应用高等数学-4.1.3 矩阵的运算
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
大学数学矩阵的基本操作与运算
大学数学矩阵的基本操作与运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域，尤其在大学数学课程中占据重要地位。
本文将介绍矩阵的基本操作与运算，帮助读者掌握矩阵的使用和计算方法。
一、矩阵的定义及表示方法矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列成的矩形数表。
通常用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。
矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵可以用方括号表示，如：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;..... ;am1, am2, ..., amn]其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
二、矩阵的基本操作1. 矩阵的加法矩阵的加法定义为两个同维数(即行数和列数相等)的矩阵对应位置元素相加的运算。
设矩阵A和B的维数相同，则它们的和矩阵C的定义为：C = A + B其中C的每个元素等于A和B对应位置元素之和。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘定义为一个矩阵中的每个元素与一个常数(标量)相乘的运算。
设矩阵A和数c，则其数乘矩阵记作cA，定义为：cA = [ca11, ca12, ..., ca1n; ca21, ca22, ..., ca2n; ..... ; cam1, cam2, ..., camn]其中cA的每个元素等于c乘以A对应位置元素的积。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，需满足乘法规则。
设A为m行p列的矩阵，B为p行n列的矩阵，则矩阵A与B的乘积C为m行n列的矩阵。
矩阵乘法的定义为：C = AB其中C的第i行第j列的元素等于矩阵A第i行的元素与矩阵B第j列的元素的乘积之和。
三、矩阵的运算性质1. 矩阵加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C =A + (B + C)。
2. 数乘矩阵满足分配律，即c(A + B) = cA + cB，(c + d)A = cA + dA。
3. 矩阵乘法不满足交换律，即AB ≠ BA。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是代数中一种重要的数学工具，它由数个数按照规定的行列顺序排列而成。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置等，这些运算规则在代数中有着重要的应用。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则相同，对应位置的元素进行相加或相减。
具体来说，如果有两个m×n（m行n列）的矩阵A和B，它们的和为C，则A和B之间的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C的元素cij就是A和B相对应位置元素之和。
同样，矩阵的减法也是对应位置的元素进行相减操作。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的和、差分别为：A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]A-B=[[1-5,2-6],[3-7,4-8]]=[[-4,-4],[-4,-4]]二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都与一个常数k相乘。
具体来说，如果有一个m×n的矩阵A和一个实数k，则矩阵A乘以k的结果为B，可表示为：B = kA。
其中，B的元素bij等于k与A相对应位置元素的乘积。
例如，对于如下矩阵：A=[[1,2],[3,4]]k=2则A乘以k的结果为：B=kA=2A=[[2,4],[6,8]]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以将它们相乘得到一个新的矩阵C。
具体来说，如果A是一个m×n 的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则矩阵C的大小为m×p。
C的元素cij 可以通过计算A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积之和得到。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的乘积为：C=AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22], [43,50]]注意，在矩阵乘法中，矩阵的位置很重要，即AB一般不等于BA。
矩阵的运算知识点总结
矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。
矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。
一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。
数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。
例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。
矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。
3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。
例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。
5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。
两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。
矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。
以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是数学中一个重要的概念，研究矩阵的运算公式对于理解线性代数和计算机图形学等领域都至关重要。
以下是矩阵的运算公式的详细介绍：1.矩阵的加法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为：C=A+B，其中C的元素等于A和B对应元素的和。
2.矩阵的减法：对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法定义为：C=A-B，其中C的元素等于A和B对应元素的差。
3.矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘定义为：B=k*A，其中B的元素等于A的对应元素乘以k。
4.矩阵的乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义为：C=A*B，其中C的元素等于A的行向量与B的列向量的内积。
5.矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义为：B=A^T，其中B的行等于A的列，B的列等于A的行，且B的元素和A的对应元素相同。
6.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，它的逆定义为：A^{-1}，使得A*A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
7.矩阵的行列式：对于一个方阵A，它的行列式定义为：，A，是A的元素的代数余子式之和。
8.矩阵的迹：对于一个方阵A，它的迹定义为：tr(A)，是A的主对角线上元素之和。
9.矩阵的转置乘法：对于两个矩阵A和B，它们的转置乘法定义为：C=A^T*B，其中C的元素等于A的列向量与B的列向量的内积。
10.矩阵的伴随矩阵：对于一个方阵A，它的伴随矩阵定义为：adj(A)，是A的代数余子式构成的矩阵的转置。
11.矩阵的秩：对于一个矩阵A，它的秩定义为：rank(A)，是A的线性无关的行或列的最大数量。
12.矩阵的特征值和特征向量：对于一个方阵A，它的特征值是满足方程det(A - λI) = 0的λ值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
13.矩阵的奇异值分解（SVD）：对于一个矩阵A，它的奇异值分解定义为：A=U*Σ*V^T，其中U和V 是正交矩阵，Σ是一个对角线上元素非负的矩阵。
14.矩阵的广义逆矩阵：对于一个矩阵A，它的广义逆矩阵定义为：A^+，使得A*A^+*A=A，其中A*A^+和A^+*A均为投影矩阵。
矩阵的基本运算与应用知识点总结
矩阵的基本运算与应用知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它不仅在数学领域有重要作用，还在物理学、统计学、计算机科学等领域得到广泛应用。
本文将对矩阵的基本运算和应用进行总结。
一、矩阵的定义与表示矩阵是一个由m行和n列元素排列成的矩形数组。
一个m×n矩阵的大小通常表示为m×n。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵常用大写字母表示，如A、B。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，其定义为：(A+B)ij = Aij + Bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是对应元素相减。
两个矩阵相减要求行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的差A-B也是同型矩阵，其定义为：(A-B)ij = Aij - Bij。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数或复数称为数乘。
设A为一个矩阵，k为实数或复数，则数乘后的矩阵kA，其中矩阵kA 的每个元素均为k乘以A相应元素的积。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法不同于数乘，它是指矩阵之间的乘法运算。
设A为m×n 矩阵，B为n×p矩阵，那么它们的乘积AB为m×p矩阵，其定义为：(AB)ij = ΣAikBkj，其中k的范围是1到n。
三、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵在线性方程组的求解中发挥着重要作用。
通过矩阵的系数矩阵和常数矩阵，可以将线性方程组转化为矩阵乘法的形式，进而用矩阵运算求解方程组的解。
2. 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。
特征值表示了矩阵的某个线性变换的影响程度，而特征向量表示了在该变换下不变的方向。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
转置后的矩阵在一些应用中具有特殊的性质，并且在计算中常常用到。
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
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a1n b1n a2n b2n
amn bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
1 2
3
3 2
1 3 2 2
矩阵乘法直观表示
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
816?163222
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
1
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
AB BA
称A,B可交换
矩阵乘法的消去律不成立
例设
1
A
1
1
1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 0
0
2
AB
1 1
1 1
1
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
是一个m n 矩阵 C cij ，其中
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 i 1,2, m; j 1,2, ,n,
并把此乘积记作 C AB .
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A ; 2 A n A;
3 AB A B; AB BA .
七、小结（本节要点）
一、矩阵的加法； 二、数与矩阵相乘； 三、矩阵与矩阵相乘； 四、矩阵的转置； 五、方阵的行列式．
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11 a12 L
3
A
a21 L
a22 L
L L
am1
am2
L
a1n
a2n
L
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
a22
am1 am1
a1n
a2n
.
amn
12 3 5 24 6 10
2 1 3
9 6
0
8
2
6
18 12
0
16
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
§4.1.2
一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
解
2 0 0 4 0 0
2A 20 1 0 0
2
0
0 0 5 0 0 10
2 0 02 0 0 4 0 0
AB 0 1 00 3 0 0 3 0
0 0 50 0 1 0 0 5
4 0 0 4 0 0 0 0 0
2A AB
0
20Biblioteka 030 0
5
0
0 0 10 0 0 5 0 0 5
3 1
10.
1
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ;
2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
4 AI IA A;
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
A
1 1
1 1
0 0
AB
0
0
由此可以看出：
1 1
B
1
a31 a32 a33 b3
解
b1
b2
b3
a11 a21
a31
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12 a13 b1 a22 a23 b2 a32 a33 b3
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
(a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 )
3 AT AT;
4 ABT BT AT.
同理 ABCT CTBT AT.
例5 已知
A 2 1
0 3
1, 2
1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
解法1
求 ABT .
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
0 14 3, 17 13 10
1
3
1
0 17
那末 A 称为对称矩阵.
12 6 1
例如
A
6
8
0
为对称矩阵.
1 0 6
说明 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应 相等.
例8 设 A 为任意给定的 m n 矩阵，证明
AAT 为对称矩阵. 证 因为 ( AAT )T ( AT )T AT AAT ,
所以 AAT 为对称矩阵.
六、方阵的行列式
1
11
2 2
2
2
AC
1 1
1 2
1
0
0 2
2
2
2
2
AB = AC 但 B C
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
2
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
AB T
14
13 .
3 10
解法2
ABT BT AT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
2 0 0 2 0 0
例6 设 A 0 1 0, B 0 3 0 ，求 (2 A - AB)T.
0 0 5 0 0 1
八、课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习二
AB BA.
四、矩阵的转置
１、转置矩阵
定义 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AΤ .
例 A 1 2 2, 4 5 8
1 4
AT
2
5
;
2 8
B 18 6,
BT
18
6
.
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT;
2
4
1 2 1 2 4 2
-2A 2
0 0
3 0
2 5
0
0
6
4
0 10
1 2 1 2 5 1 2 1 0
AB
0
0
3 0
2
0
5 0
2 0
0
1
0
0
6 0
2
5
2.对称矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即
aij a ji i , j 1,2, ,n
注意
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.
思考题
设A与B为n阶方阵,问等式
A2 B2 A BA B
成立的充要条件是什么?
思考题解答
答 A BA B A2 BA AB B2, 故 A2 B2 A BA B 成立的充要条件为
12 3 5 1 8 9
1
9
0
6
5
4
3 6 8 3 2 1