材料力学 应力与应变分析
工程力学中的应力与应变分析方法探讨
工程力学中的应力与应变分析方法探讨在工程力学中，应力与应变是研究材料和结构力学性能的重要概念。
应力是指单位面积内的力的大小，而应变则是指材料的形变程度。
应力与应变的分析方法是工程力学中的核心内容之一，本文将对工程力学中的应力与应变分析方法进行探讨。
一、应力分析方法在工程力学中，常用的应力分析方法有静力学方法、接触力学方法和弹性力学方法。
静力学方法是通过平衡方程分析物体所受到的力，并计算得出应力分布情况；接触力学方法则是研究物体间的接触行为，通过接触区域的应力分布来分析力的传递情况；弹性力学方法则是应用弹性力学原理，通过杨氏模量和泊松比等参数计算得出应力分布情况。
静力学方法是应力分析中最基本的方法之一，它基于物体所受到的力的平衡条件进行分析。
静力学方法分为静力学平衡和弹性力学平衡两种情况。
静力学平衡是指物体在外力作用下不发生形变，通过将物体分解为若干个力的平衡条件方程来求解各个部位的应力；而弹性力学平衡则是物体在外力作用下发生形变，通过应力-应变关系来求解应力分布情况。
静力学方法在工程力学中应用广泛，可以分析各种载荷下的应力情况。
接触力学方法是研究物体与物体之间接触行为的力学方法，通过分析接触面的应力分布来推导出力的传递情况。
在实际工程应用中，接触力学方法广泛用于轴承、齿轮、摩擦等接触问题的分析与设计。
接触力学方法主要利用弹性力学和接触力学理论，通过建立接触面的几何模型和接触条件，求解接触区域的应力分布。
弹性力学方法是应力分析中最常用的方法之一，它基于弹性力学理论，通过材料的弹性参数计算得出应力分布。
弹性力学方法广泛应用于材料和结构强度分析中。
弹性力学方法主要使用线弹性理论，通过杨氏模量和泊松比等参数来描述材料的弹性性能，根据应力-应变关系计算得出应力分布情况。
二、应变分析方法在工程力学中，常用的应变分析方法有光栅衍射法、电测法和应变计法。
光栅衍射法是利用光学原理来测量物体表面的应变分布情况，通过测量光栅的位移来计算应变大小；电测法则是利用电阻应变片等设备来测量物体表面的应变分布情况；应变计法则是通过安装应变计来测量物体表面的应变分布情况。
工程力学中的应力-应变分析如何进行？
工程力学中的应力-应变分析如何进行？工程力学中的应力应变分析如何进行？在工程力学的领域中，应力应变分析是一项至关重要的工作。
它不仅帮助我们理解材料在受力时的行为，还为工程设计和结构安全性评估提供了关键的依据。
那么，应力应变分析究竟是如何进行的呢？要进行应力应变分析，首先得清楚什么是应力和应变。
简单来说，应力是材料内部单位面积上所承受的力，而应变则是材料在受力作用下发生的相对变形。
我们先来看应力。
应力可以分为正应力和切应力。
正应力是垂直于作用面的应力分量，比如一根杆子受到拉伸，其横截面上的应力就是正应力。
切应力则是平行于作用面的应力分量，像轴在扭转时，其横截面上就会产生切应力。
计算应力时，需要明确受力的情况和作用面的面积。
以简单的拉伸为例，如果一个杆子受到的拉力为 F，横截面积为 A，那么正应力就等于 F/A。
但实际情况往往复杂得多，可能涉及到不均匀的受力分布或者复杂的几何形状。
接下来谈谈应变。
应变分为线应变和角应变。
线应变表示长度的相对变化，比如杆子在拉伸时长度的增加量与原长的比值就是线应变。
角应变则反映了角度的变化，常见于物体的扭转或剪切变形。
为了准确测量应变，通常会使用各种应变测量仪器，比如电阻应变片。
这些仪器能够将微小的应变转化为电信号，从而实现测量和记录。
在实际的工程问题中，应力和应变之间存在着一定的关系，这就是材料的本构关系。
不同的材料具有不同的本构关系，比如线性弹性材料遵循胡克定律，即应力与应变成正比；而对于塑性材料，其应力应变关系则更加复杂。
要进行应力应变分析，第一步是确定结构的受力情况。
这包括外力的大小、方向和作用点，以及内部约束力的分布。
通过对结构进行力学建模，可以将复杂的实际结构简化为便于分析的力学模型。
然后，根据所选的力学模型，运用相应的力学原理和公式来计算应力和应变。
这可能涉及到材料力学中的拉伸、压缩、弯曲、扭转等各种基本变形的理论，以及结构力学中的静定和超静定结构的分析方法。
应力应变关系及材料力学性能研究
应力应变关系及材料力学性能研究引言：应力应变关系是材料力学性能研究的基础，关乎着材料在外力作用下的变形与破坏。
本文将探讨应力应变关系的基本概念，并分析其对材料力学性能的影响。
一、应力与应变的定义：应力是指材料在外力作用下受到的内部力，为单位面积上的力。
常见的应力类型有拉应力、压应力、剪应力等。
应变是材料在受力作用下发生的变形程度，为单位长度上的变化量。
常见的应变类型有线性应变、剪应变等。
二、线弹性材料的应力应变关系：对于线弹性材料而言，应力应变关系可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明应力与应变之间呈线性关系，且比例系数为弹性模量。
应力=弹性模量 ×应变这意味着线弹性材料在弹性区内总是遵循胡克定律，即应力的增加与相应的应变呈线性关系。
三、非线性材料的应力应变关系：然而，并非所有材料都遵循胡克定律。
在超出线弹性范围的情况下，材料可能表现出非线性应力应变关系。
例如，在塑性变形时，材料产生塑性畸变，应力与应变之间的关系失去了线性性。
此时，材料的应力应变关系可由应力应变曲线来描述。
四、应力应变关系对材料强度和韧度的影响：应力应变关系直接决定了材料的力学性能，其中强度和韧度是两个重要的指标。
强度是指材料在外力作用下承受的最大应力，可以通过应力应变曲线中的极限强度来衡量。
强度高的材料能够承受更大的外力，具有较好的抗压能力。
韧度是指材料在断裂前能够吸收的能量，可以通过应力应变曲线下的面积来衡量。
韧度高的材料具有较好的抗拉伸能力和耐冲击性。
应力应变关系的形状和斜率都会对材料的强度和韧度产生影响。
通过调整材料的成分、结构和加工方式，可以改变应力应变关系，从而改善材料的力学性能。
五、应力应变关系的实验测定：测量材料的应力应变关系是材料力学性能研究的重要手段。
常见的实验方法包括拉伸试验、压缩试验和剪切试验等。
在实验中，使用应变计和力传感器等设备来测量应变和应力的变化。
通过绘制应力应变曲线，可以获取材料的弹性模量、屈服强度、极限强度、延伸率等参数。
应变与应力的计算与分析方法探讨
应变与应力的计算与分析方法探讨应变和应力是材料力学中重要的概念，它们描述了材料在受力作用下的变形和力的分布情况。
在工程实践中，准确计算和分析应变和应力是非常重要的，可以帮助工程师设计出更安全、更可靠的结构。
本文将探讨应变与应力的计算与分析方法。
首先，我们来了解一下应变的概念。
应变是指材料在受力作用下发生的形变相对于原始尺寸的比值。
常见的应变类型有线性应变、剪切应变和体积应变等。
线性应变是最常见的一种应变类型，它描述了材料在受力作用下的拉伸或压缩变形情况。
线性应变的计算方法是通过测量材料的变形量和原始尺寸来确定的。
应变的计算可以使用应变计或应变测量仪器进行，其中应变计是一种常用的测量工具。
应变计的原理是利用材料的电阻、电容或光学性质随应变的变化而发生变化，通过测量这些变化来计算应变。
应变计的使用可以帮助工程师实时监测结构的应变情况，从而及时采取措施防止结构的破坏。
接下来，我们来讨论应力的计算与分析方法。
应力是指单位面积上的力的分布情况，它描述了材料在受力作用下的力学响应。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力等。
拉应力是最常见的一种应力类型，它描述了材料在受拉力作用下的力学响应情况。
拉应力的计算方法是通过受力和截面积来确定的。
应力的计算可以使用应力计或应力测量仪器进行，其中应力计是一种常用的测量工具。
应力计的原理是利用材料的电阻、电容或应变随应力的变化而发生变化，通过测量这些变化来计算应力。
应力计的使用可以帮助工程师实时监测结构的应力情况，从而及时采取措施防止结构的破坏。
除了使用传统的计算和测量方法，现代工程实践中还广泛应用了数值模拟方法来计算和分析应变与应力。
数值模拟方法基于数学模型和计算机仿真技术，可以对复杂的结构和载荷情况进行精确的计算和分析。
常用的数值模拟方法有有限元法、边界元法和网格法等。
这些方法可以帮助工程师更好地理解结构的应变与应力分布情况，并进行结构的优化设计。
总结起来，应变与应力的计算与分析方法是工程实践中非常重要的一部分。
应力应变分析法范文
应力应变分析法范文应力应变分析法是一种常用于材料力学研究和工程设计中的分析方法，通过对材料在受外力作用下的应力和应变进行定量分析，可以得到材料的力学性能和变形特征。
本文将对应力应变分析法的原理、应用及其在工程设计中的应用进行详细介绍。
一、应力应变分析法的原理应力（Stress）是指材料在单位面积上所受到的力的大小，通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。
应力的大小与物体的受力情况和物体的几何形状有关。
应变（Strain）是指材料在受到外力作用后产生的变形程度，通常用ε表示，无单位。
应变的大小与物体的材料特性和力的作用方式有关。
哈脱烈定律是应力应变关系的基本定律，描述了材料的应力与应变之间的关系。
根据哈脱烈定律，材料的应力与应变之间存在线性关系，即应变与应力成正比。
二、应力应变分析法的应用1.弹性模量和刚度计算：根据应力应变关系，可以通过应力应变分析法计算材料的弹性模量和刚度，这是材料力学性能的重要指标。
2.材料性能评估：通过对材料在受外力作用下的应力和应变进行分析，可以评估材料的强度、变形和破坏等性能，为工程设计提供依据。
3.结构设计：应力应变分析法可以用于结构设计中的受力分析和可靠性评估，帮助工程师设计出更加安全和稳定的结构。
4.疲劳寿命估计：通过对材料在循环载荷下的应力和应变进行分析，可以估计材料的疲劳寿命，为材料的使用寿命及维护提供参考。
5.压力容器设计：应力应变分析法可以用于压力容器的受力分析和设计，确保容器在正常工作条件下不发生破坏。
三、应力应变分析法在工程设计中的应用示例以钢筋混凝土梁的设计为例，说明应力应变分析法在工程设计中的应用。
在钢筋混凝土梁的设计中，需要计算梁的强度和变形情况。
首先，通过应力应变分析法计算梁的弹性模量和刚度，以确定材料的力学性能。
然后，根据梁的几何形状和受力情况，计算梁的外部应力。
根据哈脱烈定律，将外部应力与钢筋混凝土的材料性能相结合，计算梁的内部应力和应变。
根据材料的破坏准则，对梁的承载能力和变形进行评估，并进行结构优化设计。
材料力学 应力与应变分析
t
s x s y
2
sin2 t xy cos2
PART B 二向应力状态分析的解析法
2、应力极值
s s x s y
2 s x s y
s x s y
2
cos2 t xy sin2
s和t随着的变化而 变化，是的函数，对
求导数可得到其极值。
t
2
sy tyx sx txy sy sx
sx tyx
sy
sx txy sy
上述方向均为正方向
PART B 二向应力状态分析的解析法 1、截面上的应力 研究任意斜截面的应力 通过截面外法线的方位定义截面的位置 s t dA n n s s s sx x x txy t t t t
y yx x xy
sx
b
s
n
sin 2 t xy cos2
0
(2)
tx
at y
s s 90 s x s y ds s 2)、 的极值主应力以及主平面方位
0
t c
x
sy
t
ds d
d 0 s x s y sin 2 0 t xy cos2 0 0 2t 0 即t 0 0 2
t zx t xz
在受力构件内过一点相互垂直的两个微面上，垂直于两微 面交线的切应力大小相等，方向相向或相背。这一规律称为切 应力互等定律。
PART A 应力状态的概念
3、单向拉伸斜截面上的应力
q
q
经过计算可得到单向拉伸 斜截面上的应力为:
F
B
s t
F s cos 2 scos 2 A
4
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
应变和应力的概念
应变和应力的概念应变和应力的概念引言应变和应力是材料力学学科中的基本概念，它们是研究材料在受外部作用下的变形和破坏行为的重要参数。
本文将深入探讨应变和应力的概念、种类、计算及其在工程实践中的应用。
一、应变的概念1.1 定义应变是指物体在受外部作用下发生形状或大小上的改变程度。
通俗地说，就是物体发生了多少形变。
1.2 种类根据物体发生形变时，不同方向上长度或角度的改变情况，可分为以下几种类型：(1) 线性应变：也称伸长率，是指物体沿着外力作用方向上单位长度发生的相对伸长量。
(2) 非线性应变：也称剪切应变，是指物体内部各层之间因受到外部剪切力而产生相对滑动而引起角度改变。
(3) 体积应变：是指物体在三个互相垂直方向上同时发生尺寸改变所引起的相对体积改变量。
二、应力的概念2.1 定义应力是指物体在外部作用下，单位面积内所受的力。
通俗地说，就是物体受到了多大的力。
2.2 种类根据作用力的不同方向和大小，可分为以下几种类型：(1) 正应力：是指作用在物体上的力与该面积垂直的分量。
(2) 剪应力：是指作用在物体上的力与该面积平行的分量。
(3) 组合应力：是指同时存在正应力和剪应力时，在该面积上所受到的合成作用。
三、应变和应力之间的关系3.1 胡克定律胡克定律是描述弹性材料之间应变和应力之间关系的基本定律。
它表明，当材料受到外部载荷时，其产生的弹性形变量与所施加载荷成正比。
即：σ=Eε其中，σ为材料所受内部单位面积上产生的正应力；E为杨氏模量，表示单位长度内所需施加的正应力；ε为材料所发生线性形变（伸长率）。
3.2 应变-位移关系式对于线弹性材料，在外部载荷不超过其屈服极限时，它的应变与位移之间的关系可以用以下式子表示：ε=δ/L其中，ε为物体的线性应变（伸长率）；δ为物体所受外力引起的位移；L为物体的原始长度。
四、应变和应力在工程实践中的应用4.1 应变计应变计是一种用于测量材料应变量的仪器。
它可以通过测量材料在受外部载荷时发生形变的程度来推算出其所受到的应力大小。
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一、任意方向的线应变
❖ 平面应力状态面内的任意方向。
y
τy
❖ 正应力方向的规定？
❖拉 + 压
-
o
γxy
τx ❖ 切应力方向的规定？
x ❖ 使单元体顺时针为正
❖ 对于切应变，规定使∠xoy变小为正，图示切应变为 正or负？
❖ 正的切应力对应着负的切应变，切应力和切应变总 是异号
❖ 由平面应力状态斜截面上的应力公式
例5-6
用电阻应变仪测得图示受扭的圆轴表面上任意两个成
45°角方向的应变值: '=3.25×10-4， ''=-5.63×10-4。已 知E = 200GPa, 0.3, d 10cm, 求力矩M。
M
''
M
45 '
此问题是一个纯剪切的问题，先考 M 虑纯剪切的一般情况。 画出纯剪切的应力圆:
2
)2
应变圆
(
-
x
y
2
)2
( b
2
)2
(x
-y
2
)2
( xy
2
)2
第七节 复杂应力状态下的应变比能
物体在外力作用下发生弹性变形， 外力所作的功将使物体 积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。
这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为 弹性变形能。
若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽 略动能和其他能量损耗，而以外力作功的大小来计算弹性变形 能的大小。
应变（strain）的概念 线应变与切应变 一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均
要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。
若要研究构件内某一点 a 的变形，可围绕该点取一单元体 如下图所示。
在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如， 棱边 ae 由 Dx 伸长到 Dx+Du 。
s3
s2
xy 0 yz 0 zx 0
1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。
广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向 的正应变：
sy
90
sx
t xy
1 E
s
- s 90
求出 s , s 90 ,就可求得 方向的正应变
40
主应力之一。在s-t坐标系中可得到其点C。
t
30
G3
120 x
30
tmax=80MPa
z
考虑x-y平面
D'
D(120,-30)
D'(40,30)
C
B
C1
A
s
画出应力圆
可得到三个主应 力和最大切应力
D
s2=30MPa
s3=-30MPa
s1=130MPa
平面应力状态作为三向应力状态的特例
t
tmax
1 E
s x - s y cos2 s y - s x sin2 -（1 ）t xsin2
b
-
（2 1 E
） s x
-sy
2
sin2
t xcos2
（5）
再将（4）代入（5）中，并经三角函数关系变换整理得
x
y
2
x
-y
2
cos2
xy
s s xcos2 s ysin2 -t xsin2 s b s xsin2 s ycos2 t xsin2
t
sx
-sy
2
sin2
t xcos2
（1）
❖ 由平面应力状态的广义胡克定律并注意到
❖
切应力和切应变异号有：
1 E
(s
- sb )
b
-t
1 2E
s12
s
2 2
s
2 3
- 2s1s 2
s3s 2
s1s3
材料力学 Mechanics of Materials
变形分为两类：体积变形与形状变形。单元体如果原是立方 体，变形后仍为立方体，或单元体原是球体，变形后仍为球体。 这种变形只是体积发生了变化，而形状没有变化，称为纯体积变 形。如果原是立方体的单元体，变形后为体积相等的长方体，或 原是球形单元体，变形后为体积相等的椭球体。这种变形只是形 状发生了变化，而体积没有变化，称为纯形状变形 。
xm
Du Dx
点 a在 x 方向 的平均线应变
lim x
Dx0
Du Dx
点 a在 x 方向的线 应变（或正应变）
应变（strain）概念 线应变与切应变
点 a 在 x 方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。
同理， y 、 z 分别表示点 a 沿 y 、z 方向的线应变。
主应变方向 主应变
tan 2
xy x -y
max min
x
y
2
(
x
-
y
)2
(
xy
)2
2
2
最大切应变及其方向
最大切应变
max
( x
-
y
)2
(
xy
)2
2
2
2
即
max
( x
-
y )2
2 xy
最大切应变方向
tan 2
第六节 广义胡克定律
2、体积应变与体积模量
s2
dz
单位体积的改变或体积应变为:
V1 -V V
1 2
3
dy
s1
1- 2
E
(s1
s2
s3)
sm
K
s3
dx
体积应力：
sm
(s1 s 2 s 3)
3
--平均应力。
体积模量
K
E
（3 1- 2）
❖ 第六节 平面应变状态的分析
第四节 三向应力状态下的最大应力
1、三向应力状态的应力圆
如图所示三向应力状态的主单元体 考察图示的三棱柱体，斜面与前后 面向垂直。
与s3平行的斜截面上的应力可在s1、s2
应力圆的圆周上找到对应的点。
与s2平行的斜截面上的应力可在s1、s3
应力圆的圆周上找到对应的点。
与s1平行的斜截面上的应力可在s2、s3
-x -y xy
应变圆
斜向方向应变公式中
x
y
2
x
-y
2
cos2
xy
2
s in 2
- b x - y sin2 - xy cos2
2
2
2
消去参数 ，得应变圆方程
(
-
x
y
2
)2
( b
2
)2
(x
-y
2
)2
( xy
s E -86.6MPa 1
M t maxWp
在应力圆上标出:
100 π 100 3 10 -3 19.6N m 16
2、体积应变与体积模量
当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，
如图所示:
s2
变形前的体积: V0 dxdydz
dz
变形后边长变化为:
取一个任意角度的单元体: sx2
由图可得: s x1 -s x2
sx1
根据广义胡克定律:
x1
1 E
s
x1
-
(s
x2
0)
x
x1
1 E
s
x1
-
(-s
x1)
1
E
s x1
''
M
45 '
t A 2 t
-t
0
t s
p
-t
B
sx1 sx2
M x1源自1 Es x1-
z
sy
y
sy
1、广义胡克定律的简单推导
对于各向同性材料:
tyx
tyz tzy sz
小变形及线弹性范围内，线应变 只和正应力有关，与切应力无关；而 切应变只和切应力有关，与正应力无
sx
txy
tzx
txz tzx
tyz
tzy tyx
sz
txz txy
sx
x
关。
z
sy
利用叠加法可求得各方向上的线 应变。
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3)
dy
s1
体积变化为:
V1 dxdydz(1 1)(1 2 )(1 3)
s3
dx
V0 (1 1 2 3 12 23 13 123)
略去高阶微量: V1 V0 (1 1 2 3)
1 E
sx
-
sy
sz
y
1 E
sy
- s x
s
z
tyx
tyz tzy sz
sx
txy
tzx
txz tzx
tyz
tzy tyx
txz txy
sx
x
sz
z