=． ① 当0a <时，由()0f x '>得22x a <<； 由()0f x '<得2x a <或2x >．所以()f x 在区间2(,2)a 内单调递增，在区间2(,)a-∞和(2,)+∞内单调递减．② 当01a <<时，由()0f x '>得2x <或2x a >；由()0f x '<得22x a<<．所以()f x 在区间(,2)-∞和2(,)a +∞内单调递增，在区间2(2,)a内单调递减．③ 当1a =时， 因为2()(2)0≥f x x '=-，所以()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增． ④ 当1a >时，由()0f x '>得2x a<或2x >； 由()0f x '<得22x a<<． 所以()f x 在区间(2,)a -∞和(2,)+∞内单调递增，在区间2(,2)a内单调递减．综上可知，当0a =时，()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减； 当0a <时，()f x 在区间2(,2)a 内单调递增，在区间2(,)a -∞和(2,)+∞内单调递减；当01a <<时，()f x 在区间(,2)-∞和2(,)a +∞内单调递增，在区间2(2,)a 内单调递减；当1a =时，()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增；当1a >时，()f x 在区间(2,)a -∞和(2,)+∞内单调递增，在区间2(,2)a 内单调递减．… 14分（20）（共14分） 解：（Ⅰ）当0a =时， ()e e x f x x =-，()e e x f x '=-数学 第 10 页（共 11 页）当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(,1)-∞上单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．故当1x =时，min ()(1)0f x f ==．………… 4分（Ⅱ） 由2()e (e)x f x a x ax =+--可知，(0)1f =，(1)0f =． 当0a <时，()e e (12)x f x a x '=-+-．设()()g x f x '=，则()e 20xg x a '=->．所以()g x 在区间(0,1)内单调递增，即()f x '在区间(0,1)内单调递增． 又(0)1e 0f a '=-+<，(1)0f a '=->． 故存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=．当0(,1)x x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在区间0(,1)x 内单调递增，此时0)1()(=<f x f ． 当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ， 所以()f x 区间),0(0x 上单调递减． 又因为0)(,01)0(0<>=x f f ，故函数()f x 在区间),0(0x 内有唯一零点．所以函数()f x 在区间(0,1)内存在唯一零点． …………… 14分 （21）（共14分）（Ⅰ）解： {1,2,5,6,7,9}E =具有性质Ω，如可取{1,2}A =,{5,7}B =,{6,9}C =；{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω；理由如下：对于F 中的元素6，651=+或者642=+，数学 第 11 页（共 11 页） 如果651=+，那么剩下3个元素4,3,2,不满足条件；如果642=+，那么剩下3个元素5,3,1,也不满足条件．因此，集合{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω. ………… 6分 （Ⅱ）证明：对4{1,2,3,,11,12}M =，有{2,1,3,5},{4,9,8,7},{6,10,11,12}A B C ===符合条件，即集合4M 具有性质Ω，故存在m ，集合m M 具有性质Ω； 假设符合条件的m M 只有有限个，设其中元素个数最多的为0m M .对于0m M ，由题设可知，存在012{,,,}m A a a a =，012{,,,}m B b b b =，012{,,,}m C c c c =满足条件. 构造如下集合{}011202,2,,2,1,3,,61m A a a a m =-，{}01120002,2,,2,9,91,,61m B b b b m m m =-+，{}01120002,2,,2,91,92,,12m C c c c m m m =++， 由于}3,,3,2,1{},,,,,,,,,,,{021*******m c c c b b b a a a m m m =，所以}6,,6,4,2{}2,,2,2,2,,2,2,2,,2,2{021*******m c c c b b b a a a m m m =． 易验证1A ，1B ，1C 对集合040{1,2,,12}m M m =⋅⋅⋅满足条件，而004m m >， 也就是说存在比0m M 的元素个数更多的集合04m M 具有性质Ω，与假设矛盾．因此具有性质Ω的集合m M 有无穷多个. ………………… 14分。