2018年房山二模数学理科
2018年北京市房山区高考数学二模试卷(文科)
2018年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A={x|x≤2}，B={x|0<x<3}，则A∪B=()A.{x|x≤2}B.{x|x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}2. 若复数iz=−1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列函数中，在区间(2, +∞)上为增函数的是（）A.y=−3xB.y=12−xC.y=−(x−2)2D.y=log12x4. 已知实数x，y满足{x+y−1≥0x≥0y≥0，则√x2+y2的取值范围是（）A.(0, 1)B.(0, 1]C.[1, +∞)D.[√22,+∞)5. 将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）A.y＝sin(2x−2) B.y＝sin(2x+2)C.y=sin(12x+1) D.y=sin(12x−1)6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A.4B.2√2C.√7D.27. “x+1x>2“是“x>1“的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件8. 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=12,BF=14．动点P从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 双曲线y 2a 2−x 2=1的渐近线为y =±√2x ，则该双曲线的离心率为________．若平面向量a →=(4,2)，b →=(−2,m)，且a →⊥(a →+b →)，则实数m 的值为________．阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的数字为________．如果直线y =kx −1与圆x 2+y 2+kx +my −4=0交于M ，N 两点，且MN 关于直线x +y =0对称，则m +k =________．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足b =2asinB ，则∠A =________．已知集合{a, b, c}＝{2, 3, 4}，且下列三个关系：a ≠3，b ＝3，c ≠4有且只有一个正确，则函数f(x)={2x ,x >b(x −c)2+a,x ≤b的值域是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4−a 3=2． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7．问：b 5与数列{a n }的第几项相等？已知函数f(x)=sinx −acosx 的一个零点是π4． (1)求实数a 的值；(2)设g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx ，若x ∈[0,π2]，求g(x)的值域．1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20, 30)，[30, 40)，…，[80, 90)，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)估计其阅读量小于60本的人数；(Ⅱ)已知阅读量在[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20, 40)内的学生中随机2人进行座谈，求2人分别在不同组的概率；(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外书阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点．现将四边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的位置，使得平面ABCF⊥平面D1E1FC，如图2．(Ⅰ)证明：D1F⊥平面E1OG；(Ⅱ)求几何体E1−OFAG的体积；(Ⅲ)在直线AB上是否存在点H，使得D1H // 平面E1OG？如果存在，求出AH的长；如果不存在，请说明理由．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且AF⊥x轴，△AFO的面积为34．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过C上一点P(x0, y0)(y0≠0)的直线l:x0xa2+y0yb2=1与直线AF相交于点M，与直线x=4相交于点N．证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．已知函数f(x)=1x−alnx(a∈R)．(Ⅰ)当a=−1时，(i)求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程；(ii)设g(x)=xf(x)−1，求函数g(x)的极值；,+∞)有两个的零点，求实数a的取值范围．(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1e2参考答案与试题解析2018年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】根据并集的定义写出A∪B．【解答】集合A={x|x≤2}，B={x|0<x<3}，则A∪B={x|x<3}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】由iz=−1+i，得z=−1+ii =(−1+i)(−i)−i2=1+i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1, 1)，位于第一象限．3.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=−3x，函数y=3x为指数函数，则R上为增函数，则y=−3x在R上为减函数，A不符合题意；对于B，y=12−x =−−1x−2，令t=x−2，y=−1t，则函数t=x−2在(2, +∞)上为增函数，y=−1t在(0, +∞)为增函数，则y=12−x在区间(2, +∞)上为增函数，符合题意；对于C，y=−(x−2)2为二次函数，开口向下且对称轴为x=2，在区间(2, +∞)上为减函数，不符合题意；对于D，y=log12x为对数函数，在区间(2, +∞)上为减函数，不符合题意；4.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可．【解答】实数x，y满足{x+y−1≥0 x≥0y≥0表示的可行域如图：√x2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，可知P到原点的距离最小，即2=√22．则√x2+y2的取值范围是：[√22, +∞)．5.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数的图象变换关系分别进行求解即可．【解答】将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin12x，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin12(x−2)＝sin(12x−1)，6.【答案】B【考点】由三视图还原实物图【解析】几何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥S−ABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM=√3，∴AM=√5，SA=√AM2+SM2=2√2．由对称性可知SB=SA=2√2．∴几何体最长的棱为2√2．故选B.7.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x+1x >2，化为：(x−1)2x>0，解得x范围即可判断出结论．【解答】由x+1x >2，化为：(x−1)2x>0，解得x>0且x≠(1)∴ “x+1x>2“是“x>1“的必要不充分条件．故选：C．8.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．【解答】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，G在DA上，且DG=14，第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH=12，第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM=14，第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN=14，第六次回到E 点，AE =12．故需要碰撞6次即可．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【答案】 √62【考点】双曲线的特性 【解析】根据题意，由双曲线的方程求出其渐近线方程，分析可得a =±√2，即可得双曲线的标准方程，利用离心率公式计算可得答案． 【解答】根据题意，双曲线的方程为y 2a 2−x 2=1，则其渐近线为y =±ax ，又由双曲线y 2a 2−x 2=1的渐近线为y =±√2x ，则a =±√2，则双曲线的标准方程为：y 22−x 2=1，其中c =√3，其离心率e =√3√2=√62； 【答案】 −6【考点】平面向量的坐标运算 【解析】可求出a →+b →=(2,m +2)，根据a →⊥(a →+b →)便可得出a →⋅(a →+b →)=0，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值． 【解答】a →+b →=(2,m +2)；∵ a →⊥(a →+b →)；∴ a →⋅(a →+b →)=(4,2)⋅(2,m +2)=8+2(m +2)=0；∴ m ＝−6． 【答案】 3【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】当S =1时，应不满足输出的条件，故S =4，n =2； 当S =4时，应不满足输出的条件，故S =13，n =3；当S=13时，应不满足输出的条件，故S=40，n=4；当S=40时，应满足输出的条件，故进行循环的条件应为n≤3，【答案】【考点】直线与圆相交的性质圆的一般方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】由题意，得直线x+y=0是线段MN的中垂线，利用垂直直线的斜率关系算出k=1，得出圆方程为x2+y2+x+my−4=0，将圆心坐标代入x+y=0，解得m=−1，可得本题答案．【解答】解：∵直线y=kx−1与圆x2+y2+kx+my−4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，∴直线x+y=0是线段MN的中垂线，得k⋅(−1)=−1，解之得k=1.∴圆方程为x2+y2+x+my−4=0，圆心坐标为(−12, −m2)，将(−12, −m2)代入x+y=0，解得m=−1，得k+m=0.故答案为：0.【答案】π6【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理即可求出．【解答】∵b=2asinB，∴sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=12，∵A为锐角，∴A=π6，【答案】[3, +∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．【解答】由{a, b, c}＝{2, 3, 4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a ＝2时，b ＝3、c ＝4时，a ≠3，b ＝3，c ≠4都正确，不满足条件． 当a ＝2时，b ＝4、c ＝3时，a ≠3成立，c ≠4成立，此时不满足题意； 当a ＝3时，b ＝2、c ＝4时，都不正确，此时不满足题意； 当a ＝3时，b ＝4、c ＝2时，c ≠4成立，此时满足题意；当a ＝4时，b ＝2，c ＝3时，a ≠3，c ≠4成立，此时不满足题意； 当a ＝4时，b ＝3、c ＝2时，a ≠3，b ＝3成立，此时不满足题意； 综上得，a ＝3、b ＝4、c ＝2，则函数f(x)={2x ,x >b (x −c)2+a,x ≤b ={2x ,x >4(x −2)2+3,x ≤4， 当x >4时，f(x)＝2x >24＝16，当x ≤4时，f(x)＝(x −2)2+3≥3， 综上f(x)≥3，即函数的值域为[3, +∞)，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【答案】(Ⅰ)设公差为d 的等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4−a 3=2， 可得2a 1+d =10，d =2， 解得a 1=4，则a n =4+2(n −1)=2n +2；(Ⅱ)设公比为q 的等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7， 可得b 2=8，b 3=16，则公比q =b3b 2=2，b 1=4，则b n =4⋅2n−1=2n+1， 由2n +2=b 5=26， 解得n =31，则b 5与数列{a n }的第31项相等． 【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】(Ⅰ)设公差为d 的等差数列{a n }，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；(Ⅱ)设公比为q 的等比数列{b n }，运用等比数列的通项公式可得公比和首项，即可得到所求b 5，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求值． 【解答】(Ⅰ)设公差为d 的等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4−a 3=2， 可得2a 1+d =10，d =2， 解得a 1=4，则a n =4+2(n −1)=2n +2；(Ⅱ)设公比为q 的等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7， 可得b 2=8，b 3=16，则公比q =b3b 2=2，b 1=4，则b n =4⋅2n−1=2n+1， 由2n +2=b 5=26， 解得n =31，则b 5与数列{a n }的第31项相等． 【答案】(1)依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1．(2)由(1)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1, 2]．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值函数零点的判定定理【解析】(1)根据f(π4)=0计算a的值；(2)化简f(x)的解析式，再根据这些函数的单调性得出g(x)的最值即可．【解答】(1)依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1．(2)由(1)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1, 2]．【答案】(Ⅰ)由频率分布直方图能估计估计其阅读量小于60本的人数为：100−100×10×(0.04+0.02×2)=20（人）(Ⅱ)由已知条件可知：[20, 50)内人数为：100−100×(0.04+0.02+0.02=0.01)=10，[20, 30)人数为2人，[30, 40)人数为3人，[40, 50)人数为5人．设[20, 30)2人为a，b，[30, 40)3人为c，d，e设事件A为“两人分别在不同组”从[20, 40)内的学生中随机选取2人包含：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(c, d)，(c, e)，(d, e)共10个基本事件，而事件A包含：(a, c)，(a, d)，(a, e)，(b, c)，(b, d)，(b, e)共6个基本事件所以P(A)=610=35(Ⅲ)第五组．【考点】频率分布直方图【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图能估计估计其阅读量小于60本的人数．(Ⅱ)由已知条件可知：[20, 50)内人数为10，[20, 30)人数为2人，[30, 40)人数为3人，[40, 50)人数为5人．设[20, 30)2人为a，b，[30, 40)3人为c，d，e，设事件A为“两人分别在不同组”，利用列举法能求出从[20, 40)内的学生中随机选取2人，则两人不同组的概率．(Ⅲ)第五组．【解答】(Ⅰ)由频率分布直方图能估计估计其阅读量小于60本的人数为：100−100×10×(0.04+0.02×2)=20（人）(Ⅱ)由已知条件可知：[20, 50)内人数为：100−100×(0.04+0.02+0.02=0.01)=10，[20, 30)人数为2人，[30, 40)人数为3人，[40, 50)人数为5人．设[20, 30)2人为a，b，[30, 40)3人为c，d，e设事件A为“两人分别在不同组”从[20, 40)内的学生中随机选取2人包含：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(c, d)，(c, e)，(d, e)共10个基本事件，而事件A包含：(a, c)，(a, d)，(a, e)，(b, c)，(b, d)，(b, e)共6个基本事件所以P(A)=610=35(Ⅲ)第五组．【答案】(Ⅰ)证明：图(1)中OG⊥CF，∴图(2)中，OG⊥CF，又面CD1E1F⊥面ABCF，面CD1E1F∩面ABCF=CF，∴OG⊥面CD1E1F，∵D1F⊂面CD1E1F，∴OG⊥D1F，又O为CF的中点，∴OF // D1E1，OF=D1E1，又E1D1=E1F，∴四边形E1D1OF为菱形．∴D1F⊥OE1，又OG∩OE1=O，∴D1F⊥面E1OG；(Ⅱ)图(2)中，过E1作E1M⊥FO，垂足为M，∵OG⊥面CD1E1F，E1M⊂面CD1E1F，∴E1M⊥OG，∵OG∩FO=O，∴E1M⊥面AGOF，则E1M为E1−OFAG的高，∵E1M=2sin60∘=√3，S四边形OFAG=12×(1+2)×√3=3√32，∴几何体E1−OFAG的体积V=13Sℎ=32；(Ⅲ)在直线AB上存在点H，当AH=3时，D1H // 平面E1OG．证明如下：过C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，∴CH // =OG．又OE1 // CD1，CD1∩CH=C，∴面D1CH // 面E1OG，∵D1H⊂面D1CH，∴D1H // 面E1OG，∵四边形OGHC为矩形，∴GH=CO=2，则AH=(3)【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由已知可得OG⊥CF，再由面CD1E1F⊥面ABCF，得OG⊥面CD1E1F，则OG⊥D1F，然后利用菱形对角线互相垂直可得D1F⊥OE1，再由线面垂直的判定可得D1F⊥面E1OG；(Ⅱ)图(2)中，过E1作E1M⊥FO，垂足为M，可证E1M为E1−OFAG的高，分别求出E1M与底面四边形OFAG的面积，代入棱锥体积公式可得几何体E1−OFAG的体积；(Ⅲ)在直线AB上存在点H，当AH=3时，D1H // 平面E1OG．过C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，先证面D1CH // 面E1OG，可得D1H // 面E1OG，再由四边形OGHC为矩形，求得AH=(3)【解答】(Ⅰ)证明：图(1)中OG⊥CF，∴图(2)中，OG⊥CF，又面CD1E1F⊥面ABCF，面CD1E1F∩面ABCF=CF，∴OG⊥面CD1E1F，∵D1F⊂面CD1E1F，∴OG⊥D1F，又O为CF的中点，∴OF // D1E1，OF=D1E1，又E1D1=E1F，∴四边形E1D1OF为菱形．∴D1F⊥OE1，又OG ∩OE 1=O ，∴ D 1F ⊥面E 1OG ；(Ⅱ)图(2)中，过E 1作E 1M ⊥FO ，垂足为M ，∵ OG ⊥面CD 1E 1F ，E 1M ⊂面CD 1E 1F ，∴ E 1M ⊥OG ，∵ OG ∩FO =O ，∴ E 1M ⊥面AGOF ，则E 1M 为E 1−OFAG 的高， ∵ E 1M =2sin60∘=√3，S 四边形OFAG =12×(1+2)×√3=3√32， ∴ 几何体E 1−OFAG 的体积V =13Sℎ=32；(Ⅲ)在直线AB 上存在点H ，当AH =3时，D 1H // 平面E 1OG ．证明如下：过C 作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于点H ，∴ CH // =OG ． 又OE 1 // CD 1，CD 1∩CH =C ，∴ 面D 1CH // 面E 1OG ， ∵ D 1H ⊂面D 1CH ，∴ D 1H // 面E 1OG ，∵ 四边形OGHC 为矩形，∴ GH =CO =2，则AH =(3)【答案】（1）设F(c, 0)，A(c, d)，则c 2a 2+d 2b 2=1又ca =12，∴ |d|=√32b ，∵ △AFO 的面积为34，∴ 12c|d|=12c ⋅√32b =34,bc =√3．由{a 2−b 2=c 2a =2cbc =√3 ，得{a =2b =√3c =1 ∴ C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知直线l 的方程为x 0x 4+y 0y 3=1(y 0≠0)，即y =12−3x 0x 4y 0(y 0≠0)．∵ 直线AF 的方程为x =1，∴ 直线l 与AF 的交点为M(1,12−3x 04y 0)，直线l 与直线x =4的交点为N(4, 3−3x 0)， 则|MF|2|NF|=(12−3x 04y 0)29+(3−3x 0y 0)2=(4−x 0)216y 02+16(1−x0)，又P(x 0, y 0)是C 上一点，则x 024+y 023=1.y 02=3−3x 024代入上式得：|MF|2|NF|2=(4−x 0)248−12x 02+16−32x+16x 02=(4−x 0)24(x 02−8x 0+16)=14⋅(4−x 0)2(4−x 0)2=14， ∴ |MF||NF|=12，为定值．【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)设F(c, 0)，A(c, d)，代入可得c 2a2+d 2b 2=1．又c a =12，|d|=√32b ，根据△AFO 的面积为34，可得12c|d|=12c ⋅√32b =34,bc =√3．由{a 2−b 2=c 2a =2cbc =√3 ，解出即可得出． (Ⅱ)由（1）知直线l 的方程为x 0x 4+y 0y 3=1(y 0≠0)，即y =12−3x 0x 4y 0(y 0≠0)．由直线AF 的方程为x =1，可得直线l 与AF 的交点为M(1,12−3x 04y 0)，直线l 与直线x =4的交点为N(4, 3−3x 0)，可得：|MF|2|NF|2=(12−3x 04y 0)29+(3−3x 0y 0)2=(4−x 0)216y 02+16(1−x 0)2，又P(x 0, y 0)是C 上一点，则x 024+y 023=1.y 02=3−3x 024，代入化简即可得出．【解答】（1）设F(c, 0)，A(c, d)，则c 2a 2+d 2b 2=1 又ca =12，∴ |d|=√32b ，∵ △AFO 的面积为34，∴ 12c|d|=12c ⋅√32b =34,bc =√3．由{a 2−b 2=c 2a =2cbc =√3 ，得{a =2b =√3c =1 ∴ C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知直线l 的方程为x 0x 4+y 0y 3=1(y 0≠0)，即y =12−3x 0x 4y 0(y 0≠0)．∵ 直线AF 的方程为x =1，∴ 直线l 与AF 的交点为M(1,12−3x 04y 0)，直线l 与直线x =4的交点为N(4, 3−3x 0)， 则|MF|2|NF|2=(12−3x 04y 0)29+(3−3x 0y 0)2=(4−x 0)216y 02+16(1−x0)2，又P(x 0, y 0)是C 上一点，则x 024+y 023=1.y 02=3−3x 024代入上式得：|MF|2|NF|2=(4−x 0)248−12x 02+16−32x+16x 02=(4−x 0)24(x 02−8x 0+16)=14⋅(4−x 0)2(4−x 0)2=14， ∴ |MF||NF|=12，为定值． 【答案】(1)(i)：a =−1，f(x)=1x −lnx ，f(1)=1，f ′(x)=−1x 2+1x ．∴ k =f′(1)=(0)故所求切线方程为：y =1(ii)：g(x)=xlnx ，函数定义域为：{x|x >0}， g′(x)=lnx +1，令g′(x)>0，解得：x =1e ，令g′(x)<0，解得：0<x <1e ， 故g(x)在(0, 1e )递减，在(1e , +∞)递增， 故g(x)极小值=g(1e )=−1e ，无极大值．（2）解法1：令f(x)=1x −alnx =0，解得：1a =xlnx （显然a ≠0） 问题等价于函数y =1a 与函数y =xlnx 的图象有两个不同交点．由(ii)可知：g(1e 2)=−2e 2，g(1e )=−1e ，{1a >−1e1a≤−2e 2，解得：−e 22≤a <−e ，故实数a 的取值范围是[−e 22,−e)．解法2:f ,(x)=−1x 2−ax =−ax+1x 2①a =0时，f(x)=1x [1e 2,+∞)上是减函数，f(x)不能有两个零点； ②a >0时，ax +1>0，所以f ,(x)=−ax+1x 2<0[1e2,+∞)恒成立，所以f(x)[1e 2,+∞)上是减函数，f(x)不能有两个零点； ③a <0时，令f ,(x)=−ax+1x 2=0，x =−1af(x)，f ，(x)变化情况如下表： ( i)−1a ≤1e 2时，即a ≤−e 2，f(x)[1e 2,+∞)上是增函数，所以f(x)不能有两个零点； ( ii)−1a >1e 时，−e 2<a <0f(x)[1e ,−1a )上是减函数，f(x)[−1a ,+∞)上是增函数． ∵ f(1)=0所以若f(x)[1e 2,+∞)有两个零点只需：{f(−1a )<0f(1e 2)≥0 即：{−a −aln(−1a)<0e 2−aln 1e 2≥0 ， 解得{a <−e a ≥−e 22所以−e 22≤a <−e ， 综上可知a 的范围是[−e 22,−e)．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)(i)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(ii)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可； (Ⅱ)解法一：问题等价于函数y =1a 与函数y =xlnx 的图象有两个不同交点；解法二：求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数求出a 的范围即可． 【解答】(1)(i)：a =−1，f(x)=1x −lnx ，f(1)=1，f ′(x)=−1x 2+1x ．∴ k =f′(1)=(0)故所求切线方程为：y =1(ii)：g(x)=xlnx ，函数定义域为：{x|x >0}， g′(x)=lnx +1，令g′(x)>0，解得：x =1e ，令g′(x)<0，解得：0<x <1e ， 故g(x)在(0, 1e )递减，在(1e , +∞)递增， 故g(x)极小值=g(1e )=−1e ，无极大值．（2）解法1：令f(x)=1x −alnx =0，解得：1a =xlnx （显然a ≠0） 问题等价于函数y =1a 与函数y =xlnx 的图象有两个不同交点．由(ii)可知：g(1e 2)=−2e 2，g(1e )=−1e ，{1a>−1e 1a≤−2e2，解得：−e 22≤a <−e ， 故实数a 的取值范围是[−e 22,−e)．解法2:f ,(x)=−1x 2−ax =−ax+1x 2①a =0时，f(x)=1x [1e 2,+∞)上是减函数，f(x)不能有两个零点； ②a >0时，ax +1>0，所以f ,(x)=−ax+1x 2<0[1e 2,+∞)恒成立，所以f(x)[1e 2,+∞)上是减函数，f(x)不能有两个零点； ③a <0时，令f ,(x)=−ax+1x 2=0，x =−1a f(x)，f ，(x)变化情况如下表：( i)−1a ≤1e 时，即a ≤−e 2，f(x)[1e ,+∞)上是增函数，所以f(x)不能有两个零点； ( ii)−1a >1e 2时，−e 2<a <0f(x)[1e 2,−1a )上是减函数，f(x)[−1a,+∞)上是增函数． ∵ f(1)=0所以若f(x)[1e 2,+∞)有两个零点只需：{f(−1a )<0f(1e2)≥0即：{−a −aln(−1a )<0e 2−aln 1e 2≥0 ， 解得{a <−e a ≥−e 22所以−e 22≤a <−e ， 综上可知a 的范围是[−e 22,−e)．。
2018北京房山高三二模【理】试题与答案
房山区2018年高考第二次模拟测试试卷数学（理）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{|2},{|03}A x x B x x =≤=<<，则A B =（A ）{}2≤x x （B ）{|3}x x < （C ）{|23}x x << （D ）{|23}x x ≤< （2）若复数 iz 1i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）执行如图的程序框图，输出的S 值为（A ）65 （B ）64 （C ）63 （D ）33（4）已知实数,x y 满足10,0,0,+-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y的取值范围是（A ）()01， （B ）(]01， （C ）[)1+∞， （D）+⎫∞⎪⎪⎭（5）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且周期为4，若(1)2f -=，则(2017)f =（ ）（A ）2 （B ）0 （C ）2- （D ）4- （6）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（A ）4 （B ）22 （C ）7 （D ）2 （7）ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=B 3π”是“A ,B ,C 成等差数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()1212,≠x x x x ，均有()()1212-≤-f x f x k x x 成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数())1=≥f x x 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（A ）4 （B ）3 （C ）1 （D ）12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年北京市房山区高考数学二模试卷(理科)
2018年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A={x|x≤2}，B={x|0<x<3}，则A∪B=()A.{x|x≤2}B.{x|x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}2. 若复数iz=−1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 执行如图的程序框图，输出的S值为（）A.65B.64C.63D.334. 已知实数x，y满足{x+y−1≥0x≥0y≥0，则√x2+y2的取值范围是（）A.(0, 1)B.(0, 1]C.[1, +∞)D.[√22,+∞)5. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f(−1)=2，则f(2017)=()A.2B.0C.−2D.−46. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A.4B.2√2C.√7D.27. △ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“B =π3”是“A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)=√x(x ≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（ ）A.4B.3C.1D.12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为x −2y =0，则该双曲线的离心率为________．若平面向量a →=(4,2)，b →=(−2,m)，且a →⊥(a →+b →)，则实数m 的值为________．在(x +m)5的展开式中，含x 2项的系数为−10，则实数m 的值为________．设点A 是曲线{x =√3+cosθy =1+sinθ （θ是参数）上的点，则点A 到坐标原点的最大距离是________．能够说明“e x >x +1恒成立”是假命题的一个x 的值为________．已知函数f(x)=x|2x −a|−1．①当a =0时，不等式f(x)+1>0的解集为________；②若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=sinx −acosx 的一个零点是π4． (1)求实数a 的值；(2)设g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx ，若x ∈[0,π2]，求g(x)的值域．1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20, 30)，[30, 40)，…，[80, 90)，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)估计其阅读量小于60本的人数；(Ⅱ)已知阅读量在[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20, 40)内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20, 30)内的人数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点．现将四边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的位置，使得平面ABCF⊥平面D1E1FC，如图2．(Ⅰ)证明：D1F⊥平面E1OG；(Ⅱ)求二面角E1−OG−F的大小；(Ⅲ)在线段CD1上是否存在点H，使得BH // 平面E1OG？如果存在，求出D1HD1C的值；如果不存在，请说明理由．设函数f(x)=x(k−ln x)，（k为常数），g(x)=1x −1xf(x)．曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求g(x)的单调区间和最小值；（3）若g(x)−g(x)<1a对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且AF⊥x轴，△AFO的面积为34．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过C上一点P(x0, y0)(y0≠0)的直线l:x0xa2+y0yb2=1与直线AF相交于点M，与直线x=4相交于点N．证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R(1≤i≤n, n>2)，l(A)表示和a i+ a j(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数．(Ⅰ)设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l(P)和l(Q)；(Ⅱ)若集合A=2，4，8，…，2n，求证：l(A)=n(n−1)2；(Ⅲ)l(A)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案与试题解析2018年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】根据并集的定义写出A∪B．【解答】集合A={x|x≤2}，B={x|0<x<3}，则A∪B={x|x<3}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】由iz=−1+i，得z=−1+ii =(−1+i)(−i)−i2=1+i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1, 1)，位于第一象限．3.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】第一次执行循环体后，S=3，不满足退出循环的条件，n=2；第二次执行循环体后，S=7，不满足退出循环的条件，n=3；第三次执行循环体后，S=15，不满足退出循环的条件，n=4；第四次执行循环体后，S=31，不满足退出循环的条件，n=5；第五次执行循环体后，S=63，满足退出循环的条件，故输出的S=63，4.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可．【解答】实数x，y满足{x+y−1≥0 x≥0y≥0表示的可行域如图：√x2+y2的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，可知P到原点的距离最小，即√2=√22．则√x2+y2的取值范围是：[√22, +∞)．5.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质【解析】由题意可得f(−x)=−f(x)，f(x+4)=f(x)，则f(2017)=f(1)=−f(−1)，计算可得所求值．【解答】函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，可得f(−x)=−f(x)，f(x+4)=f(x)，则f(2017)=f(504×4+1)=f(1)=−f(−1)=−2，故选：C．6.【答案】B【考点】由三视图还原实物图【解析】几何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥S−ABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM=√3，∴AM=√5，SA=√AM2+SM2=2√2．由对称性可知SB=SA=2√2．∴几何体最长的棱为2√2．故选B.7.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】A，B，C成等差数列⇔2B=A+C，A+B+C=π⇔B=π3，即可判断出结论．【解答】A，B，C成等差数列⇔2B=A+C，A+B+C=π⇔B=π3，∴ “B=π3”是“A，B，C成等差数列”的充要条件．8.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】首先根据函数f(x)=√x(x≥1)满足利普希茨条件，得到k满足不等式k≥√x1−√x2x1−x2|=√x+√x ；然后由x1，x2∈[1, +∞)√x+√x的取值范围，而k√x+√x的最大值即可．【解答】由已知中中利普希茨条件的定义若函数f(x)=√x(x≥1)满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域[1, +∞)内的任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x．而0<√x+√x <12，所以k的最小值为12．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】√52【考点】双曲线的离心率 【解析】根据题意，由双曲线的渐进性方程分析可得b a =12，即a =2b ，进而由双曲线的几何性质可得c =√a 2+b 2=√5b ，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【解答】 根据题意，双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐进性方程为y =±ba x ，又由该双曲线的一条渐近线方程为x −2y =0，即y =12x ， 则有ba =12，即a =2b ， 则c =√a 2+b 2=√5b ，则该双曲线的离心率e =ca =√5b2b =√52；【答案】−6【考点】平面向量的坐标运算 【解析】可求出a →+b →=(2,m +2)，根据a →⊥(a →+b →)便可得出a →⋅(a →+b →)=0，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值． 【解答】a →+b →=(2,m +2)；∵ a →⊥(a →+b →)；∴ a →⋅(a →+b →)=(4,2)⋅(2,m +2)=8+2(m +2)=0；∴ m ＝−6． 【答案】 −1【考点】二项式定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由二项展开式的通项可知，含x 2的项为C 53x 2m 3，则C 53m 3=−10， 解得m =−1． 故答案为：−1． 【答案】 3【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】设A(√3+cosθ, 1+sinθ)，原点O(0, 0)，|AO|=√(√3+cosθ)2+(1+sinθ)2=√5+4sin(θ+π3)，由此能求出点A到坐标原点取最大距离．【解答】∵点A是曲线{x=√3+cosθy=1+sinθ（θ是参数）上的点，∴设A(√3+cosθ, 1+sinθ)，原点O(0, 0)，|AO|=√(√3+cosθ)2+(1+sinθ)2=√3+2√3cosθ+cos2θ+1+2sinθ+sin2θ=√5+4sin(θ+π3)，∴当sin(θ+π3)=1时，点A到坐标原点取最大距离（3）【答案】【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用反例判断命题的真假即可．【解答】当x=0时，e x>x+1，不成立，【答案】(0, +∞),(2√2, +∞)【考点】函数零点的判定定理【解析】①把a=0代入函数解析式，可得不等式，对x分类求解得答案；②转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合，通过函数的导数求解即可．【解答】①当a=0时，不等式f(x)+1>0⇔x|2x|−1+1>0，即2x|x|>0，若x<0，得−2x2>0，不合题意；若x=0，得0>0，不合题意；若x>0，得2x2>0，则x>(0)综上，当a=0时，不等式f(x)+1>0的解集为(0, +∞)；②若函数f(x)有三个不同的零点，即方程x|2x−a|−1=0有3个不同根．即|2x−a|=1x有三个解，令y=|2x−a|，则y=1x {2x−a,x≥a2a−2x,x<a2，画出两个函数的图象，如图：x<a2，y=1x，由y′=−1x2=−2，解得x=√22，x=−√22（舍去），此时切点坐标(√22,√2)，代入y=a−2x，可得a=2×√22+√2=2√2，函数f(x)=x|2x−a|−1有三个零点，则实数a的取值范围为(2√2, +∞)．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．【答案】(1)依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1．(2)由(1)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1, 2]．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值函数零点的判定定理【解析】(1)根据f(π4)=0计算a的值；(2)化简f(x)的解析式，再根据这些函数的单调性得出g(x)的最值即可．【解答】(1)依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1．(2)由(1)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1, 2]．【答案】(Ⅰ)100−100×10×(0.04+0.02×2)=20（人）(Ⅱ)由已知条件可知：[20, 50)内人数为：100−100×10×(0.04+0.02+0.02+ 0.01)=10；[20, 30)人数为2人，[30, 40)人数为3人，[40, 50)人数为5人．X的可能取值为0，1，（2）P(X=0)=C33C20C53=110P(X=1)=C32C21C53=35P(X=2)=C31C22C53=310，所以X的分布列为EX=0×110+1×35+2×310=65．(Ⅲ)第五组．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)利用100−100×10×(0.04+0.02×2)即可得出．(Ⅱ)由已知条件可知：[20, 50)内人数为：100−100×10×(0.04+0.02+0.02+ 0.01)=10；同理可得：[20, 30)人数为2人，[30, 40)人数为3人，[40, 50)人数为5人．X的可能取值为0，1，（2）利用超几何分布列及其数学期望计算公式可得．(Ⅲ)利用平均数的计算公式为：小矩形的面积乘以矩形底边中点的横坐标之和即可得出结论．【解答】(Ⅰ)100−100×10×(0.04+0.02×2)=20（人）(Ⅱ)由已知条件可知：[20, 50)内人数为：100−100×10×(0.04+0.02+0.02+ 0.01)=10；[20, 30)人数为2人，[30, 40)人数为3人，[40, 50)人数为5人．X的可能取值为0，1，（2）P(X=0)=C33C20C53=110P(X=1)=C32C21C53=35P(X=2)=C31C22C53=310，所以X的分布列为EX=0×110+1×35+2×310=65．(Ⅲ)第五组． 【答案】证明：(Ⅰ)图(1)中OG ⊥CF ，∴ 图(2)中，OG ⊥CF ， 又面CD 1E 1F ⊥面ABCF ，面CD 1E 1F ∩面ABCF =CF ，∴ OG ⊥面CD 1E 1F ，∵ D 1F ⊂面CD 1E 1F ，∴ OG ⊥D 1F ， 又O 为CF 的中点，∴ OF // =D 1E 1，又E 1D 1=E 1F ， ∴ 四边形E 1D 1OF 为菱形，∴ D 1F ⊥OE 1 ∵ OG ∩OE 1=O ，∴ D 1F ⊥面E 1OG ………（2）取OF 的中点M ，连接E 1M ，MA ，以点M 为坐标原点， 建立空间直角坐标系M −xyz 如图所示． E 1(0,0,√3),O(0,1,0),G(√3,1,0),F(0,−1,0)， ∴ OG →=(√3,0,0),OE 1→=(0,−1,√3)， 设面OE 1G 的法向量为n →，∴ {n →⋅OG →=0n →⋅OE 1→=0⇒⇒{√3x =0−y +√3z =0⇒⇒{x =0y =√3z ，令z =1，则y =√3，∴ n →=(0,√3,1)，设面FOG 的法向量为m →，则m →=(0,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=12，∴ 二面角E 1−OG −F 的大小为π3．……… (Ⅲ)假设存在，设H(x, y, z)，D 1HD1C=λ,λ∈[0,1]，∴ D 1H →=λD 1C →D 1(0,2,√3),C(0,3,0),B(√3,2,0)， ∴ D 1H →=(x,y −√2,z −√3),D 1C →=(0,1,−√3)，∴ {x =0y −2=λz −√3=−λ√3∴ ∴ {x =0y =2+λz =√3−λ√3∴ ∴ H(0,2+λ,√3−λ√3)∴ BH →=(−√3,λ,√3−λ√3)，∵ BH →⋅n →=0∴ √3λ+√3−√3λ=0∴ √3=0矛盾，∴ 在线段CD 1上不存在点H ，使得BH // 平面E 1OG ．………【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)推导出OG ⊥CF 则OG ⊥面CD 1E 1F ，从而OG ⊥D 1F ，再求出D 1F ⊥OE 1，由此能证明D 1F ⊥面E 1OG ．(Ⅱ)取OF 的中点M ，连接E 1M ，MA ，以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系M −xyz ，利用向量法能求出二面角E 1−OG −F 的大小． (Ⅲ)假设存在，设H(x, y, z)，D 1HD1C=λ,λ∈[0,1]，利用向量法能求出在线段CD 1上不存在点H ，使得BH // 平面E 1OG ． 【解答】证明：(Ⅰ)图(1)中OG ⊥CF ，∴ 图(2)中，OG ⊥CF ， 又面CD 1E 1F ⊥面ABCF ，面CD 1E 1F ∩面ABCF =CF ，∴ OG ⊥面CD 1E 1F ，∵ D 1F ⊂面CD 1E 1F ，∴ OG ⊥D 1F ， 又O 为CF 的中点，∴ OF // =D 1E 1，又E 1D 1=E 1F ， ∴ 四边形E 1D 1OF 为菱形，∴ D 1F ⊥OE 1 ∵ OG ∩OE 1=O ，∴ D 1F ⊥面E 1OG ………（2）取OF 的中点M ，连接E 1M ，MA ，以点M 为坐标原点， 建立空间直角坐标系M −xyz 如图所示． E 1(0,0,√3),O(0,1,0),G(√3,1,0),F(0,−1,0)， ∴ OG →=(√3,0,0),OE 1→=(0,−1,√3)， 设面OE 1G 的法向量为n →，∴ {n →⋅OG →=0n →⋅OE 1→=0⇒⇒{√3x =0−y +√3z =0⇒⇒{x =0y =√3z ，令z =1，则y =√3，∴ n →=(0,√3,1)，设面FOG 的法向量为m →，则m →=(0,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=12，∴ 二面角E 1−OG −F 的大小为π3．……… (Ⅲ)假设存在，设H(x, y, z)，D 1HD1C=λ,λ∈[0,1]，∴ D 1H →=λD 1C →D 1(0,2,√3),C(0,3,0),B(√3,2,0)， ∴ D 1H →=(x,y −√2,z −√3),D 1C →=(0,1,−√3)，∴ {x =0y −2=λz −√3=−λ√3∴ ∴ {x =0y =2+λz =√3−λ√3∴ ∴ H(0,2+λ,√3−λ√3)∴ BH →=(−√3,λ,√3−λ√3)，∵ BH →⋅n →=0∴ √3λ+√3−√3λ=0∴ √3=0矛盾，∴ 在线段CD 1上不存在点H ，使得BH // 平面E 1OG ．………【答案】解：（1）因为f(x)=x(k−ln x)，所以f′(x)=k−ln x−1，因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)=0，所以k=1．（2）因为g(x)=1x −1xf(x)=1x−1+ln x，定义域为{x|x>0}，所以g′(x)=−1x2+1 x =x−1x2，令g′(x)=0得x=1，当x变化时，g′(x)和g(x)的变化如下表x(0,1)1(1,+∞)g′(x)−0+g(x)↘0↗由上表可知，g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，最小值为g(1)= 0．（3）若g(a)−g(x)<1a 对任意x>0恒成立，则g(a)−g(x)min<1a，即lna<1，解得0<a<e．则实数a的取值范围为(0,e)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：（1）因为f(x)=x(k−ln x)，所以f′(x)=k−ln x−1，因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)=0，所以k=1．（2）因为g(x)=1x −1xf(x)=1x−1+ln x，定义域为{x|x>0}，所以g′(x)=−1x2+1 x =x−1x2，令g′(x)=0得x=1，当x变化时，g′(x)和g(x)的变化如下表x(0,1)1(1,+∞)g′(x)−0+g(x)↘0↗由上表可知，g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，最小值为g(1)= 0．（3）若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0恒成立，则g(a)−g(x)min <1a ，即lna <1，解得0<a <e ．则实数a 的取值范围为(0,e)． 【答案】（1）设F(c, 0)，A(c, d)，则c 2a 2+d 2b 2=1 又ca =12，∴ |d|=√32b ，∵ △AFO 的面积为34，∴ 12c|d|=12c ⋅√32b =34,bc =√3．由{a 2−b 2=c 2a =2cbc =√3 ，得{a =2b =√3c =1 ∴ C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知直线l 的方程为x 0x 4+y 0y 3=1(y 0≠0)，即y =12−3x 0x 4y 0(y 0≠0)．∵ 直线AF 的方程为x =1，∴ 直线l 与AF 的交点为M(1,12−3x 04y 0)，直线l 与直线x =4的交点为N(4, 3−3x 0)， 则|MF|2|NF|2=(12−3x 04y 0)29+(3−3x 0y 0)2=(4−x 0)216y 02+16(1−x 0)2，又P(x 0, y 0)是C 上一点，则x 024+y 023=1.y 02=3−3x 024代入上式得：|MF|2|NF|2=(4−x 0)248−12x 02+16−32x0+16x 02=(4−x 0)24(x 02−8x 0+16)=14⋅(4−x 0)2(4−x 0)2=14，∴ |MF||NF|=12，为定值． 【考点】椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)设F(c, 0)，A(c, d)，代入可得c 2a 2+d 2b2=1．又c a =12，|d|=√32b ，根据△AFO 的面积为34，可得12c|d|=12c ⋅√32b =34,bc =√3．由{a 2−b 2=c 2a =2cbc =√3 ，解出即可得出． (Ⅱ)由（1）知直线l 的方程为x 0x 4+y 0y 3=1(y 0≠0)，即y =12−3x 0x 4y 0(y 0≠0)．由直线AF 的方程为x =1，可得直线l 与AF 的交点为M(1,12−3x 04y 0)，直线l 与直线x =4的交点为N(4, 3−3x 0)，可得：|MF|2|NF|2=(12−3x 04y 0)29+(3−3x 0y 0)2=(4−x 0)216y 02+16(1−x0)2，又P(x 0, y 0)是C 上一点，则x 024+y 023=1.y 02=3−3x 024，代入化简即可得出．【解答】（1）设F(c, 0)，A(c, d)，则c 2a 2+d 2b 2=1又ca =12，∴ |d|=√32b ，∵ △AFO 的面积为34，∴ 12c|d|=12c ⋅√32b =34,bc =√3．由{a 2−b 2=c 2a =2cbc =√3 ，得{a =2b =√3c =1 ∴ C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知直线l 的方程为x 0x 4+y 0y 3=1(y 0≠0)，即y =12−3x 0x 4y 0(y 0≠0)．∵ 直线AF 的方程为x =1，∴ 直线l 与AF 的交点为M(1,12−3x 04y 0)，直线l 与直线x =4的交点为N(4, 3−3x 0)， 则|MF|2|NF|2=(12−3x 04y 0)29+(3−3x 0y 0)2=(4−x 0)216y 02+16(1−x0)2，又P(x 0, y 0)是C 上一点，则x 024+y 023=1.y 02=3−3x 024代入上式得：|MF|2|NF|=(4−x 0)248−12x 02+16−32x0+16x 02=(4−x 0)24(x 02−8x+16)=14⋅(4−x 0)2(4−x)=14，∴ |MF||NF|=12，为定值．【答案】(Ⅰ)根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l(P)=(5)由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l(Q)=(6)(Ⅱ)证明：因为a i +a j (1≤i <j ≤n)最多有C n 2=n(n−1)2个值，所以l(A)≤n(n−1)2．又集合A =2，4，8，，2n ，任取a i +a j ，a k +a l (1≤i <j ≤n, 1≤k <l ≤n)， 当j ≠l 时，不妨设j <l ，则a i +a j <2a j =2j+1≤a l <a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j =l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i =k ，j =l 时，a i +a j =a k +a l ． 即所有a i +a j (1≤i <j ≤n)的值两两不同， 所以l(A)=n(n−1)2．(Ⅲ)l(A)存在最小值，且最小值为2n −(3)不妨设a 1<a 2<a 3<...<a n ，可得a 1+a 2<a 1+a 3<...<a 1+a n <a 2+a n <...<a n−1+a n ，所以a i +a j (1≤i <j ≤n)中至少有2n −3个不同的数，即l(A)≥2n −(3) 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列，考虑a i +a j (1≤i <j ≤n)，根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j =a 1+a i+j−1； 当i +j >n 时，a i +a j =a i+j−n +a n ；因此每个和a i +a j (1≤i <j ≤n)等于a 1+a k (2≤k ≤n)中的一个， 或者等于a l +a n (2≤l ≤n −1)中的一个．所以对这样的A ，l(A)=2n −3，所以l(A)的最小值为2n −(3)【考点】 数列的应用计数原理的应用 【解析】(Ⅰ)直接利用定义把集合P =2，4，6，8，Q =2，4，8，16中的值代入即可求出l(P)和l(Q)；(Ⅱ)先由a i +a j (1≤i <j ≤n)最多有C n 2=n(n−1)2个值，可得l(A)≤n(n−1)2；再利用定义推得所有a i +a j (1≤i <j ≤n)的值两两不同，即可证明结论．(Ⅲ)l(A)存在最小值，设a 1<a 2<<a n ，所以a 1+a 2<a 1+a 3<...<a 1+a n <a 2+a n <...<a n−1+a n ．由此即可证明l(A)的最小值2n −(3) 【解答】(Ⅰ)根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l(P)=(5)由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l(Q)=(6)(Ⅱ)证明：因为a i +a j (1≤i <j ≤n)最多有C n 2=n(n−1)2个值，所以l(A)≤n(n−1)2．又集合A =2，4，8，，2n ，任取a i +a j ，a k +a l (1≤i <j ≤n, 1≤k <l ≤n)， 当j ≠l 时，不妨设j <l ，则a i +a j <2a j =2j+1≤a l <a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j =l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i =k ，j =l 时，a i +a j =a k +a l ． 即所有a i +a j (1≤i <j ≤n)的值两两不同， 所以l(A)=n(n−1)2．(Ⅲ)l(A)存在最小值，且最小值为2n −(3)不妨设a 1<a 2<a 3<...<a n ，可得a 1+a 2<a 1+a 3<...<a 1+a n <a 2+a n <...<a n−1+a n ，所以a i +a j (1≤i <j ≤n)中至少有2n −3个不同的数，即l(A)≥2n −(3) 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列，考虑a i +a j (1≤i <j ≤n)，根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j =a 1+a i+j−1； 当i +j >n 时，a i +a j =a i+j−n +a n ；因此每个和a i +a j (1≤i <j ≤n)等于a 1+a k (2≤k ≤n)中的一个， 或者等于a l +a n (2≤l ≤n −1)中的一个．所以对这样的A ，l(A)=2n −3，所以l(A)的最小值为2n −(3)。
2018年北京市房山区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）若复数iz＝﹣1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，在区间（2，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x B．C．y＝﹣（x﹣2）2D．4．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1]C．[1，+∞）D．5．（5分）将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x﹣2）B．y＝sin（2x+2）C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A．4B．C．D．27．（5分）“x+＞2“是“x＞1“的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．3B．4C．6D．8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的渐近线为y＝，则该双曲线的离心率为．10．（5分）若平面向量，，且，则实数m的值为．11．（5分）阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的数字为．12．（5分）如果直线y＝kx﹣1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且MN 关于直线x+y＝0对称，则m+k＝．13．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b ＝2a sin B，则∠A＝．14．（5分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c ≠4有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7．问：b5与数列{a n}的第几项相等？16．（13分）已知函数f（x）＝sin x﹣a cos x的一个零点是．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设，若x∈，求g（x）的值域．17．（13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机2人进行座谈，求2人分别在不同组的概率；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外书阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．18．（14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点．现将四边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的位置，使得平面ABCF⊥平面D1E1FC，如图2．（Ⅰ）证明：D1F⊥平面E1OG；（Ⅱ）求几何体E1﹣OF AG的体积；（Ⅲ）在直线AB上是否存在点H，使得D1H∥平面E1OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由．19．（14分）椭圆的离心率为，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且AF⊥x轴，△AFO的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：与直线AF相交于点M，与直线x＝4相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，（i）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（ii）设g（x）＝xf（x）﹣1，求函数g（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间有两个的零点，求实数a的取值范围．2018年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＜3}．故选：B．2．（5分）若复数iz＝﹣1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由iz＝﹣1+i，得z＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．3．（5分）下列函数中，在区间（2，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x B．C．y＝﹣（x﹣2）2D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣3x，函数y＝3x为指数函数，则R上为增函数，则y＝﹣3x在R上为减函数，A不符合题意；对于B，y＝＝﹣，令t＝x﹣2，y＝，则函数t＝x﹣2在（2，+∞）上为增函数，y＝在（0，+∞）为增函数，则y＝在区间（2，+∞）上为增函数，符合题意；对于C，y＝﹣（x﹣2）2为二次函数，开口向下且对称轴为x＝2，在区间（2，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，为对数函数，在区间（2，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1]C．[1，+∞）D．【解答】解：实数x，y满足表示的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，可知P到原点的距离最小，即＝．则的取值范围是：[，+∞）．故选：D．5．（5分）将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x﹣2）B．y＝sin（2x+2）C．D．【解答】解：将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin（x﹣2）＝sin（x﹣1），故选：D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A．4B．C．D．2【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥S﹣ABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM＝，∴AM＝，SA＝＝2．由对称性可知SB＝SA＝2．∴几何体最长的棱为2．故选：B．7．（5分）“x+＞2“是“x＞1“的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x+＞2，化为：＞0，解得x＞0且x≠1．∴“x+＞2“是“x＞1“的必要不充分条件．故选：C．8．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，G在DA上，且DG＝，第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH＝，第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM＝，第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN＝，第六次回到E点，AE＝．故需要碰撞6次即可．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的渐近线为y＝，则该双曲线的离心率为．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，则其渐近线为y＝±ax，又由双曲线的渐近线为y＝，则a＝±，则双曲线的标准方程为：﹣x2＝1，其中c＝，其离心率e＝＝；故答案为：．10．（5分）若平面向量，，且，则实数m的值为﹣6．【解答】解：；∵；∴；∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．11．（5分）阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的数字为3．【解答】解：当S＝1时，应不满足输出的条件，故S＝4，n＝2；当S＝4时，应不满足输出的条件，故S＝13，n＝3；当S＝13时，应不满足输出的条件，故S＝40，n＝4；当S＝40时，应满足输出的条件，故进行循环的条件应为n≤3，故答案为：3．12．（5分）如果直线y＝kx﹣1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且MN 关于直线x+y＝0对称，则m+k＝0．【解答】解：∵直线y＝kx﹣1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y＝0对称，∴直线x+y＝0是线段MN的中垂线，得k•（﹣1）＝﹣1，解之得k＝1．所以圆方程为x2+y2+x+my﹣4＝0，圆心坐标为（﹣，﹣），将（﹣，﹣）代入x+y＝0，解得m＝﹣1，得k+m＝0．故答案为：0．13．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b＝2a sin B，则∠A＝．【解答】解：∵b＝2a sin B，∴sin B＝2sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin A＝，∵A为锐角，∴A＝，故答案为：14．（5分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c ≠4有且只有一个正确，则函数的值域是[3，+∞）．【解答】解：由{a，b，c}＝{2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝2时，b＝3、c＝4时，a≠3，b＝3，c≠4都正确，不满足条件．当a＝2时，b＝4、c＝3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝3时，b＝2、c＝4时，都不正确，此时不满足题意；当a＝3时，b＝4、c＝2时，c≠4成立，此时满足题意；当a＝4时，b＝2，c＝3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝4时，b＝3、c＝2时，a≠3，b＝3成立，此时不满足题意；综上得，a＝3、b＝4、c＝2，则函数＝，当x＞4时，f（x）＝2x＞24＝16，当x≤4时，f（x）＝（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7．问：b5与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2，可得2a1+d＝10，d＝2，解得a1＝4，则a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（Ⅱ）设公比为q的等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，可得b2＝8，b3＝16，则公比q＝＝2，b1＝4，则b n＝4•2n﹣1＝2n+1，由2n+2＝b5＝26，解得n＝31，则b5与数列{a n}的第31项相等．16．（13分）已知函数f（x）＝sin x﹣a cos x的一个零点是．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设，若x∈，求g（x）的值域．【解答】（Ⅰ）解：依题意，得，即，解得a＝1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）＝sin x﹣cos x．＝＝＝＝．由得∴当即时，g（x）取得最大值2，当即时，g（x）取得最小值﹣1．所以g（x）的值域是[﹣1，2]．17．（13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机2人进行座谈，求2人分别在不同组的概率；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外书阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图能估计估计其阅读量小于60本的人数为：100﹣100×10×（0.04+0.02×2）＝20（人）…………（4分）（Ⅱ）由已知条件可知：[20，50）内人数为：100﹣100×（0.04+0.02+0.02＝0.01）＝10，[20，30）人数为2人，[30，40）人数为3人，[40，50）人数为5人．设[20，30）2人为a，b，[30，40）3人为c，d，e设事件A为“两人分别在不同组”从[20，40）内的学生中随机选取2人包含：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10个基本事件，而事件A包含：（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）共6个基本事件所以…………（10分）（Ⅲ）第五组．…………（13分）18．（14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为2，O为中心，G为AB的中点．现将四边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的位置，使得平面ABCF ⊥平面D1E1FC，如图2．（Ⅰ）证明：D1F⊥平面E1OG；（Ⅱ）求几何体E1﹣OF AG的体积；（Ⅲ）在直线AB上是否存在点H，使得D1H∥平面E1OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：图（1）中OG⊥CF，∴图（2）中，OG⊥CF，又面CD1E1F⊥面ABCF，面CD1E1F∩面ABCF＝CF，∴OG⊥面CD1E1F，∵D1F⊂面CD1E1F，∴OG⊥D1F，又O为CF的中点，∴OF∥D1E1，OF＝D1E1，又E1D1＝E1F，∴四边形E1D1OF为菱形．∴D1F⊥OE1，又OG∩OE1＝O，∴D1F⊥面E1OG；（Ⅱ）解：图（2）中，过E1作E1M⊥FO，垂足为M，∵OG⊥面CD1E1F，E1M⊂面CD1E1F，∴E1M⊥OG，∵OG∩FO＝O，∴E1M⊥面AGOF，则E1M为E1﹣OF AG的高，∵，，∴几何体E1﹣OF AG的体积；（Ⅲ）解：在直线AB上存在点H，当AH＝3时，D1H∥平面E1OG．证明如下：过C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，∴CH∥＝OG．又OE1∥CD1，CD1∩CH＝C，∴面D1CH∥面E1OG，∵D1H⊂面D1CH，∴D1H∥面E1OG，∵四边形OGHC为矩形，∴GH＝CO＝2，则AH＝3．19．（14分）椭圆的离心率为，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且AF⊥x轴，△AFO的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：与直线AF相交于点M，与直线x＝4相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），A（c，d），则又，∴，∵△AFO的面积为，∴．由，得∴C的方程为．（Ⅱ）由（1）知直线l的方程为（y0≠0），即y＝（y0≠0）．∵直线AF的方程为x＝1，∴直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝4的交点为N（4，3﹣3x0），则＝，又P（x0，y0）是C上一点，则.代入上式得：═，∴＝，为定值．20．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，（i）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（ii）设g（x）＝xf（x）﹣1，求函数g（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间有两个的零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）（i）：a＝﹣1，，f（1）＝1，．∴k＝f′（1）＝0．故所求切线方程为：y＝1（ii）：g（x）＝xlnx，函数定义域为：{x|x＞0}，g′（x）＝lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＝，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）极小值＝g（）＝，无极大值．（Ⅱ）解法1：令，解得：（显然a≠0）问题等价于函数与函数y＝xlnx的图象有两个不同交点．由（ii）可知：，，，解得：，故实数a的取值范围是．解法2：①a＝0时，上是减函数，f（x）不能有两个零点；②a＞0时，ax+1＞0，所以恒成立，所以上是减函数，f（x）不能有两个零点；③a＜0时，令，f（x），f，（x）变化情况如下表：（i）时，即a≤﹣e2，f（x）上是增函数，所以f（x）不能有两个零点；（ii）时，﹣e2＜a＜0上是减函数，上是增函数．∵f（1）＝0所以若f（x）有两个零点只需：即：，解得所以，综上可知a的范围是．。
2018北京房山高三二模【文】答案
房山区2018年高考第二次模拟测试试卷数学（文科） 参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）26（10）-6 (11) 3 (12) 0 (13) 6π (14) [)+∞,3三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =． …………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =． 所以5154264b -=⨯=． 由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等． …………13分（16）（本小题13分）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， …………1分即 ππsincos 04422a -=-=， …………3分 解得 1a =． …………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =-．()()()cos g x f x f x x x =⋅-+ …………6分(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- …………7分22(cos sin )2x x x =- …………8分cos22x x = …………9分π2sin(2)6x =+． …………10分由0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π得ππ7π2666x ≤+≤ 当π262x π+=即π6x =时，()g x 取得最大值2， …………11分 当π7266x π+=即π2x =时，()g x 取得最小值-1. …………12分所以()g x 的值域是[]1,2- …………13分(17) 解：（Ⅰ）100-100⨯10⨯（0.04+0.02⨯2）=20（人） …………4分 （Ⅱ）由已知条件可知：[)2050，内人数为：100-100⨯（0.04+0.02+0.02=0.01)=10 [)200，3人数为2人，[)300，4人数为3人，[)4050，人数为5人. 设[)200，32人为a,b, [)300，43人为c,d,e 设事件A 为“两人分别在不同组”从[)200，4内的学生中随机选取2人包含（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c), (b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10个基本事件，而事件A 包含 (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6个基本事件所以()63105==P A …………10分（Ⅲ）第五组 …………13分 （18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF 面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F ∴⊥O 又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D E F =∴四边形11E D OF 为菱形11D F OE ∴⊥1OG OE =O 11D F E OG ∴⊥面 …………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG ⊥⊂∴⊥面，面OGFO O =11E M AGOF E M ∴⊥∴面为1E -OFAG 的高，12sin60E M=︒=12OFAG S 四1332V Sh == …………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴=又111//,OE CD CD CH C =11DCH//E OG ∴面面 1111D H DCH D H//E OG ⊂∴面面 四边形OGHC 为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分（19）（Ⅰ）设(,0)F c ，(,)A c d 则22221c d a b+=又12c a =||d ∴=，因AFO ∆ 的面积为341133||,224c d c b bc ∴===由2222a b c a c bc ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为22143x y += …………5分 1EC1DA FO GM1E BC1DAFOGH（Ⅱ）由(1)知直线l 的方程为00143x x y y += (y 0≠0)，即y ＝001234x xy - (y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝1，所以直线l 与AF 的交点为M 0123(1,)4x y -， 直线l 与直线x ＝4的交点为N 0(4,33)x -，则|MF |2|NF |2＝202002220000123()4(4)331616(1)9()x y x x y x y --=-+-+ 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则2200143x y +=.2200334x y =-代入上式得|MF |2|NF |2＝2220002222000000(4)(4)(4)1148121632164(816)4(4)4x x x x x x x x x ---====-+-+-+- 所以|MF ||NF |=12，为定值． …………14分（20） (Ⅰ)解：1a ＝-，()1ln f x x x ＝－，()11f ＝，()211x x f x-'+＝. ()10k f ∴='＝.故所求切线方程为：1y ＝ …………4分 (Ⅱ) 解：()ln g x x x =,函数定义域为：{|0}x x >()ln 1g x x '=+，01x e=111(0,)(,)()()xe e eg x g x +∞'-+极小值 故()g x 的极小值为1e-，无极大值. …………9分 (Ⅲ)解法1：令()1ln 0f x a x x =-=，解得：1x x aln ＝（显然0a ≠） 问题等价于函数1y a=与函数y x x ln ＝的图像有两个不同交点.由(Ⅱ)可知：2212()g e e =-，11()g e e =-，21112a ea e ⎧>-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得：22e a e -≤<- 故实数a 的取值范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. …………13分(Ⅲ)解法2： ()2211a ax f x x x x+=--=-，（1） 0a =时，()211,f x x e ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （2）0a >时，10ax +>，所以()210ax f x x +=-<，在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 所以()21,f x e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （3）0a <时，令()210,ax f x x +=-=，1x a=- ()(),f x f x ，变化情况如下表：()(),1110,,0x a a a f x f x ⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-+极大值 （i ）211a e -≤时，即2a e ≤-，()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数， 所以()f x 不能有两个零点； （ii ）211a e ->时，20e a -<<()211,f x ea ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在上是减函数， ()1,f x a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数.()10f =所以若()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在有两个零点只需： 21010f a f e ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：221ln 01ln 0a a a e a e ⎧⎛⎫---< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎪⎩解得22a e e a <-⎧⎪⎨≥-⎪⎩ 所以22e a e -≤<-综上可知a 的范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭…………13分。
【初三英语试题精选】2018年初中毕业考试(二模)数学试卷(北京市房山区有答案)
2018年初中毕业考试（二模）数学试卷（北京市房山区有
答案）
5 C -6或-5 D 6或5
6．下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能是
7．下列四个命题中，属于真命题的共有( )
①相等的圆心角所对的弧相等② 若，则、都是非负实数
③相似的两个图形一定是位似图形④ 三角形的内心到这个三角形三边的距离相等
A1个 B2个 C3个 D4个
8．甲、乙、丙三车从A城出发匀速前往B城在整个行程中，汽车离开A城的距离s与时刻t的对应关系如下图所示那么800时，距A城最远的汽车是
A．甲车 B．乙车
C．丙车 D．甲车和乙车
9．如图②，MN是⊙O的直径，MN=8，∠A MN=40°，点B为弧AN的中点，
点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为( ) 图②
A B2 C 3 D4
12二次函数的部分图象如图③所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线
＝2，则下列结论中正确的个数有( )
①4 ＋b＝0；② ；
③若点A(－3， )，点B(－12， )，点 C(5， )在该函数图象上，
则＜＜；
④ 若方程的两根为和，且＜，
则＜－1＜5＜图③
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共18分，每小题3分）。
2018房山二模数学23、26-28题
23.（2017•武汉）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，CO 的延长线交AB 于点D（1）求证：AO 平分∠BAC ；（2）若BC=6，sin ∠BAC=53，求AC 和CD 的长． 26.（2017秋•南平期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A （0，4），B （2，0），C （-2，0）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在x 轴上有一点D （-4，0），将二次函数图象沿DA 方向平移，使图象再次经过点B ．①求平移后图象顶点E 的坐标；②求图象A ，B 两点间的部分扫过的面积．27. （2016秋•北京月考改编）已知：AC=DC,AC ⊥DC,直线MN 经过经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连接CB.(1) 直接写出∠D 与∠MAC 的数量关系。
(2) 在图1中，当AC=DC ，过点C 作CE ⊥CB ，与直线MN 于点E ，①如图1猜想线段AB 、BD 、CB 满足的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出线段AB 、BD 、CB 满足的数量关系；(3) 在MA 绕A 点旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=2时，直接写出BC 的值。
28. 已知点P 、Q 是平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 是⊙P 的“关联点”⊙P 是点Q 的“关联圆”（1）已知⊙O 的半径为1，在点E(1,1)、F （-21，23）、M （0，-1）中，⊙O 的“关联点”是 ；（2）若点P 的坐标为（2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为5，求n 的值；（3）已知点D （0,2），点H （m ，2），⊙D 为点H 的“关联圆”，直线y=-34x+4与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围。
2017-2018学年北京市房山区高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若￢p∨q是假，则（）A．p∧q是假B．p∨q是假C．p是假D．￢q是假2．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．y=log2x3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E．若∠BCD=110°，则∠DBE=（）A．75°B．70°C．60°D．55°4．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．5．已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．2n﹣1 C．3n﹣1D．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．98．定义运算，称为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点．则k，m，p，q的值依次是（）A．k=1，m=﹣2，p=3，q=3 B．k=1，m=3，p=3，q=﹣2C．k=﹣2，m=3，p=3，q=1 D．k=﹣2，m=1，p=3，q=3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为．10．直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．12．若展开式中的二项式系数和为64，则n等于，该展开式中的常数项为．13．抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于．14．在数列{a n}中，如果对任意的n∈N*，都有﹣=λ（λ为常数），则称数列{a n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下：①若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{a n}满足，则数列{a n}是比等差数列，且比公差λ=0；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．16．如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．17．小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．18．已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=﹣5时，f（x）取得极值．①若m≥﹣5，求函数f（x）在上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2．19．已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3…a k（k≤m）中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；（Ⅱ）是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．2015年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若￢p∨q是假，则（）A．p∧q是假B．p∨q是假C．p是假D．￢q是假考点：复合的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假，则￢p是假，q是假，所以p是真，q是假，所以p∧q是假，p∨q是真，￢q是真，故选A．点评：本题考查的知识点是复合的真假判定，解决的办法是先判断组成复合的简单的真假，再根据真值表进行判断．2．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．y=log2x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．解答：解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法，应熟练掌握．3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E．若∠BCD=110°，则∠DBE=（）A．75°B．70°C．60°D．55°考点：与圆有关的比例线段．分析：利用四点共圆的性质可得∠A，再利用弦切角定理即可得出∠DBE=∠A．解答：解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD=110°，∴∠A=70°．∵BE与⊙O相切于点B，∴∠DBE=∠A=70°．故选B．点评：熟练掌握四点共圆的性质、弦切角定理是解题的关键．4．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选D．点评：熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．5．已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划；两点间的距离公式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|==故选：B点评：题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．2n﹣1 C．3n﹣1D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用当n≥2时，2S n=a n+1，2S n﹣1=a n，两式相减得3a n=a n+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出，n=1时单独考虑．解答：解：当n=1时，∵a1=1，2S1=a2，∴a2=2．当n≥2时，由2S n=a n+1，2S n﹣1=a n，两式相减得2a n=a n+1﹣a n，∴a n+1=3a n，∴数列{a n}是以a2=2，3为公比的等比数列，∴=3n﹣1，当n=1时，上式也成立．故选C．点评：熟练掌握a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）及等比数列的前n项和公式是解题的关键．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选A．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．8．定义运算，称为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点．则k，m，p，q的值依次是（）A．k=1，m=﹣2，p=3，q=3 B．k=1，m=3，p=3，q=﹣2C．k=﹣2，m=3，p=3，q=1 D．k=﹣2，m=1，p=3，q=3考点：几种特殊的矩阵变换．专题：新定义．分析：设（1，k）是曲线y=kx上的点，在矩阵的作用下的点为（1，k），再设（1，m）是曲线y=mx上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣m），得出关于k，m，p，q的方程组，从而解决问题．解答：解：设（1，k）是曲线y=kx上的点，在矩阵的作用下的点为（1，k），即①设（1，m）是曲线y=mx上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣m），∴②．由①②得k=1，m=3，p=3，q=﹣2故选B．点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化为1+2i，再利用复数的几何意义可得到复数i（2﹣i）对应的点的坐标．解答：解：∵复数i（2﹣i）=1+2i．∴复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．点评：熟练掌握复数的运算法则、复数的几何意义是解题的关键．10．直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．解答：解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y﹣1=（x﹣1）则直线l的斜率为，故答案为：．点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理，算出sinB==，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB=，再用商数关系算出tanB=，即可得到本题答案．解答：解：∵∴由正弦定理，得sinB==∵b＜a可得B是锐角，∴cosB==，因此，tanB===故答案为：点评：本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．12．若展开式中的二项式系数和为64，则n等于6，该展开式中的常数项为15．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由题意可得得2n=64，求得n=6．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：由展开式中的二项式系数和为64，可得2n=64，∴n=6．由于=，展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r=•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为==15，故答案为6，15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为y2=2x，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由y2=2px的焦点坐标为，得，从而求得p值，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，直线x+y+5=0与切线距离即为|PQ|的最小值，联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，从而得切线方程，根据两点间距离公式即可求得答案．解答：解：因为y2=2px的焦点坐标为，所以p＞0，且，解得p=1，所以抛物线方程为y2=2x，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，由得y2+2y+2m=0，令△=0，即22﹣4×2m=0，解得m=，则切线方程为x+y+=0，两平行线间的距离d==，即为|PQ|的最小值．故答案分别为：y2=2x，．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质，考查转化思想，解决本题的关键把|PQ|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解．14．在数列{a n}中，如果对任意的n∈N*，都有﹣=λ（λ为常数），则称数列{a n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下：①若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{a n}满足，则数列{a n}是比等差数列，且比公差λ=0；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真的序号是①②．考点：的真假判断与应用；等比关系的确定．专题：阅读型；新定义．分析：①斐波那契数列{F n}，根据斐波那契数列的性质进行化简变形，看其是否满足比等差数列的定义；②若a n=3•2n﹣1，代入﹣进行求解看是否是常数，可得答案；③根据等比数列的定义可知=，满足比等差数列的定义，若等差数列为a n=n，看其是否满足﹣=λ（λ为常数）；④如果{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设a n=n，b n=2n，看其是否满足比等差数列的定义．解答：解：①由题意知，数列{F n}为斐波那契数列{F n}，﹣=≠常数，不满足比等差数列的定义，故①正确；②若a n=3•2n﹣1，则﹣==0，满足比等差数列的定义，故②正确；③等比数列都有﹣=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为a n=1，则有﹣=0，故③不正确；④如果{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设a n=n，b n=2n，则﹣=﹣==﹣≠常数，不满足比等差数列的定义，故④不正确；故答案为：①②点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断为假，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用函数的周期公式求出ω，通过函数图象经过的点直接求解φ的值；（Ⅱ）化简的表达式，通过正弦函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，所以T=，ω=2，图象过点．所以，0＜φ＜π，所以φ=．（Ⅱ）因为=sin（2x+）sin（2x﹣）=cos2xsin2x=sin4x，由2kπ，k∈Z得，所以函数的单调增区间为点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力．16．如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；（II）分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系．设AD=3，则可得DE=3，AF=1，可得D、A、B、C、E和F各点的坐标，进而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面BEF的一个法向量为=（2，1，3），而=（﹣3，3，0）是平面BDE的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（III）设M（t，t，0）（）．可得关于t的坐标形式，根据AM∥平面BEF，得⊥=0，由数量积为零建立关于t的方程，解之得t=1，从而得到当BM=BD时，AM∥平面BEF．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，∴AC⊥平面BDE，结合BE⊂平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）（II）因为直线BD、BC、BE两两垂直，所以分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系设AD=3，则可得DE=3，AF=1因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（3，0，1）∴=（0，﹣3，1），=（3，0，﹣2）…（5分）设平面BEF的法向量为=（x，y，z），得，令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），…（7分）∵AC⊥平面BDE，得=（﹣3，3，0）是平面BDE的一个法向量∴二面角F﹣BE﹣D的大小即为向量、所成角的大小（或其补角）∵cos===﹣∴结合图形加以观察，可得二面角F﹣BE﹣D的余弦值为|cos|=；…（10分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，根据（II）的结论，设M（t，t，0）（）．则=（t﹣3，t，0）．∵AM∥平面BEF，∴•=0，即2（t﹣3）+t=0，解之得t=2．…（12分）此时，点M坐标为（2，2，0），即当BM=BD时，AM∥平面BEF．…（14分）点评：本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线面垂直并求二面角的余弦值大小，着重考查了线面垂直、平行的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角的求法等知识，属于中档题．17．小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）走路线1最多遇到1次红灯为事件A，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是只有一次遇到红灯，可知A～B，计算出即可；（Ⅱ）由题意可得，X可能取值为0，1，2．利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，再利用数学期望计算公式即可；（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，），利用公式计算出Eξ与EX比较即可．解答：解：（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由题意可得，X可能取值为0，1，2．∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=．∴随机变量X的分布列为遇到红灯次数X的数学期望EX==．（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，），∴Eξ=．∵Eξ＜EX，∴选择路线1上学最好．点评：熟练掌握独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式、分类讨论思想方法、二项分布概率计算公式是解题的关键．18．已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=﹣5时，f（x）取得极值．①若m≥﹣5，求函数f（x）在上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数f′（x），当a=1时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅱ）①当x=﹣5时f（x）取得极值可得f′（﹣5）=0，由此求得a值，从而利用导数可求得f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间内、外讨论f（x）的单调性，由单调性即可求得f（x）的最小值；②对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x），利用导数易求得函数在内的最大值、最小值；解答：解：（Ⅰ）f′（x）=+（2x+1）=，当a=1时，f′（x）=x（x+3）e x，解f′（x）＞0得x＞0或x＜﹣3，解f′（x）＜0得﹣3＜x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，+∞），单调减区间为（﹣3，0）．（Ⅱ）①当x=﹣5时，f（x）取得极值，所以f′（﹣5）=，解得a=2（经检验a=2符合题意），f′（x）=，当x＜﹣5或x＞0时f′（x）＞0，当﹣5＜x＜0时f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣5）和（0，+∞）上递增，在（﹣5，0）上递减，当﹣5≤m≤﹣1时，f（x）在上单调递减，f min（x）=f（m+1）=m（m+3），当﹣1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在上单调递减，在上单调递增，f min（x）=f（0）=﹣2，当m≥0时，f（x）在上单调递增，f min（x）=f（m）=（m+2）（m﹣1），综上，f（x）在上的最小值为；②令f′（x）=0得x=0或x=﹣5（舍），因为f（﹣2）=0，f（0）=﹣2，f（1）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣2，所以对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=2．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．19．已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及a2=b2+c2即可得出；（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD 的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），D（x2，y2）．由消去y得到，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=8﹣2m2＞0，解得﹣2＜m＜2．∴，．∴==．点A到直线BD的距离d==．∴===．当且仅当m=∈（﹣2，2）时取等号．∴当时，△ABD的面积取得最大值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．20．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3…a k（k≤m）中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；（Ⅱ）是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{c n}有两，即3，4，1，2和3，4，2，1．（II）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m，经检验，只有公比q=1时，数列{c n}才有唯一的一个创新数列．（III）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，当d=0时，{e m}为常数列，满足条件；数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列．当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{e m} 不存在．由此得出结论．解答：解：（I）根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n}有：3，5，1，2，4．3，5，1，4，2．3，5，2，1，4．3，5，2，4，1．3，5，4，1，2．3，5，4，2，1．…（4分）（II）存在数列{c n}的创新数列为等比数列．…（5分）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．…（6分）若{e m}为等比数列，设公比为q，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m﹣1），所以q≥1．…（7分）当q=1时，{e m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m．…（9分）当q＞1时，{e m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3…m，又1，2，3…m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个．…（10分）（3）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，…（11分）设数列{c n}的创新数列为{e m}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．若{e m}为等差数列，设公差为d，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m﹣1），所以d≥0．且d∈N*．…（12分）当d=0时，{e m}为常数列，满足条件，即为数列e m=m，此时数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列；…（14分）当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个；…（15分）当d≥2时，∵e m=e1+（m﹣1）d≥e1+2（m﹣1）=e1+m+m﹣2 又m＞3，∴m﹣2＞0．∴e m＞m 这与e m=m矛盾，所以此时{e m} 不存在．…（17分）综上满足条件的数列{c n}的个数为（m﹣1）!+1个．…（18分）点评：本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．。
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房山区2018年高考第二次模拟测试试卷数学（理）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{|2},{|03}A x x B x x =≤=<<，则AB =（A ）{}2≤x x （B ）{|3}x x < （C ）{|23}x x << （D ）{|23}x x ≤< （2）若复数 iz 1i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）执行如图的程序框图，输出的S 值为（A ）65 （B ）64 （C ）63 （D ）33（4）已知实数,x y 满足10,0,0,+-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x y x y的取值范围是（A ）()01， （B ）(]01， （C ）[)1+∞， （D）+⎫∞⎪⎪⎭（5）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且周期为4，若(1)2f -=，则(2017)f =（ ）（A ）2 （B ）0 （C ）2- （D ）4- （6）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（A ）4 （B ）22 （C ）7 （D ）2 （7）ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=B 3π”是“A ,B ,C 成等差数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()1212,≠x x x x ，均有()()1212-≤-f x f x k x x 成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数())1=≥f x x 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（A ）4 （B ）3 （C ）1 （D ）12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）设双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线方程为20-=x y ，则该双曲线的离心率为 ．俯视图左视图（10）若平面向量(4,2)a =，(2,)b m =-，且()a a b ⊥+，则实数m 的值为 ．（11） 在5()+x m 的展开式中，含2x 项的系数为-10，则实数m 的值为 ．（12）设点A 是曲线cos 1sin ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（x y θθθ是参数）上的点，则点A 到坐标原点的最大距离是_______.（13）能够说明“xe >1+x 恒成立”是假命题的一个x 的值为_______.（14）已知函数()21=--f x x x a .①当0=a 时，不等式()+10>f x 的解集为_______；②若函数()f x 有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是_______.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，若∈x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域．（16）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[)2030，，[)30,04，⋅⋅⋅，[)80,09，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[)2030，，[)30,04，[)4050，内的学生人数比为2:3:5.为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[)20,04内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X 表示所选学生阅读量在[)2030，内的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）． 本数（17）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ； （Ⅱ）求二面角1E OG F --的大小；（Ⅲ）在线段1CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面1E OG ？如果存在，求出11D HD C的值；如果不存在，请说明理由.F 图1图21E BC1DA FOG(18)（本小题13分）设函数()()ln f x x k x =-，（k 为常数），()()x f xx x g 11-=．曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅲ）若ax g a g 1)()(<-对任意0>x 恒成立，求实数a 的取值范围．(19)（本小题14分）已知椭圆()222210+=>>：x y C a b a b 的离心率为12，O 为坐标原点，F 是椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 上一点，且⊥AF x 轴，AFO ∆的面积为34． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点()()000,0≠P x y y 的直线l ： 00221x x y ya b+=与直线AF 相交于点M ，与直线4x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF恒为定值，并求此定值．（20）（本小题13分）已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．房山区2018年高考第二次模拟测试试卷数学（理） 参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)26 (11)-1 (12) 3 (13) 0 (14) ①(0,)+∞；②>a 8. 设12x x <，1212|()()|||f x f x k x x -≤-Q ，1212|()()|||f x f x k x x -∴≤-21k∴≥=1211,,02x x x ≥≠∴<<且Q ，12k ∴≥三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， …………1分即ππsincos 04422a -=-=， …………3分 解得 1a =．…………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x xx =-．()()()cos g x f x f x x x =⋅-+ …………6分 (sin cos )(sin cos )2x x x x x =---+ …………7分 22(cos sin )2x x x =-+ …………8分cos 22x x = …………9分π2sin(2)6x =+． …………10分由0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x π得ππ7π2666x ≤+≤当π262x π+=即π6x =时，()g x 取得最大值2， …………11分 当π7266x π+=即π2x =时，()g x 取得最小值-1. …………12分所以()g x 的值域是[]1,2- …………13分 （16）解：（Ⅰ）100-100⨯10⨯（0.04+0.02⨯2）=20（人） …………3分 （Ⅱ）由已知条件可知：[)2050，内人数为：100-100⨯10⨯（0.04+0.02+0.02+0.01)=10 [)200，3人数为2人，[)300，4人数为3人，[)4050，人数为5人. …………6分 X 的可能取值为0,1,2P(X=0)=101350233=C C C P(X=1)=53351223=C C C P(X=2)=103352213=C C C …………8分 所以X 的分布列为…………10分1336012105105=⨯+⨯+⨯=EX …………11分 （Ⅲ）第五组 …………13分 （17）（Ⅰ）证:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF 面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F ∴⊥O 又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D E F =∴四边形11E D OF 为菱形11D F OE ∴⊥（Ⅱ）取OF 的中点M ，连接M E 1,MA ,以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系M-xyz 如图所示.1,0),F(0,1,0)E -1(3,0,0),(0,1OG OE ∴==-设面1OE G的法向量为n1000{{{00x n OG y n OE y =⋅==∴⇒⇒=⋅=-=，令1,z =则y =(0,3,1)n ∴= 设面FOG 的法向量为m ，则(0,0,1)m =1cos ,2||||m n m n m n ⋅∴<>==∴二面角1E OG F --的大小为3π…………10分 （Ⅲ）假设存在，设(x,y,z)H ，11,[0,1]DHD Cλλ=∈ 11D H DC λ∴=1D11(x,y2,z 3),(0,1,D H DC ∴=--={2{2(0,2(x x y y H BH z z λλλλ==∴-=∴=+∴+∴==-=000BH n ⋅=+==矛盾∴不存在 …………14分（19）解：（Ⅰ）()()ln f x x k x =-'()ln 1f x k x =--,因为曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行 所以'()0f x =,所以1k = …………5分 （Ⅱ）()()1111ln g x f x x x x x =-=-+，定义域为{}0x x > ()()2211111'x g x f x x x x x x-=-=-+=令()'0g x =得1x =，当x 变化时，()'g x 和()g x 的变化如下表由上表可知()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，最小值为()10g =。