导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计王学江一、【教材分析】1. 本节内容：《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.2. 导数在高中数学中的地位与作用：“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.二、【学情分析】1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．三、【目标分析】1. 教学目标（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．2. 教学重、难点【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际 重点：导数的定义和用定义求导数的方法．难点：对导数概念的理解．【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量x ∆的函数xx x f x F ∆∆∆)()(0+=当0→x ∆时极限是否存在以及极限是什么的问题.四、【教学法分析】1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．2. 教学手段：多媒体辅助教学【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．五、【教学过程分析】【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.（一）教学环节（一）、引言在前面，我们学习了函数的极限，利用极限讨论了函数的一种性质，叫连续，即：0lim 0x y ∆→∆=，今天我们来研究函数的另外一种性质。

下面我们通过两个实际的问题引出这种性质的概念描述。

（二）、问题的实际背景首先是一个物理问题，自由落体运动（让粉笔落下）。

1、自由落体运动的瞬时速度英国物理学家牛顿在研究质点运动时，发现导数问题。

设想有一钢球做自由落体运动，自由落体运动的高度和时间容易测量，他发现距离和时间的关系是：212s gt =。

这不是一个匀速运动，速度每时每刻都在变化着。

那么钢球在时刻0t 的瞬时速度如何来求？牛顿的办法如下：用短时间段t ∆内的平均速度近似瞬时速度。

他考虑0t 时刻之后经过一个极短的瞬间t ∆到达t 时刻，即0t t t =+∆，在这一瞬间钢球所走的路程为：00()()s s t t s t ∆=+∆-。

这样，在这一时间段内的平均速度应该是：000()()12s t t s t s gt g t t t +∆-∆==+∆∆∆ t ∆越小，平均速度就越接近于瞬时速度，当0t ∆→时，平均速度的极限就是瞬时速度。

000000()()()lim lim t t s t t s t s v t gt t t∆→∆→+∆-∆===∆∆这里讨论的是一个物理问题，它体现的是平均变化率接近瞬时变化率的思想。

下面来看一个几何上的问题。

2、几何曲线的切线斜率问题德国数学家莱布尼茨在研究曲线切线的斜率的时候也碰到了类似的问题。

给定一曲线()f x ，求过),(00y x M 点的切线的斜率k 。

什么是切线呢？和闭曲线只有一个交点的直线称为切线（见下图2和图3），这种定义对于圆和椭圆等曲线是可行的，但对于一般的曲线就不行了。

因此要有更为普遍可行的切线定义。

什么是切线，如何来定义切线呢？莱布尼茨是这么来考虑的：考虑曲线上的一个动点),(y x N ，其中)(x f y =，x x x∆+=0。

MN 为曲线的一割线，当N 沿着曲线向M 无限接近的时候，割线的极限位置为MT ，称MT 为切线。

根据定斜式知道确定一点处的切线就是确定斜率。

当M N 沿曲线→时，则有：割线→切线，从而有MN MT k k →，其中MN k 为割线的斜率，MT k 为切线的斜率。

割线斜率MN k 为：00()()tan MN f x x f x y k x xα+∆-∆===∆∆ 所以切线斜率MT k ：00000()()lim limlimMT MN x x x f x x f x yk k x x∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 这里体现的也是函数平均变化率逼近某点处的变化率问题。

从上述两个例题中，我们发现：虽然它们是两个不同范畴的实际问题，但它们的数学形式是一样的：00000()()()lim lim t t s t t s t sv t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆ 0000()()lim lim MTx x f x x f x yk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆ 都是对某点处函数增量与自变量增量之比取极限。

类似的问题还很多，如电流强度，经济学中的边际等等…，所以对两个增量之比取极限，这个东西并不是突然从天上掉下来的，硬要说是天上掉下来的，也是天上掉下个“林妹妹”。

这个“林妹妹”就是“定义1” （板书）。

（三）、导数的定义1、定义 定义1：设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆时，相应的函数y取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

若极限000()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ （1） 存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导（这就是我们今天要讲的函数的另一性质：可导性），并称该极限为函数在点0x 处的导数（言下之意 ，导数就是按增量之比取极限这一规则导出的数）。

记为：,x x y =' 或者000()x x x x dy df f x dxdx=='，，。

若上述极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导，或者说函数在点0x 处导数不存在。

（板书）这些记号都是导数的符号，随便用哪一个都行。

它们就像“林妹妹”的衣服，“传统服”、“休闲服”、“便装”、“泳装”。

不过，无论穿了什么衣服，都还是这个“林妹妹”。

导数的表示还不止这一些。

有人觉得x ∆不好看，我们就用一个符号h 来表示。

即令h x =∆，定义式（1）也可简单的写成如下的形式：0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'= （2）又有人认为0+x h 不够漂亮，不妨用一个x 来表示，即0x x h =+，由于0x 是固定的，那么0h →等价于0x x →，上述定义式（2）就可等价的写成下面的形式：000()()()lim x xf x f x f x x x →-'=- （3）这么多表示方法，这么多记号，说明一个问题：导数的概念很重要。

导数的符号是采用莱布尼茨的。

莱布尼茨是一位数学界的符号大师，很多符号都是采用他的，他发表微积分论文的时间要早于牛顿，但牛顿最先发现微积分，就把手稿放在家里，莱布尼茨的论文发表之后，有人认为莱布尼茨剽窃了牛顿的科研成果，莱布尼茨觉得自己很冤，“他是先有导数后有积分，我是先有积分后有导数，他在英国，我在德国。

我可没偷他的九阴真经，我可不是梅超风”。

后来人们公认的是，他们两个从不同的角度独立发明了微积分。

他们都是微积分的奠基人。

闲话少说，下面我们考虑如何求函数在一点处的导数。

2、点导数例题例1、求函数yC =在点0x x =处的导数。

解：第一步求增量：00()()0y f x x f x C C ∆=+∆-=-=第二步求比值：0y x∆=∆第三步取极限：0|lim00x x x C =∆→'==所以，函数y C =在点0x x =处的导数恒为0。

说明，对于常数函数而言，他在0x 点处的变化率为0。

是不是一个函数在其定义区间内，每一点处都可导呢？下面我们就来考虑例2。

图8 1646年～1716年莱布尼兹创设的微积分符号对微积分的发展有极大的影响。

图7 1643年～1727年牛顿在数学上最卓越的成就是独立地创建了微积分。

例2、讨论函数||y x =在0x =处是否可导？ 解：根据导数定义及求导数的步骤，易判断函数在0x =处的可导性。

第一步求增量：||y x ∆=∆第二步算比值：||y x x x ∆∆=∆∆ 第三步取极限：00||lim lim x x y x x x∆→∆→∆∆=∆∆ 要将绝对值符号去掉，必须讨论x ∆的符号问题：00||lim lim 1x x x x x x --∆→∆→∆-∆==-∆∆，00||lim lim 1x x x x x x++∆→∆→∆∆==∆∆其左极限为1-，而右极限为1，左、右极限不相等。

则0limx yx∆→∆∆不存在，可见函数()f x 在点0x =处的导数不存在，也就说明：一个函数在它的定义区间内并不是每一点处都可导的。

在例2中，从直观上看：该函数的图形在0x =处切线不存在，即曲线在该点处不光滑。

一般来说函数在某点可导（即切线存在），其图形必须在该点光滑。