2021高考数学必考点解题方式秘籍 涂色问题 理(1)
数学选修2-3-涂色问题
涂色问题解题通法定理1(直线型结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn L m m -=-种.证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理2（星型结构):用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn S m m -=-种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理3（环形结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有()()()111nnm n R m m =-+--种。
证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为mn R ，头尾相同时，头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -),即()111n m mn n R R m m --+=-，∴()()1111n n mmn n R m R m --⎡⎤--=---⎣⎦，求通项即可 或()()1221mmmn n n R m R m R --=-+-定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通，如图）涂色，则总的不同涂法有m nn m T A =种.证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。
方法应用例1。
将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种。
(以数字作答)答:结构抽象如右图，涂法数为：()()515132255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)。
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。
（以数字作答）答：结构抽象如右图，涂法数为:()()()55354431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦(先涂中间）例3。
排列组合问题之涂色问题（四个方面）
排列组合问题之涂色问题（四个方面）
1区域涂色问题
1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
4、根据相间区域使用颜色分类讨论。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
2点涂色问题
3线段涂色问题
方法：㈠根据共用了多少颜色分类讨论。
㈡根据相对线段是否同色分类讨论。
解决线段涂色问题，要特别注意对各条线段依次涂色。
4面涂色问题。
正方体涂色问题记忆口诀
正方体涂色问题记忆口诀1. 前言哎呀，说到正方体涂色问题，大家是不是有点摸不着头脑啊？这可不是简单的画个方块，涂上颜色那么简单。
我们得从不同的角度去看看，才能真正理解这道题。
首先，正方体有六个面，每个面可以涂上不同的颜色，想想就觉得有点眼花缭乱。
不过别担心，今天咱们就来聊聊如何记住这些涂色的诀窍，让你轻松应对这个问题，赢得满堂彩！2. 正方体的基本知识2.1 正方体的构成好啦，先简单介绍一下正方体。
正方体就像一个小盒子，有六个面，八个顶点，还有十二条边。
每个面都是正方形，大家都知道，正方形四条边都相等，角度都是90度。
所以，当我们在给正方体涂色的时候，就得考虑每一个面。
想象一下，如果你把正方体放在桌子上，那这个盒子就成了我们涂色的舞台。
2.2 涂色的原则接下来，咱们来说说涂色的原则。
涂色不是随便涂涂就好了，要有策略！比如，假设我们有三种颜色：红、蓝、绿。
涂的时候，先想好一个顺序。
比如，你可以先涂上面的面，再涂侧面，最后涂下面的面。
这样一来，涂色就不会乱了套，能让你有条不紊。
记住，要像做菜一样，先准备好材料，然后再下锅。
3. 记忆口诀的妙用3.1 口诀的魔力那么，如何记住这些涂色的步骤呢？这就要靠我们的记忆口诀了！大家听好，咱们可以用“上红、左蓝、右绿、下白”的口诀来记忆。
这样一来，涂色的时候就不会忘记了，每次看到正方体，就能立刻想起这四个方位的颜色。
是不是觉得这个口诀简直像金子一样珍贵啊？用好了，绝对能让你在涂色题上如鱼得水。
3.2 趣味游戏涂色不光是个脑筋急转弯的游戏，还是个非常有趣的挑战！想象一下，你和朋友们一起玩“涂色大比拼”，谁能在最短的时间内完成涂色，谁就能获得小礼物。
通过这种游戏，不仅能加深记忆，还能增进友谊。
谁说学习就得乏味无聊呢？只要用心，学习也可以像春风化雨，轻松愉快。
4. 总结最后，正方体涂色问题其实并不复杂，只要我们掌握了基本的知识，记住口诀，找到乐趣，学习就能变得轻松自在。
涂色问题的常见解法及策略
涂色问题的常见解法及策略涂色问题是指在一个图形中，用不同的颜色对其进行填充，使得相邻的区域颜色不同。
这类问题在计算机图形学、图像处理、计算机视觉等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍涂色问题的常见解法及策略。
一、暴力枚举法暴力枚举法是最简单的涂色问题解法。
它的思路是从图形的某个点开始，依次尝试所有可能的颜色，直到找到一种合法的颜色为止。
然后再从下一个点开始重复这个过程，直到所有点都被涂色为止。
暴力枚举法的优点是简单易懂，实现起来也比较容易。
但是，它的时间复杂度非常高，随着图形的大小增加，计算时间会呈指数级增长。
因此，对于大规模的图形，暴力枚举法并不适用。
二、贪心算法贪心算法是一种基于局部最优解的算法。
在涂色问题中，贪心算法的思路是从一个点开始，选择一个合法的颜色，然后尽可能地涂满周围的区域。
这样可以保证每个点的颜色都是合法的，并且尽可能地减少颜色的数量。
贪心算法的优点是速度比较快，对于一些简单的图形，可以得到较好的结果。
但是，贪心算法并不能保证得到全局最优解，有时候会出现局部最优解与全局最优解不一致的情况。
三、回溯算法回溯算法是一种基于深度优先搜索的算法。
在涂色问题中，回溯算法的思路是从一个点开始，选择一个合法的颜色，然后递归地尝试涂色。
如果发现无法涂色，则回溯到上一个点，重新选择颜色。
回溯算法的优点是可以保证得到全局最优解，但是它的时间复杂度也比较高。
在实际应用中，需要根据具体情况进行优化，比如使用剪枝等技巧来减少搜索次数。
四、图论算法涂色问题可以转化为图论问题，从而可以使用图论算法来解决。
具体来说，可以将每个点看作图中的一个节点，将相邻的点之间连一条边。
然后，可以使用图着色算法来对图进行着色。
图着色算法有很多种，比如贪心着色算法、回溯着色算法、混合着色算法等。
这些算法都有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择。
总之，涂色问题是一类经典的计算机问题，有很多种解法和策略。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法，并进行优化，以达到最好的效果。
高中数学涂色问题
D C
A B
例2、用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求在1,2,3,4
四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，
(1)若 n 6 ，为左图着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为右图着色时，共有120种不同的方法，求 n 的值.
（1）
（2）
解：结构抽象如图，
(1)涂法数为： A63 （6-2） 480
(2)涂法数为：T4n An4 nn 1n 2n 3 120 ，∴ n 5
（1）
（2）
例3. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色， 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共 有多少种不同的方法？
解：结构抽象如右图，
An
⑤
A1
A3 A2 ⑤
a 解：设分成 n 个扇形时染色方法为 n 种
(1) 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A42 =12 种，即 a2 =12
An
⑤
A1
A3
A2 ⑤
(2)当分成 n 个扇形，如图， A1 与 A2 不同色， A2 与 A3
⑤⑤
An A1 A2
不同色， ， An1 与 An 不同色，共有 4 3n1 种染色方法，
现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽
120 种同样颜色的花，不同的栽种方法有
种.(以数字作答)
变式1：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少
种涂法？
P
D C
A B
变式2：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
高中数学中涂色问题的解法
高中数学中涂色问题的解法涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。
这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。
根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。
解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。
作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。
下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。
一、条状结构例1：将3种作物种植在5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。
我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。
解1：只管从左到右依次来种。
若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2=48 种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42 种方法。
解2：三种作物必须种完，那就不必讨论颜色种数。
（1）把这五块地分为3，1，1三组。
①③⑤必为一组，所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6 种方法。
（2）把这五块地分为2，2，1 三组。
①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法，①⑤同组时有1 种方法，①自己一组时有1 种方法，所以地块分组共有6 种方法，再种有6A33种方法。
由（1），（2）知共有42种方法。
可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。
若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。
其中n 为全部可用颜色种数，m 为实际使用颜色种数。
变式：用5种不同的颜色给图中A，B，C，D 四个区域涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D 区域和其他三区域都相邻，A 和C 又不相邻，所以把D 涂完后，就是条状结构的问题。
高中数学概率中的涂色问题
25二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣 , 近年已经在高考题中出 现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强 且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、 分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟 总结涂色问题的常见类型及求解方法 一. 区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分 涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色， 则不同的涂色方法有多少种？现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用 3 种颜色1） 当先用三种颜色时，区域 2与 4必须同色，2） 区域 3与 5必须同色，故有 A 43种；3） 当用四种颜色时，若区域 2与 4同色，4） 则区域 3与 5不同色，有 A 44种；若区域 3与 5同色，则区域 2 与 4 不同色，有 A 44种，故用四种颜色时共 有2A 44 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有 分析：先给①号区域涂 ③ 法，接着给③号涂色方法有 3 种③，由于④号④与①、②不相邻， 因此④号有 4 种涂法，根②据分步计数原理，不同的涂色方法有 5 4 3 4 240 根据共用了多少种颜色讨论， 分别计算出各种情形的 种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例 2 、四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻 两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用 4 种颜色， ②与⑤同色、 ③与⑤同色、 ②与⑤同色、③与⑤同色、 ②与④同色、 2、 5 种方③法，再给② 号涂色有 4 种方 A 43+2 A 44=24+2 24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论， 从某两个 不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的 种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法有2种涂法；涂1，2有44A=24例2同色，有多少种涂法法1：1）2）恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。
证明：如图，设有a n 种不同涂法。
不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(--n m m 种涂法,但区域1、n 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则其中)1(22-==m m A a m，设1,)1(2-=-=m mb m a b nn n 则 令()r b m r b n n ---=-11，则r=1， 可知，。
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2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：涂色问题与涂色问题有关的试题新颖有趣,最近几年已经在高考题中显现，其中包括着丰硕的数学思想。
解决涂色问题方式技术性强且灵活多变，因此这种问题有利于培育学生的创新思维能力、分析问题与观看问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方式 一.区域涂色问题依照分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处置染色问题的大体方式。
用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部份涂色，每部份只涂一种颜色，相邻部份涂不同颜色，那么不同的涂色方式有多少种？3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有45434240⨯⨯⨯=依照共用了多少种颜色讨论，别离计算出各类出各类情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方式种数。
例二、四种不同的颜色涂在如下图的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，那么有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，那么有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，那么有44A ； 因此依照加法原理得涂色方式总数为544A =120①②③④ ⑤⑥例3、如下图，一个地域分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得利用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，那么不同的着方式共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 当先用三种颜色时，区域2与4必需同色，区域3与5必需同色，故有34A 种；当用四种颜色时，假设区域2与4同色，那么区域3与5不同色，有44A 种；假设区域3与5同色，那么区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知知足题意的着色方式共有34A +244A =24+2 24=72依照某两个不相邻区域是不是同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，别离计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方式总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如下图的四个区域内，每一个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，若是颜色能够反复利用，共有多少种不同的涂色方式？ 分析：可把问题分为三类：四格涂不同的颜色，方式种数为45A ；有且仅两个区域相同的颜色， 即只有一组对角小方格涂相 同的颜色，涂法种数为12542C A ；两组对角小方格别离涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=依照相间区利用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一1A 解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时， 有4种着色方式，现在，B 、D 、F 各有3种着色方式， 现在，B 、D 、F 各有3种着色方式 故有4333108⨯⨯⨯= 种方式。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方式，现在B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方式，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方式。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方式，现在B 、D 、F 各有2种着色方式。
现在共有34222192A ⨯⨯⨯=种方式。
故共计有108+432+192=732种方式。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还能够用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方式？ 解：设分成n 个扇形时染色方式为na 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12 （2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，，1n A -与nA 不同色，共有143n -⨯种染色方式， 但由于n A 与1A ⑤邻，因此应排除n A与1A同色的情形；n A与1A同色时，可把n A、1A看成一个扇形，与前2n-个扇形加在一路为1n-个扇形，现在有1n a-种染色法，故有如下递推关系：二.点的涂色问题方式有：（1）可依照共用了多少种颜色分类讨论，（2）依照相对极点是不是同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例六、将一个四棱锥S ABCD-的每一个极点染上一种颜色，并使同一条棱的两头点异色，若是只有5种颜色可供利用，那么不同的染色方式的总数是多少？解法一：知足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）假设恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染极点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，现在只能A与C、B与D别离同色，故有125460C A=种方式。
（2）假设恰用四种颜色染色，能够先从五种颜色中任选一种颜色染极点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色能够互换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对极点同色即可，故有1211 5422240C A C C=种方式。
（3）假设恰用五种颜色染色，有55120A=种染色法综上所知，知足题意的染色方式数为60+240+120=420种。
解法二：假想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360⨯⨯=种染色方式。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这阻碍到D点颜色的选取方式数，故分类讨论：C与A同色时（现在C对颜色的选取方式唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有13227⨯+⨯=种染色方式。
由乘法原理，总的染色方式是607420⨯=解法三：可把那个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方式？二.线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，要紧方式有：依照共用了多少颜色分类讨论依照相对线段是不是同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，若是颜色能够反复利用，共有多少种不同的涂色方式？解法一：（1）利用四颜色共有44A种;（2）利用三种颜色涂色，那么必需将一组对边染成同色，故有112423C C A种，（3）利用二种颜色时，那么两组对边必需别离同色，有24A种因此，所求的染色方式数为411224423484A C C A A++=种解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312⨯=种涂色方式。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这阻碍到DA颜色的选取方式数，故分类讨论：当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方式唯一，那么DA有3种颜色可供选择CD与AB 不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227⨯+⨯=种涂色方式。
由乘法原理，总的涂色方式数为12784⨯=种例八、用六种颜色给正四面体A BCD-的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共极点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方式？解：（1）假设恰用三种颜色涂色，那么每组对棱必需涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A 种方式。
（2）假设恰用四种颜色涂色，那么三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A 种方式。
（3）假设恰用五种颜色涂色，那么三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方式。
（4）假设恰用六种颜色涂色，那么有66A 种不同的方式。
综上，知足题意的总的染色方式数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
三.面涂色问题例九、从给定的六种不同颜色当选用假设干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，那么不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情形，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：依照共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确信某种颜色所涂面为下底面，那么上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确信其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，那么其余3个面有3！种涂色方案，依照乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方式，必有两面同色（必为相对面），确信为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确信一种颜色为左侧面，现在的方式数取决于右边面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转互换）9035562=⨯⨯=C n ；(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n ；(4)共用三种颜色,20364==C n例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域一、二、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；依照共用颜色多少分类：最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，现在有34A 种；当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，现在有1424C A ；故知足题意总的涂色方式总方式交总数为31442472A C A += 用三种不同的颜色填涂如右图33⨯方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，那么不同的填涂方式种数共有（ D ） A 、4八、 B 、24 C 、12 D 、6 “立几”中的计数问题求解策略在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁显现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这种问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一路，综合性强，能力要求高，有必然的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方式和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
直接求解例1：从平面α上取6个点，从平面β上取4个点，这10个点最多能够确信多少个三棱锥？ 解析: 利用三棱锥的形成将问题分成α平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有132231646464194C C C C C C ++=个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD 中，极点为P ，从其它的极点和各棱的中点中取3个，使它们和点P 在同一平面上，不同的取法有 B. 48 C. 56 D. 62种 解析: 知足题设的取法能够分成三类 在四棱锥的每一个侧面上除P 点外取三点有35440C =种不同取法；ABC 53214在两个对角面上除点P 外任取3点，共有3428C =种不同取法； 过点P 的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有1248C =种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这种问题应依照立体图形的几何特点，选取适当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。