第7讲最优化问题.pdf
最优化理论与算法 第7章 最优性条件
又Hessian阵2
f'(x）＝
2x1 0
0 2x2－2
2
f'(x
(1)）＝
2 0
0 2
,
2
f'(x
(2)）＝
2 0
0 2
2
f'(x
(3)）＝
2
0
0 2
,
2
f'(x
(4)）＝
2 0
0 2
由于2f'(x(1)）, 2f'(x(3)）, 2f'(x(4)）不定或负定，仅2f'(x(2) )正定，
证明. 因 f 在 x* 二次可微,故对任意 x, 有
f(x)=f(x*)+f(x*)(x-x*)+(x-x*)H(x*)(x-x*)/2+||x- x*||2(x*; x- x*),
这里 (x*; x- x*) 0,当 xx*.
假设命题不真， x* 不是局部极小, 则存在序列 {xk }收敛到 x* 并使得 f(xk)<f(x*) 对每一 k成立。定义序列 (xk- x*)/|| xk- x*||=dk.
证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
f(x*+d)=f(x*) + f(x*)d+||d||(x*;d),
其中 (x*;d) 0(当 0).
2020/12/20
最优化理论
4
7. 最优性条件-无约束3
移项且两边同除以( 0),得
（f(x*+d)－f(x*)）/ ＝ f(x*)d+||d||(x*;d)
2x2
令f'(x)=0,即4x13 2x1 2 0，2x2＝0
最优化问题数学模型Ppt讲课文档
建立模型
记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置为(xj ，yj)，日储量为ej，j=1,2；料场j向工地i的运送量为Xij．
26
目标函数为： min f
X ij (x j ai )2 ( y j bi )2
j1 i1
2
X ij di ,
约束条件为： j1 6 X ij e j , i 1
60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证区
域内的飞机不超过架(包括新进入的)。
• 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
第二十一页，共116页。
• 个人的想法不同，队友之间争执不下的情况下，若 时间允许，都可一一写到论文中去，建立的模型一 、模型二……；或者经讨论后，选择一个认为更合理的
第十八页，共116页。
该题比较有意思的一句话是： “使调整弧度最小” 开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活， 给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型 的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法（算 法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的论文。
第十九页，共116页。
假设条件：
注： 有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设
i— — 第 i架 机 的 整 后 的 方 向 角 , ( i 1 ， 2 ， 6 )
T i— — 第 i架 飞 机 按 方 向 角 i在区域内飞行
时间（可以根据数据算出来）
第二十四页，共116页。
四种情况：
四个象限，易用4个表达式表示
说明：用初等数学的知识即可完成， 思考：在哪个时间段某两架飞机可能相撞？
69.6
83.8
自由泳
58.6
53
最优化问题——梯度下降法
最优化问题——梯度下降法1、⽆约束最优化问题求解此问题的⽅法⽅法分为两⼤类：最优条件法和迭代法。
2、最优条件法我们常常就是通过这个必要条件去求取可能的极⼩值点，再验证这些点是否真的是极⼩值点。
当上式⽅程可以求解的时候，⽆约束最优化问题基本就解决了。
实际中，这个⽅程往往难以求解。
这就引出了第⼆⼤类⽅法：迭代法。
最优条件法：最⼩⼆乘估计3、迭代法（1）梯度下降法（gradient descent），⼜称最速下降法（steepest descent）梯度下降法是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
必备条件：函数f(x)必须可微，也就是说函数f(x)的梯度必须存在优点：实现简单缺点：最速下降法是⼀阶收敛的，往往需要多次迭代才能接近问题最优解。
算法A.1（梯度下降法）输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数g(x)=▽f(x)，计算精度ε；输出：f(x)的极⼩点x*总结：选取适当的初值x(0),不断迭代，更新x的值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。
由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。
λk叫步长或者学习率；梯度⽅向g k=g(x(k)）是x=x(k)时⽬标函数f(x)的⼀阶微分值。
学习率/步长λ的确定：当f(x)的形式确定，我们可以通过求解这个⼀元⽅程来获得迭代步长λ。
当此⽅程形式复杂，解析解不存在，我们就需要使⽤“⼀维搜索”来求解λ了。
⼀维搜索是⼀些数值⽅法，有0.618法、Fibonacci法、抛物线法等等，这⾥不详细解释了。
在实际使⽤中，为了简便，也可以使⽤⼀个预定义的常数⽽不⽤⼀维搜索来确定步长λ。
这时步长的选择往往根据经验或者通过试算来确定。
步长过⼩则收敛慢，步长过⼤可能震荡⽽不收敛。
如下图：当⽬标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局最优解。
但是，⼀般情况下，往往不是凸函数，所以其解不保证是全局最优解。
最优化方法补充内容最优化问题简介PPT课件
48-2x
x
x
48-2x
8
48
最优化问题举例(2)
如图,靠墙建一个矩形的操场,现只有围60米 的建筑材料. 问长和宽怎样选取,可以使操场的面积最大?
x
9
最优化问题举例(3)
上学期算分设计与分析问题的例子
• 货船装箱问题 • 0/1背包问题 • 一般背包问题等
• 2010 MCM/ICM ABC Problem
最优化方法补充内容1
最优化问题简介
1
知识点
• 优化问题引入 • 优化问题的定义 • 解的性质 • 相关数学知识
2
极值问题
• 回顾 极值问题： • 1、 f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎
样叙述的？ • 2、 f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎
样叙述的？ • 3、求函数的极值的步骤是哪几步？
3
y f (b)
f (x0)
y=f (x)
0
a
x0
b
x
4
最值问题
函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果
存 在 点 x0∈[a,b] ， 使 得 对 于 所 有 x∈[a,b] ， 都 有 f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称 f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
7
最优化问题举例(1)
例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮， 从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各 边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正 方形，才能使所做的铁盒容积最大？
《最优化问题举例》课件
目录
contents
最优化问题概述线性规划问题举例非线性规划问题举例整数规划问题举例多目标规划问题举例
01
最优化问题概述
总结词
最优化问题是指在一定条件下，选择一个最优方案，使得某个目标函数达到最优值的问题。
详细描述
最优化问题通常涉及到在多个可能的选择中找到最优解，使得目标函数达到最大或最小值。这个目标函数通常代表了问题的成本、效益或性能等方面。
02
线性规划问题举例
总结词
运输问题是最优化问题中的一种，旨在通过合理安排运输方式、路径和数量，使得运输成本最低，满足需求。
详细描述
运输问题通常涉及到多个供应点和需求点，需要考虑如何选择合适的运输方式、确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总成本。这需要考虑各种因素，如运输距离、运输速度、运输费用、货物量、需求量等。
详细描述
数学模型
实例
资源分配问题主要涉及如何将有限的资源合理分配给不同的项目或部门，以实现整体效益最大化。
总结词
这类问题需要考虑不同项目或部门的优先级、资源需求、效益评估等多个因素，通过优化资源配置，提高整体效益。
详细描述
线性规划、整数规划等模型可以用来描述这类问题，通过设定目标函数和约束条件，求解最优解。
总结词
生产计划问题是指如何合理安排生产计划，使得生产成本最低且满足市场需求。
详细描述
生产计划问题需要考虑生产什么、生产多少、何时生产以及如何生产等问题。它需要考虑市场需求、产品特性、生产能力、资源限制等因素，以制定最优的生产计划，实现成本最小化、利润最大化。
资源分配问题是指如何将有限的资源分配给不同的任务或部门，以最大化整体效益。
背包问题有多种变种，如完全背包问题、多背包问题和分数背包问题等。这类问题在现实生活中应用广泛，如物流运输、资源分配和金融投资等领域。通过整数规划方法，可以找到最优的物品组合，以最大化总价值或最小化总成本。
最优化问题
最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。
用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。
问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。
水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。
现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。
她准备做大米饭和炒鸡蛋。
小红家有两个炉灶。
估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。
你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。
现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。
车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。
现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。
另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。
工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。
有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。
那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。
不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。
最优化问题举例ppt课件
3.4生活中的 优化问题举例
f ' r 2p R r ,
mn
令
f ' r 0
解得
r R
2
当r R 时，f 'r 0;当r R 时，f ' r 0,
2
2
因此，当 r R 时，磁道具有最大的存储量，最大
2
存储量为 pR 2 .
2mn
17
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的 基本思路是：
x1 (0, 2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
23 3
时,S( x)max
32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3 .
2
9 22
23
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。
18
练习1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切
去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做 成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时， 箱子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
60
19
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
解：设矩形的一边为xcm，则另一边为（6 x）cm，面积为S
最新六年级上册 伊嘉儿数学智能版(秋季班教案)第7讲：最优化问题
（六年级）备课教员：×××第七讲最优化问题一、教学目标： 1. 通过简单事例，初步体会统筹思想在实际问题中的应用。
2. 在各种方案中寻求一个最合理，最省事，最节约的方案。
二、教学重点： 1. 通过观察分析、合作探究让学生感受用不同的方法，进行有条理安排的数学统筹方式。
三、教学难点： 1. 让学生经历探索统筹策略的过程，建立统筹思想。
四、教学准备：PPT、8根火柴棒或8枚棋子五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，你们都是6年级的学生了，平时是不是会帮助爸爸妈妈做家务呢？生：……师：今天，米德和卡尔也要帮助阿博士做事情。
我们来看看他们要做些什么呢？（出示PPT)（与学生初步探讨简单的时间最优化问题）师：这就是我们生活中最常遇见的最优化问题，在解决该类型生活问题我们需要观察分析，有时候还需要通过列举法，一一比较，找出最优化方法。
这节课我们就来学习下吧。
【板书课题：最优化问题】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）把78拆成2个质数之和，它们最大的积是多少？师：同学们，还记得什么是质数吗？最小的质数是？最小的合数是？（简单复习质数、合数等数的概念）生：……师：把78拆成2个质数之和有几种拆法呢，同学们动手试试。
（巡视学生的列举情况，培养学生的细心习惯及观察学生的性格特点）生：……师：我们可以从小到大，一一列举。
（5，73）、（7，71）、（11，67）、（17，61）、（19，59）、（31，47）、（37，41）。
师：同学们，自己看看有没有遗漏的呢？生：……师：同学们，把这些组合都乘积都算出来看看，有什么发现吗？（让学生通过自身实践努力，发现数学规律）生：……师：不错，两个数的和一定，两个数的差越小，它们的积越大。
板书：78=37+4137×41=1517答：它们最大的积是1517。
练习1：（6分）把152拆成2个质数之和，它们最大的积是多少？分析：通过列举法，找出最接近的两个质数组合，它们最大的积就算出来了。
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第7讲最优化问题
一、知识要点
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样
合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问
题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值
问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练
【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？
练习1：
1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？
2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？
1
【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？
练习2：
1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热
水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？
2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8 分钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，
多少分钟就可以了？
2。