2021届山西省大同市高三学情调研测试数学(文)【含答案】
2021届山西省大同市高三学情调研测试 数学（文）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
5.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则 A.A
B B.B
A C.A ＝
B D.A ∩B ＝φ
2.复数Z ＝
3i
2i
-++的共轭复数的模为 5 3 2 D.2 3.已知tan
=32α
，则
sin 1cos α
α
-＝
A.3
B.13
C.－3
D.－1
3
4.已知F 1、F 2为双曲线C ：2
213
x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为 3 B.
33 C.32
35.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝2，则a 7a 8a 9＝ A.25 B.20 2 D.10
6.若变量x ，y 满足约束条件y 1
x y 0x y 20≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，则z ＝x －2y 的最大值为
A.2
B.4
C.3
D.1
7.设函数f(x)＝ax 3＋bsinx ＋cln(x 2
x 1+＋3的最大值为5，则f(x)的最小值为
A.－5
B.1
C.2
D.3
8.在直角△ABC 中，直角边AB ＝3，AC ＝4，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅＝ A.－25 B.25 C.7 D.－7
9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则 A.A 1E ⊥DC 1 B.A 1E ⊥BD C.A 1E ⊥BC 1 D.A 1E ⊥AC
10.已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0<0，则a 的取值范围是 A.(2，＋∞) B.(－∞，－2) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
11..椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，
且AF 1DCF 2B 为正六边形，则椭圆的离心率为 A.
1
2
B.32
C.22
D.3－1
12.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝1，AB ＝AP ＝3，AB ⊥AP ，AC ⊥AP ，∠BAC ＝30°，则三棱锥P －ABC 外接球的面积为
A.16π
B.4π
C.7π
D.5π
第II 卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝ 。
14.若曲线y ＝lnx ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是 。
15.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马。
现齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为 。
16.设函数f(x)＝sin(ωx ＋
5
π
)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且8absinC＝3(b2＋c2－a2)，若a＝10，c＝5。
(1)求cosA；
(2)求△ABC的面积S。
18.(12分)
为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，根据收集到的市场信息，得到某地区100户农民该品种蔬菜年销频率分布直方图如图。
(1)若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销分别为好、中、差的概率(以频率代替概率)；
(2)根据频率直方图计算这100户农民该品种蔬菜年销量的平均数和中位数。
19.(12分)
如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上(异与N，F)，点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1。
(1)若平面FNH⊥平面NHG，证明NG⊥FH；
(2)若直线O1H//平面FGE，求H到平面FGE的距离。
20.(12分)
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右顶点分别为A、B，已知|AB|
＝4，且点(e 3
5
4
在椭圆上，其中e是椭圆的离心率。
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 是椭圆C 上异与A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP 、BP 于点M 、N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值。
21.(12分) 已知函数f(x)＝
2
x
＋alnx(a>0) (1)若函数y ＝f(x)图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数f(x)的极值点； (2)若不等式f(x)<2有解，求a 的取值范围。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.[选修4－4：极坐标与参数方程](10分)
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1x tcos 2
y tsin α
α
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，0<α<π)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos sin θ
θ。
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若|AB|＝8，求α的值。
23.[选修4－5；不等式选讲](10分)
巳知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋4，g(x)＝|x ＋1|＋|x －1|。
(1)当a ＝1，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围。
2021届山西省大同市高三上学期学情调研测试数学(文)试题(解析版)
2021届山西省大同市高三上学期学情调研测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{11}=-<<B x x ，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】B【解析】解不等式，可求出集合A ，进而对四个选项逐个分析，可得出答案. 【详解】由题意，{}()(){}220210A x x x x x x =--<=-+<{}12x x =-<<，又{11}=-<<B x x ，所以B A ，A B B =≠∅，A B ≠.故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集、集合的包含关系，及判断两个集合是否相等，属于基础题. 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数的模为（ ）A ．B CD ．2【答案】C【解析】求出z ，进而求出z 的共轭复数，再求出共轭复数的模即可. 【详解】 由题意，()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z -+--+-+====-+++-， 所以复数z 的共轭复数为1i --，则1i --==故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查学生的计算能力，属于基础题. 3．已知tan32α=，则sin 1cos αα=-（ ）A ．3B ．13C ．3-D ．13-【答案】B【解析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可． 【详解】 解：已知tan32α=，而222sincos2sincossin 1122221cos 32sin tan112sin 222ααααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．4．已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为（ ） ABCD．【答案】A【解析】根据双曲线的性质，可得122PF PF a -=，122F F c =，进而结合余弦定理2221221212cos 2PF PF FF F PF PF PF +-∠=⋅，可求出12PF PF ⋅，进而由12121sin 602PF F SPF PF ︒=⋅⋅∠可求出答案. 【详解】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，则122PF PF a -==221212122PF PF PF PF +=+⋅，且1224F F c ==，由余弦定理2221221212cos 2PF PF FF F PF PF PF +-∠=⋅，即1212122161cos6022PF PF PF PF ︒+⋅-==⋅，解得124PF PF ⋅=，则121211sin 60422PF F SPF PF ︒=⋅⋅∠=⨯=故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，考查焦点三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知各项均为正数的等比数列{}n a，1234565,a a a a a a ==则789a a a =（ ） A ．25 B ．20C．D ．10【答案】D【解析】由各项均为正数的等比数列{}n a 有性质可知()()()7892456123a a a a a a a a a =⨯，从而可求得结果 【详解】解：由各项均为正数的等比数列{}n a 有性质可知()()()7892456123a a a a a a a a a =⨯，因为1234565,a a a a a a ==所以27895()a a a =⨯，解得789a a a =10， 故选：D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式及其性质的应用，考查计算能力，属于中档题6．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z =-，平移直线12y x =可知，当直线经过点()1,1C -时，直线的截距最小，代值计算可得z 取最大值()max 1213z =-⨯-= 故选B. 【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．设函数(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++的最大值为5，则()f x 的最小值为（ ） A ．5- B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】根据题意，设(32()sin ln 1g x ax b x c x x =+++，利用定义法判断函数的奇偶性，得出()g x 是奇函数，结合条件得出()g x 的最大值和最小值，从而得出()f x 的最小值. 【详解】解：由题可知，(32()sin ln 13f x ax b x c x x =+++++，设(3()sin ln g x ax b x c x =++，其定义域为R ，又()3()()sin ln(g x a x b x c x -=-+-+-，即()3sin ln(g x ax b x c x -=-+--，由于()()((ln ln g c x c x g x x -+=+-(()22ln 1ln10ln x x c x x c c -=+-===，即()()0g x g x -+=，所以()g x 是奇函数， 而()()3f x g x =+，由题可知，函数()f x 的最大值为5， 则函数()g x 的最大值为：5-3=2，由于()g x 是奇函数，得()g x 的最小值为-2， 所以()f x 的最小值为：-2+3=1. 故选：B . 【点睛】本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.8．在直角ABC 中，直角边3,4AB AC ==，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．25- B ．25C ．7D ．7-【答案】A【解析】由已知可得斜边BC =5,角A 为直角，然后由向量的数量积公式和向量的加减运算法则化简求值即可. 【详解】由已知可得直角三角形斜边BC =5,角A 为直角，所以0CA AB ⋅=, 则AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅()()2+=25BC AB CA BC AB AC BC CB BC =⋅⋅-=⋅=-=-,故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积公式的应用，考查向量加减运算法则的应用，属于基础题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）． A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】画出正方体1111ABCD A B C D -，如图所示．对于选项A ，连1D E ，若11A E DC ⊥，又111DC A D ⊥，所以1DC ⊥平面11A ED ，所以可得11DC D E ⊥，显然不成立，所以A 不正确．对于选项B ，连AE ，若1A E BD ⊥，又1BD AA ⊥，所以DB ⊥平面1A AE ，故得BD AE ⊥，显然不成立，所以B 不正确．对于选项C ，连1AD ，则11AD BC ．连1A D ，则得111,AD A D AD ED ⊥⊥，所以1AD ⊥平面1A DE ，从而得11AD A E ⊥，所以11A E BC ⊥．所以C 正确． 对于选项D ，连AE ，若1A E AC ⊥，又1ACAA ⊥，所以AC ⊥平面1A AE ，故得AC AE ⊥，显然不成立，所以D 不正确．故选C ． 【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．10．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-【答案】C【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 和-不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a ∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a ∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．【考点】1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．11．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2D 1【答案】D【解析】由以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，可得160AFO ︒∠=，1290F AF ︒∠=，从而可求出1AF 、2AF 的表达式，结合122AF AF a +=，可求出椭圆的离心率.【详解】因为以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，所以160AFO ︒∠=，1290F AF ︒∠=，所以112sin30AF F F c ︒==，212sin60AF F F ︒==，又122AF AF a +=，即2c a +=，则3131ca，1.故选：D. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查椭圆的离心率，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12．如图，在三棱锥P ABC -中，1AC =，3AB AP ==，AB AP ⊥，AC AP ⊥，30BAC ︒∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．7πD ．5π【答案】C【解析】由AB AP ⊥，AC AP ⊥，可得PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，计算可得1BC CA ==，设△ABC 的外接圆圆心为1O ，则1O 在线段CH 上，可求得外接圆半径2sin BCr BAC=∠，过1O 作AP 的平行线1O M ，取AP 的中点G ，过G 作1O M 的垂线，垂足为O ，则球心为O ，连结OA ，由22211OA OO O A =+，可求出OA 即为外接球的半径，进而可求出外接球的表面积. 【详解】因为AB AP ⊥，AC AP ⊥，且AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，过C 作AB 的垂线，垂足为H ，因为30BAC ︒∠=，所以1si 30n 2CH AC ︒=⋅=，则221314AH AC CH =-=-=，即12AH AB =， 所以AH 是AB 的垂直平分线，故1BC CA ==，设△ABC 的外接圆圆心为1O ，则1O 在线段CH 上，设外接圆的半径为r ，则30122sin sin BC r BAC ︒===∠，即1r =，过1O 作AP 的平行线1O M ，取AP 的中点G ，过G 作1O M 的垂线，垂足为O ，则球心为O ，连结OA ，则1O OGA 为矩形，所以22222111371244OA OO O A AP r ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，即外接球的半径为74R OA ==，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为274π4π7π4R =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查外接球，考查三棱锥的性质，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =______． 【答案】98【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出100a ． 【详解】等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，1198927298a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩， 解得11a =-，1d =，10019919998a a d ∴=+=-+=．故答案为98． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．若曲线ln 1y x =+的一条切线是y ax b =+，则4e b a +的最小值是______． 【答案】4【解析】设切点为()00,ln 1x x +()00x >，利用导数的几何意义，可得出切线方程的表达式，进而可求出001ln a x b x⎧=⎪⎨⎪=⎩，从而可得0044e bx x a +=+，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 求导得，1y x '=，设切点为()00,ln 1x x +()00x >，则切线斜率为01x ， 故切线方程为()0001ln 1y x x x x --=-，即00ln xy x x =+， 所以001ln a x b x⎧=⎪⎨⎪=⎩，则0ln 000444e e 4b x x x x a =+=+≥=+， 当且仅当004x x =，即02x =时，等号成立. 故答案为：4. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为______． 【答案】16【解析】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A ，B ，C ，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a ，b ，c ，根据每一场双方均任意选一匹马参赛，列出基本事件总数，然后找出田忌获胜的基本事件个数，代入古典概型的概率公式求解. 【详解】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A ，B ，C ，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜， 基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Bc Ca Ab Ba Cc Ac Bb Ca Ac Ba Cb ，共6个，其中田忌获胜的基本事件是(),,Ac Ba Cb ，共1个， 所以田忌获胜的概率为16p =， 故答案为：16【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 16．设函数()πsin 5f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)>ω，已知()f x 在[0,2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______．【答案】1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】当[0,2π]x ∈时，可知πππ,2π555x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据sin y x =在π,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上第5个零点及第6个零点的值，可建立不等关系，进而可求出ω的取值范围. 【详解】当[0,2π]x ∈时，πππ,2π555x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数sin y x =在π,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上第5个零点为5π，第6个零点为6π， 所以π5π2π6π5ω≤+<，解得1229510ω≤<. 故答案为：1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a=+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b =∵3tan4A=，∴3sin5A=由1sin2S bc A=⋅得152S=或92S=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，根据收集到的市场信息，得到某地区100户农民该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图．（1）若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率（以频率代替概率）；（2）根据频率直方图计算这100户农民该品种蔬菜年销量的平均数和中位数（保留2位小数）．【答案】（1）0.3；0.5；0.2；（2）18.75；18.33【解析】（1）根据每组频率等于该组小长方形的面积，进而求解即可；（2）根据频率分布直方图的性质，分别求出平均数与中位数即可.【详解】（1）销量差的概率为(0.020.04)50.3+⨯=，销量中的概率为(0.020.030.030.02)50.5+++⨯=，销量好的概率为(0.020.02)50.2+⨯=.（2）平均数为0.1 2.50.27.50.112.50.1517.50.1522.50.127.50.132.5 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.137.518.75+⨯=；设中位数为x，因为前三组的频率之和为(0.020.040.02)50.40.5++⨯=<，前四组的频率之和为(0.020.040.020.03)50.550.5+++⨯=>，所以()15,20x ∈，则()0.40.03150.5x +-=，解得18.33x ≈， 故中位数约为18.33.本题考查频率分布直方图，考查平均数与中位数的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19．如图，在圆柱W 中，点1O 、2O 分别为上、下底面的圆心，平面MNFE 是轴截面，点H 在上底面圆周上（异与N ，F ），点G 为下底面圆弧ME 的中点，点H 与点G 在平面MNFE 的同侧，圆柱W 的底面半径为1．（1）若平面FNH ⊥平面NHG ，证明NG FH ⊥； （2）若直线1//O H 平面FGE ，求H 到平面FGE 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）22【解析】（1）由平面FNH ⊥平面NHG ，及FH HN ⊥，可推出FH ⊥平面NHG ，进而可得到NG FH ⊥；（2）连接12O O ，易知12//O O 平面FGE ，结合1//O H 平面FGE ，可证明平面12//O HO 平面FGE ，从而可知H 到平面FGE 的距离等于2O 到平面FGE 的距离，取线段EG 的中点V ，可知2O V EG ⊥，可证明2O V ⊥平面FGE ，即H 到平面FGE 的距离为2O V ，求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面FNH ⊥平面NHG ，且平面FNH 平面NHG NH =，而FH HN ⊥，FH⊂平面FHN ，所以FH ⊥平面NHG ，因为NG ⊂平面NHG ，所以FH NG ⊥． （2）连接12O O ，如图所示，因为12//O O EF ，12O O ⊄平面FGE ，EF ⊂平面FGE ，所以12//O O 平面FGE ， 又因为直线1//O H 平面FGE ，且12O O ，1O H ⊂平面12O HO ，1121O H O O O =，所以平面12//O HO 平面FGE ，所以H 到平面FGE 的距离等于2O 到平面FGE 的距离， 取线段EG 的中点V ，则2O V EG ⊥，因为EF ⊥平面2O GE ，2O V ⊂平面2O GE ，所以2EF O V ⊥， 又EGEF E =，所以2O V ⊥平面FGE ，所以H 到平面FGE 的距离为2O V ，连结2O G ，则2O G ME ⊥，在等腰直角三角形2O EG 中，221O E O G ==，2EG =，∴222O V =，所以所求距离为22．【点睛】本题考查圆柱的性质，考查线线垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ．已知||4AB =，且点354e ⎛⎝在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程．（2）设P 是椭圆C 上异与A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP 、BP 于点M 、N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【解析】（1）由||4AB =，可知24a =，结合点354e ⎛⎝在椭圆上，代入可得22245116e a b+=，进而由222b c a +=和c e a =，可求出23b =，从而可得到椭圆方程； （2）设P 点坐标为(,)s t ，,M N 的横坐标为(2)m m ≠±，可表示出直线AP 的方程，及M 的坐标，进而得到直线BM 的斜率，同理可求得直线AN 的斜率，进而得到两个斜率之积为21224t k k s =-，再结合点P 点在椭圆上，可得()22344t s =--，代入可得到1234k k =-. 【详解】（1）因为||4AB =，所以24a =，即2a =，又2c c e a ==，且点354e ⎛ ⎝在椭圆上，所以22245116e a b +=，即224511616c b+=， 又2224b c a +==，所以2244511616b b-+=，整理得()()223150b b -+=， 由20b >，可得23b =，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设P 点坐标为(,)s t ()2s ≠±，,M N 的横坐标为(2)m m ≠±，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故,(2)2t M m m s ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，则直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-直线BP 的方程为(2)2t y x s =--，故,(2)2t N m m s ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 可得直线AN 的斜率2(2)(2)(2)t m k s m -=-+，故2122(2)(2)(2)(2)(2)(2)4t m t m t k k s m s m s +-=⨯=+--+-，又P 点在椭圆上，则22143s t +=，即()22344t s =--， 因此()2122343444s k k s --==--. 故直线AN 与BM 的斜率之积是定值. 【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线的斜率关系，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.21．已知函数2ln ()(0)f x a x a x=+> （1）若函数()y f x =图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数()f x 的极值点； （2）若不等式()2f x 有解，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为12，无极大值点；（2）0a >且2a ≠. 【解析】（1）求导后可知，当14a x =时()'f x 取最大值28a ，求得a 的值，再利用导数研究函数的单调性，进而得到极值点；（2）利用导数研究函数的单调性，得到22()()f x f a aln a a=+，将()2f x 有解转化为2210ln a a+-<，设函数()1g x lnx x =+-，结合函数的单调性得到()()10g x g =，则2210ln a a +-<等价于20a >且21a≠，由此求得a 的取值范围． 【详解】解：（1）由于()y f x =图像上各点切线斜率的最大值为2，即()'f x 取得最大值为2， 由题可知2ln ()(0)f x a x a x=+>的定义域为()0,∞+， 则22211()2a f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()'f x 是关于1x的二次函数， ∵0a >，∴当14a x =时，()'f x 取得最大值为28a ，∴228a =， 而0a >，∴4a =， ∴此时222442()x f x x x x-'=-+=， 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0,()f x f x '<单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0f x '>,()f x 单调递增， ∴()f x 的极小值点为12x =，无极大值点. （2）∵22()ax f x x -'=，其中0x >且0a >， 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，则()f x 单调递减， 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，则()f x 单调递增， ∴22()ln f x f a a a a ⎛⎫≥=+⎪⎝⎭， ∵关于x 的不等式()2f x 有解，∴2ln2a a a+<， ∵0a >，∴22ln 10a a+-<，设()ln 1g x x x =+-，则11()1xg x x x-'=-=， 在(0,1)上，()0g x '>，则()g x 单调递增，在(1,)+∞上，()0g x '<，则()g x 单调递减，∴()(1)0g x g ≤=，即()ln 10g x x x =+-≤在()0,∞+内恒成立， ∴要求22ln10a a+-<，即()02a g <，则只需()02a g ≠即可，即22ln 10a a +-≠，等价于2021a a⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得：0a >且2a ≠，∴a 的取值范围是：0a >且2a ≠. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及构造新函数和根据不等式有解情况求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，是中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．【答案】（1）22=y x ；（2）6πα=或56π【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12t t +和12t t ，根据直线参数方程参数的几何意义可知12AB t t =-=.【详解】 （1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ= 22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--=()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-∴12228sin AB t t α=-==== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴= 6πα∴=或56π【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于α的方程，属中档题． 23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得第 1 页 共 6 页 11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。
2020-2021学年山西省大同市高三(上)学情调研数学试卷(理科) (解析版)
2020-2021学年山西省大同市高三（上）学情调研数学测试试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．已知i为虚数单位，复数Z＝i（3﹣ai），且|Z|＝5，则实数a＝（）A．﹣4B．4C．±4D．23．已知，且，则＝（）A．0B．C．1D．4．等比数列{a n}的各项均为正实数，其前n项和为S n．若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝（）A．32B．31C．64D．635．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360B．520C．600D．7206．中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现．为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是（）A．表中m的数值为10B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为257．已知双曲线mx2+ny2＝1与抛物线x2＝8y有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）A．﹣x2＝1B．﹣y2＝1C．﹣x2＝1D．y2﹣＝1 8．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝f（x）的图象，只需把y＝sinωx的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．已知变量x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝（）sin x的图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点．若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）满足f（x）+1＝，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A．[0，）B．[，+∞）C．[0，）D．（0，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量＝（2m﹣1，2），＝（﹣2，3m﹣2），且⊥，则|2﹣3|＝．14．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．15．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则P到直线l1：4x﹣3y+11＝0和l2：x+1＝0的距离之和的最小值是．16．如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a4，a8成等比数列．（1）已知数列{a n}的前10项和为45，求数列{a n}的通项公式；（2）若，且数列{b n}的前n项和为T n，若，求数列{a n}的公差．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝∠BAD ＝90°，AB＝AD＝2DC＝2，且E、F分别为PD、PB的中点．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAD；（Ⅱ）若直线PA与平面CEF的交点为G，且PG＝1，求截面CEF与底面ABCD所成锐二面角的大小．19．（1）某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N （170.5，16）现从该省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]第二组[162.5，167.5]，…第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm以上含（177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2）．则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左、右顶点分别为A，B．已知AB＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值．21．设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx．（1）当a＝b＝时，求函数f（x）的最大值；（2）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求α值．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】先分别求出集合A，B，同此能求出A∩B．解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}＝{x|x＜﹣8或0＜x＜2，x∈Z}，故选：A．2．已知i为虚数单位，复数Z＝i（3﹣ai），且|Z|＝5，则实数a＝（）A．﹣4B．4C．±4D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．解：Z＝i（3﹣ai）＝a+3i，由|Z|＝5，得，即a＝±4．故选：C．3．已知，且，则＝（）A．0B．C．1D．【分析】解法一：由题意先求出角θ，从而求得的值．解法二：由题意求得cos（θ﹣），再根据＝cos[（θ﹣）+]吧，利用两角差的三角公式求得结果．解：由，且，可得，代入，可得＝cos0＝1，解法二：由，且，可得，故选：C．4．等比数列{a n}的各项均为正实数，其前n项和为S n．若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝（）A．32B．31C．64D．63【分析】解法一：设首项为a1，公比为q，因为a n＞0，所以q＞0，由条件得，解出即可得出．解法二：设首项为a1，公比为q，由，又a3＝4，可得q＝2，再利用通项公式即可得出．【解答】解法一：设首项为a1，公比为q，因为a n＞0，所以q＞0，由条件得，解得，故选：B．∴q＝2，故选：B．5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360B．520C．600D．720【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A84＝480种情况；其中甲乙相邻的有C22•C52•A53•A22＝120种情况；故选：C．6．中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现．为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是（）A．表中m的数值为10B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25【分析】根据系统抽样的定义分别进行判断即可．解：8%+10%+20%+26%+18%+m%+4%+2%＝1，得m＝12，故A错误，活动次数不高于2场的学生约（6%+10%+20%）×1000＝380，即约为380人，故B 错误，D中的分段间隔应为1000÷50＝20，故D错误，故选：C．7．已知双曲线mx2+ny2＝1与抛物线x2＝8y有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）A．﹣x2＝1B．﹣y2＝1C．﹣x2＝1D．y2﹣＝1【分析】根据题意，求出抛物线的焦点坐标，即可得双曲线mx2+ny2＝1的焦点坐标，分析可得双曲线的焦点在y轴上，且c＝2；又由双曲线的几何性质可得b的值，计算可得a的值，结合双曲线焦点位置分析可得答案．解：根据题意，抛物线x2＝8y的焦点为（0，7），则双曲线mx2+ny2＝1的焦点也为（0，7），则双曲线的焦点在y轴上，且c＝2；则a＝＝，故选：A．8．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y＝f（x）的图象，只需把y＝sinωx的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【分析】由T＝﹣，可求得其周期T，继而可求得ω，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解：由图知，T＝﹣＝π，∴T＝＝π（ω＞5），又ω+φ＝π，∴y＝f（x）＝sin（2x+），g（x）＝sin4x，∴为了得到f（x）＝sin（2x+）的图象，则只要将g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．9．已知变量x，y满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义求解得答案．解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），B（0，2），∵，．故选：B．10．函数f（x）＝（）sin x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号是否对应，进行排除判断即可．解：f（﹣x）＝sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除C，D，故选：A．11．如图，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作线段F2P与C交于点Q，且Q为PF2的中点．若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义和等腰三角形的性质，即可得到，（2a+）2+（）2＝（2c）2，化简整理可得．解：连结QF1，由条件知QF1⊥PF2，且|QF2|＝．由双曲线定义知|QF1|＝2a+，即8a6+4ac﹣7c2＝0，解得C的离心率e＝，故选：C．12．已知函数f（x）满足f（x）+1＝，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（）A．[0，）B．[，+∞）C．[0，）D．（0，]【分析】设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），由于当x∈[0，1]时，f（x）＝x，可得f（x+1）＝x+1．利用f（x）+1＝，可得f（x）＝，方程f（x）﹣mx﹣x＝0，化为f（x）＝mx+m，画出图象y＝f（x），y＝m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0），可得k MN＝．即可得出．解：设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），∵当x∈[4，1]时，f（x）＝x，∵f（x）+1＝，可得f（x）＝，画出图象y＝f（x），y＝m（x+8），M（1，1），N（﹣1，0），∵在区间（﹣4，1]上方程f（x）﹣mx﹣x＝0有两个不同的实根，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量＝（2m﹣1，2），＝（﹣2，3m﹣2），且⊥，则|2﹣3|＝．【分析】由向量数量积的坐标运算得：：（﹣2）×（2m﹣1）+（3m﹣2）×2＝0，解得：m＝1，由向量模的运算得：|2|＝＝，得解．解：由平面向量＝（2m﹣1，2），＝（﹣2，3m﹣7），且⊥，得：（﹣2）×（2m﹣1）+（3m﹣2）×2＝0，则2＝（5，1），故答案为：14．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为：＝﹣560．故答案为：﹣560．15．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则P到直线l1：4x﹣3y+11＝0和l2：x+1＝0的距离之和的最小值是3．【分析】如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．l2：x+3＝0是抛物线y2＝4x的准线方程．由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，过P作直线l1：4x﹣3y+11＝0的垂线，垂足为M，其最小值为点F到直线l7的距离，∴|FM|＝＝3．故答案为：3．16．如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为7π．【分析】通过平面展开图画出三棱锥P﹣ABC，过点A作AM⊥平面PAB，交PC的延长线于点M，连接BM，易知∠CAM＝60°；在△PAC中，由余弦定理可求得CP＝1，从而推出∠PCA＝120°和△ACM为等边三角形；以A为顶点，AB、AM、AP分别为长、宽、高构造一个长方体，由长方体的体对角线可知外接球的直径，再利用球的表面积公式即可得解．解：通过平面展开图还原后的三棱锥P﹣ABC如图所示．∵∠CAE＝30°，即∠CAP＝30°，在△PAC中，由余弦定理知，cos∠CAP＝，即cos30°＝，解得CP＝3＝AC．∴∠ACM＝60°＝∠CAM，若以A为顶点，AB、AM、AP分别为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的体对角线为外接球的直径，解得R＝，故答案为：7π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a4，a8成等比数列．（1）已知数列{a n}的前10项和为45，求数列{a n}的通项公式；（2）若，且数列{b n}的前n项和为T n，若，求数列{a n}的公差．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列得到首项和公差的关系，再由数列{a n}的前10项和为45列式求出首项和公差，则答案可求；（2）利用裂项相消法求出数列{b n}的前n项和为T n，由可求出数列{a n}的公差．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得，．即，（1）由数列{a n}的前10项和为45，得，故数列{a n}的通项公式为；则数列{b n}的前n项和为T n＝故数列{a n}的公差d＝1或d＝﹣1．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ADC＝∠BAD ＝90°，AB＝AD＝2DC＝2，且E、F分别为PD、PB的中点．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAD；（Ⅱ）若直线PA与平面CEF的交点为G，且PG＝1，求截面CEF与底面ABCD所成锐二面角的大小．【分析】（Ⅰ）通过中位线的性质，及平行线的传递性可得FC∥QD，进而得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解．解：（Ⅰ）证明：取PA的中点为Q，连接QF，QD，∵F是PB的中点，∵底面ABCD为直角梯形，∠CDA＝∠BDA＝90°，，∴QF∥CD且QF＝CD，∴FC∥QD，又FC不在平面PAD内，QD在平面PAD内，（Ⅱ）取PC的中点M，连接AC，EM，FM，QM，QM∩EF＝N，∵CF∥平面APD，且平面CDEF∩平面APD＝EG，∴EG∥DQ，∴PA＝4，则平面ABCD的法向量为，∴，即两个法向量的夹角为45°，∴截面CEF与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°．19．（1）某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N （170.5，16）现从该省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]第二组[162.5，167.5]，…第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm以上含（177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2）．则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．解：（1）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为＝160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5＝171.5，∴高于全市的平均值170.5；∴人数为0.2×50＝10，（6）∵P（170.5﹣3×4＜ξ≤170.8+3×4）＝0.9974，∴0.0013×100 000＝130，∴随机变量ξ可取6，1，2，于是∴Eξ＝0×+1×+2×＝1．…20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左、右顶点分别为A，B．已知AB＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值．【分析】（1）由离心率和长轴长及a，b，c之间的关系，求出椭圆的方程；（2）设P的坐标，求出直线AP，BP与l的交点，求出直线AN，BM的斜率之积为定值．解：（1）因为AB＝4，所以2a＝4，即a＝2，又点在椭圆上，故，即，联立方程组，解得b2＝3，（2）设P点坐标为（s，t），M，N的横坐标均为m（m≠±2），故，同理可得直线AN的斜率，又因为P点在椭圆上，故有，即，故直线AN与直线BM的斜率之积是定值．21．设函数f（x）＝lnx﹣ax2﹣bx．（1）当a＝b＝时，求函数f（x）的最大值；（2）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．【分析】（1 ）先求定义域，再求导数，利用导数研究函数的单调性，从而求最值．（2）先把程2mf（x）＝x2有唯一实数解，转化为所以x2﹣2mlnx﹣2mx＝0有唯一实数解，再利用单调函数求解．解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）当时，，令f′（x）＝0，解得x＝1．当x＞6时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（2）因为方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，设g（x）＝x2﹣2mlnx﹣5mx，则．因为m＞5，x＞0，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）单调递减，当x＝x2时，g′（x2）＝0g（x），g（x2）取最小值g（x7）．则，即所以2mlnx2+mx6﹣m＝0，设函数h（x）＝2lnx+x﹣1，因为h（I）＝0，所以方程的解为（X2）＝1，即，解得m＝（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，若|AB|＝8，求α值．【分析】（1）由ρ＝，得ρsin2θ＝2cosθ，∴ρ2sin2θ＝2ρcosθ．，y2＝2x．（2）根据参数t的几何意义可得．解：（1）由ρ＝，得ρsin2θ＝2cosθ，∴ρ2sin2θ＝3ρcosθ．即y2＝2x．（4）将直线l的参数方程代入曲线C的方程得：t2sin2α﹣2t cosα﹣1＝0，设t6，t2是方程的根，则t1+t2＝，t6t2＝﹣，∴sin2α＝，又0＜α＜π，∴sinα＝，∴α＝或．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需，解之即可得a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x＝的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝，当x ∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝5．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；故a的取值范围是[﹣1，8]．。
山西省大同市乡中学2020-2021学年高三数学文模拟试卷含解析
山西省大同市乡中学2020-2021学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若，则的值为A．B．C．D．参考答案：C2. 实数满足，则的最大值是A．－1 B．0 C．3 D．4参考答案：C3. 已知i是虚数单位，则＝(A) (B) (C) 3－i (D) 3＋i参考答案：B4. 设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}参考答案：B【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．5. 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]参考答案：D【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．6. 已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，，则a=（A）1或-1 （B）或-（C）-（D）参考答案：A由得，所以，故选A.7. 已知数列的前项和则其通项公式（）A．B．C．D.参考答案：B略8. 某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为( )(A)6 (B) 7(C)8 (D)9参考答案：D略9. 设函数的图像关于直线对称，它的周期是，则（）A.的图象过点B. 在上是减函数C. 的一个对称中心是D. 的最大值是参考答案：C10. 若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，则函数f（x）的最小正周期为，振幅的最小值为．参考答案：π，．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用辅助角公式化简，根据周期公式可得最小正周期，根据性质可得振幅的最小值．【解答】解：函数f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，化简可得：f（x）=sin（2x+θ）=sin（2x+θ），其tanθ=．函数f（x）的最小正周期T=．振幅为，当a=时，可得振幅的最小值．故答案为：π，．12. 在平面直角坐标系中，若为坐标原点，则、、三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数，使得成立，此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知、，且向量是直线的法向量，则“向量关于和的终点共线分解系数”为．参考答案：13. 平面向量的单位向量是 .参考答案：14. 已知函数在时取得最小值,则__________.参考答案：3615. 参考答案：（－2，2）16. 已知则▲；不等式的解集为▲．参考答案：5；(－2,0)∪(1,+∞)，等价于或者，解得或，故填．17. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．【解答】由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
大同市2021届高三学情调研测试试题
大同市2021届高三学情调研测试试题语文试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
5.本试卷满分150分，考试时间150分钟。
一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
人类历史上漫长的几千年时间里，积累了丰富的博物类知识。
此类知识多为人类学所描述的“地方性知识”，具有极大的多样性、实用性。
最近十多年，在各方共同努力下，博物学日渐进入中国大众读者视野，博物学图书连续多年成为中国出版界的热门板块。
一批优秀博物图书被翻译引进，本土原创者也开始增多。
但与此同时，也有若干基本概念和理论问题困扰着人们。
比如，博物究竟是怎样的一种认知活动？它跟自然科学之间是什么关系？有了成熟的科学还需要博物吗？古老的博物学未来该以什么形态存在？早先的理解，倾向于使博物服务于科学，博物成果转化为科学的多少便是衡量某种博物好坏的标尺。
北京大学出版社新近出版的《西方博物学文化》一书，对博物与自然科学的关系这类普遍性疑问作出新解答。
博物认知与科学认知有交叉，但不能互相替代。
人类进步的历史，尤其是工业化的历史，伴随着生态环境破坏，人类与自然的关系也出现种种问题。
在人为化、机械化、智能化、数字化的社会进程中，博物学和博物学家们一再提醒人们：人是自然界的一个普通物种，过分背离自然，人的日常生活和整体延续将变得不自然；不仅仅是专家，普通人也需要寻找重访自然、认识自然、保护自然的途径。
几乎世界上任何地方都有自己独具特色的博物学，也都很有价值。
如何建立、处理与自然的关系，是中国古人非常重视的一个传统，有着源远流长的历史。
山西省大同市2021届高三上学期学情调研测试 数学(文)
大同市2021届高三学情调研测试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
5.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则 A.A B B.B A C.A ＝B D.A ∩B ＝φ2.复数Z ＝3i 2i-++的共轭复数的模为D.23.已知tan =32α，则sin 1cos αα-＝ A.3 B.13 C.－3 D.－134.已知F 1、F 2为双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为B.3C.25.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝，则a 7a 8a 9＝A.25B.20 D.106.若变量x，y满足约束条件y1x y0x y20≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则z＝x－2y的最大值为A.2B.4C.3D.17.设函数f(x)＝ax3＋bsinx＋cln(x＋2x1+)＋3的最大值为5，则f(x)的最小值为A.－5B.1C.2D.38.在直角△ABC中，直角边AB＝3，AC＝4，则AB BC BC CA CA AB⋅+⋅+⋅＝A.－25B.25C.7D.－79.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC10.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0<0，则a的取值范围是A.(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)11..椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与椭圆交于ABCD四个点，且AF1DCF2B为正六边形，则椭圆的离心率为A.12B.32C.22D.3－112.如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝1，AB＝AP＝3，AB⊥AP，AC⊥AP，∠BAC＝30°，则三棱锥P－ABC外接球的面积为A.16πB.4πC.7πD.5π第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省大同市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
山西省大同市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1 B ．()31±-C ．()31±+D ．5±【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4 B．34C ．211D ．14【答案】D 【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.3．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B ．5C ．23D ．83【答案】D 【解析】 【分析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作． 4．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）A ．12i -+B ．1C ．5D 【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.5．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=，且42k ππωϕπ+='+，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-，求得12ω②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．由①②可得ω的最大值为1． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4πx =-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】 【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ． 8．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1242V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．9．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．25-C ．D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得minPM ，由PQ 取得最小值为min1PM -，求得结果.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562pd =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =，设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.10．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A ∪B=B 【答案】C 【解析】试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系11．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 【详解】 解：532aii a i+=-+，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =.故选:C. 【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算. 12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山西省大同市第第四中学高三数学文测试题含解析
2021年山西省大同市第第四中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在区间上的最小值为,则实数的值为（）.....非上述答案参考答案：B2. 已知集合A={x|x(x-1)=0},则（▲）A.0 AB.1 AC.-1 AD.0A参考答案：A略3. 定义为个正整数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A．B．C．D．参考答案：C4. 已知函数，若方程在[0,2]上有且只有两个实数根，则的取值范围为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】利用正弦函数的性质，由，即在有且仅有两根，得到，可得结果.【详解】当时，，由方程在上有且只有两个实数根及正弦函数的图像可得，，得，选C．【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，简单三角方程解的情况，考查运算求解能力，属于中档题.5. （5分）（2015秋?太原期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16﹣πB．8+πC．16+πD．8﹣π参考答案：D【分析】由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，故可使用作差法求体积．【解答】解：由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，正方体的棱长为2，圆柱的高为2，底面半径为1．所以几何体的体积V=23﹣=8﹣π．故选D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题．6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（）(A) (B) (C) (D)（12题图）参考答案：答案：C解析：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C7. 等比数列的前三项和,若成等差数列,则公比=A.或B.或C.或D.或参考答案：C略8. 已知倾斜角为的直线与直线x -2y十2=0平行，则tan 2的值A． B． C．D．参考答案：B直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B.9. 设函数的定义域为，值域为[0，1]，若n-m的最小值为，则实数a的值为A．B．C．D．参考答案：D10. 已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3）B．（3，4）C．（3，2）D．（2，3）参考答案：B【考点】反函数．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知函数y=f（x）过点（4，3），从而确定反函数的点．【解答】解：∵函数y=f（x+1）过点（3，3），∴函数y=f（x）过点（4，3），∴函数f﹣1（x）恒过点（3，4）；故选B．【点评】本题考查了反函数的应用及复合函数的应用．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线被圆截得的弦长为．参考答案：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长。
山西省大同市新泉中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析
山西省大同市新泉中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量，，那么等于（）A. B. C. D.参考答案：B略2. 函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（）=( )A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】通过函数的图象，求出T然后求出ω，利用图象经过（，0），求出φ的值，解得函数解析式，即可求值．【解答】解：由题意可知：T=2（+）=π，所以ω==2，因为函数经过（，0），所以 0=sin（2×+φ），所以φ=2kπ﹣，k∈Z，则：f（）=sin（2×+2kπ﹣）=sin（+2kπ）=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用．3. 设集合A={x|0<x<2}，集合，则等于( )A. B. C. D.参考答案：D4. 根据如图框图，当输出的y=10时，输入的x为（）A． 4 B． 6或0 C． 0 D． 4或6参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，当x=6，x=0时，计算并输出y的值为10，即可得解．解答：解：当x=6时，x=3满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣3不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．5. 已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是A.2B.5C.6D.820080531参考答案：C6. 设{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A． 63 B．109 C．117 D．210参考答案：C7. 可导函数的导函数为，且满足：①；②，记，，则的大小顺序为A. B. C. D.参考答案：C略8. 若是纯虚数，则=（）A.B. C.D. 参考答案：B略9. 已知函数，对于任意正数，是成立的（▲ ）。
大同市2021届高三数学(文)期初学情调研测试卷附答案解析
大同市2021届高三数学（文）期初学情调研测试卷试卷共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A.A BB.B AC.A ＝BD.A ∩B ＝φ2.复数Z ＝的共轭复数的模为 A. B. C. D.23.已知，则＝ A.3 B. C.－3 D.－4.已知F 1、F 2为双曲线C ：的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为 A. B. C. D.25.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝5，则a 7a 8a 9＝A.25B.20C.10D.106.若变量x ，y 满足约束条件，则z ＝x －2y 的最大值为 A.2 B.4 C.3 D.17.设函数f(x)＝ax 3＋bsinx ＋cln(x ＋)＋3的最大值为5，则f(x)的最小值为A.－5B.1C.2D.38.在直角△ABC 中，直角边AB ＝3，AC ＝4，则＝A.－25B.25C.7D.－79.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC10.已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0<0，则a 的取值范围是A.(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1) 3i 2i-++532tan =32αsin 1cos αα-13132213x y -=33332322y 1x y 0x y 20≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩2x 1+AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅11..椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且AF 1DCF 2B 为正六边形，则椭圆的离心率为A. B. C. D.－1 12.如图，在三棱锥P－ABC 中，AC ＝1，AB ＝AP ＝，AB ⊥AP ，AC ⊥AP ，∠BAC ＝30°，则三棱锥P －ABC 外接球的面积为A.16πB.4πC.7πD.5π第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届山西省大同市高三上学期学情调研数学(理)试题(解析版)
2021届山西省大同市高三上学期学情调研数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，()(){}120,B x x x x =+-<∈Z ，则A B 等于（ ）．A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】求出集合B ，再进行交集运算. 【详解】()(){}{}{}120,12,0,1B x x x x x x x =+-<∈=-<<∈=Z Z ，所以{}{}{}1,2,0,113A B ⋂⋂==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数()3z i ai =-，且5z =，则实数a =（ ） A ．-4 B ．4C ．4±D ．2【答案】C【解析】先利用复数乘法的运算法则化简复数z ，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】复数()33z i ai a i =-=+，且5z =，5=，解得4a =±，故选C. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( )A ．0B ．12C ．1D 【答案】C【解析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础4．已知等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S ，若34a =，2664a a =，则5S =（ ） A ．32 B ．31 C ．64 D ．63【答案】B【解析】设首项为a 1，公比为q ，由226464a a a ==，又a 3＝4，可得q ＝2，再利用求和公式即可得出． 【详解】设首项为a 1，公比为q>0，由226464a a a ==，又a 3＝4，∴q ＝2，又因为214a q ⋅=，所以a 1＝1，所以S 5＝31，故选：B ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A ．720种B ．520种C ．360种D ．600种【答案】D【解析】分别计算甲乙只有一人参加、甲乙都参加两种情况下的发言顺序的种数，根据分类加法计数原理加和求得结果.【详解】甲、乙只有一人参加，则共有：134254480C C A=种发言顺序甲、乙都参加，则共有：322523120C A A=种发言顺序根据分类加法计数原理可得，共有：480120600+=种发言顺序本题正确选项：D【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，关键是能够通过分类的方式，分别计算两类情况的种数，属于常考题型.6．中国传统文化是中华民族智慧的结晶，是中华民族的历史遗产在现实生活中的展现．为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567参加人数占调查人数的百分比8％10％20％26％18％m％4％2％以下四个结论中正确的是（）．A．表中m的数值为10B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为25【答案】C【解析】根据题中数据，逐项计算，即可判定出结果.【详解】A选项，由题意可得，8%10%20%26%18%%4%2%1m+++++++=，则12m=；故A错；B选项，由题意可得，样本中该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生占比为8%12%20%+=，则该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为100020%200⨯=人；故B 错；C 选项，由题意，样本中该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生占比为18%12%4%2%36%，则该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人；故C 正确； D 选项，从若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本， 则分段间隔为10002050=；故D 错. 故选：C. 【点睛】本题主要考查统计数表的简单应用，考查系统抽样，属于基础题型.7．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28x y =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2215y x -=D ．2215x y -=【答案】A【解析】由抛物线方程求出焦点坐标，可得114n m-=，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关于,m n 的方程，解方程组即可得到结果. 【详解】抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2F ,可得双曲线221mx ny +=的焦点为()0,2F ,化221mx ny +=为22111y x n m-=- ,得2211,a b n m ==-, ∴双曲线的一条渐近线方程为11m n y x n m==--，由点F 到双曲线渐近线的距离等于1， 21nn m=- , 即2n n m =-，①又 222+=a b c ，即114n m-=，② 联立①②解得1,13n m ==-， ∴双曲线的方程为2213y x -=，故选A .【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．函数()sin()f x x ωφ=+（其中2πφ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把sin y x ω=的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】A【解析】先根据三角函数图像求得()f x 的解析式，然后求得需要平移的单位长度. 【详解】 由于7πππ41234T =-=，故2ππT ω==，所以2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，由π2πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得π3ϕ=，故()ππsin 2sin 236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故需将sin y x ω=图像上所有点向左平移6π个单位长度得到()f x ，故选A. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 求解()()sin f x A x =+ωϕ的过程中，首先利用图像上的最高点求得A 的值，要注意A 值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得ω的值，第三根据图像上一个点的坐标求得ϕ的值.9．已知变量x ，y 满足2402020x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则12y x ++的取值范围是（ ）．A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，再由12y x ++的几何意义求解得答案． 【详解】解：由约束条件作出可行域如图：(2,0)A ，(0,2)B ，12y x ++的几何意义为可行域内动点(),x y 与定点(2,1)P --连线的斜率． 101224PA k --==--，123202PB k --==--． ∴12y x ++的取值范围是13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：D ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．10．函数12()sin 12x x f x x ⎛⎫-=⋅ ⎪+⎝⎭的图像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】先确定函数的奇偶性，再观察在x 接近于0时的函数值正负可得． 【详解】由题意1212()sin()sin ()1212x xx xf x x x f x -----=⋅-=⋅=++，所以()f x 是偶函数，排除B ，C ， 又02x π<<时，120x -<，120,sin 0xx +>>，从而()0f x <，排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式选择函数图象，解题时可用排除法，通过确定函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势等排除错误的选项．11．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A 2215-+ B ．43C 2215+ D ．32【答案】C【解析】先根据等腰三角形的性质得12QF PF ⊥，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率. 【详解】连接1QF ，由12PF F △为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得12QF PF ⊥，由2PF c =知22c QF =．由双曲线的定义知122cQF a =+，在12Rt FQF 中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22284708470a ac c e e ∴+-=∴+-= 2157e +∴=（负值舍去）． 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．已知函数()f x 满足()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出()f x 的解析式，将已知条件转化为()y f x =与y mx m =+图象在区间(]1,1-上有两个不同的交点，作出函数图像，即可求出m 的取值范围.【详解】在区间(]1,1-上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根， 即()f x mx m =+在区间(]1,1-上有两个不同的实根，等价于()y f x =与y mx m =+图象在区间(]1,1-上有两个不同的交点， 设10x -<<，则011x <+<，当[]0,1x ∈时，()f x x =，所以()()11111f x f x x ++==+，故1()11f x x =-+，10x -<< 即,01()1,101x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪+⎩，又()1y mx m m x =+=+恒过定点()1,0-，()y f x =与 ()1y m x =+ 图象如图：当()1y m x =+过点()1,1时，斜率12m =， 当()1y m x =+过点()1,0时，斜率0m =， 由图可知：当102m <≤时，两图象有两个不同的交点， 在区间(]1,1-上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程，方程的根的个数转化为函数图象交点的个数，属于中档题二、填空题13．已知平面向量(21,2)a m =-，(2,32)b m =--，且a b ⊥，则|23|a b -=________． 65【解析】由向量数量积的坐标运算得：：(2)(21)(32)20m m -⨯-+-⨯=，解得：1m =， 由向量模的运算得：22|23|8165a b -=+ 【详解】由平面向量(21,2)a m =-，(2,32)b m =--，且a b ⊥， 得：(2)(21)(32)20m m -⨯-+-⨯=， 解得：1m =， 则23(8,1)a b -=，所以22|23|8165a b -=+=， 65【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算及向量模的运算，属简单题． 14．在()721x -的二项展开式中,第四项的系数为__________. 【答案】560-【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数. 【详解】二项展开式中，第四项的系数为()334721560C ⋅⋅-=-.故答案为：560- 【点睛】本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.15．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则P 到直线1:43110l x y -+=和2:10l x +=的距离之和的最小值是________．【答案】3【解析】先判断直线1l 与抛物线的位置关系，过点P 作1⊥PM l 于点M ，2PN l ⊥于点N ，连接PF ，根据抛物线的定义，得到PN PF =，推出PN PM PF PM +=+，结合图形，可得M ，P ，F 共线时，PF PM +最小，进而可得出结果. 【详解】由2443110y x x y ⎧=⎨-+=⎩消去x 得23110y y -+=， 因为()241310-⨯=-<，所以方程23110y y -+=无解，即直线1:43110l x y -+=与抛物线无交点；过点P 作1⊥PM l 于点M ，2PN l ⊥于点N ，记抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，连接PF ，因为2:10l x +=为抛物线24y x =的准线，根据抛物的定义可得，PN PF =，则P 到直线1l 和2l 的距离之和为PN PM PF PM +=+， 若M ，P ，F 三点不共线，则有PF PM FM +>，当M ，P ，F 三点共线，且P 位于MF 之间时，PF PM FM +=， 则PF PM FM +≥， 又()224011343FM -+==+-，所以3PN PM PF PM +=+≥，即所求距离和的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查抛物线上一点到焦点与到定直线距离之和的最值，根据抛物线的定义求解即可，属于常考题型.16．如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．【答案】7π【解析】根据展开图还原出几何体，画出图形，即可根据正余弦定理求出相关量，进而求出球半径，得出表面积. 【详解】还原出如图所示的三棱锥B PAC -，AB AC ⊥，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面PAC ，设平面PAC 的截面圆心为O '，半径为r ，球心为O ，球半径为R ， 在PAC 中，由余弦定理可得22232cos301321312PC AC AP AC AP =+-⋅⋅=+-⨯=，则1PC =， 这由正弦定理得22sin 30PCr ==，1r =，1322OO AB '==， 223712R ⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴外接球的表面积27472S ππ⎛==⎝⎭. 故答案为：7π. 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的计算，涉及到正余弦定理的应用，涉及线面垂直关系，属于中档题.三、解答题17．在公差不为0的等差数列{}n a 中，148a a a ，，成等比数列． （1）已知数列{}n a 的前10项和为45，求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1199n T n =-+，求数列{}n a 的公差．【答案】（1）1(8)3n a n =+；（2）1d =或1d =-． 【解析】由148a a a ，，成等比数列得出1,a d 的关系， （1）根据等差数列的前n 项和公式求出1,a d ，从而求得n a ；（2）先由（1）得出n b ，再用裂项法求得n T ，然后与已知条件比较求得d 的值． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由148a a a ，，成等比数列，得2418·a a a =，即2111(3)(7)a d a a d +=+， ∴2221111697a a d d a a d ++=+，而0d ≠，∴19a d =．（1）由数列{}n a 的前10项和为45，得10110910452S a d ⨯=+=， 即904545d d +=，故13d =，13a =， 故数列{}n a 的通项公式为113(1)(8)33n a n n =+-⨯=+． （2）111111()n n n n n b a a d a a ++==-， 则数列{}n b 的前n 项和为122311111111[()()()]n n n T d a a a a a a +=-+-++-＝11111()n d a a +- ＝111()99d d d nd -+＝2111()99d n -+＝1199n-+， 故数列{}n a 的公差1d =或1d =-．18．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，222AB AD DC ===，且E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】（1）先利用中位线判定四边形QFCD 是平行四边形，得到线线平行//FC QD ，再利用线面平行的判定定理即证结果；（2）先找到点G ，利用线面平行的性质定理//EG DQ ，再建立空间直角坐标系写点坐标，计算两个平面的法向量，计算夹角余弦即得结果. 【详解】解：（1）取PA 的中点Q ，连接QF 、QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =， ∵底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，222AB AD DC ===//CD AB ，且12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，∴//FC QD ， 又⊄FC 平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴//FC 平面PAD ．（2）方法一：取PC 的中点M ，连接AC 、EM 、FM 、QM ，QM EF N ⋂=， 连接CN 并延长交PA 于G ，已知1PG =．∵//FC 平面PAD ，且平面CEGF ⋂平面APD =EG ，∴//CF EG ， 又//CF DQ ，∴//EG DQ ， 建立如图所示直角坐标系，()0,0,0A ，()0,22,0B ，()22,2,0C ，()22,0,0D ，()2,0,2E，()2,2F ，则平面ABCD 的法向量为()10,0,1n =，()2,2,2CE =--，()22,0,2CF =-，设平面CEF 的法向量为()2,,n x y z =，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22202220x z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，即2z =，则1x =，1y =，即(22n =．∴设两个法向量1n 、2n 的夹角为θ，则121222cos 24n n n n θ⋅===⋅， 即两个法向量的夹角为45︒．∴截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45︒． 【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定和二面角的向量求法，属于中档题.19．某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布(170.5,16)N ．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和 187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[)157.5,162.5，第二组[)162.5,167.5， ⋅⋅⋅，第6组[)182.5,187.5，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （2）求这50名男生身高在177.5cm 以上（ 177.5cm ）的人数；（3）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含 177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．（参考数据：若2~(,)N ξμσ，()0.6826P μσξμσ-<≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-<≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-<≤+=．）【答案】（1）170.5cm ；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估计平均数；(2)由；（3）先求得人中182.5cm 以上人数，然后令ξ取0,1,2，可得其概率，最后得到期望.试题解析：（1）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=高于全省的平均值170.5cm ．（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.25010⨯=， 即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5cm )的人数为10人． （3），，0.0013100000130⨯=．所以，全省前130名的身高在182.5cm 以上，这50人中182.5cm 以上的有5人．随机变量ξ可取0,1,2，于是，，．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征、频率分布直方图、数学期望.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，已知AB 4=，且点3,54e ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异与A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP 、BP 于点M 、N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据AB 4=，求出2a =，再由点354e ⎛⎝在椭圆上，得到224511616c b+=，根据椭圆的性质，求出23b =，即可得出椭圆方程； （2）先由题意，设P 点坐标为(),s t ，M ，N 的横坐标为m ，()2m ≠±，得出直线AP 的方程，得到(),22tM m m s ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，表示出直线BM 的斜率，同理表示出直线AN 的斜率，计算斜率之积，即可得出结果. 【详解】（1）因为AB 4=，所以24a =，即2a =，又点354e ⎛ ⎝在椭圆上，∴22245116e a b +=，即224511616c b+=， 又2224b c a +==，联立方程组解得23b =．∴椭圆方程为22143x y +=．（2）由题意，设P 点坐标为(),s t ，M ，N 的横坐标为m ，()2m ≠± 则直线AP 的方程为()22ty x s =++， 故(),22t M m m s ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，故直线BM 的斜率()()()1222t m K s m +=+-， 同理可得直线AN 的斜率()()()2222t m K s m -=-+，故()()()()()()21222222224t m t m t K K s m s m s +-=⨯=+--+-又P 点在椭圆上，∴22143s t +=，()22344t s =--，因此()2122343444s K K s --==--． 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型. 21．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值． 【答案】（1）34-；（2）12m =. 【解析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可. 【详解】解：（1）依题意，知()f x 的定义域为()0,∞+，当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--，()()()21111222x x f x x x x-+-'=--= 令()0f x '=，解得1x =．（∵0x >），当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减． 所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值； （2）由0a =，1b =-，得()ln f x x x =+因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx mg x x--'=，令()0g x '=，即20x mx m --=． 因为0m >，0x >，所以21402m m m x -+=<（舍去），2242m m mx +=， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞单调递增， 当2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x ． 因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =，则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩．所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-= （） 设函数()2ln 1h x x x =+-，易见当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解． 因为()10h =，所以方程（）的解为21x =，241m m m ++=，解得12m =．【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．【答案】（1）22=y x ；（2）6πα=或56π【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12t t +和12t t ，根据直线参数方程参数的几何意义可知()21212124AB t t t t t t =-=+-.【详解】 （1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ= 22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--=()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴()221212124224cos 4248sin sin sin AB t t t t t t αααα=-=+-=+== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴= 6πα∴=或56π【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于α的方程，属中档题． 23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；1 （2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）117{|1}2x x --≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1171x -+<≤所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =. 所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。