效用函数与风险测量(20110307)

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效用函数形态的讨论
效用函数的斜率由一阶导数测定，在所有的三种风险态度中，效用函
数的斜率都为正数[U’(W)>0]。也就是说，无论你对风险的态度如何， “多”比“少”好。
效用函数的凹度（concavity）由二阶导数测定。凹度测定的是斜率随
着财富水平的增加而递减的程度（U(W) < 0）。也就是说，如果当前 财富水平为$20,000，你从新增加的$1,000获得的边际效用要比当前财 富水平为$5,000,000时从新增加的$1,000获得的边际效用要大。
效用函数
专题讲座二
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效用函数
效用在经济学上是指人们从某事物中所得到的主观的满足程度。 投资者的效用是投资者对各种不同投资方案形成的一种主观偏好
指标（态度）。投资者的效用是其财富的函数。
假定投资者为理性效用最大化者（Rational Utility Maximizers） 投资者的目标是在服从预算约束的条件下，使当前消费效用和期
设X1，X2为任意两个可能的财富值，α为概率，凹性效用
函数有如下性质：
U ( X 1 (1 ) X 2 ) U ( X 1 ) (1 )U ( X 2 )
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凹性效用函数－风险厌恶
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凸性效用函数－风险喜好
U ( X 1 (1 ) X 2 ) U ( X 1 ) (1 )U ( X 2 ) 函数性质：
效用函数可分为三类：凹性效用函数、凸性效用函数和
线性效用函数，分别表示投资者对风险持回避态度、风 险喜好和中性态度。
投资者对风险有三种态度：风险厌恶、风险中性和风险
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喜好。
风险态度的测定－赌徒心态
设一赌局，G(a, b, )，其中 a 和 b 为结果， 为
结果 a 发生的概率。
对于一给定赌局 G($100, 0, 40%)，
这实际上是一保险问题：即投资者愿意付出的费用，，
就是保费，满足：
U(W-) =0 .5 U(W+h) + 0 .5 U(W-h)
风险的价格
根据相关的数学计算,求解保费，得到 :
1 2 U "(W ) h 2 U '(W )
也就是说，
保费 = 0.5 [方差] [风险厌恶程度]
确定等值财富
如果投资者是风险厌恶的，在预
期回报相同的情况下，他会拒绝 参加赌博，而选择一个确定的结 果。
如果投资者可以选择，他愿意选
择支付一个风险价格 ，以避免 参加赌博。
W- 可定义为确定等值财富
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风险测量
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风险测量：方差、标准差、变异系数
n
方差 pi [ R i E( R)]

相关系数决定了两种投资品的关系。 -1.0 < < +1.0 相关系数越小，越有可能降低风险。 假如 = +1.0，就不可能降低风险。
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两种证券的资产组合
E(R) (%) 25 24 23.3 22.5 B
ρ=－1 ρ=-0.5 ρ=1
21.7
ρ=0 ρ=0.5
21 A 20 0 5 10 15 20
终盘的期望值 = $100 0.4 + 0 0.6 = $40
赌徒的问题是：拿走$40，还是“开赌”？
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风险态度的测定－赌徒心态
赌徒的选择： A B C 愿意拿走$40: U($40) > 0.4U($100)+0.6U(0) => 风险厌恶（Risk averse） 愿意开赌： U($40) < 0.4U($100)+0.6U(0) => 风险喜好（Risk loving） 无所谓： U($40) = 0.4U($100)+0.6U(0) => 风险中性（Risk neutral）
望财富（未来消费）效用E [U(W)]最大化。
未来财富由投资策略所决定。由于未来的投资回报为随机变量，
因此未来的财富水平也是随机的。
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P24.个人风险管理和风险成本
效用函数与风险态度
在未来不确定的环境下，投资者总是期望从投资中获得
较大的未来效用（财富），而其期望效用是一随机变量 （财富）的函数。因此，投资者对风险的态度由其效用 函数的形态所决定。
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风险态度的测定－赌徒心态
在金融经济学理论中，假定所有投资者为风险厌恶者。 在上述赌局中，开赌的风险（方差大）比拿走$40（0方
差）要大。因此，如果期望回报为正态分布，给定一期 望回报水平（均值用函数
这种效用函数的特点是
财富越多越好（一阶导数为正） 边际效用递减（二阶导数为负）
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线性效用函数－风险中性
函数性质：U ( X 1 (1 ) X 2 ) U ( X 1 ) (1 )U ( X 2 )
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风险态度测定－例题
给定效用函数，U(W) = ln(W), 赌局为, G($5, $30, 80%)。 赌局的期望终盘值为： E(W) = 0.8 $5 + 0.2 $30 = $10 期望终盘值的效用为： U[E(W)] = ln($10) = 2.3 终盘结果的期望效用为：E[U(W)] = 0.8 U($5) + 0.2 U($30) = 0.8 ln($5) + 0.2 ln($30) = 1.97 因此， U[E(W)] > E[U(W)] 也就是说，你从给定的期望终盘值中获得的效用比从“开赌”的结果中获得的效 用要大。因此，说明你的效用函数为凹形，是风险厌恶型投资者。
CVA
0.07 1.40 0.05
CVB
0.12 1.71 0.07
项目A变异系数低于项目B，所以项目A更优
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收益与风险的统计计算
平均收益率（算术平均）：可估计预期收益率
( R1 Rn ) R n
收益率的样本方差与标准差：可估计总体标准差
s ( R1 R ) 2 ( R 2 R ) 2 ( R n R ) 2 n 1
1, 2 1 时
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P w1 1 w 2 2
协方差
ij E [( R i E ( R i ))( R j E ( R j ))]
协方差表示两个变量协同变动的程度。也可记为Cov(Ri, Rj)。 如果协方差为正，表明两个变量变动方向趋同。 如果协方差为负，表明两个变量变动方向相反。
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凹度与风险厌恶的程度
效用函数的凹度决定了风险厌恶的程度 因此，对于风险厌恶的投资者来说，U’(W)>0 和
U''(W) < 0
风险中性时，U(W) = 0 风险喜好时，U(W) > 0
风险的价格
问题：风险厌恶投资者应该支付多少以避免进入一赌
局，该赌局将以各50%的概率增加财富h元和减少h元？
E( Rp ) w1E( R1 ) w2 E( R2 ) 资产组合的方差
2 2 2 P w12 12 w2 2 2 w1 w2 1,2 2 2 w12 12 w2 2 2 w1 w2 1,2 1 2
在特殊相关系数下，资产组合的标准差：
1, 2 1 时 P w1 1 w 2 2 2 2 2 2 1/ 2 1, 2 0 时 p w1 1 w 2 2
σ(%)
证券A和B构成的资产组合
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Q
&
A
2 i 1
2
标准差 = [方差]1/2 =
标准差 变 异 系 数 CV 预期收益率 E (R)
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案例：用变异系数评估投资项目
项目A、B的收益率和方差
项目A 收益率 标准差 0.05 0.07 项目B 0.07 0.12
通过分别计算上例中A、B项目的变异系数就可以从中选择出较优项目
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相关系数
Cov ( Ri , R j )
ij
i j
相关系数表明两个变量的相关关系，可视作协方差的标准化 。 当ij = 1时，证券i和j是完全正相关的； 当ij = -1时，证券i和j是完全负相关的； 当ij = 0时，证券i和j是不相关的。
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不同相关系数对风险的影响
收益率的频率分布
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风险测量：
期望收益：
E ( R )]

n
R
i1
i
Pi
标准差：


n
[R
i1
i
E ( R )]
2
Pi
Ri为各期的报酬率，E(R)为其平均数， n为总取样的期数，Pi为各种情况发生的概率。
两种证券构造的资产组合的收益与风险
资产组合的收益