第十一讲有余数除法中周期问题

可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2 人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。 （100-1）÷4＝24……3， 所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依 次有4，6，3，5个球。
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整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的 平方，记作a2，即a2 ＝a×a；同样，三个a的乘 积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。一 般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即
• 例2
3月19日是周二，4月5日是周几？
• 解：一个星期有7天,3月份是大月，所以要 先想从3月19日到4月5日共有多少天？经过 计算共有18天。7天一周期，是从周二、三、 四、五、六、日、一。为一个周期。 18÷7=2……4，所以4月5日是周五。
• 例3 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第 1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第 24个数是几？前77个数的和是多少？ • 分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5 个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知， 第1，5，9，13，…个数都相同。 • 同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11， 15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。 • 也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。 所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数， 是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7） =9。 • 这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4 个数相同，是9。由77÷4＝19……1知，前77个数是19个 周期零1个数，其和为25×19+3=478。
• 例1 小军发现过街天桥上的彩灯很漂亮，这些彩灯按照5 盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、 4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问： • （1）第100盏灯是什么颜色？ • （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？ • 分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、 3黄，每12盏灯一个周期循环出现。 • （1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第 4盏灯，是红灯。 • （2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯， 12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1 盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。 • 答：第100盏灯是红色，前150盏彩灯中有49盏蓝灯.
• 分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做 法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所 以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串 数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数 之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性， 那么将这串数依次写出来，得到 • 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇…… • 可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循 环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不 会出现“2008”。
• 例6 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友 找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子； 第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个 球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中 各放有几个球？ • 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中 的球数如下表
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（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数 仍然是0，1，5，6。 • （2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an 的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的 个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数 是9时，按9，1的顺序循环出现。 • （3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增 大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其 中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现； a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现； 当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现； 当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。
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我们学过了有余数的除法，利用余数 可以解决很多有趣的问题。有一些规律成 周期性变化，像这种题目我们就可以借助 有余数的除法来解决。
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我们已经见过“找规律”这个问题，学习了 如何发现图形、数表和数列的变化规律。什么是 周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季， 百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季 过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天， 白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总 是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性 变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0， 1，2，0，1，2，……是按照0，1，2三个数重复 出现的，这也是周期性变化问题。一些数、图形 和事物的变化是周而复始地循环出现的，我们把 这种特殊的规律性问题称为周期问题。下面，我 们通过一些例题作进一步讲解。
• 例4 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它 前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？ • 628088640448……
• 分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有 两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这 串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面 那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性 变化。我们试着将这串数再多写出几位：
a aaa
n n个a
a
下面主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数 的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关， 所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1， 2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律， 我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什 么。
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当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现， 它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期 循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相 同，所以第88个数是4。 • 周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。
• 例5 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前 面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相 邻的四个数是“2008”？ • 135761939237134…