全等三角形 的判定SAS典型例题
三角形全等的判定1(SAS)
6
5
③
2.在下列图中找出全等三角形，并把它 们用直线连起来.
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅷ
Ⅶ
范例学习
例1:
已知：如图，AD∥BC，AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A D 1
分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
课的内容
• 1，确定一个三角形形状需要几个元素 • 2，判断两个三角形全等至少需要几个条件 • 3，利用SAS判断三角形全等
复习：全等三角形的性质
若△AOC≌△BOD， 对应边: AC= BD ， AO= BO ， CO= DO ， 对应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC= ∠BOD ;
B
C
归纳总结，继续探究
• 确定一个三角形的形状，大小需要三个元 素，确定三角形形状，大小的条件能否作 为判断三角形全等的条件呢？
操作:
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边长为4cm：
②只给一个角为60°：
可以发现只给一个 条件画出的三角形 不能保证一定全等
60°
60°
A D
B
C
E
F
在人工湖的岸边有A、B两点，难以直 接量出A、B两点间的距离。你能设计一种 量出A、B两点之间距离的方案吗？
A
B
C
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难 以直接量出A、B两点间的距离。你能设计 一种量出A、B两点之间距离的方案吗？
三角形全等的判定SAS
转化证明线段(或角)所
拓展
1、若AB=AC,则添加什么条件可得
△ABD≌ △ACD?
A
△ABD≌ △ACD
S
A
B S
AD=AD ∠BAD= ∠CAD AB=AC
D C
2、已知如图,点D 在AB上,点E在AC上,BE与CD 交于点O,
要证△ABE≌ △ACD需添加什么条件? △ABE≌ △ACD
A
画法:
1、 画∠MA′N = ∠A 2、 在射线 A M ,A N 上分别取 A ′B ′ = AB ,
A ′C ′= AC 、 3、 连接 B ′C ′ ,得 ∆A ′B ′C ′、
边角边公理
有两边和她们得夹角对应相等得 两个三角形全等、
可以简写成 “边角边” 或“ SAS ”
S ——边 A——角
D
E
O
S
A
S
B
C
AB=AC ∠A= ∠ A AE=AD
2、已知如图,点D 在AB上,点E在AC上,BE与CD 交于点O,
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
△BOD≌ △COE
A
D
E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3、如图,要证△ACB≌ △ADB ,至少选用 哪些条件才可以？
C
证明:
△ACB ≌ △ADB、 A
B
这两个条件够吗?
还要什么条件呢?
还要一条边
D
隐含条件:公共边,公共角,对顶角
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB、
求证: △ACB ≌ △ADB、
C 证明:
在△ACB 和 △ADB中
全等三角形的判定精选练习题(分SSS、SAS、AAS、ASA、HL分专题)
全等三角形的判定（SSS)1、如图1，AB=AD,CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（)A。
120°B。
125° C.127° D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC，•则下面的结论中不正确的是（）A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OC D。
∠C=∠D3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点,且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．5、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证:∠A=∠D．6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF。
请推导下列结论：⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF．7、已知如图,A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA;⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.全等三角形的判定（SAS）1、如图1，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形（)A。
3 B。
4 C.5 D。
62、如图2，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件（)D CBA A 。
∠1=∠2B 。
∠B=∠C C 。
∠D=∠ED 。
∠BAE=∠CAD 3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ) A.AB ∥CD B 。
AD ∥BC C 。
∠A=∠C D 。
∠ABC=∠CDA4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC,AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义）. 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD( ) 6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B 。
全等三角形的判定(SAS)
练习: 在下列图中找出全等三角形进行连线.
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
例.如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
已知：如图,BA=BC,∠1= ∠2.
求证: (1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
1
证明: (1)在△ABD与△CBD中，B
2
AB=CB ∠1=∠2
BD=BD
(已知）， （已知）， （公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AD=CD. (2)∵△ABD≌△CBD（已证），
∴∠3=∠4，
全等三角形的判定(SAS)
复习回顾
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.
A
D
B
C
E
F
问题1：如果两个三角形的有1个角对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
问题2：如果两个三角形有2个角分别对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
问题3：如果两个三角形有3个角分别对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
A
D
O
B
C
(2)如图, 在ΔABD和ΔACD中,
BD = CD
(已知)
∠ADB =∠ADC(已证)
A—D—=——AD———(—公——共——边—)——
∴ΔABD ΔACD(SAS).
A
D
B
15.2三角形全等的判定(SAS)
A'
B
C
B'
C'
∴△ABC≌
动脑用一用
已知：如图，AD∥BC，AD=BC。 求证：△ADC≌△CBA
D C
A
证明：∵AD∥BC，（已知） ∴∠DCA=∠BCA，（两直线平行，内错角相等） 在△ADC和△CBA中， AD=BC，（已知） ∵ ∠DAC=∠BCA，（已证） AC=CA，（公共边） ∴△ADC≌△CBA.(SAS)
B
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难以直接 量出A、B两点间的距离。你能设计一种量出A、B 两点之间距离的方案吗？ E
A C
D
B
开心练一练
1、已知：如图，AB=AC，AD=AE. 求证: △ABE≌△ACD.
A
D
E
C B
开心练一练
2、已知:如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD. 求证:DC∥AB.
作业:
课本第106页,练习题2、3
将两块三角板的一条直角边放置 在同一直线上平移,如图获得的△ABC 能唯一确定吗?
A
B
C
已知:△ABC求作：△A’B’C’， 使A’B’=AB，∠B’=∠B，B’C’=BC 作法：①作∠MB’N=∠B B ②在B’M上截取B’A’=BA， 在B’N上截取B’C’=BC, ③连接A’C’则△A’B’C’就是所 求作的三角形.
A
C
将这两个三角形重叠，看能否完全重合？
三角形全等判定定理1： 两边和它们的______对应相等的两个三 角形全等.
记为“_____”或“_____”.
用数学语言表述全等三角形判定定理1: 在△ABC和 A ' B ' C ' 中, A AB A ' B ' ∵
全等三角形的判定(SAS)
2.如图 与BD相交于点 ， 如图AC与 相交于点O， 如图 相交于点 已知OA=OC，OB=OD， ， 已知 ， 求证:△ 求证 △AOB≌△COD ≌
A O D C
B
证明: 证明
AOB和 COD中 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠AOB=∠COD ∠ ______________ OB=OD
A
∠B=∠E ∠ BC=EF
B
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） ≌ （ ）
E
F
基础练习（填空题） 基础练习（填空题） 1.如图 AB=EF,AC=DE,问△ABC≌△EFD 吗？ 如图, 如图 问 ABC≌△
为什么？ 为什么？ A
40°
D B F
答:△ABC≌△EFD △ ≌
C
E
证明: 证明:在△ABC和△EFD 中, 和
B
E
F
C
2.如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到： 如图，已知 应填什么条件就得到： 如图 应填什么条件就得到 只允许添加一个条件) △AOC≌ △BOD(只允许添加一个条件 ≌ 只允许添加一个条件
B
C O A D
小结： 小结： 两边和它们的夹角对应相等的两个三 边角边” 角形全等。 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 与 中 AB=DE
作业 P15 习题3 习题 P16 习题 ，10 习题9，
B 1 2 C A
D
变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= 变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2 1:已知 求证:(1) (2)BD 平分∠ ADC 平分∠ 求证:(1) AD=CD (2)
三角形全等的判定(SAS)
D
例1
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
证明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
例1已知:
证明:
如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D (已知)
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S B AB=AB ∠CBA= ∠ DBA BC=BD D S A
作业：
1、一张试卷 2、笔记补充完整
谢 谢 ！
三角形全等的判定定理
SAS
我们学过哪几种判定三角形全等的方法？
1、全等三角形概念：三条边对应相 等，三个角对应相等。 2、全等三角形判定条件（一） 三边对应相等的两个三角形全等。 简称“边边边”或“SSS”
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可 无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想 出办法来吗？
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
A
△BOD≌ △COE
D E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件才可以？
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S A
S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD D
△ABD≌ △ACD
D B S A S AB=AC C
全等三角形判定SAS练习
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 AB=DE
B C
D
“SAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ”）
A
∠A=∠D AC=DF
E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D
1.在下列图中找出全等三角形
30º
1
2
3 Ⅲ
Ⅳ 4
5 cm
30º
6
5
30º
7
8
知识应 用
例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距 离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结 BC并延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出 DE的长，就是A、B的距离.为什么？
知识应 用
证明:在△ABC 和△DEC中
CA CD ACB DCE CB CE
A B
C D
∴△ABC ≌△DEC(SAS)
∴ AB=DE(全等三
E
角形的对应边相等)
例2.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：∠B＝∠C 证明：在△ABD和△ACE中 E AB ＝AC（已知） B A＝A（公共角） AD＝AE （已知） A ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B＝∠C（全等三角形
DE C A
D
C A
对应角相等）
B
例3 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你 能判断BC=AD吗？说明理由。 C D 证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD
∠CAB=∠DBA (已知) A (已知) (公共边) B
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全等三角形的判定（SAS ）
一、常用的知识点
1、全等三角形的性质：
2、等腰直角三角形的性质：
两锐角互余，相等，且等于︒45。
3、等边三角形的性质：
三条边相等，三个角相等并且等于︒60。
4、任意三角形三边的关系：
另外两边之差的绝对值 < 第三边<另外两边之和
5、三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于︒180。
6、关于三角形的外角的推论：
三角形的外角等于其不相邻两内角和。
7、 关于公共角公共边的问题
①（公共角问题）若CAE BAD ∠=∠,则EAD BAC ∠=∠ ? 为什么 ？
②(公共边问题)若AF DC =，则AC BF = ? 为什么 ？
例题展示
1、（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
2、（2016•同安区一模）如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
3、（2016秋•宜兴市校级月考）已知，如图，BC上有两点D、E，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，AB和AC相等吗？为什么？
4、（2015秋•江都市期中）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE，
求证：△ABC≌△DEF．
5、（2015秋•泊头市校级月考）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．
6、（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE
7、（2014•漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
8、（2014•黄冈模拟）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE．
9、（2014•房县三模）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
求证：△ACD≌△BCE
10、（2013秋•合浦县期末）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．
11、（2014春•工业园区期末）已知：如图，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，试说明△ABC≌△DEF．
12、（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由
13、（2012秋•台州期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：△ABD≌△GCA；
（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．
14、（2012秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
15、（2009•吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE 于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。
16、（2006•泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD间的等量关系式为；∠APB的大小为；
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