人教版高中数学高二必修5练习 等差数列的性质

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高中数学必修五-等差数列

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等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1.等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.等差数列的通项公式为:a n=a1+(n﹣1)d;前n项和公式为:S n=na1+n(n﹣1)或S n=(n∈N+),另一重要特征是若p+q=2m,则有2a m=a p+a q(p,q,m都为自然数)例:已知等差数列{a n}中,a1<a2<a3<…<a n且a3,a6为方程x2﹣10x+16=0的两个实根.(1)求此数列{a n}的通项公式;(2)268是不是此数列中的项?若是,是第多少项?若不是,说明理由.解:(1)由已知条件得a3=2,a6=8.又∵{a n}为等差数列,设首项为a1,公差为d,∴a1+2d=2,a1+5d=8,解得a1=﹣2,d=2.∴a n=﹣2+(n﹣1)×2=2n﹣4(n∈N*).∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣4.(2)令268=2n﹣4(n∈N*),解得n=136.∴268是此数列的第136项.这是一个很典型的等差数列题,第一问告诉你第几项和第几项是多少,然后套用等差数列的通项公式a n=a1+(n﹣1)d,求出首项和公差d,这样等差数列就求出来了.第二问判断某个数是不是等差数列的某一项,其实就是要你检验看符不符合通项公式,带进去检验一下就是的.【等差数列的性质】(1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列;(2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和;(3)m,n∈N+,则a m=a n+(m﹣n)d;(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a s+a t=a p+a q,其中a s,a t,a p,a q是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有a s+a t=2a p;(5)若数列{a n},{b n}均是等差数列,则数列{ma n+kb n}仍为等差数列,其中m,k均为常数.(6)a n,a n﹣1,a n﹣2,…,a2,a1仍为等差数列,公差为﹣d.(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即2a n+1=a n+a n+2,2a n=a n﹣m+a n+m,(n≥m+1,n,m∈N+)(8)a m,a m+k,a m+2k,a m+3k,…仍为等差数列,公差为kd(首项不一定选a1).例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a8=15-a5,则S9等于()A.18B.36C.45D.60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a5=3,S13=91,则a1+a11=()A.7B.8C.9D.10例3.在等差数列{a n}中,a3+a9=24-a5-a7,则a6=()A.3B.6C.9D.12等差数列的通项公式知识讲解1.等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种,数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,已知等差数列的首项a1,公差d,那么第n项为a n=a1+(n﹣1)d,或者已知第m项为a m,则第n项为a n=a m+(n﹣m)d.【例题解析】eg1:已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+1,求数列{a n}的通项公式,并判断{a n}是不是等差数列解:当n=1时,a1=S1=12+1=2,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣(n﹣1)2﹣1=2n﹣1,∴a n=,把n=1代入2n﹣1可得1≠2,∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解,除掉第一项这个数列是等差数列,但如果把首项放进去的话就不是等差数列,题中a n的求法是数列当中常用到的方式,大家可以熟记一下.eg2:已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1,2a+1,a+7则这个数列的通项公式为解:∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1,2a+1,a+7,∴2(2a+1)=a﹣1+a+7,解得a=2.∴a1=2﹣1=1,a2=2×2+1=5,a3=2+7=9,∴数列a n是以1为首项,4为公差的等差数列,∴a n=1+(n﹣1)×4=4n﹣3.故答案:4n﹣3.这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质,即等差中项的特点,通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可.【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型,这里面往往用的最多的就是等差中项的性质,这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点.例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中,a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,则a8=()A.B.C.D.不能确定例2.在等差数列{a n}中,a2+a10=0,a6+a8=-4,a100=()A.212B.188C.-212D.-188例3.在等差数列{a n}中,若a2=5,a4=3,则a6=()A.-1B.0C.1D.6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中,a3+a9=24-a5-a7,则a6=()A.3B.6C.9D.12练习2.等差数列{a n}中,已知a2+a6=4,则a4=()A.1B.2C.3D.4练习3.在等差数列{a n}中,若a3+a9=17,a7=9,则a5=()A.6B.7C.8D.9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”),后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一,属现代数论中的一次同余式组问题.后传入西方,被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题:将正整数中,被3除余2且被5除余1的数,按由小到大的顺序排成一列,则此列数中第10项为()A.116B.131C.146D.161练习5.已知2,b的等差中项为5,则b为()A.B.6C.8D.10练习6.数列{a n}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A.B.C.D.练习7.等差数列{a n}中,S n是它的前n项和,a2+a3=10,S6=54,则该数列的公差d为()A.2B.3C.4D.6练习8.等差数列{a n}中,a1+a8=10,a2+a9=18,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4练习9.在等差数列{a n}中,已知a2+a6=18,则a4=()A.9B.8C.81D.63。

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习 新人教A版必修5

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习 新人教A版必修5

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习新人教A版必修5►基础梳理1.(1)等差数列的定义:____________________.定义的数学式表示为__________________________.(2)判断下列数列是不是等差数列.①2,4,6,8,10;②1,3,5,8,9,10.2.(1)首项为a1公差为d的等差数列{a n}的通项公式为____________.(2)写出下列数列的通项公式:①2,4,6,8,10;②0,5,10,15,20,….3.(1)等差中项的定义:______________________.(2)求下列各组数的等差中项:①2,4;②-3,9.4.(1)等差数列当公差______时,为递增数列;当公差______时,为递减数列.(2)判断下列数列是递增还是递减数列.①等差数列3,0,-3,…;②数列{a n}的通项公式为:a n=2n-100(n∈N*).5.等差数列的图象的特点是________________.基础梳理1.(1)从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数a n-a n-1=d (与n无关的常数),n≥2,n∈N*(2)①是②不是2.(1)a n=a1+(n-1)d,n∈N*(2)①a n=2n,n=1,2,3,4,5②a n=5n-5,n∈N*3.(1)如果a,A,b成等差数列,则A叫a与b的等差中项(2)①所求等差中项为3 ②所求等差中项为34.(1)d>0 d<0(2)①递减数列②递增数列5.一条直线上的一群孤立点►自测自评1.下列数列不是等差数列的是( )A.a-d,a,a+dB.2,4,6,…,2(n-1),2nC.m,m+n,m+2n,2m+n(m≠2n)D.数列{a n}满足a n-1=a n-12(n∈N*,n>1)2.等差数列a-2d,a,a+2d,…的通项公式是( )A.a n=a+(n-1)d B.a n=a+(n-3)dC.a n=a+2(n-2)d D.a n=a+2nd3.已知数列{a n}对任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,则{a n}为( ) A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列D.非等差数列自测自评1.解析:利用定义判断,知A,B,D是等差数列;对于C,m+n-m=n,(2m+n)-(m+2n)=m-n,且n≠m-n,∴该数列不是等差数列.故选C.答案:C2.解析:数列的首项为a-2d,公差为2d,∴a n=(a-2d)+(n-1)·2d=a+2(n-2)d.答案:C3.A►基础达标1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数是( )A.n B.3n+11C.n+4 D.n+31.解析:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.故选D.答案:D2.若{a n }是等差数列,则由下列关系确定的数列{b n }也一定是等差数列的是( )A .b n =a 2nB .b n =a n +n 2C .b n =a n +a n +1D .b n =na n2.解析:{a n }是等差数列,设a n +1-a n =d ,则数列b n =a n +a n +1满足:b n +1-b n =(a n +1+a n +2)-(a n +a n +1)=a n +2-a n =2d .故选C.答案:C3.已知a =13+2,b =13-2,则a ,b 的等差中项为( ) A. 3 B. 2 C.13 D.123.解析:a ,b 的等差中项为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13+2+13-2=12×(3-2+3+2)= 3. 答案:A4.下面数列中,是等差数列的有( )①4,5,6,7,8,… ②3,0,-3,0,-6,… ③0,0,0,0,…④110,210,310,410,… A .1个 B .2个C .3个D .4个4.C5.在数列{a n }中,a 1=2,2a n +1=2a n +1,则a 101的值是( )A .49B .50C .5D .525.解析:由2a n +1=2a n +1得a n +1-a n =12, ∴{a n }是等差数列,且公差为d =12,又a 1=2, ∴a 101=a 1+(101-1)d =2+100×12=52.故选D. 答案:D►巩固提高6.若x ≠y ,且两个数列:x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各成等差数列,那么a 2-a 1b 2-b 1=( )A.34B.43C.23D .不能确定 6.解析:a 2-a 1=13(y -x ),b 2-b 1=14(y -x ), ∴a 2-a 1b 2-b 1=43.故选B. 答案:B7.已知函数f (x )=2x ,等差数列{a n }的公差为 2.若f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]=________.7.解析:∵f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=2a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=4,∴a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=2.又∵a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=(a 2-d )+(a 4-d )+…+(a 10-d )=2-5d =-8,∴a 1+a 2+…+a 10=2+(-8)=-6.∴log 2[f (a 1)·f (a 2)·…·f (a 10)]=log 2(2a 1+a 2+…+a 10)=a 1+a 2+…+a 10=-6. 答案:-68.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________.8.解析:利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由a 3=a 22-4,得1+2d =(1+d )2-4,∴d 2=4,∴d =±2.由于该数列为递增数列,∴d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1(n ∈N *).答案:2n -1(n ∈N *)9.有四个数成等差数列,它们的平方和等于276,第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32,求这四个数.9.解析:设四个数依次为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ,∴⎩⎪⎨⎪⎧(a -3d )2+(a -d )2+(a +d )2+(a +3d )2=276,(a -d )(a +d )-(a -3d )(a +3d )=32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+5d 2=69,d 2=4.∴a =±7,d =±2. ∴所求的四个数依次为:1,5,9,13或13,9,5,1或-13,-9,-5,-1或-1,-5,-9,-13.10.已知函数f (x )=x ax +b(a ,b 为常数,a ≠0)满足f (2)=1,且f (x )=x 有唯一解. (1)求f (x )的表达式;(2)若数列{x n }由x n =f (x n -1)(n ≥2,n ∈N *)且x 1=1.①求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列; ②求数列{x n }的通项公式.10.(1)解析:由f (2)=1,得22a +b=1,即2a +b =2. 由f (x )=x ,得x ax +b=x ,即ax 2+(b -1)x =0有唯一解, ∴Δ=(b -1)2=0,∴b =1.∴a =12. ∴f (x )=2x x +2. (2)①证明:当n ≥2时,x n =f (x n -1)=2x n -1x n -1+2. 又x 1=1>0,∴x n >0,即x n ≠0.∴1x n =x n -1+22x n -1=1x n -1+12,即1x n -1x n -1=12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是首项为1,公差为12的等差数列. ②解析:由①得1x n =1+12(n -1)=n +12, ∴x n =2n +1(n ∈N *).1.用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关键,写数列通项公式时注意n 的取值范围.2.注意等差数列与一次函数间的关系,如自测自评中第3题.3.题设中有三个数成等差数列时,一般设这三个数为a -d 、a 、a +d .若五个数成等差一般设为a -2d 、a -d 、a 、a +d 、a +2d .有时也直接设为等差数的通项形式,具体问题具体分析,设的目的是便于计算,要灵活选择设的方法.4.等差中项有广泛应用,要准确理解其含义.5.证明数列为等差数列的方法有:定义法、通项公式法、等差中项法.K29753 7439 琹35196 897C 襼.D27967 6D3F 洿40023 9C57 鱗34218 85AA 薪}l !I24395 5F4B 彋E。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1.在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1 D.62.已知等差数列{a n},则使数列{b n}一定为等差数列的是() A.b n=-a n B.b n=a2nC.b n=a n D.b n=1 a n3.在等差数列{a n}中,若a2=1,a6=-1,则a4=() A.-1 B.1C.0 D.-1 24.等差数列{a n}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{a n}的通项公式是()A.a n=2n-2(n∈N*) B.a n=2n+4(n∈N*)C.a n=-2n+12(n∈N*) D.a n=-2n+10(n∈N*)5.如果数列{a n}是等差数列,则下列式子一定成立的有()A.a1+a8<a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a56.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为() A. 3 B.±3C.-33D.- 37.等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)=() A.10 B.20C.40 D.2+log25二、填空题8.等差数列{a n}中,a15=33,a25=66,则a35=________.9.在等差数列{a n}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=________.10.在等差数列{a n }中,若a 5=a ,a 10=b ,则a 15=________.11.数列{a n }满足递推关系a n =3a n -1+3n -1(n ∈N *,n ≥2),a 1=5,则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________. 12.若m ≠n ,两个等差数列m ,a 1,a 2,n 与m ,b 1,b 2,b 3,n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为________. 三、解答题13.梯子的最高一级宽33 cm ,最低一级宽110 cm ,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度.14.若三个数a -4,a +2,26-2a 适当排列后构成递增等差数列,求a 的值和相应的数列.15.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个共同的项?16.已知数列{a n}的通项公式为a n=pn2+qn(常数p,q∈R).(1)当p和q满足什么条件时,数列{a n}是等差数列?(2)求证:对任意的实数p和q,数列{a n+1-a n}都是等差数列.人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( )A .-1B .0C .1D .6解析:由等差数列的性质得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,选B.答案:B2.已知等差数列{a n },则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A .b n =-a nB .b n =a 2nC .b n =a nD .b n =1a n解析:∵数列{a n }是等差数列,∴a n +1-a n =d (常数).对于A ,b n +1-b n =a n -a n +1=-d ,正确;对于B 不一定正确,如a n =n ,则b n=a 2n =n 2,显然不是等差数列;对于C 和D ,a n 及1a n不一定有意义,故选A. 答案:A3.在等差数列{a n }中,若a 2=1,a 6=-1,则a 4=( )A .-1B .1C .0D .-12解析:∵2a 4=a 2+a 6=1-1=0,∴a 4=0.答案:C4.等差数列{a n }的公差d <0,且a 2·a 4=12,a 2+a 4=8,则数列{a n }的通项公式是( )A .a n =2n -2(n ∈N *)B .a n =2n +4(n ∈N *)C .a n =-2n +12(n ∈N *)D .a n =-2n +10(n ∈N *)解析:由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙,,,08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==,,2642a a ⇒⎩⎨⎧-==,,281d a ∴a n =a 1+(n -1)d =8+(n -1)·(-2)=-2n +10.5.如果数列{a n }是等差数列,则下列式子一定成立的有( )A .a 1+a 8<a 4+a 5B .a 1+a 8=a 4+a 5C .a 1+a 8>a 4+a 5D .a 1a 8=a 4a 5解析:由等差数列的性质有a 1+a 8=a 4+a 5,故选B.答案:B6.已知数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)的值为() A . 3 B .±3C .-33 D .- 3解析:由等差数列的性质得a 1+a 7+a 13=3a 7=4π,∴a 7=4π3.∴tan(a 2+a 12)=tan(2a 7)=tan 8π3=tan 2π3=- 3.答案:D7.等差数列{a n }中,a 5+a 6=4,则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=( )A .10B .20C .40D .2+log 25解析:由等差数列的性质知a 1+a 2+…+a 10=5(a 5+a 6)=5×4=20,从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=log 2220=20.答案:B二、填空题8.等差数列{a n }中,a 15=33,a 25=66,则a 35=________.解析:由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25=a 15+a 35,∴a 35=2a 25-a 15=2×66-33=99.答案:999.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________.解析:由等差数列的性质可知,a 2+a 8=a 4+a 6=a 3+a 7,∴a 2+a 4+a 6+a 8=37×2=74.10.在等差数列{a n }中,若a 5=a ,a 10=b ,则a 15=________.解析:设数列{a n }的公差为d .法一:由题意知⎩⎨⎧=+==+=,,b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,,55491a b d b a a∴a 15=a 1+14d =9a -4b 5+14×b -a 5=2b -a .法二:d =a 10-a 510-5=b -a 5, ∴a 15=a 10+5d =b +5×b -a 5=2b -a .法三:∵a 5,a 10,a 15成等差数列,∴a 5+a 15=2a 10.∴a 15=2a 10-a 5=2b -a .答案:2b -a11.数列{a n }满足递推关系a n =3a n -1+3n -1(n ∈N *,n ≥2),a 1=5,则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________. 解析:由题设知a n +m 3n -a n -1+m 3n -1=3a n -1+3n -1+m 3n -a n -1+m 3n -1 =3n -1-2m 3n=1-1+2m 3n 为常数, 则1+2m =0,故m =-12.答案:-1212.若m ≠n ,两个等差数列m ,a 1,a 2,n 与m ,b 1,b 2,b 3,n 的公差分别为d 1和d 2,则d 1d 2的值为________. 解析:n -m =3d 1,d 1=13(n -m ).又n -m =4d 2,d 2=14(n -m ).∴d 1d 2=13·(n -m )14·(n -m )=43. 答案:43三、解答题13.梯子的最高一级宽33 cm ,最低一级宽110 cm ,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度.解析:由题意可设最低一级宽度为a 1,梯子的宽度依次成等差数列,设为{a n },依题意a 12=33,由a 12=a 1+(12-1)d ⇒33=110+11d ,∴d =-7,∴a n =110+(n -1)×(-7),∴a 2=103,a 3=96,a 4=89,a 5=82,a 6=75,a 7=68,a 8=61,a 9=54,a 10=47,a 11=40,故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14.若三个数a -4,a +2,26-2a 适当排列后构成递增等差数列,求a 的值和相应的数列.解析:显然a -4<a +2,(1)若a -4,a +2,26-2a 成等差数列,则(a -4)+(26-2a )=2(a +2),∴a =6,相应的等差数列为:2,8,14.(2)若a -4,26-2a ,a +2成等差数列,则(a -4)+(a +2)=2(26-2a ),∴a =9,相应的等差数列为:5,8,11.(3)若26-2a ,a -4,a +2成等差数列,则(26-2a )+(a +2)=2(a -4),∴a =12,相应的等差数列为:2,8,14.15.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个共同的项?解析:设两个数列分别为{a n }与{b k }.则a 1=5,d 1=8-5=3,通项公式a n =5+(n -1)·3=3n +2;b 1=3,d 2=7-3=4,通项公式b k =3+(k -1)·4=4k -1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同, 即a n =b k ,也就是3n +2=4k -1,∴n =43k -1,而n ∈N *,k ∈N *,∴k 必须为3的倍数,设k =3r (r ∈N *),得n =4r -1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤,,10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *,∴1≤r ≤25(r ∈N *).∴共有25个共同的项.16.已知数列{a n }的通项公式为a n =pn 2+qn (常数p ,q ∈R).(1)当p 和q 满足什么条件时,数列{a n }是等差数列?(2)求证:对任意的实数p 和q ,数列{a n +1-a n }都是等差数列. 解析:(1)设数列{a n }是等差数列,则a n +1-a n =[p (n +1)2+q (n +1)]-(pn 2+qn )=2pn +p +q , 若2pn +p +q 是一个与n 无关的常数,则2p =0,即p =0,q ∈R.∴当p =0,q ∈R 时,数列{a n }是等差数列.(2)证明:∵a n +1-a n =2pn +p +q ,∴a n +2-a n +1=2p (n +1)+p +q ,∴(a n +2-a n +1)-(a n +1-a n )=[2p (n +1)+p +q ]-(2pn +p +q )=2p (常数). ∴对任意的实数p 和q ,数列{a n +1-a n }都是等差数列.。

高中数学 2.2等差数列的性质导学案 新人教A版必修5

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2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质,掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法,提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究,进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效,激励学生自主探究,发现规律,感受等差数列的内在奥妙. 【重点】:等差数列的性质. 【难点】:等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识,初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测;3. 将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么?与一次函数有什么关系?2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题?3. 若a 、A 、b 成等差数列,则A 叫做a 、b 的________,即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些? Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念,你能写出等差数列的通项公式吗?公差对数列的增减性有何影响?2.已知等差数列的公差为d ,第m 项为m a ,第n 项为n a (n>m )则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ,公差为d ,(1)将数列的前m 项去掉,其余各项组成的数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差各是什么?(2)取出数列的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差各是什么?(3)取出数列中所有项数是7的倍数的项,组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差各是什么?(4)数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗?如果是,它的首项和公差各是什么?【预习自测】1.在△ABC 中,A 、B 、C 成等差数列,则B 等于( ) A .30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列,则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D .一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中,741a a a ++=39,33852=++a a a ,则963a a a ++等于( ) A .30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一:等差数列的性质问题1:如果数列{a n}是等差数列,首项为a1,公差为d,则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n,a n,则点(n,a n)在直线____________上;点(n,a n)的横坐标每增加1,函数值增加_____.问题2:等差数列的性质:已知一个等差数列{a n},其中首项是a1,公差为d,(1)下标成等差数列且公差为m的项a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)组成公差为_____的等差数列.(2)a1+a2,a3+a4,a5+a6,…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.(3)若{b n}是公差为d0的等差数列,则数列{pa n+qb n}(p,q为常数)是公差为________的等差数列.(4)若{a n}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都_______,且等于_______________.(5)若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗?说明理由.(6)若m+n=2p,则a m+a n_____2a p,a m+a n_____a2p(填“=”或“≠”).【归纳总结】等差数列的性质有哪些?数列{a n}为等差数列,首项是a1,公差为d.(1)d>0,{a n}是递增数列;d<0,{a n}是递减数列;d=0,{a n}是常数列.(2)a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).(3)a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.(4)a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.(5)若数列{b n}是公差为b的等差数列,p,q为常数,则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.(6)若m,n,p,q∈N*,且满足m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q.探究二:等差数列性质的应用(重难点)【例1】若{a n}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质:(1)a1+a n=a2+a n-1=….(2)m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.(3)若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列,则a m,a n,a p成等差数列.(4)a n=a m+(n-m)d.(5)若数列{a n}是等差数列,则a n=an+b(a,b为常数,n∈N*).(6)若{a n}与{b n}均为等差数列,则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的通项公式.探究三:综合应用(重难点)【例2】数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】(1)求通项公式常用的方法:①不完全归纳法;②公式法;③叠加法;④累积法.(2)判断一个数列是等差数列常用的方法有:①定义法;②等差中项法;③函数法:若a n=an+b(a,b为常数),则数列{a n}是等差数列.(3)求数列的最大(小)项常用的方法:①不等式组法;②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单!1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )A.15 B.30 C.31 D.642.已知{a n}是等差数列,a3+a11=40,则a6-a7+a8等于( )A.20 B.48 C.60 D.723. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( ).A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 Ca3+a100≤0 D.a51=04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m等于( ) A.4 B.6 C.8 D.125. 在等差数列{a n}中,a18=95,a32=123,a n=199,则n=________.6. 已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

高中数学人教版必修5课件:2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)

高中数学人教版必修5课件:2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
则am a1 (m 1)d , an a1 (n 1)d ,
ap a1 ( p 1)d , aq a1 (q 1)d ,
am an 2a1 (m n 2)d ,
ap aq 2a1 ( p q 2)d , m n p q,am an ap aq.
2、等差数列的性质二:
பைடு நூலகம்
课后作业
• 1. 在等差数列{an}中 ,已知a5=10 , a12=31 , 公差 d 及a19 。
• 2.已知为等差数列, a1+a5=10,
a2+a4+a6=33,则求a3+a4的值。
懂得如何避开问题的人,胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上,不知道怎么办的时候,就选择学习,也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念!在 永远是家,走出去看到的才是世界。把钱放在眼前,看到的永远是钱,把钱放在有用的地方,看到的是金钱的世界。给人金钱是下策,给人能力是中策,给人观 财富买不来好观念,好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场,是在人的脑海里!要用行动控制情绪,不要让情绪控制行动;要让心灵启迪智慧,不能让耳朵 人与人之间的差别,主要差在两耳之间的那块地方!人无远虑,必有近忧。人好的时候要找一条备胎,人不好的时候要找一条退路;人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路!孩子贫穷是与父母的有一定的关系,因为他小的时候,父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线!有什么信念,就选 有什么态度,就会有什么行为;有什么行为,就产生什么结果。要想结果变得好,必须选择好的信念。播下一个行动,收获一种习惯;播下一种习惯,收获一种 一种性格,收获一种命运。思想会变成语言,语言会变成行动,行动会变成习惯,习惯会变成性格。性格会影响人生!习惯不加以抑制,会变成生活的必需品, 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯,因为造习惯的就是自己,结果人又成为习惯的奴隶!人生重要的不是你从哪里来,而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对,努力白费!你来自何处并不重要,重要的是你要去往何方,人生最重要的不是所站的位置,而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己!这个世界唯一不变的真理就是变化,任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时,必须争取主动,再占据下一个优势,这需要前瞻的决断 是智慧!世上本无移山之术,惟一能移山的方法就是:山不过来,我就过去。人生最聪明的态度就是:改变可以改变的一切,适应不能改变的一切!学一分退让 宜;增一分享受,减一分福泽。念头端正,福星临,念头不正,善人行善,从乐入乐,从明入明;行恶,从苦入苦,骨宜刚,气宜柔,志宜大,胆宜小,心宜虚 慧宜增,福宜惜,虑不远,忧亦近。人之所以痛苦,在于追求错误的东西。你目前拥有的,都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢?如 往,凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒,而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是,万善之门。见人不是,诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏,而一旦你真的取得了成绩,才会明白:人无须向别人证明什么,只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功,那么请记住:遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制,都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功,假如我不能,我就一定要;假如我要,我 无论你如何为他人着想,烦你的人眼里,你就是居心叵测;不管你怎样据理力争,不懂你的人心里,你就是胡搅蛮缠。最后你会发现,有些事不是你做错了,而 人;有些人不是不理解你,而是根本不想懂你。不管怎样,生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事,它会让你变得更好,孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事,只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人,高薪是发给承担责任的人,奖金是发给做出成绩的人,股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人,辞退信将送给没结果还耍个性的人,这里一定有个你。内心想成为什么样的人,就会努力成为这样的人,做你想做的那种人。与其指 谁,不如指望自己能够吸引那样的人;与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己,不如指望自己变成一个正能量满满的人;与其担心未来,不如现在好 虹绚烂多姿,是在与狂风暴雨争斗之后;枫叶似火燃烧,是在与秋叶的寒霜争斗之后;雄鹰的展翅高飞,是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态, 们的成功。有能力的人影响别人,没能力的人受人影响;不是某人使自己烦恼不安,而是自己拿某人的言行来烦恼自己;树一个目标,一步步前行,做好自己就 不需鼓掌,也在飞翔;小草,没人心疼,也在成长;野花,没人欣赏,也在芬芳;做事不需人人都理解,只需尽心尽力;做人不需人人都喜欢,只需坦坦荡荡。 为力,拼搏到感动自己;吃过的苦,受过的累,会照亮未来的路;没有年少轻狂,只有胜者为王。真正成功的人生,不在于成就的大小,而在于你是否努力地去 喊出自己的声音,走出属于自己的道路。选一个方向,定一个时间;剩下的只管努力与坚持,时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局,殊不知 结局,而在于追求的过程。慢慢的才知道:坚持未必就是胜利,放弃未必就是认输,。给自己一个迂回的空间,学会思索,学会等待,学会调整。人生没有假设 全部。背不动的,放下了;伤不起的,看淡了;想不通的,不想了;恨不过的,抚平了。在比夜更深的地方,一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想, 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩,每次跌倒后能再站起来,才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平,我们能做的不仅仅是接受,还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人,只要还抱有希望,便无所怨惧。有些人,因为陪你走的时间长了,你便淡然了,其实是他们给你撑起了生命的天空;有些人 就忘了吧,残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己,不要小看自己,被别人的意见引入歧途。没人能让我输,除非我不想赢!花开不是为了花落,而是为了 烂。随随便便浪费的时间,再也不能赢回来。不管从什么时候开始,重要的是开始以后不要停止;不管在什么时候结束,重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情,全世界都会为你让路。只有在开水里,茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海,必须先由小河川开始。不要让未来的你,讨厌现在的自己,困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到,你却完成它了!如果你真的愿意为自己的梦想去努力,最差的结果,不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量,只是很容易:被习惯所掩盖,被时间所迷离,被惰性所消磨。不论你在什么时候开始,重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来,敲醒自己的不是钟声,而是梦想。你不能拼爹的时候,你就只能去拼命!、如果人生的旅程上没有障碍,人还有什么可做的呢。我们无 的出身,可是我们的未来是自己去改变的。励志名言:比别人多一点执着,你就会创造奇迹伟人之所以伟大,是因为他与别人共处逆境时,别人失去了信心,他 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯,任何人也无法逆向而行,只能在急促而繁忙的进程中,偶尔转过头来,回望自己留下的蹒跚脚印。时间,带不走真正 月,留不住虚幻的拥有。时光转换,体会到缘分善变;平淡无语,感受了人情冷暖。有心的人,不管你在与不在,都会惦念;无心的情,无论你好与不好,只是 一段路,总能有一次领悟;经历一些事,才能看清一些人。我们无法选择自己的出身,可是我们的未来是自己去改变的。

2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《等差数列的性质》(含答案解析)

2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《等差数列的性质》(含答案解析)

2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《等差数列的性质》一、选择题1.设数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为( )A .0B .37C .100D .-372.如果数列{a n }是等差数列,则下列式子一定成立的有( )A .a 1+a 8<a 4+a 5B .a 1+a 8=a 4+a 5C .a 1+a 8>a 4+a 5D .a 1a 8=a 4a 53.由公差d≠0的等差数列a 1,a 2,…,a n 组成一个新的数列a 1+a 3,a 2+a 4,a 3+a 5,…下列说法正确的是( )A .新数列不是等差数列B .新数列是公差为d 的等差数列C .新数列是公差为2d 的等差数列D .新数列是公差为3d 的等差数列4.在数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,如果数列是等差数列,那么a 11等于( ){1an +1}A. B. C. D .11312235.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( )A .-2B .-3C .-4D .-56.若方程(x 2-2x +m)(x 2-2x +n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=( )14A .1 B. C. D.341238二、填空题7.在等差数列{a n }中,a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的根,则a 5+a 8=________.8.数列{a n }满足递推关系a n =3a n-1+3n -1(n∈N *,n ≥2),a 1=5,则使得数列为等差数列{an +m 3n }的实数m 的值为________.9.已知数列{a n }满足a 1=1,若点在直线x-y +1=0上,则a n =___________.(an n ,an +1n +1)10.若数列{a n }为等差数列,a p =q ,a q =p(p≠q),则a p +q =______________.三、解答题11.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+…+a 5=30,a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.12.已知无穷等差数列{a n },首项a 1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }.(1)求b 1和b 2;(2)求数列{b n }的通项公式;(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项?13.在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n-1+a n -a n-1=0(n≥2,n ∈N *).(1)求证:数列是等差数列;{1an}(2)求数列{a n }的通项公式.答案解析1.答案为:C ;解析:设c n =a n +b n ,则c 1=a 1+b 1=25+75=100,c 2=a 2+b 2=100,故d=c 2-c 1=0,故c n =100(n∈N *),从而c 37=100.2.答案为:B ;解析:由等差数列的性质有a 1+a 8=a 4+a 5.3.答案为:C ;解析:因为(a n +1+a n +3)-(a n +a n +2)=(a n +1+a n )+(a n +3-a n +2)=2d ,所以数列a 1+a 3,a 2+a 4,a 3+a 5,…是公差为2d 的等差数列.4.答案为:B ;解析:依题意得+=2·,所以=-=,所以a 11=.1a3+11a11+11a7+11a11+121+112+123125.答案为:C ;解析:设该数列的公差为d ,则由题设条件知:a 6=a 1+5d>0,a 7=a 1+6d<0.又因为a 1=23,所以即-<d<-,又因为d 是整数,所以d=-4.{d >-235,d <-236,)2352366.答案为:C ;解析:设方程的四个根a 1,a 2,a 3,a 4依次成等差数列,则a 1+a 4=a 2+a 3=2,再设此等差数列的公差为d ,则2a 1+3d=2,因为a 1=,所以d=,所以a 2=+=,a 3=+1=,a 4=+=,14121412341454143274所以|m-n|=|a 1a 4-a 2a 3|==.|14×74-34×54|127.答案为:3;解析:由已知得a 3+a 10=3.又数列{a n }为等差数列,所以a 5+a 8=a 3+a 10=3.8.答案为:- ;12解析:a 1=5,a 2=3×5+32-1=23,a 3=3×23+33-1=95,依题意得,,成等差数列,所以2·=+,所以m=-.5+m 323+m 3295+m 3323+m 325+m 395+m 33129.答案为:n 2解析:由题设可得-+1=0,即-=1,所以数列是以1为公差的等差数an n an +1n +1an +1n +1an n {an n}列,且首项为1,故通项公式=n ,所以a n =n 2.an n 10.答案为:0;解析:法一:因为a p =a q +(p-q)d ,所以q=p +(p-q)d ,即q-p=(p-q)d ,因为p≠q,所以d=-1.所以a p +q =a p +(p +q-p)d=q +q×(-1)=0.法二:因为数列{a n }为等差数列,所以点(n ,a n )在一条直线上.不妨设p <q ,记点A(p ,q),B(q ,p),则直线AB 的斜率k==-1,如图所示,由图知OC=p +q ,即点C 的坐标为(p +q ,0)故a p +q =0.p -q q -p11.解:法一:因为1+11=6+6,2+12=7+7,…,5+15=10+10,所以a 1+a 11=2a 6,a 2+a 12=2a 7,…,a 5+a 15=2a 10.所以(a 1+a 2+…+a 5)+(a 11+a 12+…+a 15)=2(a 6+a 7+…+a 10).所以a 11+a 12+…+a 15=2(a 6+a 7+…+a 10)-(a 1+a 2+…+a 5)=2×80-30=130.法二:因为数列{a n }是等差数列,所以a 1+a 2+…+a 5,a 6+a 7+…+a 10,a 11+a 12+…+a 15也成等差数列,即30,80,a 11+a 12+…+a 15成等差数列.所以30+(a 11+a 12+…+a 15)=2×80,所以a 11+a 12+…+a 15=130.12.解:(1)由题意,等差数列{a n }的通项公式为a n =3+(n-1)(-5)=8-5n ,设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项,则需满足m=4n-1,n ∈N *,所以b 1=a 3=8-5×3=-7,b 2=a 7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n +1-b n =a 4(n +1)-1-a 4n-1=4d=-20,所以新数列{b n }也为等差数列,且首项为b 1=-7,公差为d′=-20,所以b n =b 1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n ∈N *,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项.13. (1)证明:由3a n a n-1+a n -a n-1=0,得-=3(n≥2).1an 1an -1又因为a 1=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.{1an}(2)解:由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以a n =.1an 13n -2又当n=1时,a 1=1,符合上式,所以数列{a n }的通项公式是a n =.13n -2。

人教A版高中数学必修五22第2课时等差数列的性质(素材)

人教A版高中数学必修五22第2课时等差数列的性质(素材)

等差数列性质总结1.等差数列的定义式:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n );2.等差数列通项公式:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而mn a a d mn --=; 3.等差中项(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2b a A +=或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4.等差数列的前n 项和公式:(其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5.等差数列的判定方法(1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列.(2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a .⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=(其中b k ,是常数)。

(4)数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。

6.等差数列的证明方法定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列 等差中项性质法:-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈,.7.提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

必修5 数列2.等差数列{}n a 中,()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A .14B .15C .16D .173.等差数列{}n a 中,12910S S a =>,,则前 项的和最大.解:0912129=-=S S S S , 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>,,又4.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 .解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列,公差为D 其首项为10010=S ,6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知001213123<>=S S a ,,.①求出公差d 的范围;②指出1221S S S ,,, 中哪一个值最大,并说明理由. 解:①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴, 最大。

1. 已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,===+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .64794121215a a a a a +=+∴= A2. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,971043014S S S S ,则,=-== .543. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=+++=118521221a a a a S ,则 . 4. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知50302010==a a ,. ①求通项n a ;②若n S =242,求n . 解:d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩,解方程组5.甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走2m ,以后每分钟比前一分钟多走1m ,乙每分钟走5m ,①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟. 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10.已知数列{}n a 中,,31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S . ①求证:数列{}n a 是等差数列; ②求数列{}n a 的通项公式; ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ,是否存在实数M ,使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在,求M 的最小值,若不存在,试说明理由.12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列.②1)1(311-+==+n n a n na a ,{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++,要使得T n n 都成立,三、等比数列 知识要点1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为()0q q ≠,.2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广:通项公式:递推关系:111 3. 等比中项:若三个数c b a ,,成等比数列,则称b 为a 与c 的等比中项,且ac b ac b =±=2,注:是成等比数列的必要而不充分条件. 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质,),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若,反之不成立! ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn , ③{}n a 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.④若项数为()*2n n N ∈,则S q S =偶奇.⑤nn m n m S S q S +=+⋅.⑥ ,,,时,n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列. 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ,是等比数列;②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ,是等差数列;③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列. 7. 等比数列的判定法 ①定义法:⇒=+(常数)q a a nn 1{}n a 为等比数列; ②中项法:⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列;③通项公式法:⇒⋅=为常数)q k q k a nn ,({}n a 为等比数列; ④前n 项和法:⇒-=为常数)(q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列. 性质运用1.103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈,则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----....D2.已知数列{}n a 是等比数列,且===m m m S S S 323010,则, .3.⑴在等比数列{}n a 中,143613233+>==+n n a a a a a a ,,. ①求n a ,②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= .⑵在等比数列{}n a 中,若015=a ,则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ,成立,类比上述性质,相应的在等比数列{}n b 中,若119=b ,则有等式成立.解:⑴①由等比数列的性质可知:16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又,解得,②由等比数列的性质可知,{}n a lg 是等差数列,因为⑵由题设可知,如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ,成立,我们知道,如果q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若,而对于等比数列{}n b ,则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若所以可以得出结论,若n m n m b b b b b b b --==1221211 ,则有)12(*∈-<N n m n ,成立,在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ,1.{a n }是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列;②{ca n }(c ≠0)也是等比数列;③{na 1}也是等比数列;④{ln a n }也是等比数列. A .4 B .3C .2D .12.等比数列{a n }中,已知a 9 =-2,则此数列前17项之积为 ( ) A .216 B .-216 C .217 D .-2173.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21, 则公比q 的值为 ( )A .1B .-21 C .1或-1 D .-1或214.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3等于 ( )A .4B .23 C .916 D .25.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A .x 2-6x +25=0B .x 2+12x +25=0C .x 2+6x -25=0D .x 2-12x +25=06.某工厂去年总产a ,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A .1.1 4 aB .1.1 5 aC .1.1 6 aD .(1+1.1 5)a7.等比数列{a n }中,a 9+a 10=a (a ≠0),a 19+a 20=b ,则a 99+a 100等于 ( ) A .89abB .(ab )9C .910abD .(ab )108.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为( )A .32B .313C .12D .159.某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A .11n B .11n C .112-n D .111-n10.已知等比数列{}n a 中,公比2q =,且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=,那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A .102 B .202 C .162 D .15211.等比数列的前n 项和S n =k ·3n +1,则k 的值为 ( )A .全体实数B .-1C .1D .312.某地每年消耗木材约20万3m ,每3m 价240元,为了减少木材消耗,决定按%t 征收木材税,这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的范围是 ( )A .[1,3]B .[2,4]C .[3,5]D .[4,6]一、选择题: BDCAD BACDB BC13.在等比数列{a n }中,已知a 1=23,a 4=12,则q =_____ ____,a n =____ ____.14.在等比数列{a n }中,a n >0,且a n +2=a n +a n +1,则该数列的公比q =___ ___.15.在等比数列{a n }中,已知a 4a 7=-512,a 3+a 8=124,且公比为整数,求a 10= .16.数列{n a }中,31=a 且n a a n n (21=+是正整数),则数列的通项公式=n a .二、填空题:13.2, 3·2n -2. 14.251+.15.512 .16.123-n . 17.已知数列满足a 1=1,a n +1=2a n +1 (n ∈N *).(1)求证数列{a n +1}是等比数列;(2)求{a n }的通项公式. (1)证明由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1)又a n +1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n +1}为等比数列.(2)解析: 由(1)知a n +1=(a 1+1)q n-1即a n =(a 1+1)q n -1-1=2·2n -1-1=2n -118.在等比数列{a n }中,已知对n ∈N *,a 1+a 2+…+a n =2n -1,求a 12+a 22+…+a n 2.解析: 由a 1+a 2+…+a n =2n -1 ① n ∈N *,知a 1=1且a 1+a 2+…+a n -1=2n -1-1 ②由①-②得a n =2n -1,n ≥2 又a 1=1,∴a n =2n -1,n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a =4 即{a n 2}为公比为4的等比数列 ∴a 12+a 22+…+a n 2=)14(3141)41(21-=--nn a 19.在等比数列{a n }中,已知S n =48,S 2n =60,求S 3n .解析一: ∵S 2n ≠2S n ,∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得:1+q n =45即q n =41 ③ ③代入①得q a -11=64 ④解析二:∵{a n}为等比数列∴(S2n-S n)2=S n(S3n-S2n)20.求和:S n=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 (x≠0).解析:当x=1时,S n=1+3+5+…+(2n-1)=n2当x≠1时,∵S n=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1,①等式两边同乘以x得:xS n=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)x n.②21.在等比数列{a n}中,a1+a n=66,a2·a n-1=128,且前n项和S n=126,求n及公比q.解析:∵a1a n=a2a n-1=128,又a1+a n=66,∴a1、a n是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64,∴a1=2,a n=64或a1=64,a n=2,显然q≠1.22.某城市1990年底人口为50万,人均住房面积为16 m2,如果该市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万m2,求2000年底该市人均住房的面积数.(已知1.015≈1.05,精确到0.01 m2)解析:依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}:a1=50,q=1+1%=1.01,n=11 则a11=50×1.0110=50×(1.015)2≈55.125(万),又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}:b1=16×50=800,d=30,n=11∴b11=800+10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(m2)。

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第二章数列
2.2 等差数列
第2课时等差数列的性质
A级基础巩固
一、选择题
1.设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由a n+b n所组成的数列的第37项值为() A.0 B.37 C.100 D.-37
解析:设c n=a n+b n,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,故d=c2-c1=0,故c n=100(n∈N*),从而c37=100.
答案:C
2.如果数列{a n}是等差数列,则下列式子一定成立的有() A.a1+a8<a4+a5B.a1+a8=a4+a5
C.a1+a8>a4+a5D.a1a8=a4a5
解析:由等差数列的性质有a1+a8=a4+a5.
答案:B
3.在等差数列{a n}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为()
A.30 B.27 C.24 D.21
解析:设b1=39,b2=33,b3=a3+a6+a9,则b1,b2,b3成等差数列.
所以39+b 3=2b 2=66,b 3=66-39=27.
答案:B
4.下面是关于公差d >0的等差数列(a n )的四个命题:
p 1:数列{a n }是递增数列;
p 2:数列{na n }是递增数列;
p 3:数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是递增数列; p 4:数列{a n +3nd }是递增数列.
其中的真命题为( )
A. p 1,p 2
B .p 3,p 4
C .p 2,p 3
D .p 1,p 4
解析:因为a n =a 1+(n -1)d ,d >0,所以数列{a n }是递增数列,故p 1正确.同理知p 4正确.
命题p 2中,因为na n =na 1+n (n -1)d 是n 的二次函数
所以其增减与a 1,d 的大小有关,故错误.
命题p 3中,因为a n n =a 1n +(n -1)n
d 其增减性与a 1与d 的大小有关,所以p 3错.
答案:D
5.下列说法中正确的是( )
A .若a ,b ,c 成等差数列,则a 2,b 2,c 2成等差数列
B .若a ,b ,c 成等差数列,则log 2a ,log 2b ,log 2c 成等差数列
C .若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列
D .若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列
解析:因为a ,b ,c 成等差数列,则2b =a +c ,
所以2b +4=a +c +4,
即2(b +2)=(a +2)+(c +2),
所以a +2,b +2,c +2成等差数列.
答案:C
二、填空题
6.在等差数列{a n }中,a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的根,则a 5+a 8=________.
解析:由已知得a 3+a 10=3.
又数列{a n }为等差数列,
所以a 5+a 8=a 3+a 10=3.
答案:3
7.在等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100,则3a 9-a 13的值为________.
解析:由等差数列的性质可知,a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=(a 3+a 11)+(a 5+a 9)+a 7=5a 7=100,
所以a 7=20.
所以3a 9-a 13=2a 9+a 9-a 13=(a 5+a 13)+a 9-a 13=a 5+a 9=2a 7=40.
答案:40
8.已知数列{a n }满足a 1=1,若点⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n n ,a n +1n +1在直线x -y +1=0
上,则a n =________________.
解析:由题设可得a n n -a n +1n +1+1=0,即a n +1n +1-a n n
=1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a n n
=n ,所以a n =n 2.
答案:n 2
三、解答题
9.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+…+a 5=30,a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.
解:法一:因为1+11=6+6,2+12=7+7,…,5+15=
10+10,
所以a 1+a 11=2a 6,a 2+a 12=2a 7,…,a 5+a 15=2a 10.
所以(a 1+a 2+…+a 5)+(a 11+a 12+…+a 15)=2(a 6+a 7+…+a 10).
所以a 11+a 12+…+a 15=2(a 6+a 7+…+a 10)-(a 1+a 2+…+a 5)=2×80-30=130.
法二:因为数列{a n }是等差数列,所以a 1+a 2+…+a 5,a 6+a 7+…+a 10,a 11+a 12+…+a 15也成等差数列,即30,80,a 11+a 12+…+a 15成等差数列.
所以30+(a 11+a 12+…+a 15)=2×80,
所以a 11+a 12+…+a 15=130.
10.数列{a n }为等差数列,b n =⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a n ,又已知b 1+b 2+b 3=218,b 1b 2b 3=18
,求{a n }的通项公式. 解:因为b 1+b 2+b 3=⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3=218,b 1b 2b 3=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 1+a 2+a 3=18
, 所以a 1+a 2+a 3=3.
因为a 1,a 2,a 3成等差数列,可设a 1=a 2-d ,a 3=a 2+d , 所以a 2=1.
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫121-d +12+⎝ ⎛⎭⎪⎫121+d =218, 得2d +2-d =174,解得d =2或d =-2.
当d =2时,a 1=1-d =-1,a n =-1+
2(n -1)=2n -3;
当d =-2时,a 1=1-d =3,
a n =3-2(n -1)=-2n +5.
B 级 能力提升
1.若方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为14
的等差数列,则|m -n |=( )
A .1 B.34 C.12 D.38
解析:设方程的四个根a 1,a 2,a 3,a 4依次成等差数列,则a 1+a 4=a 2+a 3=2,
再设此等差数列的公差为d ,则2a 1+3d =2,
因为a 1=14,所以d =12,
所以a 2=14+12=34,
a 3=14+1=54,
a 4=14+32=74,
所以|m -n |=|a 1a 4-a 2a 3|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
14×74-34×54=12.
答案:C
2.若数列{a n }为等差数列,a p =q ,a q =p (p ≠q ),则a p +q =
______________.
解析:法一:因为a p =a q +(p -q )d ,
所以q =p +(p -q )d ,即q -p =(p -q )d ,
因为p ≠q ,所以d =-1.
所以a p +q =a p +(p +q -p )d =q +q ×(-1)=0.
法二:因为数列{a n }为等差数列,
所以点(n ,a n )在一条直线上.
不妨设p <q ,记点A (p ,q ),B (q ,p ),则直线AB 的斜率
k =p -q q -p
=-1,如图所示,由图知OC =p +q ,即点C 的坐标为(p +q ,0)故a p +q =0.
答案:0
3.在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *).
(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.
(1)证明:由3a n a n -1+a n -a n -1=0,
得1a n -1a n -1=3(n ≥2). 又因为a 1=1,
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)解:由(1)可得1a n
=1+3(n -1)=3n -2, 所以a n =13n -2
. 又当n =1时,a 1=1,符合上式,
所以数列{a n }的通项公式是a n =13n -2
.。

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