第四章 VNM效用函数与风险升水

期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性 时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。
单赌gs ( p1a1 , p2a2 ,, pn an )
u ( g s ) pi u (ai )
i 1 n
期望效用函数或VNM效用函数
二、期望效用函数
A (a1, a2 ,, an ) 构造期望效用函数的关键是u(ai ) ?
P 1000元 (1 P)死亡 10元
【不相等公理】
A B, L1 ( P 1 , A, B) P 1 A (1 P 1 )B L2 ( P 2 , A, B) P 2 A (1 P 2 )B
当且仅当： P2 P 1 消费者严格偏好于L2。 L2 L1
u
u ( x)
u ( E (W ))
u (W )

x1 E(W )
x2
W
u
16 13
10
A
E
u ( x)
C
D
10
15
20
x
(千元)
1 1 1 1 u (10) u (20) 13 10 20 15 2 2 2 2 1 1 1 1 u ( 10 20) u (10) u (20) 2 2 2 2
A B, C A, C B则 : PA (1 P)C PB (1 P)C A B, C A, C B则 : PA (1 P)C PB (1 P)C



例： 设A=获1000元,B=获10元,C=死亡。对大多数 人，1000元>10元>死亡。 设10元为一确定的状态。则必定存在概率 0<P<1，使得：
通常风险以方差或标准差（方差的平方根）来度量：
2 pi [ xi E ( xi )]2
i 1 n
二、对风险的主观态度

效用函数的凹性与经济含义
效用函数的凹性：
u' ( x) 0, u '' ( x) 0
含义：表示通常情况下人们是“风险规避” 的。
风险规避者
u(E(W )) u(1,, n ; x1,, xn ) 1u( x1 ) nu( xn ) u(W )
实际收入与期望收入的离差
结果1 工作1 2000 离差 500 结果2 1000 离差 500
工作2
1510
10
510
990
平均离差=P1×结果1的离差+P2×结果2的离差
工作1的平均离差：
0.5 500元 0.5 500元=500元
工作2的平均离差：
0.99 10元 0.01 990元=19.8元
u( g1 ) u( g2 ) 消费者偏好于 u ( g1 )
单赌的期望效用：u( gi )(i 1, 2) 单赌的期望收入：
E( g1 ) 0.2 4 0.8 10 8.8元
E ( g2 ) 0.07 (2) 0.03 4 0.9 10 8.98元
如果消费回答：
10元 (1 (10元), 0 (2元)) 4元 (0.6 (10元), 0.4 (2元)) -2元 (0 (10元),1 (2元))
因此，可定义：
u (10) u (a1 ) 1 u (4) u (a2 ) 0.6 u (2) u (a3 ) 0
2.期望效用
单赌g ( p, A, B) pA (1 P) B
则对应的期望效用函数为：
u( g ) pu( A) (1 P)u( B)
单赌g1 ( p1 , A1, A2 ), g2 ( p2 , A3 , A4 )
则消费者更偏好于g1，当且仅当
u( g1 ) p1u( A1 ) (1 P 1 )u ( A2 ) p2u( A3 ) (1 P2 )u( A4 )
风险偏好者
u(E(W )) u(1,, n ; x1,, xn ) 1u( x1 ) nu( xn ) u(W )
u
E
u ( x)
D
C
A
O
10
15
20
x
( 千元)
风险中立者
u
E
u( E(W )) u(W )
u ( x)
D(C )
A
O
10
15
20
x
u( E (W )) u(W )
n i 1
u ( g ) Pu i (ai ), E ( g ) Pa i i , u ( E ( g )) u[ Pa i i] 显然,( Pa i i )是一个确定的结果.
i 1

风险规避程度
绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲 率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险 的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度 量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增 加或损失。
u(w1 ) R, u(w2 ) S u( g ) Pu 1 (w 1) P 2u(w2 ) PR 1 P 2S 1 若P , u ( g ) T 为期望效用水平 1 P 2 2 1 1 w1 w2 E ( g )为收入无风险 u ( E ( g )) C T 2 2
Chap4. VNM（冯诺依曼-摩根 斯坦）效用函数与风险升水
本章要点
§1.不确定性与选择公理 §2.冯· 诺依曼—摩根斯坦效用函数 §3.风险度量、确定性等值与风险升水
§1.不确定性与选择公理
一、不确定性



经济活动中始终存在着决策的不确定性。 不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在 《风险、不确定和利润》（1916）第一次区分 了经济活动中不确定性与风险，不确定性是客 观的，指行动的结果总是被置于某种概率之下， 而风险主要是指主观上的认识能力。 不确定性可以用数学语言进行描述。主要用数 学期望函数和方差。
雨量大20%
雨量中50% 雨量小30%
0.04
0.10 0.06
0.08
0.20 0.12
0.08
0.20 0.12
0.20
0.50 0.30
奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为 赌局本身。
三、不确定条件下的选择公理
【完备性与传递性公理】对两种不同的结果， 消费者的偏好为：
A B, B A, A B A B, B C, A C
x
2
( x)
比u1 ( x)更凹。
对于所有的
x, R2 ( x) R1 ( x)
即决策者2的风险溢价均大有决策者1。
相对风险的度量
这是评价财富水平按照一定的百分比变化 中的风险度量。称为阿罗——普拉特相对风险 度量系数。
u ( x) x ( x) ' u ( x)
''
三、确定性等值、风险升水及其应用
Gs { p1a1 , p2 a2， , pn an | pi 0, pi 1}
i 1 n
也可以简写为：
Gs ( pa1 ,0a2， ,0an1 ,(1 p)an ) ( pa1 ,(1 p)an )

复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。
高产20% 正常40% 低产40%

定义
u( )为VNM 效用函数.对于单赌 g ( Pa 1 1, P 2 a2 ,, P n an )
u( E ( g )) u( g ) u( E ( g )) u( g ) u( E ( g )) u( g )
ห้องสมุดไป่ตู้
在g中风险规避
n i 1 n
在g中风险中立
n i 1
在g中风险偏好
E (h 2 ) k 2 u ( w0 ) Ru ' ( w0 ) u ( w0 ) ku '' ( w0 ) ku '' ( w0 ) R kRa ( w) u '( w0 )

风险规避程度的测量
u1 ( x)
u2 ( x )
o
x
x
(2)全部风险规避度量：
这是从决策者具有不同收入水平上的风险进行对比说明风险的大小的，在 这方面普拉特通过两个具有不同效用函数的决策者所面临的风险大小 给出了解释，有时又被称为普拉特定理。对此有三个基本的条件： 对于所有的 x R都有 r2 ( x) r 2在 ) 1 ( x。即决策 任何一个财富水平上的绝对风险系数均大于决策者1。 ) 存在一个递增的凹函数 (，使得在所有的 上均有 u2 ( x) (u1 ( x)) 。即 u2 ( x) 是u1 ( x)的一个凹变换，或者说， u
E( g1 ) E( g2 ), 但消费者选择了g1,因为u( g1 ) u( g2 ).
§3.风险度量、确定性等值和风险升水
一、风险度量
ai A {a1 , a2 ,, an } 事件A的风险度量： | a1 E( A) | P 1 | a2 E( A) | P 2 | an E( A) | P n

彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具 有收益的不确定性。可以用式子 ( p；A，C ) 表示。 如它会产生两种结果。
L1 ( p1; A, C ) L2 ( p2 ; A, C )
二、单赌和复赌

A (a1 , a2， , an ) 单赌：设有n种可能的事件结果， 则单赌集合可写成：
u '' ( w) R( w) ' u ( w)
风险偏好 风险中立 风险规避
u( )为凸,R(w) 0 u( )为线性,R(w) 0 u( )为凹,R(w) 0