第三章效用函数与风险厌恶
效用、损失和风险
第三章 效用、损失和风险(Utility,Loss and Risk)本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184§3—1 效用的定义和公理系统一、引言·为什么要引入效用决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示； 后果价值待定： 以效用度量。
1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。
例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。
例二：礼品抽奖10.50.51000元2500元上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义 有人认为打赌不如礼品,即1000元 优于2500元0.50.5*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。
* 除风险偏好之外，还时间偏好。
i, 折扣率 ii,其他 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).Daniel Bernoulli 在1738年指出：若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。
二、效用的定义 1.符号 i,A B(即APB)读作A 优于B ：(Prefer(ed) A to B) AB(即ARB) A 不劣于BA ～B(即AIB) A 无差别于B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=(p c 11,;…;,;p c i i …p c n n , ) 既考虑各种后果 (consequence)又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P 的集合记作p iii,抽奖(lottery)与确定当量1.0C 3C 1C 2p1-p若 C 1 ~ ( p C ,2 ; (),13-p C ) 则称 确定性后果C 1 为抽奖 ( p C ,2 ; (),13-p C ) 的确定当量2.效用的定义(A)在集合p 上的实值函数u ，若它和p :若 p p 12,∈p , p 1p 2 iff u(p 1)≥u(p 2)则称u 为效用函数三、效用存在性公理 理性行为公理 V on Neumann-Morenstern, 1994 [169] ·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p p 12,∈p , 则 p 1p 2 or p 1~p 2 or p 2p 1 ·公理2 传递性 (Transitivity)p p p 123,,∈p , 若p 1p 2,p 2p 3 则 p 1p 3·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变)若p p p 123,,∈p , p 1p 2 且 0 < α < 1则 对任何p 3∈p ,必有 αp 1+(1-α)p 3αp 2+(1-α)p 3 或者表达成：p 1p 2,α>β 则 αp 1+(1-α)p 2βp 1+(1-β)p 2即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。
风险不确定性及个人效用函数分析
风险不确定性及个人效用函数分析风险不确定性是经济学中一个重要的概念，指的是决策者在面对未来的各种可能性时所面临的不确定性程度。
个人效用函数则是用来描述个人对风险不确定性的态度和对不同结果的偏好程度。
在这篇文章中，我们将探讨风险不确定性及个人效用函数的分析。
首先，我们来讨论风险不确定性。
在现实生活中，人们常常面临各种风险和不确定性，比如投资、职业选择、购买决策等。
在这些决策中，决策者可能无法准确预测未来的结果，并且不同结果的概率分布也可能不一样。
这种不确定性给决策者带来了风险，因为他们的决策可能会受到不可控因素的影响，从而导致结果与预期不符。
为了对风险不确定性进行分析，经济学家引入了概率论和统计学的工具。
通过对可能结果的概率分布进行量化，可以计算出风险的大小，并从中选择最优的决策。
这种分析方法被称为风险分析。
在风险分析中，个人效用函数起着重要的作用。
个人效用函数是描述个人对不同结果的偏好程度的数学函数。
通过个人效用函数，可以量化个人对不同结果的喜好程度，从而在不确定性的环境下进行决策。
个人效用函数可以是线性的、非线性的，也可以是凸的或凹的，取决于个体的偏好。
个人效用函数的形式不同，会对决策结果产生重要影响。
比如，在风险回避的个人效用函数中，个人对较低的收益有较高的偏好，对较高的收益有较低的偏好。
这意味着，对于相同的风险水平，决策者更倾向于选择较为保守的决策，而回避可能带来较大风险的选择。
而在风险偏好的个人效用函数中，个人对较高的收益有较高的偏好，对较低的收益有较低的偏好。
这意味着，对于相同的风险水平，决策者更倾向于选择较为冒险的决策，从而追求更大的收益。
此外，个人效用函数还可以反映出决策者对风险的态度。
比如，风险厌恶的个人效用函数会对不确定性和风险给予较高的负面效用，而风险喜好的个人效用函数则对不确定性和风险给予较高的正面效用。
这种态度的差异会影响决策者在面对风险时的选择。
风险不确定性及个人效用函数的分析在经济学中有着广泛的应用。
第三章 资产风险与收益分析
第二节
均值和方差分析
风险――收益的数学度量 证券之间关联性――协方差与相关系数 资产组合方差的计算
投资组合风险分散
均值――方差准则（MVC）
一、风险――收益的数学度量
收益的度量 资产收益率 单个资产
持 有 期 收 益 率 算 术 平 均 收 益 率 几 何 平 均 收 益 率
资产组合
（二）效用函数的应用――风险态度
• 消费者的偏好是指消费者根据自身的愿望对不 同消费束之间的一个排序。 • 无差异曲线――偏好的图形描述 • 效用函数――偏好的数学表示
消费者偏好
效用及效用函数
（二）效用函数的应用――风险态度
• 对待风险的态度可以分为三类：风险厌恶型、 风险中性型和风险偏好型。 • 在不确定性效用分析中，经常以彩票为例来说
将标准差转变为变异系数后，可以将不同预 期报酬率的投资进行比较。 例1：中国联通（600050）和中兴通讯（000063）
二、资产风险之间关联度――协方差与相关系数
1、协方差
如果已知证券 i 和证券 j 的收益率的联合分
布，则其协方差记作 Cov(ri , rj ) 。
协方差是测算两个随机变量之间相互关系的
票价格上涨至200元，但时隔1年，在第2年年末它又跌回到了100 元。假定这期间公司没有派发过股息，这样，第1年的投资收益 率为100％（R1＝（200-100）/100=1=100%），第2年的投资收益 率则为－50%(R2= (100-200)/200=-0.5＝－50％)。 用算术平均收益率来计算，这两年的平均收益率为25％，而实际 上，在整个投资期间，投资者并未赚到任何净收益。
ij ＝1，两个收益率完全正相关； ij ＝－1，两个收益率完全负相关； ij ＝0，两个收益率无任何关系。
第三章效用函数.pptx
决策就是要对这 m个事态体进行排序。 由第一节中的性质3.3知，存在简单事态体
T’，使得 Ti’＝（pi’, o*；1－pi’, o0 ）～
Ti
问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排
序。
§3.2 效用函数的定义和构造
表示任意事态体都不是无限优，也不是无限 劣。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质
性质3.1
设事态体 T1＝（p, o1；1－p, o0 ）
T2＝（x, o2；1－x, o0 ） 且 o1o0 ， o2o0 ，若o2o1
则存在
x=p’＜p
使得
T1～T2
称x为可调概率值。
§3.1 理性行为公理
3.1.3 事态体的基本性质
性质3. 3 任一事态体无差异于一个简单事态体。
设有事态体T ＝（p1, o1；p2, o2 ；…；pn, on） 则必存在一个简单事态体
T’＝（p’, o*；1－p’, o0 ）～ T
其中：
o* ≽max{o1, o2 , …, on } o0 ≼min{o1, o2 , …, on }
效用表示了决策者对决策方案各结果值的 偏好程度，也反映了不同类型的决策者对 风险的不同态度。
3.2.2 效用函数的构造
介绍一种实用的效用函数的构造方法。 基本思路
对于决策问题的结果值集合，先用确定当 量法找出一个基准效用值，即效用值等于 0.5的结果值，称为确定当量oξ。其余效用 值不再测定，而是按比例用线性内插的方 法，用同一个标准计算得到。
3.2.2 效用函数的构造
方法
设决策问题结果值集合为：
第三章 随机占优决策法则
第三章 随机占优决策法则3.1 偏序：有效集和无效集3.1.1 偏序与全序□若期望效用函数已知，则对所有可行投资计划计算期望效用，选出最大的一个，并且对考虑的投资问题有完全的选择次序，即可以区分任意两个投资的优劣，称全序； □但一般而言，仅知偏好的部分信息（比如风险厌恶），因此可以对可行投资计划得到偏序——不是所有的投资机会都可以比较。
□对于偏序，例如假设效用函数不减，即 0≥'U ；或者说投资者总认为多好于少，这是部分信息，而不知效用函数的精确形式。
可利用随机占优投资准则，它适合所有效用函数0≥'U 的投资者。
下面根据决策者的信息引入一些定义及决策准则：可行集（feasible set; FS): 定义为我们考虑问题的所有可以实现的投资计划。
可以把可行集FS 分成两个子集：有效集（ES)和无效集(IS) 两部分。
两个集合互不相交。
假设所有 的全体为U ，即U 为所有非减效用函数组成的集合，说明关于这一信息集的有效集和无效集以及它们两者之间的关系。
U 中的占优：我们说在U 中，投资计划1 优于投资计划2 是指：对任意的U ∈U ，有 ，并且至少有一个 ，上面的不等式严格成立。
经济意义是指：具有效用函数为U 的所有个体，一致认为投资计划1绝不比投资计划2差，且一定有某一个体认为投资计划1严格好于投资计划2。
有效集：它是这样一些投资计划组成的集合，没有另外的投资机会占优于它。
无效集：它由所有的无效投资机会组成，所谓无效投资计划是说可以在有效投资集中至少有一个投资机会优于它。
可行集FS 分化为有效集ES 和无效集IS 依赖于具有的信息。
一般而言，对于给定的任意信息集，相对于可行集的有效集越小，投资者的投资计划越明确。
本章将说明加在偏好或收益分布上的信息或假定越多，有效集越小。
带有部分信息的投资选择（因而有偏序）有两个决策步骤：a)客观决策；b) 主观选择。
随机占优3.2 一阶随机占优定义：对于具有连续的增效用函数的经济行为主体，如果他对证券A 和证券B 的选择是选择A 而放弃B 或者觉得A 和B 无差异，那么我们就说证券A 一阶随机占优于证券B ，用b 表示。
风险厌恶系数ppt课件
具有社会偏好个体的风险厌恶的实验 研究
• 这篇文章主要从实验的角度通过改进后的有序 的彩票选择设计（OLS设计）——多元价格序列 设计（MPL设计）方法来探讨社会偏好个体的风 险厌恶的分布特征。
实验必要性
传统经济学关于风险偏好的假定仅局限在个体面对可能 事件的客观概率分布所进行的权衡。但这种理论自身已 经隐含了一个假定， 即个体可以准确判断可能事件的 客观概率。因此，个体面对不确定条件下的决策时，并 不是风险偏好在起作用，而是风险认知在起作用。
• 第二部分：实验问题测试。测试目的是使被试更好地理解实验 中的收益支付规则。
• 第三部分：风险厌恶测度。本文基于标准的Arrow-Pratt相对 风险厌恶系数计算风险偏好。实验设计采用 Holt 和Laury （2002）所使用的基于彩票选择的实验设计。
• 被试需要分别对表中十对彩票做出选择彩票A还是彩票B的决定， 被选择的彩票将用来抽奖， 以决定被试的收益。不过本实验 设计在选择结束后，由计算机随机选择一对彩票，并根据被试 当时的选择来进行抽奖。计算机首先在1到10之间抽取一个序 号，以决定用哪一对彩票来决定收益。
实验结果：
风险厌恶的分布特征实验结果：
• 根据表2我们可知，风险厌恶、风险中性和风险爱好的个体所 占的比例分别为65%、28%和7%，其中高度风险爱好的个体的 比例接近于0，27%的个体具有较高的风险厌恶；
• 个体的风险厌恶中值位于0.41到0.68之间，其中风险厌恶和 风险爱好的个体的风险厌恶中值分别位于0.41到 0.68 之间 和 -0.49 到 -0.15 之 间 ； 个 体 选 择 安 全 选 项 的 个 数 的 平 均 值 5.48，其中风险厌恶和风险爱好的个体的安全选项均值分别 为 6.45 和 2.56。这表明了较大部分的个体为风险厌恶，较 小部分的个体为风险中性，只有极少部分的个体为风险爱好， 并且高度风险爱好的个体基本不存在，同时也可以发现个体 的风险偏好具有较强的异质性。
第三讲：风险厌恶ppt课件
negative. Example: u(w)=ln(w).
9
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
Eu1(w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind.
u1 (w0 )
dfn
25
主要结论
定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w) 2、u1(u21(z)) 是凹的；
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
3
凹函数的定义
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
34
递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
12
风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
风险厌恶系数[1]
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风险厌恶系数[1]
阿罗-普拉特度量
阿罗-普拉特度量 是对一个决策者的风险厌恶程 度的度量。它由肯尼思·阿罗和约翰·普拉特的名 字命名。
设是一个可微分的效用函数, 那么一个绝对风险 厌恶的阿罗-普拉特度量被定义为：
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风险厌恶系数[1]
l ARA为正，表明具有此效用函数的投资者或者 消费者是风险厌恶者；
为风险中性，只有极少部分的个体为风险爱好，并且高度风
险爱好的个体基本不存在，同时也可以发现个体的风险偏好 具有较强的异质性。
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风险厌恶系数[1]
• 从表3可以看出， 采用 MPL 和 OLS 设计所测度出的个体风险 厌恶中值并没有明显差异， 但是要显著低于 iMPL 设计所测 度出的个体风险厌恶中值， 这表明实验中所测度的个体的风 险态度可能会受到测度方法的影响。
• 个体普遍是风险厌恶的这一结论是不受影响并且是稳健的。 Carlsson 等（2009） 同样采用Holt和Laury （2002） 的设 计对中国贵州农村个体的风险厌恶进行了测度，但实验中的收 益是本文中的 10 倍，作者研究发现 这主要是激励的差异所 造成的， 该结论表明了使用学生作为被试的实验数据同样具 有代表性。
风险厌恶系数[1]
基于以上分析，财富概念应为包含房产、人力资本后的财 富净值，由金融财富净值、房产和人力资本等构成。为了 检验三类财富对风险庆恶系数分别产生的影响，分析模型III 的拟合结果如表8 所示。
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风险厌恶系数[1]
2.3 考量居民主观风险偏好对于风险厌恶系数大小的影响 为了方便模型数据的拟合，本文需要首先量化每一心理测试 题的各个选项，如对于第一题中的A 、B 、C 和D 四个选项 分别赋予1 、3 ，5 和9 分;随后累加四道心理测试题受访者 所勾选项对应的分值，并将该总分值赋予变量X ， 即居民 的风险偏好态度为X。
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x C 和 〉0，总存在 y C, x y
使得 x f y
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了 无差异曲线具有一个负的斜率。
（6）凸性（convexity）
x, y, z C,ifx z, y z x (1) y z
C C
Z W qC 0
MRSi, j
u / Ci u / C j
qi qj
（三）不确定性环境下的行为选择
1.关于风险与不确定性 奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉
中关于确定型、风险和不确定性的解释：
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换
行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件 发生的可能性。
1.偏好关系的表述 令C 为商品（或者消费）集合，C 中有M 种可供选
择的商品。它是M 维实数空间 中的一个非负子集，它 总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集， 或者称之为商品束（commodity bundle）或者消费束 （consume boundle）。我们可以在消费束的集合上 建立下面的偏好关系（preference relation）或者偏 好顺序（preference ordering）：
序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托 等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全 可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是 以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而 效用值的大小本身并没有任何意义
2.效用函数定义
如果对于x, y C 有
x f y u(x) f u(y) 和 x : y u(x) : u(y) 成立，则函数关系u :C R 是一个代表了
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机 问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可 能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认 识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。
不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那 些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问 题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一Байду номын сангаас 状态发生的概率不清楚。
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常 常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果 发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概 率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事 件同时视为风险。
偏好关系的效用函数。
定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获 得另一个效用函数与原来的效用函数具有
同样的偏好关系：
u(x)
f
[u(x)]
且f
(.)是单调递增函数，则有：
u (x) u(y) u(x) u(y)
定理2：
如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有
完备性、自返性，传递性和连续性，则存在 一个能够代表偏好顺序的连续效用函数
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系
效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时 而异。
偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上 的。
偏好关系（preference relation)是指消费者 对不同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用 一种两维（或二元）关系（binary relation） 表述出来。
中有一种关系成立。 完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
（2）自返性（reflexivity）：
x C ，则有 x x
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的 一 贯性。
（3）传递性：
x, y, z C ifx y, y x x z
传递性保证了消费者在不同商品之间偏好 的首尾一贯性。 同理：
（4）单调性（monotonicity）
x, y C ，ifx y x y
单调性说明增加一点商品至少与原来的情 况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然 成立。 强单调性说明同样的物品，如果其中有些种
类的数量严格多于原来的物品，消费者则必定 严格偏好于他们。
x, y C ifx y 且 x y 则 x f y
严格凸性（strictly convexity）：
x, y, z C,ifx z, y z, x y x (1)y f z
凸性可理解为边际替代率递减。
（二）确定性环境下的效用函数
1.基数效用与序数效用 基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、
奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从 享用或消费过程中所所获得的效用来度量。对满意程 度的这种度量叫做基数效用.
（1）x y 弱偏好于x，x 至少与y 一样好。
（2）x f y 强偏好于x ； x f y x y 但， y x 不成立。
（3）x : y无差异于x 、y；即：
x: yxy 和 y x
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）:
x, y C y x x : y x y
第三章
不确定性条件下的选择理论： 期望效用函数与风险厌恶
第一节 效用函数
效用utility是主观感受，人为设定的满意程度
效用函数utility function是对满意程度的量化 效用函数分为：序数效用、基数效用函数 序数效用ordinal utility：效用之间只能排序 基数效用cardinal utility：用具体数值表示效用的大小 期望效用：有多种结果时效用的数学期望 E（u）＝Σ 或 积分
u :C→R。
（三）消费者效用最大化问题
令 max u(.) 则最大化问题为：
s.tW
q (q1,L , qm,L , qM ) RM
max u(.) s.t.z C RM : qc W
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。
最优解：
Z u q 0
x, y, z C, ifx f y, y f z x f z
（4）连续性（continunity）
对于任意的X、y，集合 x x y 和x x y是闭
集，则 x x f y和 x x p y是开集。
即如果x是一组至少与y一样好的消费束，而
且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样好。 这样就可以得到一条连续的无差异曲线。