《导数的概念》(第1课时)教案1

导数的概念（第1课时）
一、教学目标：
1．了解曲线的切线的概念．
2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．
3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．
二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．
教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．
三、教学用具：多媒体
四、教学过程：
1．曲线的切线
如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ∆+∆+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线．
问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim
tan 0000x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ．
解：x x x f x f x f x x f y ∆+∆=+-+∆+=-∆+=-∆+=∆2)11(1)1()1()1()()(2200
222+∆=∆∆+∆=∆∆x x
x x x y ∴2)2(lim lim 0
0=+∆=∆∆=→∆→∆x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度
我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述．
下面以自由落体运动为例进行分析． 已知22
1gt s =． （1）计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．
（2）求3=t 秒时的瞬时速度．
解：（1）[]t t ∆=-=∆,1.031.3,1.3,3指时间改变量．
s g g s s s ∆=⋅-⋅=
-=∆.3059.03211.321)3()1.3(22指位置改变量． .059.31
.03059.0==∆∆=t s v 其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度
t s ∆∆随t ∆变化而变化，t ∆越小，t
s ∆∆越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是0→∆t 时，t
s ∆∆的极限． t
g t g t s t s t s v t t t ∆⋅-∆+⋅=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆22000321)3(2
1lim )3()3(lim lim 4.293)6(lim 210
==∆+=→∆g t g t （米/秒） 问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当0→∆t 时，平均速度t s ∆∆的极限） 教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻0t 的瞬时速度的方法如下： 非匀速直线运动的规律)(t s s =
时间改变量t ∆，位置改变量)()(00t s t t s s -+=∆ 平均速度t s v ∆∆=，瞬时速度t
s v t ∆∆=→∆0lim ． 一般地，如果物体的运动规律是)(t s s =，物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当0→∆t 时，平均速度的极限，即
t
t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim 00 例题 若一物体运动方程如下：
⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3(
)3(329)1( )30( 2322t t t t s 求此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度．
解：当1=t 时，232
+=t s
.6)36(lim 36lim 2132)1(3lim )()(lim 0202200=∆+=∆∆+∆=∆-⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆t t
t t t t t t s t t s t s v t t t t 当3=t 时，2
)3(329-+=t s .03lim )(3lim )33(329)33(329lim )()(lim 0
202200=∆=∆∆=∆----∆++=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆t t t t t t t s t t s t s v t t t t 所以，物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度分别是6和0．
3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）
（1）求223
+-=x x y 在2=x 处的切线的斜率．
解：)()(00x f x x f y -∆+=∆ 3
23
3)()(610)2222(2)2(2)2()
2()2(x x x x x f x f ∆+∆+∆=+⨯--+∆+-∆+=-∆+= 2)(610x x x
y ∆+∆+=∆∆ ∴.10)610(lim lim 20
0=∆+∆+=∆∆=→∆→∆x x x y k x x （2）教科书第111页练习第1、2题．
4．课堂小结
（1）曲线的切线．
（2）瞬时速度．
（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．
五、布置作业
1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．
（1）2,23=+-=x x y 处， （2）0,11=+=
x x y 处． 2．已知某质点按规律t t s 222+=（米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前3秒内
的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；（3）质点在3秒时的瞬时速度．
解：1．（1）12-=k ，（2）1-=k ；
2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．。